20 julio, 2021

Resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal. ¿Preparando a los/as alumnos/a para su presente y futuro o para nuestro pasado?

Andreas Schleicher, director del área educativa de la OCDE, y creador del informe PISA afirma, en una entrevista de EL PAIS, que 


La educación en España prepara a los alumnos para un mundo que ya no existe”, que “El actual currículo en España tiene, digamos, un kilómetro de amplitud y un centímetro de espesor, y creo que no es bueno para los estudiantes. El futuro para España debería pasar por enseñar menos cosas, pero de forma más profunda, generando más compresión

Tienes al sistema educativo preparando para un mundo que ya no existe y no haciéndolo para el mundo que estamos viendo emerger. Es duro para los padres aceptar que el mundo de nuestros hijos es diferente a la imagen que tenemos del nuestro. Pero en eso consiste la educación. En preparar a los estudiantes para su futuro, no para nuestro pasado”.


Para ilustrar un detalle sobre este “desfase” entre el sistema educativo y las características del mundo actual, quiero aportar aquí una reflexión relacionada con la enseñanza-aprendizaje de la Matemática básica y, más en concreto, con algo esencial y troncal en la misma, la resolución de problemas. Acotando aún más la reflexión, sólo voy a tratar de los problemas aritméticos de enunciado verbal en Educación Primaria.

Soy consciente de que algunas de las siguientes afirmaciones pueden resultar un tanto chocantes, extrañas o revolucionarias para un buen porcentaje de docentes:

1.- Pocos docentes dudamos de la especial relevancia que la resolución de problemas tiene en el currículo de Primaria, sobre todo para promover y potenciar en los alumnos la argumentación, la capacidad de razonamiento lógico ...y para enseñarles a pensar y expresarse de una forma estructurada, sistemática y flexible.

2.- Todo problema aritmético de enunciado verbal tiene, fundamentalmente, una estructura de relaciones semánticas entre las magnitudes implicadas que, tras una correcta lectura, comprensión y argumentación, puede expresarse al margen de las cantidades concretas (datos numéricos) de éstas. De hecho, un alumno entiende un problema aritmético cuando es capaz de explicarlo sin números (que en principio son distractores para la comprensión) y sabe cómo resolverlo cuando es capaz de expresar el proceso de resolución sin utilizar número alguno.

Para mí es obvio que en la resolución de problemas aritméticos, y considerando preparar a los estudiantes para su futuro y no para nuestro pasado, el énfasis ha de ponerse en la expresión prealgebraica y/o algebraica de la solución más que en los cálculos y en la comprobación de éstos. La expresión a la que me refiero es la que modeliza correctamente un problema, la que da cuerpo y estructura a la argumentación que conlleva a la resolución del problema. Incluso podría valer como solución del problema. Ello implica necesariamente expresar una ecuación, por sencilla que ésta sea, bien en forma prealgebraica o en forma algebraica.

“Mi abuelo tenía ayer [ ] patos y [ ] gallinas. Hoy han nacido [ ] patos . ¿Cuántos patos tiene ahora mi abuelo?”

Para resolver este problema elemental es ineludible establecer, de manera verbalizada o subvervalizada (pensada), esta igualdad (que es una ecuación expresada prealgebraicamente):

¿Nº DE PATOS QUE TIENE MI ABUELO AHORA?= Nº DE PATOS QUE TENÍA MI ABUELO AYER + Nº DE PATOS QUE HAN NACIDO HOY. O su equivalente:

¿Nº DE PATOS QUE TIENE MI ABUELO AHORA?= Nº DE PATOS QUE HAN NACIDO HOY+ Nº DE PATOS QUE TENÍA MI ABUELO AYER;

Esta expresión de la estructura del problema implica identificar la magnitud incógnita (cantidad desconocida, magnitud implícita) así como las magnitudes explícitas necesarias y relacionarlas con el signo igual y el signo de una operación (en los problemas elementales de nivel 1)

Sólo cuando esta ecuación prealgebraica se ha establecido, de cualquier manera, quedan de manifiesto las magnitudes implicadas y la estructura aditiva que las relaciona. Ahora el problema se ha comprendido y se ha modelizado (se ha expresado el proceso de resolución). ES LA ESTRUCTURA GENERAL DEL PROBLEMA LA QUE “LLAMA” A LOS NÚMEROS (que son datos numéricos particulares) Y A LA/S OPERACIÓN/ES (suma en este caso) para obtener una solución numérica particular, para implementar un caso particular...

NO ES LA FORMA CONCRETA DE REALIZAR LA SUMA (los cálculos) la que nos lleva a la comprensión del problema, ni a determinar la estructura del problema (o proceso de resolución).

Esta es la fase verdaderamente creativa en la resolución de un problema aritmético. Esto es más obvio, aún, cuando nos referimos a problemas aritméticos de varias operaciones. Llegar a esta ecuación es más importante que cualquier aspecto relacionado con la realización de los cálculos, o con la comprobación de los mismos, en un sociedad donde casi todo se programa con algoritmos computacionales, en la que cualquier gadget tecnológico procesa, como salida, los cálculos implícitos en el algoritmo que se facilita como entrada. Los números concretos que intervienen (cantidades de las magnitudes implicadas) y los cálculos necesarios para dar un resultado numérico están en un segundo plano en la RP.

Método de RP_aritméticos. Proyecto MATE.TIC.TAC


3- La gran mayoría de propuestas, documentos, imágenes, etc.. relacionados con la RP_Aritméticos no van en esta línea e inciden poco o nada en este aspecto esencial. Reflejan una larga tradición escolar, por lo que miran a nuestro pasado y no al mundo actual y futuro. Los/as alumnos/as, a lo sumo, dejan constancia de los datos, de la pregunta, de los cálculos realizados (con frecuencia de forma desordenada)... pero prácticamente nunca de la argumentación realizada, de la estructura de relaciones semánticas del problema... Si perseguimos enseñar a nuestros/as alumnos/as a pensar y expresarse de una forma estructurada, sistemática y flexible, no podemos eludir la identificación de las estructuras básicas (problemas de nivel 1) y las variantes de éstas (problemas de varias operaciones)

Independientemente de otros heurísticos que puedan utilizarse en la RP_Aritméticos, la argumentación siempre será ineludible en cualquier proceso de resolución no rutinario. Esta capacidad de la que todos disponemos en mayor o menor grado, que tiene como base la íntima relación entre el lenguaje y el razonamiento lógico, debe ser promovida y potenciada en la escuela. Es la herramienta que siempre tendremos “ a mano” para sintetizar en forma prealgebraica más o menos personal y/o en forma algebraica correcta, -según el nivel de nuestros/as alumnos/as y de la dificultad del problema en cuestión- el plan de solución del mismo, de manera ordenada y estructurada.

4.- Consecuencia directa de esa visión -que mira más al pasado que al futuro- es que las operaciones combinadas se presentan casi siempre y mayoritariamente como cálculos descontextualizados útiles para poner de manifiesto las propiedades de las operaciones; como un juego de reglas (jerarquía de operaciones) que deben seguirse paso a paso para reducirlas a un número, como si no tuvieran relación con la resolución de problemas aritméticos. Dicho de otra manera, las operaciones combinadas siguen estando supeditadas a un enfoque calculatorio cuando, por el contrario, surgen con toda naturalidad y cobran todo su sentido y relevancia dentro de la resolución de problemas como instrumento idóneo para la modelización de los mismos. Este contexto de RP. ayuda enormemente a la comprensión de la jerarquía de las operaciones y al correcto uso de paréntesis (que puede ser más personal de lo que imaginamos).

5.- Algunos expertos sostienen (y creen que ello supone una revolución) que la forma de calcular ayuda a la comprensión y resolución del problema. Esto sencillamente no es ni lógico ni cierto. Comprensión, modelización y disposición-realización de cálculos son fases diferentes en la RP y de diferente naturaleza cognitiva. Otra cosa distinta es que la forma de disponer ,expresar y realizar los cálculos favorezca en mayor o menor medida la reinterpretación del problema , sobre todo en los problemas aritméticos más elementales, los de nivel 1 (una sola operación)

La forma de expresar y realizar los cálculos viene facilitada y condicionada esencialmente por las propiedades de las operaciones. Así la suma y resta se pueden realizar por partes basándonos en la descomposición aditiva de números. Operar con números es más significativo que operar con dígitos. Los algoritmos tradicionales de las operaciones básicas operan con cifras o dígitos. Son convergentes (iguales para todos), los más eficientes, los de toda la vida; y son los más reducidos (los que menos espacio ocupan) pero, evidentemente no son los que más significado ni flexibilidad aportan. Gracias al poder de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y resta (junto con la descomposición aditiva) , la realización de una multiplicación puede ser un procedimiento muy flexible (y por tanto adaptarse mejor a estilos individuales). El resultado de un cálculo es único (convergente) pero el procedimiento seguido puede ser bastante divergente. Una misma multiplicación se puede hacer de muchísimas maneras diferentes , siendo unas más fáciles de realizar que otras. En la división se puede distribuir el dividendo con respecto a la suma y resta [900:5=(500+500-100):5], no ocurre lo mismo con el divisor, y podemos realizar un reparto por partes de manera flexible, descomponiendo el dividendo en múltiplos del divisor (a lo sumo nos quedara un único número no múltiplo del divisor), por ejemplo, y realizando repartos parciales más sencillos.

6.- Es obvio que el cálculo que debe realizarse en la escuela debe perseguir, como el resto de la Matemática, desarrollar la argumentación y, por tanto, debe ser mayoritariamente inferencial, estratégico, pensado, argumentado. Si no, mejor utilizar, siempre que se pueda, la calculadora. Pero aún así, por mucha tradición que exista, por mucha inercia, por mucho que nos cueste aceptarlo, no es YA lo esencial en la resolución de problemas, ni siquiera en la resolución de problemas aritméticos.

7.- El enfoque calculatorio tradicional reduce a cálculo la mayor parte del currículo de matemáticas en Primaria. Y es que el enfoque calculatorio es una consecuencia casi natural de la forma más habitual de presentar la matemática, impresa y estática, a través de libros de texto, cuadernillos y fichas... Desde hace más de 20 años recursos digitales para la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas nos permiten no sólo corregir de manera rápida ejercicios rutinarios sino, y sobre todo, acceder a una matemática dinámica, interactiva, mucho más experiencial y ligada al desarrollo de competencias científicas y tecnológicas, con modelos dinámicos e interactivos que ilustran y profundizan, con más eficacia para la enseñanza y el aprendizaje, en la gran variedad de métodos y procedimientos presentes en cada uno de los bloques del currículo de Matemáticas.

19 julio, 2021

Aprovechamiento de problemas con errores o incoherencias.

Un problema que presenta errores o incoherencias, como el que muestra la figura que sigue, puede ser aprovechado y propuesto con la intención de resolver una situación aún más interesante que la propuesta inicialmente, para favorecer en nuestros/as alumnos/as el conflicto cognitivo generador de análisis crítico y de búsqueda de argumentos, hipótesis, respuestas...

Problema con errores o incoherencias
Problema con errores o incoherencias