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19 agosto, 2014

DidácTICa de la suma y resta

No voy a hacer comentarios a esta ¿presentación interactiva? ¿libro interactivo?. Creo que es algo más que eso. De cualquier manera pueden juzgarlo los/as lectores/as. Agradeceré y publicaré cualquier comentario al respecto.


Esta macroaplicación, realizada en Flash, presenta fallos de compatibilidad al ser presentada actualmente mediante Ruffle. Dado que son tantas las aplicaciones diferentes que se enlazan en ella y dado que actualmente las mismas están perfectamente adaptadas, mejoradas e  integradas en otras aplicaciones dentro del proyecto MATE.TIC.TAC, he decidido que no merece la pena gastar esfuerzos en actualizarla. De cualquier manera, puede dar una buena idea de lo que publiqué en su momento.
                                                    (Juan García Moreno, marzo-2022)

Para compensar esto, ofrezco a continuación otra macroaplicación sobre  LA RESTA "QUITANDO" Y "COMPLETANDO".

01 mayo, 2014

Taller de Resolución de Problemas Aritméticos Escolares (PAEV y PANV) para PDI

Los centros educativos son algo dinámico, vivo, cambiante. En mi centro, en concreto, viene cambiando de un curso para otro aproximadamente un tercio del profesorado. De hecho, hemos visto necesaria en este curso escolar la revisión de las líneas metodológicas en matemáticas y, más en concreto, la necesidad de unificar criterios y materiales didácticos en relación con la resolución de problemas (que ya se había manifestado en la memoria final del curso pasado).

Movido por esta necesidad y como consecuencia de las acciones planificadas para lograr mayor coordinación, he organizado de manera interactiva, y siguiendo mis propios criterios, un buen número de aplicaciones que se ofrecen en este blog ( mejorándolas y añadiendo otras nuevas) y que inciden sobre la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS ESCOLARES. El resultado es un taller bastante amplio y rico que se instalará en todos los ordenadores del centro para poder ser utilizado offline.

Este taller es coherente con las líneas metodológicas para el ÁREA DE MATEMÁTICAS consensuadas en nuestro PLAN DE CENTRO, a la vez que las ejemplifica, materializa y concreta en forma de actividades interactivas para la Etapa Primaria (en lo que a RP aritméticos se refiere). Las 32 aplicaciones TIC que lo configuran abordan de manera NO RUTINARIA e INNOVADORA la resolución de problemas aritméticos  proporcionando una experiencia amplia, rica, atractiva y curricularmente relevante de lo que es 'resolver problemas' haciendo uso de los ordenadores del centro y de las PDIs.





(Taller presentado por primera vez en público en el CEIP. Serafina Andrades, de Chiclana de la Frontera (Cádiz) // Mayo-2014)

(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)

No son simples baterías de problemas al uso propuestas a los/as alumnos/as para constatar si saben, o no, resolver determinados problemas. Se han diseñado con un sólida fundamentación didáctica pensando tanto en los docentes como en los/as alumnos/as, para incidir en los procesos claves de la enseñanza-aprendizaje de la RP, proporcionando a los/as alumnos/as el andamiaje necesario para la realización de los retos propuestos.

La riqueza y diversidad de METAMODELOS y MODELOS  procedimentales inciden de manera especial en el análisis/síntesis de la información, el establecimiento de relaciones entre las partes y el todo, la explicitación de la ESTRUCTURA del problema tanto a NIVEL LINGÜÍSTICO (prealgebraico) como a NIVEL ALGEBRAICO (operaciones combinadas), el reconocimiento de situciones problemáticas CONVERGENTES Y DIVERGENTES, el desarrollo del SIGNIFICADO OPERACIONAL, ... 

Este Taller pone de manifiesto que más que la búsqueda de un procedimiento o método que sirva para la resolución de cualquier problema aritmético se persigue y apuesta por la riqueza de procedimientos en la RP. En este sentido, se ha tenido en cuenta la teoría expuesta por José A. Fernández Bravo en METAMODELOS Y MODELOS DE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS sobre metamodelos procedimentales en problemas verbalizados con enunciado y pregunta, sobre todo modelos de ESTRUCTURACIÓN Y GENERATIVOS. No obstante, también se tratan problemas no verbales (sin enunciado) y mixtos (con enunciado incompleto o desectructurado)...

Por otra parte, se enriquece la teoría de Fernández Bravo con la incorporación de novedosos metamodelos TIC y la interactividad que permiten ('simulación', 'modelización', 'análisis y síntesis mediante cartulinas multiproblema', 'resolución asistida', etc...). 

Se ha pretendido en todo momento que los problemas o retos propuestos resulten atractivos para los/as alumnos/as. Por lo general se presentan contextualizados con escenas gráficas en las que intervienen niños y niñas en situaciones más o menos cotidianas.

No existe en la red ( o en la nube si se prefiere) algo similar.


Aunque las aplicaciones son muy artesanales, están bastante experimentadas y  muy bien cuidadas en sus aspectos esenciales (interactividad, estadísticas, información al profesorado del interés didáctico,...), la propuesta - como todo lo que ofrezco en mi blog- es susceptible de mejora, ampliación y cambios. Todas las aplicaciones incluidas en este taller (algunas de ellas son, a su vez, macroaplicaciones) están perfectamente adaptadas para su uso con PDI.





07 diciembre, 2013

Potencias y raíces.



Os ofrezco esta nueva aplicación sobre un contenido que aún no había desarrollado convenientemente.


Está dirigida a alumnos y alumnas del tercer ciclo de la Educación Primaria. También puede venir bien para la atención a la diversidad en ESO.

Fiel a mi estilo, he procurado integrar en ella actividades curriculares relevantes y no rutinarias, que son justamente las que yo realizo con mis alumnos.

Este contenido suele tratarse tradicionalmente con una aridez que causa tedio. En parte, ello se debe a la escasez de situaciones problemáticas propias de Primaria que requieren el  uso de potencias (y mucho menos, el uso de raíces).

Al margen de interesantes situaciones constructivo-experimentales que sirven para entender y visualizar conceptos como 'elevar al cuadrado' (serie de los CUADRADOS PERFECTOS) y 'elevar al cubo' (serie de los CUBOS PERFECTOS), o para percibir la 'potencia' de las potencias - como en la leyenda del tablero de ajedrez y los granos de trigo- no existen problemas propiamente de potencias y raíces. Todos los que se proponen en los libros de texto de Primaria son reducibles a hallar el lado de un cuadrado conocida su área, o viceversa.

Es importante tener en cuenta que la didáctica actual de las matemáticas se opone a la enseñanza/aprendizaje del algoritmo tradicional de la raíz cuadrada, por razones obvias. En su lugar, como se hace en esta aplicación, se propone utilizar los significados gráfico y numérico del concepto 'raíz cuadrada' para realizar procedimientos más comprensivos que permitan determinar el valor aproximado de la raíz de un número...

El procedimiento numérico que aquí se propone se apoya en el uso de la calculadora. Requiere saber multiplicar un número (natural o decimal) por sí mismo y comparar el resultado obtenido con otro número (N) cuya raíz se quiere calcular. Es un proceso basado en la estimación en el que se va obteniendo una sucesión de números que se aproximan - por exceso o por defecto- a N, es decir, una sucesión que converge en N (límite de la sucesión). Por este procedimiento el alumnado interioriza que puede aproximarse a N con tanta precisión como desee...

El procedimiento gráfico-numérico de aproximación a la raíz cuadrada de un número que aquí se ilustra es un proceso eminentemente constructivo. Para hallar la raíz cuadrada de un número natural N, tratamos de construir un cuadrado con N unidades cuadradas de área. Se apoya en la serie de los cuadrados perfectos y requiere, como conocimientos previos, el dominio de la equivalencia decimal de las fracciones básicas. Cuando se comprende, permite acotar superior e inferiormente el valor de la raíz cuadrada de N de manera sencilla y en pocos pasos.

Son precisamente estos procedimientos aproximativos los que involucran actividad matemática relevante, y no el hecho de obtener un valor muy preciso de la raíz de un número. Esto último está al alcance de una calculadora, una máquina que no piensa ni razona...

Se aprovechan las potencias de 10 para favorecer la comprensión del número en relación con nuestro sistema de numeración decimal (a través de su descomposición polinómica usando potencias de 10). Más novedosa e interesante es la conexión que aquí se propone entre las potencias y la composición/descomposición multiplicativa de números a partir de factores primos. Se trata de una situación lúdica que conecta con contenidos de 'divisibilidad', que permite desarrollar un dominio efectivo del cálculo con potencias y que favorece el descubrimiento de las propiedades fundamentales de las mismas (que serán estudiadas formalmente en ESO)

27 mayo, 2013

Kit internivelar para la enseñanza-aprendizaje de fracciones, decimales y porcentajes

Kit Internivelar para la enseñanza aprendizaje de fracciones decimales y porcentajes
kit_Internivelar_Fracciones_Decimales_Porcentajes





Tal y como anuncié en el post  “Fracción de un número y estimación de fracciones sobre la recta numérica” (19 de marzo), he estado preparando una macroaplicación sobre fracciones que al final ha tomado la forma de este “KIT INTERNIVELAR PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE FRACCIONES, DECIMALES Y PORCENTAJES”. Este trabajo, que me ha ocupado más tiempo del que yo pensaba, ha sido el responsable del bajo número de nuevos post publicados en este blog desde esa fecha. Todo ello a pesar de que se nutre de algunas aplicaciones preexistentes que han sido revisadas, adaptadas y mejoradas ( como es el caso de la resolución de problemas con fracciones asistida por ordenador). Además se han añadido otras nuevas para hacerlo más completo y útil a su propósito. Aún así se encuentra en “fase beta” ya que sus apartados son susceptibles de ampliación…


A pesar de ello, como puede comprobar el/la lector/a, es profuso en modelos interactivos que se ponen tanto al servicio del profesorado (para apoyar sus explicaciones) como del lado del alumnado (para facilitar la comprensión de conceptos y procedimientos; para ayudar a establecer  relaciones; como base de argumentaciones, etc.) y, a mi juicio ilustra que sigue cabiendo cierta innovación metodológica en un tópico matemático tan tratado como éste y sobre el que existe una gran cantidad de contenidos educativos multimedia excesivamente homogénea... 


 ¿Por qué un  kit como éste? Con frecuencia se observa en blogs de matemáticas que para este tópico (fracciones-decimales-porcentajes), también para otros, se ofrece un popurrí de imágenes-enlace a microaplicaciones de índole diferente (tanto desde el punto de vista de la autoría como, sobre todo, desde el punto de vista de su enfoque metodológico y de su interés y calidad didáctica) con contenidos que a veces se solapan y que favorecen una visión excesivamente rutinaria, fraccionada o incompleta de lo esencial en este tópico. Predominando, por otra parte, los enfoques que ponen el énfasis en lo mecánico que aquellos que apuestan por favorecer el aprendizaje por descubrimiento.


Por otra parte, contenidos esenciales de este tópico (equivalencia de fracciones, fracción de un número, nociones básicas de divisibilidad, cálculo de porcentajes, equivalencia fracción- número decimal-porcentaje) se basan en un pequeño número de conceptos y relaciones que empiezan a abordarse con cierta profundidad en 4º y 5º de Educación Primaria (y se siguen ampliando en cursos posteriores), siendo un correcto enfoque del mismo el tratamiento del campo conceptual de la multiplicación-división orientado hacia el desarrollo del razonamiento numérico proporcional (-que ya traté con profundidad en "velocidad, móviles y razonamiento matemático"- ya que el significado de relación o proporción de una fracción es fundamental), de estrategias de cálculo mental (ya que fracciones y porcentajes sencillos se utilizan con frecuencia en situaciones cotidianas y su manejo  competente involucra las principales estrategias que conforman el sentido numérico) así como de estrategias de representación y modelado gráfico de situaciones problemáticas (que facilitan enormemente la visualización, captación y expresión de relaciones así como el aprendizaje por descubrimiento).

"Largo es el camino de la enseñanza por medio de teorías, breve y eficaz por medio de ejemplos". 

                                                                           Lucio  Anneo  Séneca   

Como complemento a este recurso, me parece adecuado colocar aquí este estudio teórico práctico sobre fracciones-decimales-porcentajes:
  

20 abril, 2013

"Geofraccionador". Taller de fraccionamiento de figuras.


El nuevo recurso que brindo al público en esta entrada surge como evolución de otras aplicaciones centradas en el diseño de figuras sobre tramas de puntos virtuales e interactivas: "Copiar figuras", "Geoplanos", "Geoplano Inteligente", "Áreas de polígonos con vértices en una trama ortométrica", "Área de polígonos con vértices en una trama isométrica", "Pizarras geométricas", y otras...Todas ellas inciden de manera ideal, a mi juicio, en el desarrollo de la percepción espacial - tanto analítica como sintética-, que es a la geometría lo que la comprensión lectora es a la lectura.

Lo esencial en un geoplano virtual no es que represente con mayor o menor realismo los vértices o pivotes ni los "elásticos", a modo de un geoplano analógico. Como ya indiqué en  el post "Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas", el interés didáctico de los geoplanos ( sean dibujados, analógicos o digitales) reside en que son modelos finitos del plano, con una geometría finita: un número finito de puntos (puntos de la trama o vértices de la malla), de longitudes de segmentos, de valores angulares, de polígonos; un número finito de valores para el perímetro y el área de éstos,  etc...

Este nuevo recurso, que he bautizado con el nombre de "GEOFRACCIONADOR", está pensado para ser utilizado como "taller de fracciones" (aunque su interés es innegable para el estudio de áreas de figuras por composición/descomposición). Aunque me encantan los materiales didácticos analógicos, creo que no cabe duda del valor añadido que aportan los correspondientes materiales virtuales bien diseñados (ver "Material didáctico analógico vs material didáctico digital"). Así, "GEOFRACCIONADOR" añade nuevas dimensiones y posibilidades a las de materiales analógicos diseñados para la representación y estudio de fracciones, tales como los que aparecen en "eje" ("Espacio Jordi Esteve" página web de materiales manipulativos por la enseñanza de las Matemáticas. Un proyecto del grupo PuntMat: Ana Cerezo, Cecilia Calvo, David Barba y "mirones asociados"):


Espai Jordi Esteve


 Como "geoplano virtual" que es, permite la fácil obtención de polígonos pulsando sobre los vértices del mismo. Para adecuarlo especialmente al fraccionamiento, el polígono unidad (rectángulo, cuadrado o triángulo equilátero) se puede fraccionar en un número variable de partes iguales, variando a la par el número de puntos interactivos que se sitúan en los vértices de cada una de las partes. Además, se pueden trazar varias (hasta 12) figuras_fracciones del polígono unidad con diferente color, desplazables y semitransparentes,  para facilitar su comparación. Esta comparación se puede llevar a cabo por dos procedimientos esenciales: el adosamiento sin solapamiento (que equivale a la suma) y por superposición ( que sirve para ilustrar diferencias así como para captar relaciones de multiplicidad- multiplicación y división-).

La aplicación, además, en modo "manipulación libre", muestra las fracciones numéricas que se corresponden por el color con las fracciones figurativas. Se trata de un "geoplano virtual inteligente" en el sentido de que guarda alguna/s características de los polígonos trazados ( la fracción de la unidad que representan, el número de vértices, la longitud de los lados, etc...). De esta manera favorece el descubrimiento  y expresión de relaciones ( en modo manipulación libre) así como el proponer retos de determinación de polígonos que reúnan determinadas características y su comprobación.

Geofraccionador I

(Pulsar sobre la imagen para abrir la aplicación)



Como ya he indicado anteriormente, el gran potencial de esta aplicación se alcanza en modo "MANIPULACIÓN LIBRE" (tanto del lado de profesores/as como de alumnos/as) cuando se utilizan las características de diseño de la aplicación y el apoyo visual de las figuras para ilustrar, descubrir y expresar relaciones entre fracciones numéricas. 

A continuación se ofrecen algunas imágenes que sugieren el potencial didáctico de esta aplicación:



Ilustración gráfica del concepto "fracciones equivalentes".
Diferentes fracciones del rectángulo unidad. Correspondencia de color entre fracciones gráficas y numéricas.
Diferentes fracciones gráficas del triángulo equilátero unidad para el estudio de relaciones de reunión y multiplicidad entre ellas y expresión de las correspondientes relaciones numéricas implícitas.
Comparación gráfica y numérica de fracciones de una misma unidad. Suma (adosamiento sin solapamiento) y resta (superposición) de fracciones. Predecir el resultado numérico a partir del gráfico para demostrar la coherencia de las operaciones numéricas con fracciones.

Sencillas relaciones de multiplicidad entre fracciones de la misma unidad. Correspondencia gráfico-numérica.







29 octubre, 2012

Propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas. Ciclo Medio. Educación Primaria


Desde el centro de recursos para enseñar y aprender matemáticas del Departamento de Enseñanza de la Generalitat de Catalunya (cesire/creamat), se nos ofrece este documento que  recoge algunas propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas en el ciclo medio de la Educación Primaria.





Este documento, en lo referente a las operaciones básicas, se podría completar y matizar, con este otro de David Barba y Cecilia Calvo:




También es interesante contar con esta otra visión de las operaciones centrada en algoritmos Abiertos y Basados en Números (aunque no comparto algunas afirmaciones que se hacen en el documento tales como " ...algoritmos ABN = la senda para alcanzar competencia matemática" -porque excluye otras sendas más relevantes -; "Las viejas cuentas son la causa fundamental que impide que los alumnos sepan resolver problemas"- cuando todos sabemos el papel determinante , entre otros, del pensamiento,  la afectividad, la metacognición y las habilidades lingüísticas-  y, sobre todo, "El cálculo basado en algoritmos ABN aumenta notablemente la capacidad de resolución de problemas" - porque la realización de cálculos, incluso en los problemas típicamente aritméticos, es una de las fases finales del proceso y no precisamente la más relevante, a no ser que se considere como "problema" realizar un determinado cálculo .  Ver artículo anterior a éste en este mismo blog-) :





Comparto, en lo esencial, los enfoques y propuestas recogidos en estos documentos en lo relativo al tratamiento del bloque aritmético (a mi juicio los otros bloques no están suficientemente bien tratados en el primer documento) Pero, dado que no aluden a recursos educativos (impresos, manipulables físicos o virtuales, ...) que pudieran utilizarse  para este fin coherentemente con estos enfoques, me voy a permitir enriquecerlos  sugiriendo aplicaciones (contenidos educativos multimedia) que se ofrecen en este blog, para cada una de las propuestas realizadas. Me voy a limitar al apartado OPERACIONES con el fin de que este post no sea demasiado extenso.


04 marzo, 2012

Formatos interactivos para la práctica de un cálculo pensado, flexible y basado en números.


Aunque aún seamos claramente minoría, somos cada vez más los/as maestros/as que pretendemos que los contenidos propios de la aritmética escolar no se aborden de manera mecánica y rutinaria sino que sean soporte para hacer verdadera matemática; somos cada vez más los que priorizamos los significados y las estrategias, basadas en las propiedades de las operaciones, sobre la pura mecánica desprovista de significación; los que trabajamos con números y no con cifras; los que defendemos que los cálculos pueden realizarse de manera flexible; los que estamos convencidos de que los métodos de cálculo mental no deben ser en esencia diferentes de los métodos de cálculo escritos (ya que "se basan en los mismos principios, hechos y propiedades. Son los mismos métodos, es el uso mental o escrito que se hace de ellos lo que los denomina"- Bernardo Gómez Alfonso-),...

Dado que en nuestra sociedad, tecnológicamente avanzada, la mayor parte de los cálculos que realizan los ciudadanos son cálculos instrumentales (calculadoras, cajas registradoras, computadoras,...) es lógico y necesario que pierda énfasis en la escuela la realización de "cuentas", de cálculos escritos mecánicos y rígidos (eso lo hacen las máquinas) y que, paralelamente, se favorezca profundizar en el significado numérico y operacional; en el análisis de las situaciones numéricas basado en los hechos del sistema de numeración, en el significado y en la propiedades de las cuatro operaciones; en la disponibilidad de métodos de cálculo que enfaticen el cálculo pensado, flexible y basado en números...



01 enero, 2012

Feliz año bisiesto 2012


Aquí reproduzco, de manera aproximada, una de las últimas clases de matemáticas (diciembre de 2011) con mis alumnos/as de 6º de Primaria.

(La mayéutica socrática no está reñida con el uso e integración de las TICs en clase de Matemáticas)



Yo: -¿Sabéis qué tiene de especial el nuevo año que se avecina, el 2012?
C.B. (al instante): - Que es bisiesto.

Yo: -¿Y qué significa el adjetivo bisiesto?
C.B. (de nuevo, al instante. Se esperaba la pregunta): - Que tiene un día más que un año normal.
Yo: -¿Cuántos días tiene un año, A.C?
A.C. (pensándoselo un poco): - 365.
Yo ( dirigiéndome de nuevo a A.C., que se distrae con facilidad): -¿Y un año bisiesto?
A.C. :- Pues un día más, 366.
Yo: -¿Y en qué mes se coloca este día más?
Casi toda la clase: - ¡En febrero!
Yo: -¡Vale!¿Alguien sabe decirme una definición de año?
R.Y:- Pues 365 días, o doce meses...
Yo: -¿Entonces un año bisiesto no es exactamente un año? Me refiero a una definición científica de año...
J.J. ( después de un momento de silencio de la case):- El tiempo que tarda el Sol en dar una vuelta alrededor de la Tierra.
F.J. (corrogiéndolo al instante): - ¡La Tierra alrededor del Sol!
J.J. (dándose una palmada en la cabeza, por su fallo):- ¡Ah, sí! Pero, en realidad, la Tierra tarda en dar una vuelta al Sol 365 días y cuarto. Si ponemos 365 días para un año cometemos un error de 6 horas, que es un cuarto de día. En dos años cometemos un error de 12 horas y en cuatro años un error justo de un día. Por eso cada cuatro años se añade un día al mes de febrero - que es el que menos tiene-, para compensar.
Yo: - Muy bien explicado, J.J. De esa manera se evita que las fechas astronómicas y cronológicas dejen de coincidir. Si no, podría ocurrir que el mes de enero - que sólo tiene que ver con el calendario, con la medida humana del tiempo, coincidiese, por ejemplo, con el verano (que es una estación provocada por la situación de nuestro planeta con respecto al Sol).
C.G.:¡Qué guay!¡Iría a la playa en enero!




Yo (viendo que algunos extienden sus manos con los puños cerrados): - ¿Alguien sabe un procedimiento para recordar los días de cada uno de los meses del año?
P.P: - Sí, con los nudillos de las manos. (Y explica correctamente el procedimiento).
P.D.: - Maestro, los dos meses de vacaciones, julio y Agosto, son de los que más días tienen.
Yo : - Sí, es cierto. ¿Alguien sabría decir lo que es un año marciano?
I.R.: - El tiempo que tarda el planeta Marte en dar una vuelta alrededor del Sol.
Yo : - ¡Correcto!
C.G: - ¿Y cuántos días son?
Yo : - No lo recuerdo. Lo podemos averiguar en Internet. Pero sí os puedo decir que cuanto más alejado está un planeta del Sol, más tarda en dar una vuelta alrededor de él y, por lo tanto, su año durará más días de los nuestros, días terrestres. De la misma manera, los planetas como Mercurio y Venus, que están más cerca del Sol que la Tierra, tendrán años de menos de 365 días terrestres, tambien llamados soles. Se me ocurre que luego lo averigüemos en Internet y hagamos una tabla que recoja la duración del año de cada planeta de nuestro Sistema Solar. Pero, lo que yo quiero ahora es que nos fijemos en el número 2012, sólo en el número. ¿Qué podemos afirmar de él?
P.P.:- Que es par, que es de la table del 2, ...
F.J.:- Que es de la tabla del 4, porque hemos dicho que era bisiesto.
Yo : A ver, F.J., explica eso con más precisión.
F.J.:- Que si contamos de 4 en 4 llegaríamos a 2012 porque 2012 es de la serie del 4 o de la tabla de multiplicar del 4.
Yo :- ¿Quién sabe expresarlo de otra manera?
C.B: -Que 2012 es un múltiplo de 4.
Yo : - Bien. ¿Y utilizando la palabra "divisible"?
I.R.: -Que 2012 es divisible entre 4.
Yo : - Bien. ¿Y cómo podemos estar seguros?
S.V: - Pues dividiendo entre 4.
Yo : - ¿Y ya está?
P.P.:- Dividiendo entre 4. Si da división exacta sí es múltiplo de 4. Si no, no.
Yo : - Muy bien. ¿Cómo harías tú mentalmente la división, P.C?
P.C.: - 2000 entre 4 y 12 entre 4 y luego lo sumo.
Yo : - Vale, pero escríbelo en la pizarra indicando las operaciones que vas a realizar y utilizando correctamente el signo igual.
P.C. ( escrito en la pizarra): 2012 : 4 = (2000 + 12) : 4 = 2000 : 4 + 12 : 4 = 500 + 3 = 503.
Yo : - ¿Estáis de acuerdo?
Casi toda la clase: - ¡Sí!
Yo : - P.C. ha descompuesto el dividendo de la división, el número 2012, en dos múltiplos de 4. ¿Podría haberlo descompuesto en tres o más múltiplos de 4?
Varios alumnos: - ¡Sí!
P.P.:- ¡Yo, yo, maestro!¡Yo sé varias manera diferentes!.
Yo : -Pues sal a la pizarra y exprésalas correctamente.
P.P y otros (escrito en la pizarra):
  • 2012 : 4 =(1000 + 1000 + 12) : 4 = 1000 : 4 + 1000 : 4 + 12 : 4 = 250 + 250 + 3 = 503.
  • 2012 : 4 =(1600 + 400 + 12) : 4 = 1600 : 4 + 400 : 4 + 12 : 4 = 400 + 100 + 3 = 503.
  • 2012 : 4 =(2000 + 20 - 8) : 4 = 2000 : 4 + 20 : 4 - 8 : 4 = 500 + 5 - 2 = 503.
  • 2012 : 4 =(1000 + 1000 + 20 - 8) : 4 = 1000 : 4 + 1000 : 4 + 20 : 4 - 8 : 4 = 250 + 250 + 5 - 2 = 503.
  • etc.
Yo : - A ver quién me sorprende con alguna forma más sencilla de realizar la división...
F.J(escrito en la pizarra):
  • 2012 : 4 = 1006 : 2 = 503 : 1 = 503.
Yo : - Bien, veo que se entiende. Os planteo otra cuestión. Hay múltiplos de 4 que también son múltiplos de 8 como el 8, el 16, el 24, ...¿Es 2012 un múltiplo de 8?
M.V. (rápidamente): - No, porque no podemos hacerlo dos trozos que sean múltiplos de ocho.
C.B. - Ni dos, ni tres, ni cuatro porque  no da exacto.
Yo : - Exprésalo mejor, M.V., utilizando el verbo descomponer.
M.V. (rápidamente): - Porque no lo podemos descomponer en dos múltiplos de 8...
Yo : - ¿Cuál es el resultado, M.V., de dividir 2012 entre 8?
P.P y otros :-¡Ay, está "chupao"!
M.V. (rápidamente): - La mitad de 503 ...
P.P :- 251.5.

Yo : - Expresa, M.V., un procedimiento indicado para dividir 2012 entre 8.
M.V. (se dirige a la pizarra lentamente):
  • 2012 : 8 = (1600 + 400 + 8 + 4) : 8 = 1600 : 8 + 400 : 8 + 8 : 8 + 4 : 8 = 200 + 50 + 1 + 0.5 = 251.5
Yo : - ¿Sabes tú alguna otra manera, C.G?
C.G. (se dirige a la pizarra lentamente):
  • 2012 : 8 = 1006 : 4 = 503 : 2 = (500 + 3) : 2 = 500 : 2 + 3 : 2 = 250 + 1.5 = 251.5.
Yo : - Bien, volviendo al resultado de la división 2012 entre 4. ¿Que significado tiene 503?
I.R (rápidamente): - Que 2012 es 503 veces 4.
Yo : - Vale, pero ¿qué es 503?
C.B. (un poco dubitativa): - ¿Que desde que comenzó el mundo, bueno no, el tiempo, ha habido 503 años bisiestos?
Yo : - ¿Desde que comenzó el mundo? ¿Desde que comenzó el tiempo?
P.P. (exaltada): - ¡Desde Jesucristo, maestro!

Yo : - Bien, este es ya un asunto algo complicado y lleno de historia. Sería conveniente que lo investigáramos en Internet. Podemos buscar "calendario juliano" o "calendario gregoriano" en Wikipedia. Por ahora vamos a suponer que el comienzo del año uno coincide con el año de nacimiento de Jesucristo. Como bien ha dicho C.B., ha habido 503 años bisiestos desde entonces. ¿De acuerdo? ¿Qué hubiera ocurrido si no se hubieran contado estos 503 años bisiestos?
P.R. (después de un ratito de silencio): - Habría que restar 503 días...

Yo : - Sí, pero ¿al tiempo astronómico, el de los astros, o al tiempo cronológico, el de los calendarios?
P.R.: - ¡Al de los calendarios!
Yo : - ¡Atentos, que esto es alogo lioso! El tiempo astronómico no se puede cambiar. No podemos adelantar ni retrasar la posición de nuestro planeta dando vueltas alrededor del Sol sin parar... Si no hubiésemos contado esos 503 años como bisiestos, el calendario iría 503 días por delante de la fecha actual, es decir, 503 días por delante del tiempo astronómico. Seguiríamos estando en un día fresco de finales de otoño pero habría que sumar 503 días, más de un año, al calendario, bueno, a la fecha actual, para saber la fecha que correspondería al día de hoy...
P.R.: - ¡Ya lo he entendido!
J.J.: De 365 a 400 van 35 y de 400 a 503 van 103. Por lo tanto, habría que añadir un año completo y 138 días más a la fecha actual.
Yo : - ¡Perfecto, J.J!¿Sabrías continuar tu razonamiento?
J.J.: - Añadimos un año completo y estaríamos en el mismo día de hoy, 20 de diciembre, pero de 2012...
Yo  (interrumpiendo): - Seguiría siendo finales de otoño. Sólo faltarían dos días para que comenzara el invierno. ¡Sigue!
J.J.: - Ahora habría que añadir 138 días, que son 120 + 18, cuatro meses y medio más o menos.

Yo  (interrumpiendo): - Totalmente de acuerdo. Por tanto...¡Sigue, D.H!
D.H.(estaba distraído): - Que hay que añadir cuatro meses y medio....
Yo (adivinando que sólo repite un eco) : - No estás atendiendo lo suficiente, D. Si añadimos cuatro meses y medio a la fecha actual, ¿en que fecha del calendario nos quedaríamos, D.?
C.B. y otros/as (exaltados y con las manos en alto): - ¡Yo, yo, maestro!
D.H. (moviendo los labios, tras un tiempo y después de haber oído algo): - ¿A principios de Mayo?
Yo : - Correcto, veo que tienes buen oído, aunque no estoy seguro de que hayas entendido el razonamiento que estamos haciendo. Bueno, resumiendo... Si  hubiéramos contado como años corrientes, de 365 días, desde el año 1 al 2012, hoy el calendario no marcaría el día 20 de diciembre sino un día de la primera quincena de Mayo. Por último, imaginaros que en vez de 20 de diciembre de 2012 el calendario marcara ya el día 20 de diciembre de 4024, justo el doble... ¿qué estación del año sería si se hubieran contado como años corrientes los 4024 años?
C.B. - La misma, maestro, porque el tiempo astronómico no varía. Estaríamos a finales de otoño.
Yo : -No, C., date cuenta que he dicho que el calendario marca 20 de diciembre de 4024. Si se han contado todos los años de 365 días estaríamos adelantados al tiempo astronómico, en el que un año es 365,25 días, ¿no crees?.
C.B. - Sí, ya lo entiendo. Ahora en vez de restar a la fecha actual 503 días habría que quitar el doble, 1006 días...
Yo : -Muy bien, C. ¿Por qué?
P.P (adelantándose a la respuesta de C.B): - Porque si en 2012 años hay 503 bisiestos, en el doble de años habrá el doble de años bisiestos.
C.G.(interrumpiendo):- ¡Eso es ya el futuro, maestro!
Yo : -Correcto. ¿Quién sabe hacer el cálculo mental de una manera aproximada?
P.R.: Ahora en vez de restar 1 año y 138 días habría que restar 2 años y 276 días.
J.J.: Maestro, yo sé otra manera. Es mejor quitar 3 años completos y sumar.
Yo : -¿Y sumar qué?
J.J.: Los días que van desde 276 a 365.
Yo : - Que son...
J.J.: De 276 hasta 300 van 24, más 65 son 89 días, tres meses más o menos..
Yo : - Muy bien, por lo tanto, aunque seguiríamos estando a 20 de diciembre, astronómicamente hablando estaríamos en...
F.J. ( y otros): Si quitamos tres años completos, seguimos estando a finales de diciembre. Si luego sumamos tres meses estaríamos a finales de marzo y sería primavera...

Yo (yendo hacia la pizarra): - O estaríamos muy próximos a entrar en ella... Bueno, ahora voy a anotar en la pizarra algunas actividades de investigación que váis a hacer con la ayuda de vuestros ordenadores portátiles y de Internet, para luego comentarlas en clase:
  • 1.-  Busca en Internet la duración de cada uno de los años de los planetas de nuestro sistema solar, expresados en días terrrestres. Haz una tabla, en tu cuaderno, para presentar la información.
  • 2.- Busca en Wikipedia "calendario gregoriano". Lee la información detenidamente y anota en tu cuaderno sólo las ideas que entiendas y sepas explicar, preferentemente las ideas que más tengan que ver con las matemáticas.

14 diciembre, 2011

Razonamiento proporcional y multiplicación

Observemos la siguiente imagen:


¿De cuántas maneras diferentes podríamos averiguar el número de pelotas correspondiente a 9 cajas iguales?

Se nos ocurre que podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 8 cajas (96) y 1 caja (12), y sumarlos. También podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 6 cajas (72) y 3 cajas (36), y sumarlos. Otra forma de llegar al resultado correcto sería aprovechar los resultados correspondientes a 7 cajas (84 pelotas) y 2 cajas (24 pelotas) y sumar 84 más 24. Y muchas otras formas más...

¿Cómo habrían resuelto los antiguos egipcios esta situación?

Dado que los antiguos egipcios sólo sabían duplicar o doblar (multiplicar por 2), habrían realizado una tabla análoga a la de la izquierda y  aprovechado los resultados correspondientes a 8 cajas (96 pelotas) y 1 caja (12 pelotas) que, sumados, dan 108 pelotas.

De manera análoga, para calcular el número de pelotas correspondientes a 11 cajas iguales, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 2 y 1 cajas, sumando 96 + 24 + 12.

Para calcular el número de pelotas correspondientes a 14 cajas, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 4 y 2 cajas, sumando 96 + 48 + 24...



Como se puede apreciar, el método de multiplicación egipcio es muy productivo, en el sentido de que a partir de unos cuantos resultados sencillos, por combinación, se obtienen muchos otros resultados... Por otra parte, este método no es nada mecánico, se apoya en una estrategia fundamental del cálculo, la duplicación, en el razonamiento proporcional (a doble número de cajas corresponde doble número de pelotas) y podemos darle una interpretación perfectamente formal haciendo uso de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
Así, 14 x 12 = (8 + 4 + 2) x 12 = 8 x 12 + 4 x 12 + 2 x 12 = 96 + 48 + 24 = 132.

En definitiva, el método egipcio propone una multiplicación "por partes" haciendo uso de números - no cifras- y basada en la propiedad distributiva (una estrategia fundamental en la resolución de problemas consiste en dividir el problema dado en  partes más manejables).

¿Y si consideramos una adaptación del método egipcio al siglo XXI, haciendo una mejora de sus potencialidades?

Imaginemos que un/a niño/a domina los hechos numéricos que se reogen en la tabla de la izquierda. Es obvio que, a partir de ellos, podría obtener un buen número de nuevos resultados. Así, por ejemplo, podría calcular el número de pelotas que hay en 39 cajas iguales aprovechando los resultados correspondientes a 40 cajas y 1 caja realizando la resta 480 - 12 = 470 - 2 = 468.

Podría calcular el número de pelotas correspondientes a 78 cajas así: 480 + 360 + 120 - 24 = 500 + 340 + 100 - 4 = 940 - 4 = 936. Quizá resulte más fácil de esta otra manera: 480 + 480 - 24 = (500 - 20) + (500 - 20) - 24 = (1000 - 40) - 24 = 1000 - 64 = 936.

Estos últimos ejemplos ilustran una variación del método egipcio que pone mayor énfasis en los aspectos de proporcionalidad numérica inherentes al conocimiento y dominio del sistema numeración decimal (Si 10 x 62 = 620 ---> 20 x 62 = 1240...) y en el aprovechamiento de los "números redondos" (acabados en ceros). Nótese, además, que este método de multiplicación se basa en el cálculo pensado con números - no en un cálculo mecánico con cifras como el algoritmo tradicional de la multiplicación -; es flexible - permite llegar al mismo resultado utilizando estrategias y/o secuencias de cálculo diferentes-, más o menos largos según el grado de competencia en cálculo pensado con que cuente cada alumno/a (atención a la diversidad). Además, hace el cálculo más atractivo.

Podría argumentarse que la multiplicación 12 x 47, mediante el algoritmo tradicional, es más fácil puesto que sólo requiere conocer las tablas de multiplicar ( las del 1 y las del 2 para este caso concreto) y la mecánica del algoritmo... ¡Totalmente de acuerdo con este argumento! Pero...

...es que se trata de enseñar y aprender Matemáticas plenas de significados, de desarrollar competencias matemáticas...Si algo hay ineludible en esta área curricular es el razonamiento. Todo/a niño/a tiene cierto grado de razonamiento proporcional que hay que fomentar. Tanto la construcción de tablas de multiplicar -que son tablas de proporcionalidad- como el método utilizado para realizar multiplicaciones se deben basar en el desarrollo de este tipo de razonamiento, fundamental en la adquisición de competencias matemáticas en Primaria ya que prepara el camino a nociones matemáticas valiosas. Sería deseable que un/a alumno/a de tercer ciclo de Primaria supiera calcular mentalmente, por ejemplo, el 15% de 840 € utilizando el razonamiento proporcional más o menos así : El 15% de 840 = 10% de 840 + 5% de 840 = la décima parte de 840 + la mitad de la décima parte de 840 = 84 + 42 = 126.



La imagen de arriba muestra una división propuesta por mí, al azar, y realizada por una alumna de 5º de Primaria. Obsérvese el uso que hizo esta niña del razonamiento proporcional en la realización de la misma: Si 2 x 57 = 114 entonces 0,20 x 57 = 11, 4. Si 0,20 x 57 = 11, 4 entonces 0,02 x 57 = 1,14.

Se podría argumentar que el desarrollo de competencias matemáticas también contempla rutinas, tareas a nivel de la simple alfabetización, como podrían ser los algoritmos tradicionales de las operaciones básicas. Pero es que si estos algoritmos tradicionales cumplían perfectamente su papel alfabetizador en el siglo XIX y en buena parte del siglo XX, actualmente ya no la cumplen. Estamos inmersos en una sociedad tecnológica en la que la mayor parte de los cálculos son instrumentales (cajas registradoras, calculadoras, computadoras,...). Esto implica repensar el papel del cálculo y la numeración que se imparten en la escuela. De acuerdo con unos principios claros para la mejora de la educación matemática, deben servir para el desarrollo de competencias matemáticas.

Las siguientes aplicaciones, incluídas en ¡ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE!, permiten construir tablas de proporcionalidad sencillas - que incluyen como caso particular las tablas de multiplicar- así como la utilización de formatos interactivos que tutorizan la práctica de la multiplicación basada en el cálculo pensado con números, de manera flexible y haciendo uso del razonamiento proporcional:



Dado que el método para multiplicar por el que se apuesta aquí en cierta forma rescata y mejora el método de multiplicación egipcia, parece conveniente ilustrar éste último mediante un vídeo:

07 diciembre, 2011

Didáctica de las operaciones básicas según la UNIR


La Universidad Internacional de La Rioja (UNIR) es una universidad virtual de nueva creación (2008), que nace con una visión global de la educación unida a la empresa.


La UNIR propone un modelo universitario virtual, con visión Global, construido a partir de las nuevas tecnologías

Su proyecto pedagógico se basa en la educación personalizada y participativa, así como en el trabajo colaborativo de los alumnos.

La Universidad Internacional de La Rioja (UNIR) es una universidad de iniciativa privada fundada el 12 de septiembre de 2008 y a la que se le otorgó su reconocimiento oficial mediante la Ley 3/2008, de 13 de octubre de 2008, del Parlamento de La Rioja. Su estructura, organización y funcionamiento han sido diseñados conforme a los parámetros y exigencias del Espacio Europeo de Educación Superior (EEES). Sus futuros graduados, obtendrán títulos oficiales de grado con validez en todos los estados europeos del EEES.
La modalidad didáctica de la UNIR es la de una universidad on line, lo que le permite tener una proyección realmente global: sus alumnos y profesores, recibirán e impartirán, respectivamente, sus enseñanzas en español o en inglés y podrán localizarse en cualquier parte del mundo. Las anteriores características hacen que, fundadamente, pueda referirse a esta nueva universidad como: UNIR, La Universidad en Internet
.
Fuente: Wikipedia.









¿Así?



¿O así?







El vídeo sólo se centra en las propiedades formales y descontextualizadas de la multiplicación y la división y no en las estrategias de cálculo que se derivan de esas propiedades básicas ( que son lo verdaderamente importante para "aprender y enseñar a multiplicar y dividir")

Al contrario de lo que se afirma en este vídeo, la conmutatividad de la multiplicación no presenta problemas a los/as alumnos/as, ni tan siquiera en los cálculos más formales y descontextualizados - mucho menos en los cálculos contextualizados relativos a la resolución de problemas.

La propiedad distributiva de la multiplicación - con respecto a la suma y resta-, junto con la descomposición aditiva de números, se traduce en la estrategia didáctica fundamental para el cálculo de productos. Se puede realizar un producto complejo como suma de productos simples: 6 x 234 = 6 x (200 + 30 + 4) = 1200 + 180 + 24 = 1380 + 20 + 4 = 1400 + 4 = 1404.





Se afirma en en el vídeo anterior de la UNIR que la división no tiene la propiedad distributiva con respecto a la suma o la resta. Ello es, desde un punto de vista formal, estrictamente cierto - porque siendo distributiva por la derecha no lo es por la izquierda-. Sin embargo esta distributividad de la división -con respecto a la suma y resta- por la derecha se traduce en la estrategia más potente para el cálculo de divisiones. Nos permite realizar divisiones por partes (descomponiendo aditivamente el dividendo), como ilustra de manera inequívoca la siguiente aplicación:
















Después de la visualización crítica de estos vídeos correspondientes a más de una decena de temas sobre Didáctica de las Matemáticas en la E. Primaria, tengo que afirmar que a mí, personalmente, me parece una didáctica muy light la que propone la UNIR en estos vídeos, pobre en contenido científico.

Podemos encontrar numerosísimos vídeos y otros recursos educativos multimedia realizados por maestros/as, didactas, etc... que profundizan más, de manera más científica y con objetivos explícitos más claros y relevantes, en "el arte de enseñar" los aspectos de las matemáticas en la E. Primaria sobre los que inciden los vídeos.

Se pone de manifiesto, nuevamente, la desconexión entre escuela y universidad - en su relación recíproca-. ¿Es la Universidad un centro privilegiado de producción y difusión del Conocimiento? Parece que la misión de las universidades en el siglo XXI es otra, casi puramente mercantil.