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21 agosto, 2013

¿Retos topológicos en Educación Primaria?



Son escasísimos los contenidos educativos digitales multimedia que tratan aspectos topológicos básicos.
Muchos recordamos, aunque de manera vaga e indefinida, que una vez en la escuela se nos propuso resolver el reto de la “casita” (o “sobre de carta” si se prefiere). Se trataba de realizar el dibujo de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel y sin dibujar un mismo segmento dos veces…
Probablemente una gran mayoría de personas, incluso una mayoría de docentes, no hayamos sido conscientes de los momentos de acercamiento a cuestiones que tienen relación con esta rama de la geometría denominada topología, sobre todo de los aspectos lúdicos de la misma.

Figuras que pueden dibujarse de un solo trazo
"Casita" o "sobre de carta"
El sencillo reto de la “casita” enlaza directamente con el famoso e histórico problema de los puentes de Königsberg, con el matemático Euler, con el nacimiento de la topología y de la potente teoría de grafos.

La aplicación que aquí ofrezco, organizada en torno a cuatro secciones o apartados, hace posible de manera experimental, creativa y lúdica, que comprender y argumentar razonadamente sobre el problema de los puentes de Königsberg (y variantes del mismo) así como crear y dar respuesta a otros problemas análogos más complejos sea una tarea de matemáticas relevante al alcance de niños de Primaria, a la par que los familiariza con aspectos básicos de la topología.

Un coche recorriendo un circuito sin pasar dos veces por el mismo arco.


En el apartado RETOS se ilustra de manera dinámica lo que se entiende por “recorrido de un solo trazo” y se propone, a modo de retos, una veintena de figuras que pueden ser recorridas de un solo trazo, cada una de ellas de múltiples maneras (aquí soluciones). Se trata, pues, de una actividad de naturaleza divergente, creativa… El ordenador permite comprobar lo correcto o no del trazado realizado por el usuario en cada caso, es decir, de la solución concreta dada por él. Los retos propuestos permitirán intuir y descubrir la existencia de ciertos patrones o regularidades. Así, por ejemplo, la aplicación redibuja el trazado realizado por el usuario en el mismo sentido que éste lo hizo y en sentido contrario evidenciando de manera visual y dinámica que toda solución es doble. Pronto el usuario descubre que unas figuras tienen solución comenzando en uno cualquiera de sus vértices (y terminando en el mismo) y otras, en cambio, exigen comenzar y terminar en vértices concretos. ¿Por qué?

Figuras que pueden realizarse de un solo trazo
Las veinte figuras propuestas (de diferente dificultad)

Redibujando el trazado correcto de la figura número 9
Comprobación de un trazado solución correspondiente a la figura propuesta número 9

Mostrando una solución de una figura determinada
Trazado de una solución (1-7-2-8-3-4-9-5-6-10-7-6-1-5-4-1-3-2-1) 
En  el apartado SOLUCIONES el usuario puede descubrir la naturaleza combinatoria de las múltiples soluciones de cada una de las figuras (y de las que son equivalentes topológicamente a ella); se analizan todas las soluciones posibles de las figuras más sencillas propuestas; se muestran de manera interactiva y argumentada varias soluciones de cada una de las figuras propuestas (como adelanto de la TEORÍA) y se utilizan los números para codificar soluciones.



El apartado TEORÍA se aprovecha para introducir e ilustrar dinámicamente conceptos topológicos básicos relacionados con los retos propuestos y sus soluciones, tales como: figuras topológicamente equivalentes, grafo,  grafos topológicamente equivalentes, vértices o nodos, segmentos o arcos, regiones, orden de un nodo, nodo par, nodo impar,…

También se utiliza el apartado TEORÍA para llevar al alumno al descubrimiento o comprobación de unos cuantos resultados teóricos sencillos que son expresión de las regularidades que han podido ser experimentadas y que permiten determinar si un grafo va a tener o no solución. Se muestra de manera dinámica una familia de grafos generados “de un solo trazo” con un espirógrafo configurable, se pregunta sobre las características comunes de estas figuras así generadas; se muestran colecciones de figuras para que el usuario determine si tienen o no solución, etc... Esta teoría está perfectamente al alcance de niños/as de 9-10 años en adelante y es la que permitirá comprobar que el originario problema de los puentes de Königsberg no tiene solución.

Para completar aspectos no tocados en esta aplicación o bien para verlos desde otro punto de vista, se enlaza con algunas aplicaciones para Educación Primaria correspondientes al  Proyecto Canals (de Hernán Darío Alzate: "Redes I", "Redes II" y "Topología" ; de Diego Luis Feria Gómez: "Posiciones relativas entre líneas" ) a vídeos de YouTube sobre esta temática y a diferentes documentos digitales online.


Grafo correspondiente al problema de los puentes de Königsberg
"Los siete puentes de Königsberg"

En el apartado TALLER el usuario puede crear sus propios grafos colocando nodos y arcos en la zona de diseño tal y como desee. El ordenador evalúa si el grafo realizado tiene o no solución y por qué… Además sugiere y permite la simulación o modelado del problema de los puentes de Königsberg y variantes del mismo…



Grafo solución a un problema con 14 puentes.

Por último, y esto puede que sólo interese a desarrolladores de contenidos educativos digitales, la aplicación muestra un amplio abanico de maneras diferentes de abordar el trazado interactivo de líneas rectas y curvas...


(Se agradecen los comentarios)

01 junio, 2013

Geometría creativa y constructiva en Educación Primaria

Esculturas con cubos y fracciones de cubo
Esculturas con cubos y fracciones de cubo
Sólidos platónicos
Poliedros. Clases
La imagen de la izquierda corresponde a la aplicación "policubos" que se ofrece en este blog. Pone de manifiesto correspondencias entre diseños figurativos planos formados por cuadrados y medios cuadrados (escuadras) y diseños figurativos tridimensionales formados con cubos y mitades de cubo. La aplicación ayuda a intuir y comprender el paso del plano (2D) al espacio tridimensional (3D) abordando, a la par, el diseño creativo...


Diseños 3D figurativos compuestos por cubos, semicubos y pirámides 1/3 de cubo.

Sólidos platónicosPoliedros. Clases
En la aplicación "policubos II" se profundiza en el diseño libre con cubos y mitades de cubo con diferentes orientaciones espaciales.
Copiar figuras

Aplicaciones como "Copiar figuras" son ideales para el desarrollo de la percepción analítica que, como ya indiqué en un post anterior, es a la geometría lo que la comprensión lectora es a la lectura. Esta percepción analítica está favorecida por la referencia visual de la cuadrícula e implica la interiorización progresiva de aspectos topológicos, métricos y geométricos que no se pueden obviar. Ya en otros post he tratado con  profundidad el potencial didáctico de cuadrícula y tramas de puntos para abordar múltiples contenidos geométricos a lo largo de toda la etapa Primaria: "Regularidades en el plano. Mosaicos, cenefas, celosías,..", "Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas",...

El libro "Materiales para construir la geometría" (de Claudi Alsina, Carme Burgués y Josep Mª Fortuny. Colección "Matemáticas: cultura y aprendizaje", número 11. 1988) comienza con un párrafo que yo he citado ya en diferentes sitios que, a mi juicio, orienta la didáctica de la Geometría en la escuela y en el que creo firmemente:
"Vivir la Geometría en la escuela puede ser una experiencia feliz si basamos su aprendizaje en actividades constructivas, sensibles y lúdicas. De todas las disciplinas matemáticas la Geometría es la que mayores posibilidades ofrece a la hora de experimentar, mediante materiales adecuados, sus métodos, sus conceptos, sus propiedades y sus problemas. Es por ello que la enseñanza geométrica no debe sucumbir a las limitaciones formales, simbólicas y algebraicas de los conocimientos matemáticos: será precisamente es este primer estadio de sensibilidad donde el tacto, la vista, el dibujo y la manipulación permitirán familiarizar al alumno con todo un mundo de formas, figuras y movimientos sobre el cual asentar posteriormente los modelos abstractos"
Pero, además, a través de las formas, figuras y movimientos el alumno se adentra en un terreno de estética, de belleza,...sensaciones que, casi sin excepción, a todos nos produce esa especial perfección y armonía que percibimos en múltiples formas geométricas. 

No cabe, duda, por tanto, de que el tratamiento de la geometría, sobre todo de la geometría construida por los alumnos, incide de lleno en la educación en valores: si bien el reconocimiento y sentimientos de la armonía y belleza en relación con sus propias producciones  geométricas tiene una componente subjetiva (y por tanto hay que desarrollar también esa sensibilidad) para el alumno, por otra parte éste asume con facilidad que el grado de exactitud, armonía y belleza tiene una componente objetiva que está directamente relacionada con su interés y esfuerzo por lograr perfección en el trazado y construcción de formas, ...

Sólidos platónicosNo cabe duda de que las TICs, en conjunción con multitud de software específico de geometría dinámica,  están facilitado enormemente una visión creativa, dinámica e interactiva de la Geometría que no era posible, o al menos muy difícil, hace relativamente pocos años. Este hecho trae consigo, de manera ineludible, nuevos enfoques e innovaciones del currículo de geometría, también a nivel elemental.

Pero en Primaria no resulta fácil acercar a los alumnos/as el mundo de lo tridimensional, mediante aplicaciones virtuales,  de manera que suponga para ellos una experiencia  que conlleve, además, aprendizaje relevante. No al menos en la misma medida que para las figuras planas. No resulta nada fácil, por ejemplo, realizar diseños tridimensionales con Geogebra o algún otro software parecido. ¿Qué aplicaciones virtuales permiten a alumnos/as de Primaria la composición/descomposición de cuerpos tridimensionales? Nos tenemos que conformar con facilitarles la visualización de poliedros y estructuras poliédricas, incluso mostrarles poliedros que se transforman en sus correspondientes desarrollos planos, y viceversa; pero poco más...

He aquí algunas de las aplicaciones que se ofrecen en este blog que permiten trabajar diferentes aspectos de sólidos tridimensionales:




3D-poliedrosGeneración y codificación de policubos por capas
Desarrollos planos alternativos para un mismo poliedro.
Secciones de prismas, pirámides , cuerpos redondos y sólidos de revolución.Cubos, policubos y fracciones de cubo.

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A pesar de lo variado de estas aplicaciones y del indudable interés didáctico que supone la manipulación de modelos ya construidos, es necesario proponer a nuestros alumnos/as otras actividades "analógicas", de índole constructiva, manipulativa y lúdica que hagan uso de los procedimientos fundamentales de la Geometría: el dibujo y la construcción de modelos. Actividades que los ayuden a desarrollar y adquirir dominio en el trazado, doblado, recortado, pegado, construcción, etc; que desarrollen actitudes de perseverancia y afán de superación...

En el siguiente vídeo recojo algunas de las actividades de este tipo que he propuesto yo a alumnos/as de 5º y 6º. Podéis consultar, también, "Origami modular en Primaria". Espero que las encontréis interesantes y sugerentes:





Quiero acabar este post saltando de lo básico de esta temática, a lo más avanzado . Lo que nos muestra el siguiente vídeo es impresionante, alucinante,...


Inspirado por la división celular, Michael Hansmeyer escribe algoritmos que diseñan formas y figuras con millones de facetas extremadamente fascinantes. Ninguna persona podría delinearlas a mano, pero son construibles, y podrían revolucionar la manera en la que concebimos la forma arquitectónica.

06 marzo, 2013

Perímetros. Una propuesta internivelar



Perímetro y área son dos magnitudes geométricas fundamentales en el estudio de las formas planas. Con demasiada frecuencia el estudio de estas dos "variables" es excesivamente rutinario, sin buscar conexiones entre ambas, y enfocado, con excesiva prisa, hacia el cálculo numérico de perímetros (lo que empobrece su vertiente y significado geométricos). Esto no es sino consecuencia lógica y directa de la tradición escolar y de nuestra formación en matemáticas y su didáctica.

Los propios conceptos matemáticos no son estáticos sino que evolucionan paralelamente a la historia de las matemáticas enriqueciéndose e interconectándose unos con otros de manera cada vez más rica y creativa. Así, por ejemplo, la geometría fractal ha puesto de manifiesto que una región de área finita puede tener un perímetro infinito (ver Curva de Koch). Sirva esto último para justificar el estudio de relaciones básicas perímetro-área en la enseñanza de las matemáticas básicas tendente a que los/as alumnos/as descubran familias de figuras isoperimétricas coincidentes en área, familias de figuras isoperimétricas  no coincidentes en su área, modificaciones perimétricas que no varían el área (lo cual conecta de manera natural con buena parte de la obra artístico matemática de Mauritius Cornelius Escher- embaldosados figurativos-), etc...

¿Hasta qué punto los docentes comprendemos, experimentamos, exploramos y conectamos los contenidos que queremos que nuestros/as alumnos/as aprendan? 

[...] Pero hay algo más. Y se trata de algo que he llegado a creer, por contraste con aquello de lo que tengo evidencia a través de la investigación: creo que los niños necesitan jugar más. Esto se debe a que las matemáticas se ocupan de abstracciones. El álgebra y la geometría pueden ser vistas como un juego con reglas más o menos arbitrarias sobre objetos que son abstracciones (por cierto, ambas materias resultan ser útiles en el mundo real, pero no tratan sobre eso). ¿Cómo podrían aprender los niños a usar el álgebra y la geometría? Si tienen muchas experiencias concretas de las que abstraer. Logramos eso bastante bien en nuestras clases, pero también necesitan la práctica de jugar con las abstracciones. Y los niños son muy buenos en ésto; inventan juegos todo el tiempo. Me gustaría ver mucho más juego matemático en la escuela primaria.
Pero, ¿deberían todos los maestros tener más experiencia matemática? Sí, aunque sospecho que hay muchas cosas en las que deberían tener más educación: alfabetización, psicología infantil... Lo que me gustaría ver, no obstante, es que todos los docentes tengan una educación en matemáticas al punto de ser positivos respecto de ellas, que tengan confianza en sus conocimientos según el nivel que enseñan, y que sepan lo suficiente como para alentar a sus alumnos para aprender la materia.Mucho más importante es que los maestros especializados en Matemática posean una mayor comprensión matemática. Creo que ningún maestro tiene jamás lo suficiente. Somos profesionales como docentes de Matemática, y los profesionales deben comprometerse con el desarrollo profesional en su área de trabajo. Si esperamos eso de las estrellas del fútbol, ¿por qué no de los profesores de Matemática? Imaginar que un profesor de Matemática puede dejar de aprender sobre la materia equivale a sugerir que un equipo de fútbol de primer nivel puede dejar de entrenarse.


Este nuevo recurso no sólo va dirigido a alumnos/as (que son siempre los destinatarios finales). Como casi todos los que diseño, está pensado, en primera instancia,  para los docentes. Pretendo favorecer, con el mismo, una visión más rica y amplia de la enseñanza-aprendizaje de los perímetros que no se reduzca a una simple medición y suma de longitudes... Invito a los docentes que no hayan experimentado o reflexionado suficientemente sobre este tópico a que, de una manera especial, realicen ellos mismo las exploraciones que se proponen en el apartado cuarto del menú ("Exploración de relaciones perímetro-área. regularidades").


07 noviembre, 2012

Diseñando mosaicos con una familia de teselas isoperimétricas

Diseño de mosaicos con una familia de teselas de igual perímetro.
Mosaicos con teselas curvilíneas de igual perímetro


Os presento la última aplicación que he mejorado.
Se basa en una familia de figuras de igual perímetro. Cada una de ellas está formada por cuatro cuadrantes de circunferencia del mismo radio.
Mediante la obtención de tantas copias como se desee de cada una de ellas, su traslación y rotación - de 90º en 90º- y el ajuste perfecto en la pantalla de diseño, se pueden realizar actividades de obtención de figuras complejas a partir de estas figuras elementales; mosaicos; exploración de las propiedades de teselación o pavimentación del plano de cada figura; diseño libre de motivos ornamentales; diseños simétricos...




Trabajando la percepción analítica mediante el copiado de figuras.
También se ha mejorado el código de la aplicación "Copiar figuras" para permitir que el usuario copie la figura pulsando sobre un número variable de vértices. Tenía algunos errores de comprobación y daba por válidas figuras no correctamente copiadas.
Esta interesante aplicación permite trabajar, de manera muy amena, la percepción analítica




(Ambas aplicaciones están incluidas en la colección "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_I")

04 noviembre, 2012

El círculo, un polígono regular muy especial. Áreas de figuras básicas. Relaciones.

La nueva aplicación que se ofrece es el resultado de la adaptación y mejora de algunas aplicaciones que había realizado hace años y que, al contrario que ésta, no estaban adaptadas para su utilización con PDI.

Desplegando un polígono regular para convertirlo en un rectángulo de áreas equivalente
Desplegando un polígono regular
Se trata de una aplicación muy completa que ilustra, de manera dinámica, cómo se obtienen las áreas de figuras básicas (triángulo rectángulo, otros triángulos, paralelogramos, cometas, trapecios, polígonos regulares y círculo) a partir del área del rectángulo. También propone el cálculo estratégico de áreas de familias de figuras obtenidas en mallas cuadradas y en mallas triangulares equiláteras así como el área de las figuras básicas antes mencionadas.

En ella se le da un tratamiento especialmente interactivo al área de un círculo a partir del área de un polígono regular. Y al área de ambos a partir de la del rectángulo (también a partir de las áreas de paralelogramos y romboides).

En Primaria suele presentarse el círculo como un no polígono ( porque no tiene lados rectos). Esto no es sino consecuencia de una visión tradicional y estática de la geometría. Desde una perspectiva dinámica, como la que ofrece esta aplicación, es fácil ver y comprobar cómo un polígono regular de 30 ó 40 lados, inscrito en un círculo, apenas puede diferenciarse del mismo. ¿Y si aumentamos el número de lados a 200 ó 1000? ¿Qué tendencia muestra su apotema?¿Y la longitud de sus lados? No resulta chocante, pues, aceptar que un círculo es un polígono regular de infinitos lados rectos infinitamente pequeños. En el caso límite (al aumentar progresivamente el número de lados) la apotema se confunde con el radio del círculo, la longitud del lado del polígono regular tiende a cero y el perímetro tiende, sin sobrepasarlo, al valor de la longitud de la circunferencia. 

Estos casos límite (como ocurre cuando se consideran los triángulos casos límite de cometas)  pueden ilustrarse de manera óptima gracias a las aplicaciones que, de una manera u otra, permiten abordar geometría dinámica.


(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)


En el siguiente vídeo se nos ofrece una manera curiosa y original de acercarse al área de un círculo. Aunque se realice con elementos tridimensionales (esferas idénticas), no es difícil imaginar la correspondiente demostración con círculos idénticos tan pequeños como se desee (con puntos). La ilustración es muy sugerente y acertada:


22 mayo, 2012

Los cometas, unos cuadriláteros muy especiales.

He aquí la clásica y habitual clasificación de los cuadriláteros:



No tengo nada que objetar a la corrección e idoneidad de esta clasificación - basada en la relación de paralelismo de los lados- si bien, evidentemente, no es la única posible. Así, por ejemplo, podríamos establecer en el conjunto de los cuadriláteros, una primera relación: "tener dos diagonales perpendiculares". Con ella la clase de los cuadriláteros quedaría partida en dos clases disjuntas: los que tienen dos diagonales perpendiculares (todos los cuadrados, todos los rombos, determinados trapecios de cada una de las tres clases y determinados trapezoides) y los que no tienen dos diagonales perpendiculares (rectángulos, romboides, determinados tipos de trapecios y trapezoides). Esto nos llevaría a una clasificación evidentemente más compleja que la usual, con más clases. Haría falta utilizar más nombres de clases...(Es un ejercicio muy interesante)

Pero aún admitiendo que ésta (la de la imagen de arriba) es la mejor clasificación de los cuadriláteros, llama poderosamente  la atención la poca ramificación que presenta la clase de los trapezoides ( lo cual, por otra parte, no es de extrañar teniendo en cuenta la visión estática y estereotipada de los polígonos y lo relegado que ha quedado siempre el bloque de Geometría en relación con el currículo de matemáticas...). 

Parece, la de los trapezoides, una clase de cuadriláteros sin mayor interés, cuyos elementos tienen poco que ofrecer. Y, sin embargo, hay trapezoides de especial belleza y con regularidades visibles, como es el caso de los cometas. Presentan éstos un eje de simetría bilateral y dos vértices opuestos en los que, en cada uno de ellos, concurren dos lados de igual longitud. Los hay convexos ( cometas propiamente dichos)  y cóncavos ( dardos o puntas de flecha). Los trapezoides cometas, a su vez, pertenecen a una clase más general, la de los cuadriláteros con diagonales perpendiculares...

29 abril, 2012

Origami modular en Primaria


Si no has practicado nunca origami con tus alumnos/as de Primaria, te recomiendo que lo hagas cuanto antes. No importa el nivel en el que éstos/as se encuentren, hay diseños apropiados para cualquier edad. Además, podemos disponer de una cantidad ingente de excelentes vídeos sobre esta temática en YouTube, así como de múltiples documentos, con ilustraciones, en formato .pdf, que nos facilitan su aprendizaje y práctica partiendo de cero.

Friedrich Fröebel (1782 - 1852), pedagogo alemán creador de la educación preescolar y del concepto de jardín de infancia, llamado "el pedagogo del Romanticismo", se encargó de introducirlo en las escuelas con objetivo de enseñar las figuras geométricas. En el artículo "Origami e inteligencia" (29-11-2010) de la web "COSAS DE LA INFANCIA", se relacionan de manera exhaustiva los beneficios para los niños que reporta esta actividad, entre los que destacan:
  • Incentiva la imaginación y fomenta la expresión artística.
  • Fortalece la autoestima.
  • Desarrolla la destreza manual.
  • Beneficia la atención.
  • Exige paciencia y constancia.
  • Requiere de memoria e imaginación.
  • Acelera el proceso de maduración del cerebro.
  • Brinda tranquilidad y calma.
  • Proporciona placer y satisfacción.

Algunas figuras ilustres que fueron  fanáticos del origami: el poeta británico Percy Shelley (1972-1822); Lewis Carroll (Inglaterra, 1832-1898), autor de "Alicia en el país de las maravillas"; El pedagogo alemán Frederich Fröebel (1782-1852), creador del "jardín de infancia"; los escritores y filósofos españoles Miguel de Unamuno (1864-1936) y José Ortega y Gasset (1883- 1955), etc...

08 noviembre, 2011

El lenguaje matemático de la belleza.

Ahora más que nunca el mundo en que vivimos se levanta sobre los números, algunos de los cuales tienen incluso nombre propio: el número pi (p), el número e... De todo el conjunto de números notables hay uno especialmente interesante: 1,6180339887...Resulta curioso saber que esta modesta cifra ha fascinado a lo largo de la historia a muchas más mentes brillantes que pi y e. Durante siglos ha recibido denominaciones de lo más llamativas: número de oro, proporción trascendental, número divino, divina proporción, etc. El número de oro, que se representa con la letra griega F (phi), habita un territorio de relaciones y propiedades numéricas increíbles, pero también de conexiones insospechadas entre la naturaleza y las creaciones humanas.

¿Qué tienen en común fenómenos naturales tan dispares como la disposicion de las semillas de una flor de girasol, la elegante espiral dibujada por las conchas de algunos moluscos y los brazos de la galaxia que nos acoge, la Vía Láctea? ¿Qué pauta geométrica de insuperable armonía se esconde en la obra de grandes artistas y arquitectos, desde Vitruvio a Le Corbusier pasando por Leonardo y Salvador Dalí? Aunque pareza increíble, la respuesta a estos dos interrogantes es un simple número; una cifra de apariencia humilde, conocidad desde la Antigüedad, cuya continua aparición en toda clase de manifestaciones naturales y artísticas le ha merecido apelativos tales como "divina proporción", "número de oro" o "proporción áurea".

La historia de las matemáticas es a veces sorprendente, y desde luego, siempre inesperada. El viejo numero áureo, tan geométrico, emparentó siglos después con unas fracciones que surgieron de una sucesión puramente aritmética. El artífice del matrimonio fue el más destacado matemático de la Edad Media, Leonardo Pisano (Pisa, 1170), más conocido como Fibonacci.
(La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza. Fernando Corbalán_2010.)



Fibonacci escribió obras de teoría de números, geometría y álgebra. Su obra más conocida, "Liber abaci" (Libro del ábaco), trata sobre el cálculo. A pesar se su título ambiguo, en ella trata de demostrar las ventajas de la utilización de la numeración decimal basada en las cifras arábigas sobre el modo de cálculo imperante en la Italia de su tiempo, basado en el ábaco y los números romanos. En "Liber abaci" , Fibonacci propone el famos problema de los conejos, cuya solución es la famosa sucesión aritmética ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) que hoy se conoce como sucesión de Fibonacci.
Problema de los conejos: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada vez otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?

Como se puede observar, un término de la serie de Fibonnaci se obtiene como suma de los dos términos precedentes. Una aproximación al número de oro se obtiene como relación o cociente entre un término de la sucesión y su predecesor en la misma. 21/13 será una aproximación mejor que 8/5...

Este magnífico vídeo de Cristóbal Vila toma como referencia la famosa sucesión de Fibonacci y, a partir de ella, nos adentra de manera magistral en una recreación de aspectos de la naturaleza que nos produce "esa extraña sensación llamada belleza" ligada, en este caso, al lenguaje matemático. No necesita ser comentado. En él se demuestra que una imagen vale más que mil palabras.

 


En este otro "regalo para nuestro ojos y nuestro espíritu", de Cristóbal Vila, nos sobrecoge la sensación de misterio, armonía, belleza y perfección que provoca la simetría dinámica de las formas geométricas.

La belleza geométrica en caleidoscopios.



Aspectos estéticos y místicos de la geometría.



Las matemáticas son la ciencia de las pautas y las relaciones. Como disciplina teórica, exploran las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si éstas tienen homólogos en el mundo real. Las abstracciones pueden ser cualquier cosa, desde secuencias de números ( como la de Fibonacci) hasta figuras geométricas ( rectángulo çaureo, espiral áurea, etc...)... Parte del sentido de belleza que muchas personas han percibido en esta ciencia no radica en hallar la más grande perfección o complejidad, sino al contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representación y la comprobación. A medida que las matemáticas avanzan, se han encontrado más y más relaciones entre partes que se habían desarrollado por separado, por ejemplo, entre las representaciones simbólicas del álgebra y las representaciones espaciales de la geometría. Estas interconexiones hacen posible que surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diversas partes de la disciplina; juntas, fortalecen la creencia en la exactitud y unidad esencial de toda la estructura.
 La naturaleza de las matemáticas. Pautas y relaciones. American Association for the Advancement of Science

Aunque los/as alumnos/as de Primaria no entiendan bien las relaciones numéricas o geométricas que se ocultan en determinadas estructuras naturales o artificiales, conviene ponerlos en contacto (el vídeo y los modelos dinámicos son recursos muy adecuados para ello) con este aspecto de las matemáticas como "campo de estética" favoreciendo que asocien que una misma realidad se puede traducir o expresar de diferentes maneras haciendo uso de diferentes lenguajes ( numérico, geométrico,...), o que determinadas pautas o relaciones numéricas están presentes en fenómenos aparentemente muy diferentes...

Artículo relacionado con esta entrada: Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas.

16 octubre, 2011

Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas

Un recurso barato y de enorme interés didáctico para trabajar aspectos geométricos a lo largo de toda la Etapa Primaria lo constituyen las tramas (o mallas) de puntos ( la trama ortométrica y la isométrica, fundamentalmente). A efectos prácticos pueden ser considerados geoplanos dibujados. Podemos fotocopiarlas y obtener tantas copias como se desee de las mismas. Permiten abordar numerosas cuestiones de geometría dibujada (el dibujo es el procedimiento específico de la geometría).

El interés didáctico de los geoplanos ( sean dibujados, analógicos o digitales) reside en que son modelos finitos del plano, con una geometría finita: un número finito de puntos (puntos de la trama o vértices de la malla), de longitudes de segmentos, de valores angulares y polígonos...


Permiten la obtención de colecciones de polígonos que pueden clasificarse atendiendo a diferentes variables o atributos geométricos (número de lados, simetría, paralelismo de los lados, concavidad/convexidad, área, perímetros, fraccionamiento en partes congruentes, etc...); el diseño de mosaicos; la obtención de familias de figuras (poliminós, polideltas,...) a partir de un número fijado de elementos unitarios; la realización de tangramas diversos; la utilización de polígonos generados como modelos para la obtención de otros polígonos más complejos; descubrimiento de patrones y regularidades geométricas - y numéricas-, etc...


Las posibilidades son enormes...
Las correspondientes aplicaciones digitales se pueden dotar de interactividad y de otras características que le dan un atractivo y valor añadidos: posibilidad de borrado (que invita al método de ensayo-error), de elección de color (goce visual y estético), de correccción de retos propuestos ( retroalimentación, regulación del aprendizaje...), etc..

Si aún no has experimentado con materiales de este tipo puedes hacerlo con las siguientes aplicaciones.