¡Bienvenido 2013!

¿Qué nos deparará este nuevo año?

Muchas incertidumbres y malos presagios se ciernen sobre numerosas parcelas de la actividad humana global (economía, trabajo, medio ambiente, alimentación, sanidad, energías,...) en esta persistente crisis sistémica.

Por otro lado, "...más de 100 sociedades científicas, universidades, institutos de investigación y organizaciones de todo el mundo se han unido para dedicar el año 2013 como un año especial para las matemáticas del Planeta Tierra.

Los desafíos que enfrenta nuestro planeta y nuestra civilización son multidisciplinarios y multifacéticos, y las ciencias matemáticas juegan un papel central en el esfuerzo científico para comprender y hacer frente a estos desafíos."

(From aperez4.blogspot.com.es - December 17, 2012 11:40 PM)

Yo, por mi parte, a modo de juego, voy a tratar aquí de un aspecto cierto y poco comprometido del año 2013: su análisis desde el punto de vista de la divisibilidad manejando conocimientos que sería deseable que los/as alumnos/as dominasen al final de la Educación Primaria.

Salta a la vista que 2013 no es un número primo, pues es múltiplo de 3 (la suma de sus cifras es 6 - un múltiplo de 3-). Por otra parte se cumple que la diferencia entre la suma de sus cifras pares y la suma de sus cifras impares es 0. Por lo tanto, 2013 es múltiplo de 11 (un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11).

Como 2013 es múltiplo de 3 ( o divisible entre 3), se podrá expresar como suma ( o diferencia) de múltiplos de 3. Así, por ejemplo:

2013 = 2100 - 87

2013 = 1800 + 180 + 33, etc...

Por lo tanto, sabido de antemano que uno de los factores primos de su descomposición factorial es el 3, podremos calcular otro factor así:

2013 : 3 = (2100 - 87) : 3 = 2100:3 - 87:3 = 700 - 29 = 671

2013 : 3 = (1800 + 180 + 33) : 3 = 600 + 60 + 11 = 671, etc...

Tenemos, pues, que 2013 = 3 x 671. Lógicamente, el factor 11 presente en el número inicial no ha desaparecido, sino que está presente en la descomposición del número 671 (671 = 11 x ¿?).

Teniendo en cuenta que 11 x 60 = 660, es fácil averiguar que 671 = 11 x 61. Llegamos, así, a la descomposición factorial del número correspondiente al recién estrenado año:

La siguiente aplicación nos muestra, en un instante, todos los números primos comprendidos entre 1 y cualquier número menor que 40.000. También permite obtener, en un instante, la descomposición  factorial de números menores que 1000.000.000 evaluando, a la par, si el número estudiado es, o no, primo:

(Ver a pantalla completa)

Dividir una tarta en partes iguales. Reflexiones sobre divisibilidad en Primaria.

¿Cómo dividir una tarta rectangular en 5 partes aproximadamente iguales y sin medir? Son numerosos los alumnos que comienzan 3º ciclo de Educación Primaria (de 10 años, aproximadamente) y no utilizan una estrategia eficaz para resolver este problema. Por lo general comienzan estimando una fracción rectangular que sea 1/5 del total y luego la repiten 5 veces. La estimación no suele ser buena: las partes son sensiblemente diferentes en tamaño, les sobra o les falta tarta, etc,…

Son una minoría los que utilizan alguna estrategia más eficaz, como considerar que el primer corte debe dividir la tarta en dos trozos diferentes (A y B, A>B) para luego dividir A en tres trozos aproximadamente iguales y B en dos trozos. Aunque varíe el tamaño de los trozos, según la mejor o peor estimación de cada niño/a, con esta estrategia se obtienen mejores resultados y, sobre todo, se aseguran de que no falte ni sobre tarta.

Esta dificultad es totalmente lógica pues se trata de dividir en partes iguales uno de los lados de la tarta (que es una magnitud continua) e involucra intuiciones espaciales, estimación dependiente de la experiencia y conocimiento de hechos y modelos numéricos. Incluso depende de la forma concreta en que se simula el problema (trazado, plegado, cortes...). Si la tarta es circular es problema resulta aún más complejo.

Si les planteamos el problema de manera inductiva (dividir la tarta en 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …) partes iguales, podremos comprobar que el fraccionamiento de la tarta en un número primo de partes ( 3, 5, 7,…) , a excepción del 2, es más difícil que en los casos en que el número de partes es compuesto. De igual manera,  los números impares se presentan como más dificultosos que los pares (en este caso una estrategia siempre válida es comenzar dividiendo por la mitad). La estrategia de la “mitad de”, de manera reiterada, les resulta fácil para fraccionar la tarta de manera eficaz en un número de partes que sea potencia de dos (2, 4, 8, 16, 32, …). Si el problema se resuelve mediante dobleces en un rectángulo de papel (tarta), los/as alumnos/as encuentran más estrategias de resolución que si lo resuelven mediante trazado de líneas (cortes) sobre un rectángulo (tarta). De cualquier manera, no obstante, la división de un rectángulo en partes iguales no les resulta fácil.