Preálgebra. Razonamiento deductivo y cálculo mental. Proyecto MATE.TIC.TAC |
INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO de CONTENIDOS EDUCATIVOS DIGITALES MULTIMEDIA para la enseñanza-aprendizaje de las MATEMÁTICAS (Infantil-PRIMARIA y atención a la diversidad en ESO) y LENGUA en PRIMARIA. Por una enseñanza-aprendizaje de la matemática que integre las TICs con fundamento didáctico, basada en el APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO, la ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD, el análisis crítico del currículo, el desarrollo de competencias y el fomento de LA CREATIVIDAD.
Preálgebra. Razonamiento deductivo y cálculo mental. Proyecto MATE.TIC.TAC |
Recorrer un grafo sin pasar dos veces por un mismo segmento. Retos topológicos a partir del 1º ciclo de Primaria. Proyecto MATE.TIC.TAC |
A continuación se ofrece la aplicación.
En el post "Operaciones combinadas con y sin la calculadora" se ofrece una aplicación para trabajar las operaciones en un contexto de razonamiento numérico y operacional y se enlaza con aplicaciones que dan verdadero sentido a las operaciones combinadas en un contexto de resolución de problemas aritméticos.
En este nuevo post se ofrecen dos aplicaciones análogas (con diferentes niveles de dificultad) para abordar las operaciones combinadas a lo largo de la Etapa Primaria en un contexto de razonamiento numérico y operacional.
"Cartulinas_operaciones". A partir de 1º ciclo de Primaria. (3 números y 2 operaciones). Proyecto MATE.TIC.TAC |
"Cartulinas_operaciones". A partir de 2º ciclo de Primaria. (4 números y 3 operaciones). Proyecto MATE.TIC.TAC |
Jackpot numérico, de didactmaticprimaria.net. Proyecto MATE.TIC.TAC |
Circuitos probabilísticos, de Didactmaticprimari.net. Proyecto MATE.TIC.TAC
Jackpot Numérico, es el último trabajo incorporado al proyecto MATE.TIC.TAC para el tratamiento del Azar, la Combinatoria y la Probabilidad a partir del 2º ciclo de la Etapa Primaria.
El vídeo, en todos los ámbitos de la vida social (noticias, ocio, información de todo tipo, educación, marketing...), ha crecido y evolucionado rápidamente en la última década gracias a la aparición de YouTube y demás redes sociales, alcanzando cotas de popularidad insospechadas y una gran proyección de futuro con la aceleración en el consumo de contenido digital. El streaming (tecnología que permite ver y oír contenidos que se transmiten desde internet u otra red sin tener que descargar previamente los datos al dispositivo desde el que se visualiza y oye el archivo) ha potenciado, sin duda, esta popularidad.
Los vídeos educativos (y en particular los vídeos educativos de matemáticas) participan, obviamente, de este auge, consumo y popularidad general del vídeo, estrechamente vinculado con el mundo digital y la “democratización” de las tecnologías. Tecnologías de vanguardia (el smartphone, por ejemplo) son accesibles a una gran mayoría y han acelerado la producción de todo tipo de vídeos. Prácticamente cualquiera puede realizar un vídeo de suficiente calidad técnica y colocarlo en las redes sociales sin necesidad de capacitación extensa o costosa. Esto permite que cada vez mayor porcentaje de la población mundial tenga acceso amplio a conocimientos y oportunidades educativas.
Un porcentaje cada vez más elevado del profesorado aprovecha el vídeo y canales de vídeo específicos (de producción propia o ajena) como recurso educativo para ofrecer explicaciones más amenas y entretenidas de conceptos o temas; para repasar; para mostrar problemas tipo resueltos para su estudio en diferentes etapas educativas; para ofrecer píldoras matemáticas, resúmenes y trucos que ayuden al estudiante en su práctica diaria; para despertar el gusto por las matemáticas además de ayudar a aprobarlas; para favorecer la comprensión de lo que no se ha entendido en clase; o para aplicar la metodología de la clase invertida o “flipped classroom”,...
Es evidente y lógica la heterogeneidad reinante en el amplísimo conjunto de los vídeos educativos para matemáticas, tanto en su calidad técnica, como en su intencionalidad pedagógica, o en su interés y potencial didáctico. De una manera totalmente subjetiva tengo que admitir que me sorprende el número de visualizaciones de muchos vídeos de matemáticas en relación con mi valoración sobre su interés didáctico. Pero no quiero tratar aquí cómo promocionan los desconocidos y sofisticados algoritmos (de Youtube, por ejemplo) unos vídeos sobre otros, ni en la ética u objetivos de las redes sociales (*).
(*) Al respecto, son muy ilustrativas las opiniones del experto Jaron Lanier en su libro "Ten Arguments for Deleting Your Social Media Accounts Right Now" ("Diez argumentos para eliminar sus cuentas de redes sociales ahora mismo"). (http://www.jaronlanier.com/tenarguments.html).
Se percibe claramente una preocupación creciente por ofrecer explicaciones más amenas y atractivas, con mayor dinamismo y riqueza de modelos gráficos para apoyar la comprensión de conceptos, con mayor calidad técnica y didáctica. Lograr que las explicaciones con vídeos sea más amenas que las breves y estereotipadas explicaciones de los libros de texto es algo fácil de conseguir.
Aunque el vídeo educativo es un recurso educativo más (y puede ser utilizado además de otros), creo que este imparable auge en la producción y consumo de vídeos educativos de matemáticas, su fácil acceso, su gratuidad, lo cómodo de su uso,... está extendiendo y consolidando los enfoques pedagógicos tradicionales en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
Los enfoques pedagógicos tradicionales son claramente predominantes en la gran mayoría de estos vídeos para matemáticas. Para los enfoques pedagógicos tradicionales lo prioritario de toda actividad educativa es la transmisión de contenidos (“TE LO EXPLICO”) siendo la tarea del docente transmitir contenidos que él conoce y que sus alumnos ignoran. Esto se hace muy patente en los vídeos de matemáticas, incluso en los que más calidad pedagógica muestran en sus contenidos. Quizá, por la propia naturaleza del vídeo, sea difícil alcanzar enfoques de corte más constructivista o crítico-dialógico en los que lo prioritario es facilitar un proceso activo de construcción de conocimientos que no pueden adquirirse de manera pasiva.
Más que “enseñar”, lo prioritario es construir aprendizajes sólidos que permitan enfrentar situaciones nuevas, no previstas en el propio aprendizaje; ayudar a aprender estimulando la actitud investigadora y crítica; fomentando la experimentación, verificación y descubrimiento (más o menos guiado) de los resultados; potenciando la formulación de conjeturas, la invención y la resolución de problemas frente a la visión del profesor (u otro docente experto) como única fuente de respuestas correctas...Para ello es necesario facilitar el “andamiaje” que permita construir nuevos conocimientos a partir de los que ya se tienen, que posibiliten avanzar desde el desarrollo actual al potencial (Vygotski 1978), en la interacción con otros (los docentes y, en especial, los compañeros).
Creo, además, que todo buen vídeo de matemáticas aspira a ser una buena aplicación de matemáticas más interactiva. Una buena aplicación interactiva, en mucha mayor medida que un buen vídeo, permite implementar un aprendizaje basado en la manipulación, experimentación, verificación de hipótesis, descubrimiento...El problema es que este tipo de aplicaciones interactivas de matemáticas enfocadas a la construcción activa de los aprendizajes son muchísimo menos numerosas y no suelen ser gratuitas....
Para ilustrar el “¿TE LO EXPLICO?”
Aquí muestro un excelente vídeo sobre COMBINATORIA (rico en modelos gráficos) de Adrián Paenza (periodista argentino, matemático y destacado divulgador de matemáticas).
Para ilustrar el “¿TE FACILITO QUE TÚ LO DESCUBRAS?”, una aplicación de introducción a la Combinatoria del proyecto MATE.TIC.TAC:
Un problema que presenta errores o incoherencias, como el que muestra la figura que sigue, puede ser aprovechado y propuesto con la intención de resolver una situación aún más interesante que la propuesta inicialmente, para favorecer en nuestros/as alumnos/as el conflicto cognitivo generador de análisis crítico y de búsqueda de argumentos, hipótesis, respuestas...
Problema con errores o incoherencias |
Efectivamente el problema tiene errores o incoherencias. Se trata de un boceto o croquis de una terraza. Los errores no se derivan de que los segmentos y sus medidas guarden, o no, correctamente relaciones de proporcionalidad directa, ya que no se trata de un plano.
Invito al lector/a a reflexionar sobre los siguientes aspectos:
1.- Suponiendo que el boceto refleje la realidad de una terraza con todos sus lados ortogonales (sólo ángulos rectos), ¿habría coherencia en las medidas? ¿Podrían ser todas correctas ?
2.- Suponiendo que las medidas estén bien realizadas y escritas, ¿podría el boceto corresponder a una terraza con todos sus lados ortogonales?
3.- Suponiendo que el boceto refleje la realidad de una terraza con todos sus lados ortogonales (sólo ángulos rectos), ¿Podría resolverse el problema considerando válidas algunas medidas?
4.- Suponiendo que el boceto refleje la realidad de una terraza con todos sus lados ortogonales y los lados mayores estén bien medidos, ¿ qué datos serían innecesarios?
Tal vez errores como éste sean fruto de una interpretación rutinaria y calculista del concepto “perímetro”, de una visión mayoritaria que reduce el concepto a una simple suma de varios sumandos. O puede que se deba a una insuficiente indagación y exploración del concepto... Pero el concepto “perímetro” es mucho más rico y da mucho más juego en Primaria. Los/as alumnos/as pueden descubrir interesantes relaciones y argumentar sobre perímetros de figuras aún sin realizar cálculos.
Sirva como ilustración de lo que acabo de afirmar esta aplicación para 2º ciclo de Primaria del proyecto MATE.TIC.TAC (Se profundiza más sobre “perímetros” en las aplicaciones correspondientes al 3º ciclo).
Perímetros_2º ciclo de Primaria, de didactmatic.primaria.net |
Ya desde infantil los/as niños/as saben ordenar colecciones de elementos por algún atributo perceptible (ordenar regletas según su longitud, por ejemplo).
Es obvio que la ordenación de tres o más números que tenemos a la vista es algo fácil y rápido de resolver incluso para niños de Primer ciclo de Primaria que conocen el sistema de numeración decimal y, por tanto, un tipo de ejercicio que siempre se propone en Primaria.
Hace unos días, AJ, hijo de un amigo, que cursa 2º de Bachillerato, solicitó mi ayuda porque estaba “atascado” con la realización de un diagrama de flujo que resolviera la ordenación de tres números cualesquiera introducidos por un usuario. Diseñar un procedimiento computacional gráfico bien definido que dé como salida la ordenación de tres números de entrada cualesquiera (en principio desconocidos) es, obviamente, una tarea más abstracta y fuera del ámbito de Primaria. Sin embargo el cerebro que ordena tres números dados visualmente y el algoritmo que ordena tres números introducidos por un usuario en el ordenador, deben operar con bastante similitud.
Si pidiéramos a niños/as de diferentes niveles de Primaria, que ya saben resolver con rapidez y exactitud la ordenación de tres o más números, que argumentaran detalladamente cómo lo han hecho, la exhaustividad, exactitud y generalidad de las argumentaciones dadas variaría mucho en función de los niveles. Y variaría en mucha mayor medida que la variabilidad mostrada en la realización de las ordenaciones. Esto no es de extrañar porque el razonamiento y la argumentación son habilidades cognitivas de orden superior, requieren mayores niveles de competencia.
"Comparando y ordenando pesos con los "freak-animal"", de didactmaticprimaria.net |
La construcción de la noción de “espacio” constituye una de las bases lógico-matemáticas fundamentales que sirven para estructurar el futuro pensamiento abstracto-formal. Para garantizar la comprensión de los principios fundamentales de la geometría en el futuro es de suma importancia que los docentes, mediante la selección correcta de estrategias de enseñanza y actividades de aprendizaje adecuadas, promuevan el desarrollo de nociones topológicas, proyectivas y euclidianas.
En “La representación del espacio en el niño”, Jean Piaget y Bärbel Inhelder defienden que los conceptos fundamentales y primeros del espacio (como espacio representado y no como concepción global del mismo) no son euclidianos, sino “topológicos”. Es decir, basados en correspondencias que involucran relaciones de proximidad (o de vecindaje), relaciones de separación, relaciones de orden o sucesión espacial (orden lineal y circular), relaciones de envolvimiento y continuidad. Afirman que "el orden genético de adquisiciones de las nociones espaciales, es inverso al orden histórico del progreso de la ciencia", que las relaciones topológicas son consideradas con anterioridad a las proyectivas y euclidianas por parte del niño.
Aproximadamente a partir de los dos años, las relaciones espaciales más sencillas se expresan mediante palabras como: “arriba”, “abajo”, “encima”, “debajo”, “más arriba”, “más abajo”, “delante”, “detrás”,…; dichas expresiones contribuyen eficazmente a alcanzar las nociones espaciales. En esta etapa el niño no puede distinguir, por ejemplo, un círculo de un cuadrado porque ambas son figuras cerradas, pero si las puede diferenciar de la figura de una herradura. Posteriormente logra distinguir líneas curvas de rectas y figuras largas de cortas, así como también diferenciar el espacio interior y exterior de una frontera dada o determinar posiciones relativas al interior de un orden lineal.
Luego aparecen progresivamente relaciones de tipo proyectivo. La geometría proyectiva puede entenderse, informalmente, como la geometría que se obtiene cuando nos colocamos en un punto, mirando desde ese punto. Esto es, cualquier línea que incide en nuestro "ojo" nos parece ser solo un punto, en el plano proyectivo, ya que el ojo no puede "ver" los puntos que hay detrás. Equivale a la proyección sobre un plano de un subconjunto del espacio en la geometría euclidiana tridimensional. Estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas, pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida.
Posteriormente, aparecen las relaciones de tipo euclidiano que tratan de la representación de las longitudes, ángulos, áreas y volúmenes como propiedades que permanecen constantes, cuando las figuras representadas son sometidas a transformaciones rígidas.
"Desde siempre, y ahora más que nunca, debe fomentarse el estudio de las matemáticas al mismo nivel que el de la lengua materna, como se hacía antes de que el movimiento “hacer todo sin esfuerzo” se fuera apoderando de las mentes de los legisladores. Profesionales de la nada –terminada en “gogo”− que han conseguido convertir los libros de texto en revistas ilustradas y tebeos de colorines, y convencer a los administradores públicos de que se puede enseñar una materia sin sabérsela, dando instrucciones del método de enseñar lo que sea sin que haya que tener idea de lo que es.
La matemática subyace a todo, es el lenguaje de la Naturaleza. Todos esos avances que percibimos en comunicación, información y previsión, en procesamiento de imágenes y en reconocimiento de patrones, en seguridad, en criptografía, están escritos en esa lengua universal que como la música pertenece a todos y es sustancial a todas las sensaciones. España es hoy una potencia mundial en Matemáticas [...] Nos falta una sociedad concienciada y sensible a lo importante, y un sistema educativo que no confíe la enseñanza de la matemática a los que no han sido, ellos mismos, educados en su metodología; más de la mitad de los profesores de primaria y secundaria en España, no son matemáticos de formación."
Algunos docentes me han manifestado que con estas aplicaciones ellos/as aprenden a la par que sus alumnos/as. Y así debe ser, y no es motivo de pudor ni de considerarse un docente mediocre. Como ya se refirió anteriormente, estas aplicaciones refuerzan también el rol del profesorado y apoyan enormemente la tarea de la enseñanza sin quitar protagonismo a los docentes, facilitando que incluso docentes con poca formación sean protagonistas de una enseñanza de calidad, se sientan seguros y más expertos en la materia. Soy consciente de que muchos de los docentes que imparten el área de matemáticas, por razones diversas, no han tenido la oportunidad de vivenciarlas, de recrearlas, de descubrir sus conexiones y la diversidad de sus procedimientos y métodos en cada uno de los bloques de contenidos… Si no se ha ”vivido” la Geometría, por ejemplo, se tendrán pocas expectativas en relación con este bloque… y se acabará haciendo lo de siempre, algunas actividades de simple reconocimiento…
MATE.TIC.TAC va dirigido, en primera instancia, al profesorado ayudándole a tener una visión amplia, rica e innovadora de la matemática curricularmente relevante. Facilita los instrumentos para implementar una enseñanza-aprendizaje de la matemática acorde con esa visión. En este sentido tiene, también, un alto valor formativo para el profesorado. El proyecto debe considerarse, siempre, una propuesta abierta supeditada al profesorado, que debe gestionarla e integrarla de la manera más eficaz para su grupo-clase.
nI = número de puntos de la trama en el interior del polígono.
nF= número de puntos de la trama en la frontera del polígono (lados).