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11 diciembre, 2012

El currículo de matemáticas no es sólo numeración. La numeración no es sólo cálculo.

De nuevo me veo llevado a hacer un análisis crítico de ciertos aspectos en torno al “método ABN” y al correcto enfoque del cálculo en la escuela en relación con las características del cálculo en nuestra sociedad. Soy consciente de que hacer afirmaciones rotundas al respecto nos lleva a un terreno no exento de peligros.
algoritmo ABN
Fuente: "algoritmo abn"

El blog “Algoritmos ABN” es uno de los sitios de referencia para la didáctica de la Matemática en Primaria que relaciono en la parte derecha de mi blog. Y es que estoy totalmente de acuerdo con el enfoque flexible del cálculo que Jaime Martínez Montero ha etiquetado con la marca “ algoritmo abn”.  De hecho, con anterioridad a la aparición de esta marca, una minoría de maestros/as ya veníamos defendiendo y practicando un cálculo flexible alternativo al tradicional, sobre todo desde que a finales de los 90 se multiplicaran las publicaciones que abordaban el tratamiento de algoritmos no tradicionales, de las operaciones básicas, en la escuela.

Por mi parte, vengo desarrollando con mis alumnos un cálculo pensado, flexible y basado en números y he desarrollado múltiples formatos digitales interactivos para divulgar y favorecer la práctica del cálculo (tanto descontextualizada como contextualizada)  bajo este enfoque ("Así calculamos en mi cole") aunque no bajo la etiqueta "abn".

Este enfoque flexible apuesta por el desarrollo de algoritmos no tradicionales de las operaciones aritméticas para evitar las rigideces que presentan los tradicionales. Confiere al cálculo un carácter subjetivo y creativo (frente a "Esta división se hace así", "Yo hago esta división así"). Hace del cálculo una tarea pensada, matemáticamente relevante (algo que no se puede asegurar, sin más, en enfoques más tradicionales) dándole el rango de habilidad cognitiva de orden superior; y se adapta mejor a la diversidad del alumnado presente en las aulas. Y, sobre todo, es más coherente e integrador que el cálculo tradicional ya que aprovecha la natural descomposición/composición numérica de los números y las mismas estrategias y propiedades fundamentales de las operaciones se utilizan tanto para el cálculo que se apoya en lápiz y papel como para el que se realiza  “de cabeza” (que ha pasado a ser, sin duda, el verdaderamente importante)
"Hay otra razón que aboga por la inclusión del cálculo pensado en las clases, y es que la mayoría de las personas que son consideradas hábiles para calcular rara vez hacen uso de los algoritmos usuales, sino que suelen recurrir a manipular los números para facilitarse la tarea."
Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 67.
"La tragedia del algoritmo estándar en la escuela, ha llegado de la mano de las calculadoras de bolsillo y de las cajas registradoras.
Lo que para todo el mundo era un elemento crucial de cualquier currículo escolar hace veinte años, ha empezado a ser considerado como algo que va perdiendo importancia al mismo ritmo que aumenta el interés por el cálculo mental y estimativo." 
Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 113.  

El cálculo que realizan la mayoría de las personas en nuestra sociedad actual es un cálculo instrumental (calculadoras, cajas registradoras, computadoras,…). ¿Quién hace cálculos fuera de la escuela con ayuda de lápiz y papel? ¿Significa esto que no tiene ya sentido desarrollar razonables competencias de cálculo en nuestros/as alumnos/as?

No, evidentemente no, puesto que toda capacidad humana debe ser desarrollada. Significa plantearse la naturaleza y tipología del cálculo que tiene sentido desarrollar en la escuela, la magnitud de los números con los que se debe operar y las formas más razonables de abordarlos. Significa un esfuerzo por contextualizar el cálculo así como por el desarrollo de estrategias personales para calcular…Significa priorizar el cálculo aproximado y la estimación. Significa entender bien, de manera integrada y proporcionada, el currículo dematemáticas. 

Tradicionalmente el peso curricular recaía de manera aplastante sobre la numeración, más en concreto sobre los algoritmos de las operaciones básicas.  Se trataba de un currículo de matemáticas ciertamente empobrecido. Este es uno de los aspectos fundamentales que hay que superar. Actualmente tiene menos sentido que nunca que el cálculo (del tipo que sea) acapare la mayor parte del tiempo destinado al desarrollo del currículo de matemáticas en la escuela, sobre todo si se trata de un cálculo predominantemente descontextualizado. No faltan los que abogan por destronar el cálculo de la cima del quehacer matemático en el que se encuentra. Hay que asumir que el currículo de matemáticas de Primaria aborda las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Y que el eje vertebrador de estos bloques es la resolución de problemas. 


"Jaime Martínez, inspector de educación, explorador de algoritmos, ha soñado un mundo sin cuentas. Ha ido más allá. Lo está poniendo en práctica. 225 niños de Primaria de la provincia, entre Primero y Quinto, aprenden matemáticas sin hacer cuentas..."
Cuando uno visita el blog “Algoritmos ABN (que persigue entre sus objetivos explícitos erradicar las viejas cuentas y favorecer una matemática más divertida), observa que casi la totalidad de la ingente cantidad de imágenes y vídeos que en él se incluyen  se centran en cálculos numéricos. Aparentemente se trata de "nuevas cuentas" que se articulan en forma de tablas de números. Sin embargo hay una diferencia notable con las cuentas tradicionales. Desde que se inicia el proceso de resolución, cada fila que se va escribiendo es una igualdad equivalente a la anterior, de manera que no hay que esperar a que el proceso haya acabado para haber transformado de manera coherente el cálculo inicial propuesto: 236 - 189 = 136 - 89 = 106 - 59 = 100 - 53 = 50 - 3 = 47 (para una resta "por comparación"), o 236 - 189 = 11 + 36 ( para una resta "por escalera ascendente"),...

Evidentemente el hecho de que se recurra continuamente a la pizarra o al papel de una ficha o cuaderno no significa que no se trate de un cálculo “pensado”. Otro aspecto a tener en cuenta es que se utilizan algoritmos extendidos, más extensos, que van dando cuenta de cada uno de los pasos realizados. Esto no debe identificarse con una mayor dificultad que los tradicionales (que son “más económicos”) dado que a medida que un alumno progresa en el desarrollo de competencia en cálculo se reduce notablemente el número de pasos que utiliza para resolver un cálculo determinado. No me cabe duda del buen enfoque que se hace en ese sentido, priorizando claramente la comprensión sobre la mecanización y favoreciendo el afloramiento de modos personales de realizar los cálculos.
  
Pero, con sinceridad, siento que los/as maestros/as debemos ser muy torpes cuando parece ser que necesitamos que se nos ilustre hasta la saciedad el mismo método de cálculo para cada uno de los diferentes cálculos posibles (que son, evidentemente, infinitos). En realidad, casi todo se reduce a que tanto la suma, resta, multiplicación y división se pueden realizar “por partes”,  de manera flexible o personalizada ( no necesariamente todos/as los/as alumnos/as en los mismos pasos ni con los mismos números) y basándose en la descomposición numérica y las propiedades fundamentales de las operaciones básicas. Es por ello que el blog aludido transmite visualmente la idea de que el quehacer fundamental en  matemáticas de Primaria es el cálculo. No vemos en el blog ninguna referencia al mundo del espacio y las formas ( a excepción del método para resolver raíces cuadradas), ni al de la incertidumbre …

Podríamos extendernos tanto como quisiéramos en poner de manifiesto (como se hizo desde el origen de las matemáticas) las relaciones entre números y formas, cómo se apoyan y refuerzan mutuamente y cómo fruto de esa simbiosis se ponen de manifiesto con mayor fuerza patrones  o regularidades numérico-geométricas… No tendría nada que objetar si se identifica el “método ABN” con un método de cálculo, como así se presenta habitualmente. Pero es que desde el blog aludido y desde otros, así como desde diferentes medios de comunicación y documentos se hacen afirmaciones (a mi juicio poco rigurosas) más generales que apuntan hacia una inconveniente metamorfosis ( CÁLCULO = ALGORITMOS ABN = "LA SENDA PARA  ALCANZAR COMPETENCIA MATEMÁTICA"). ¿Debe interpretarse como la única senda? ¿Debe interpretarse que la competencia en cálculo es la única o más importante de las competencias matemáticas? Espero que no, porque ello supondría reducir el currículo de matemáticas a simple cálculo, volviendo a incurrir en errores parecidos a los que se pretendía superar… Esto me parece especialmente peligroso en estos tiempos tan tecnológicos en los que curiosamente se exalta más que nunca el desarrollo de la capacidad de cálculo (a veces de manera poco razonable, como si se pretendiera crear "calculadoras humanas") identificándolo con la excelencia en matemáticas.

Me voy a limitar aquí al análisis de algunas afirmaciones relacionadas con la resolución de problemas y con la descripción de las características del "cálculo abn": 
Con la nueva didáctica de las matemáticas que propugna Jaime Martínez se llega a los resultados correspondientes por desagregación o descomposición de las cantidades a operar... (Jaime.M.M)
¿Nueva didáctica de las matemáticas o no tan nueva didáctica del cálculo? 
"Las viejas cuentas son la causa fundamental que impide que los alumnos sepan resolver problemas"(Jaime.M.M)
Uno de los grandes "fallos" en la enseñanza tradicional de la aritmética es que se identifica operación con el algoritmo (cuenta) que la resuelve:
"Nuestro aprendizaje de cada una de las operaciones está tan ligado a su algoritmo que se suele confundir operación con el algoritmo usual que la resuelve" Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 67. 
No volvamos a cometer el mismo error (operación ¹ algoritmo de la operación)
Además, desde hace mucho tiempo los maestros nos venimos  quejando de que los alumnos no sepan con qué operación (u operaciones) se resuelve un determinado problema ("¿Es de sumar o de restar?"), en mucha mayor medida que sobre la propia realización de los cálculos. 
"Los algoritmos ABN aumentan notablemente la capacidad de resolución  de problemas" (Jaime.M.M)
¿Cómo? ¿De qué manera? ¿De qué problemas? Porque la realización de cálculos, incluso en los problemas típicamente aritméticos - que no son los únicos-, es una de las fases finales del proceso de resolución, y no precisamente la más relevante. A no ser que se considere como "problema" realizar un determinado cálculo. Esto sólo podría aproximarse a la verdad en los problemas aritméticos más elementales, los de una sola operación, en caso de que se presenten a los alumnos de forma que el "espacio de búsqueda" sea prácticamente inexistente. (Ver "Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)") 

"Un grupo de investigadores europeos ha visitado recientemente el Colegio San Rafael (Cádiz) para conocer el funcionamiento de este método de cálculo ideado como sabemos por Jaime Martínez, inspector de educación de la Delegación de Cádiz.

Procedentes de distintos países como Austria, Holanda, Alemania, etc. dichos investigadores pudieron comprobar de primera mano los resultados de este revolucionario método que demuestra que los alumnos de primaria mejoran no sólo su nivel de cálculo y su capacidad de resolución de problemas sino también su motivación en el aprendizaje de las matemáticas." [...]

[Fuente: "Las matemáticas de Cádiz". Diario de Cádiz (versión impresa). Fecha: 21/09/2012]

Algoritmos y resolución de problemas
Fuente: "algoritmo abn"
En el blog “Algoritmos ABN”, se hace bastante alusión teórica a la relación entre las operaciones y las tipologías de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV) que resuelven. Sin embargo este "revolucionario método ABN” no explicita ningún método concreto de resolución de estos problemas. Encontramos casi exclusivamente un modelo de resolución de PAEV, el modelo más tradicional. Con frecuencia vemos imágenes en las que el/la maestro/a ha escrito el enunciado de un PAEV en la pizarra y, a continuación, sin más, el algoritmo extendido con el que se resuelve. Es cierto que se asocia con mucha frecuencia un cálculo concreto con un determinado problema como forma de contextualizar el cálculo, y que incluso se hace una análisis comprensivo del enunciado. Lo peligroso es  asociar el algoritmo con la resolución de un PAEV ( incluso para los problemas más elementales), como se recoge en este texto del propio Jaime M. M. (hablando de la "doble resta" y de la "sumirresta"):

"[...] Aparte del nuevo campo de posibilidades de cálculo que abre, la importancia fundamental de estas operaciones radica en que simplifica enormemente el mundo de los problemas porque convierte, de golpe y sin transición, muchos de ellos de dos operaciones que son difíciles para los niños (todos los de dos restas y todos los de una suma y una resta) en problemas de una operación, simplificando enormemente la complejidad de su comprensión y su realización. Hay siete problemas distintos de sumar y, como vimos hace poco, trece diferentes de restar. Quiere decir que, combinándolos simplemente, nos salen 91 problemas distintos de sumar y restar (13 x 7), y 169 de dos restas (13 x 13). Es decir, que con la doble resta y la sumirresta cambiamos 260 problemas diferentes de dos operaciones en problemas de una operación. ¡Casi nada!


Los problemas de dos operaciones son especialmente difíciles para los niños. No es complicado averiguar por qué y hay una amplia literatura científica que da cuenta de ello. Para nuestro propósito, baste pensar que en un problema de una operación aparecen los datos y la pregunta. En uno de dos operaciones aparecen los datos de la primera operación, pero no la pregunta, mientras que en la segunda operación sí aparece la pregunta, pero solo uno de los datos. Véase el caso siguiente: “Un bosque con 2145 árboles se incendia y arden 368. Después plantan 325 árboles más. ¿Cuántos árboles hay ahora?” Es evidente que la primera operación (2145-368) no tiene pregunta, y que la segunda (1777+325) no tiene el dato de los 1777 árboles.


Por lo anterior, la sumirresta facilita mucho todo el proceso. Es fácil pasar directamente del texto al formato del algoritmo, y luego permite múltiples posibilidades de desarrollar los cálculos de uno u otra manera. La resolución clásica obliga a realizar primero una operación y luego otra, mientras que aquí se pueden abordar los cálculos sucesiva o simultáneamente." 

Aquí se hacen afirmaciones explícitas e implícitas a mi juicio poco rigurosas:
  • Hay operaciones que simplifican enormemente la complejidad de la comprensión de un determinado problema, cuando comprender un problema implica previamente descubrir las relaciones entre las magnitudes y las operaciones que transforman unas en otras...Ahí radica precisamente la esencia del acto creativo que supone la resolución de un problema y ahí radica, por tanto, su dificultad. De nuevo se identifica operación con algoritmo de la operación, que es un útil para efectuar ésta, y parece identificarse la realización del algoritmo con la esencia de la resolución de un problema. No comparto tal idea.
  • Parece que la tipificación de problemas es pura aritmética combinatoria. Aunque estoy seguro de que esa no es la visión de Jaime M.M. al respecto.
  • Parece que el proceso de resolución de problemas aritméticos se limita al paso del enunciado al formato del algoritmo, es decir, del texto al cálculo. Esta peligrosa asociación más que superada en la amplia literatura científica a la que el propio Jaime M. M. alude, supone un  reduccionismo del aspecto más troncal y vertebrador del currículo de matemáticas: la resolución de problemas (RP). Si bien esto se puede hacer fácilmente, aunque no sea lo más conveniente en la R.P, para PAEV de nivel 1(una sola operación), me llama poderosamente la atención lo artificioso que resulta justificar la doble resta y la sumirresta en relación con la resolución de PAEV de nivel 2. Sinceramente, parece un invento para encajar, con calzador, la resolución de estos problemas con un único algoritmo... No creo que sea éste el camino más conveniente en la búsqueda de comprensión. Me parece una senda poco conveniente en la didáctica de RP, máxime viniendo de una persona que apuesta por algoritmos extendidos, aunque sean menos económicos que los tradicionales, para  favorecer una mayor comprensión de los cálculos realizados y el desarrollo de estrategias de cálculo... 
Para terminar: 
Desde una perspectiva holística de las matemáticas, cualquier parte (bloque de contenidos) debe gozar en buena medida de los atributos de la totalidad (currículo de matemáticas) pero no sería riguroso  identificar la parte con el todo ni  el todo con la parte.






29 octubre, 2012

Propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas. Ciclo Medio. Educación Primaria


Desde el centro de recursos para enseñar y aprender matemáticas del Departamento de Enseñanza de la Generalitat de Catalunya (cesire/creamat), se nos ofrece este documento que  recoge algunas propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas en el ciclo medio de la Educación Primaria.





Este documento, en lo referente a las operaciones básicas, se podría completar y matizar, con este otro de David Barba y Cecilia Calvo:




También es interesante contar con esta otra visión de las operaciones centrada en algoritmos Abiertos y Basados en Números (aunque no comparto algunas afirmaciones que se hacen en el documento tales como " ...algoritmos ABN = la senda para alcanzar competencia matemática" -porque excluye otras sendas más relevantes -; "Las viejas cuentas son la causa fundamental que impide que los alumnos sepan resolver problemas"- cuando todos sabemos el papel determinante , entre otros, del pensamiento,  la afectividad, la metacognición y las habilidades lingüísticas-  y, sobre todo, "El cálculo basado en algoritmos ABN aumenta notablemente la capacidad de resolución de problemas" - porque la realización de cálculos, incluso en los problemas típicamente aritméticos, es una de las fases finales del proceso y no precisamente la más relevante, a no ser que se considere como "problema" realizar un determinado cálculo .  Ver artículo anterior a éste en este mismo blog-) :





Comparto, en lo esencial, los enfoques y propuestas recogidos en estos documentos en lo relativo al tratamiento del bloque aritmético (a mi juicio los otros bloques no están suficientemente bien tratados en el primer documento) Pero, dado que no aluden a recursos educativos (impresos, manipulables físicos o virtuales, ...) que pudieran utilizarse  para este fin coherentemente con estos enfoques, me voy a permitir enriquecerlos  sugiriendo aplicaciones (contenidos educativos multimedia) que se ofrecen en este blog, para cada una de las propuestas realizadas. Me voy a limitar al apartado OPERACIONES con el fin de que este post no sea demasiado extenso.


14 diciembre, 2011

Razonamiento proporcional y multiplicación

Observemos la siguiente imagen:


¿De cuántas maneras diferentes podríamos averiguar el número de pelotas correspondiente a 9 cajas iguales?

Se nos ocurre que podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 8 cajas (96) y 1 caja (12), y sumarlos. También podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 6 cajas (72) y 3 cajas (36), y sumarlos. Otra forma de llegar al resultado correcto sería aprovechar los resultados correspondientes a 7 cajas (84 pelotas) y 2 cajas (24 pelotas) y sumar 84 más 24. Y muchas otras formas más...

¿Cómo habrían resuelto los antiguos egipcios esta situación?

Dado que los antiguos egipcios sólo sabían duplicar o doblar (multiplicar por 2), habrían realizado una tabla análoga a la de la izquierda y  aprovechado los resultados correspondientes a 8 cajas (96 pelotas) y 1 caja (12 pelotas) que, sumados, dan 108 pelotas.

De manera análoga, para calcular el número de pelotas correspondientes a 11 cajas iguales, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 2 y 1 cajas, sumando 96 + 24 + 12.

Para calcular el número de pelotas correspondientes a 14 cajas, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 4 y 2 cajas, sumando 96 + 48 + 24...



Como se puede apreciar, el método de multiplicación egipcio es muy productivo, en el sentido de que a partir de unos cuantos resultados sencillos, por combinación, se obtienen muchos otros resultados... Por otra parte, este método no es nada mecánico, se apoya en una estrategia fundamental del cálculo, la duplicación, en el razonamiento proporcional (a doble número de cajas corresponde doble número de pelotas) y podemos darle una interpretación perfectamente formal haciendo uso de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
Así, 14 x 12 = (8 + 4 + 2) x 12 = 8 x 12 + 4 x 12 + 2 x 12 = 96 + 48 + 24 = 132.

En definitiva, el método egipcio propone una multiplicación "por partes" haciendo uso de números - no cifras- y basada en la propiedad distributiva (una estrategia fundamental en la resolución de problemas consiste en dividir el problema dado en  partes más manejables).

¿Y si consideramos una adaptación del método egipcio al siglo XXI, haciendo una mejora de sus potencialidades?

Imaginemos que un/a niño/a domina los hechos numéricos que se reogen en la tabla de la izquierda. Es obvio que, a partir de ellos, podría obtener un buen número de nuevos resultados. Así, por ejemplo, podría calcular el número de pelotas que hay en 39 cajas iguales aprovechando los resultados correspondientes a 40 cajas y 1 caja realizando la resta 480 - 12 = 470 - 2 = 468.

Podría calcular el número de pelotas correspondientes a 78 cajas así: 480 + 360 + 120 - 24 = 500 + 340 + 100 - 4 = 940 - 4 = 936. Quizá resulte más fácil de esta otra manera: 480 + 480 - 24 = (500 - 20) + (500 - 20) - 24 = (1000 - 40) - 24 = 1000 - 64 = 936.

Estos últimos ejemplos ilustran una variación del método egipcio que pone mayor énfasis en los aspectos de proporcionalidad numérica inherentes al conocimiento y dominio del sistema numeración decimal (Si 10 x 62 = 620 ---> 20 x 62 = 1240...) y en el aprovechamiento de los "números redondos" (acabados en ceros). Nótese, además, que este método de multiplicación se basa en el cálculo pensado con números - no en un cálculo mecánico con cifras como el algoritmo tradicional de la multiplicación -; es flexible - permite llegar al mismo resultado utilizando estrategias y/o secuencias de cálculo diferentes-, más o menos largos según el grado de competencia en cálculo pensado con que cuente cada alumno/a (atención a la diversidad). Además, hace el cálculo más atractivo.

Podría argumentarse que la multiplicación 12 x 47, mediante el algoritmo tradicional, es más fácil puesto que sólo requiere conocer las tablas de multiplicar ( las del 1 y las del 2 para este caso concreto) y la mecánica del algoritmo... ¡Totalmente de acuerdo con este argumento! Pero...

...es que se trata de enseñar y aprender Matemáticas plenas de significados, de desarrollar competencias matemáticas...Si algo hay ineludible en esta área curricular es el razonamiento. Todo/a niño/a tiene cierto grado de razonamiento proporcional que hay que fomentar. Tanto la construcción de tablas de multiplicar -que son tablas de proporcionalidad- como el método utilizado para realizar multiplicaciones se deben basar en el desarrollo de este tipo de razonamiento, fundamental en la adquisición de competencias matemáticas en Primaria ya que prepara el camino a nociones matemáticas valiosas. Sería deseable que un/a alumno/a de tercer ciclo de Primaria supiera calcular mentalmente, por ejemplo, el 15% de 840 € utilizando el razonamiento proporcional más o menos así : El 15% de 840 = 10% de 840 + 5% de 840 = la décima parte de 840 + la mitad de la décima parte de 840 = 84 + 42 = 126.



La imagen de arriba muestra una división propuesta por mí, al azar, y realizada por una alumna de 5º de Primaria. Obsérvese el uso que hizo esta niña del razonamiento proporcional en la realización de la misma: Si 2 x 57 = 114 entonces 0,20 x 57 = 11, 4. Si 0,20 x 57 = 11, 4 entonces 0,02 x 57 = 1,14.

Se podría argumentar que el desarrollo de competencias matemáticas también contempla rutinas, tareas a nivel de la simple alfabetización, como podrían ser los algoritmos tradicionales de las operaciones básicas. Pero es que si estos algoritmos tradicionales cumplían perfectamente su papel alfabetizador en el siglo XIX y en buena parte del siglo XX, actualmente ya no la cumplen. Estamos inmersos en una sociedad tecnológica en la que la mayor parte de los cálculos son instrumentales (cajas registradoras, calculadoras, computadoras,...). Esto implica repensar el papel del cálculo y la numeración que se imparten en la escuela. De acuerdo con unos principios claros para la mejora de la educación matemática, deben servir para el desarrollo de competencias matemáticas.

Las siguientes aplicaciones, incluídas en ¡ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE!, permiten construir tablas de proporcionalidad sencillas - que incluyen como caso particular las tablas de multiplicar- así como la utilización de formatos interactivos que tutorizan la práctica de la multiplicación basada en el cálculo pensado con números, de manera flexible y haciendo uso del razonamiento proporcional:



Dado que el método para multiplicar por el que se apuesta aquí en cierta forma rescata y mejora el método de multiplicación egipcia, parece conveniente ilustrar éste último mediante un vídeo:

22 octubre, 2011

Formatos interactivos para el cálculo pensado, flexible y basado en números

Hace aproximadamente una década que Antonio Ramón Martín Adrián (Tony) del CEIP Aguamansa (La Orotava ), y otros integrantes de grupos Capicúa – siguiendo la las ideas de Anthony Ralston en “Let’s Abolis Péncil-and-Paper Arithmethic”- vienen debatiendo y manifestándose activamente en contra de los algoritmos tradicionales de las operaciones aritméticas y la raíz cuadrada; y elaborando y difundiendo excelentes vídeos en los que nos muestran a sus alumnos/as, frente a la pizarra, realizando cálculos pensados con apoyo escrito; cálculos que utilizan algoritmos flexibles diversos, todos ellos basados en números – y no en cifras como ocurre con los algoritmos de lápiz y papel de toda la vida-  para realizar cada una de las operaciones básicas.

Desde hace algo más de un año, Jaime Martínez Montero (Inspector de Educación desde 1977. Ha sido Profesor Asociado de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Cádiz. Es maestro y doctor en Filosofía y Ciencias de la Educación. Ha publicado numerosos artículos y libros...), a través de su blog “Algoritmos ABN” y de Youtube, está divulgando, también, excelentes vídeos que muestran a alumnos/as de varios centros de la provincia de Cádiz, y de diferentes niveles, realizando cálculos algorítmicos abiertos y basados en números. Se trata, también, de cálculo pensado con apoyo escrito.


Tanto Tony como Jaime Martínez impulsan y defienden un cálculo flexible, abierto, argumentado y basado en números. Pero mientras para el primero, según sus propias palabras, no se trata de "nada nuevo, ni revolucionario, sino de una filosofía de hace cincuenta o sesenta años”, para el segundo, según se desprende de algunas entrevistas publicadas en la prensa, sí que se trata – hablando en particular de los “Algoritmos Abiertos Basados en Números”- de un invento novedoso, de un nuevo método cuya autoría se atribuye.
A algunos/as nos resulta un tanto chocante constatar que algo que se “publicita” no ya como “descubrimiento” sino como “invento”, como método revolucionario dentro de la matemática escolar – que parece destinado poco menos que a acabar con el fracaso escolar en Matemáticas- no tenga tanto de novedoso, pues está plagado de precedentes. Sin embargo, algunos sitios web (Actiludis, elTanque,…) ponen mucho celo en recordar que los “Algoritmos ABN” son propiedad intelectual de Jaime Martínez Montero. No sé si esa propiedad se refiere a la denominación y al logotipo (nada que objetar a esta idea tan eficaz para el marketing), al formato de los algoritmos (ya habría más que objetar) o a la propiedad intelectual de las propiedades de las operaciones (no creo, sería un atentado a la Matemática como patrimonio de la Humanidad)…

En el blog “Algoritmos ABN” se recoge esta muy loable intención: Con el presente blog quiero colaborar en la erradicación de las viejas cuentas escolares. Me sumo así a docentes e investigadores que se han puesto manos a la obra”. Sin embargo, y a juzgar por lo recogido en algunos artículos de prensa, algunos/as maestros/as percibimos  que  se maximiza en exceso su relevancia y que se presenta como si antes de él no hubiese habido antes… (minimizando y/o "excluyendo" los precedentes); cuando todos y cada uno de nosotros influimos y recibimos influencias de los demás...


Algunos/as maestros/as, influenciados por personas como Tony y otros, llevamos años tratando de que se generalice en nuestros centros un cálculo fundamentalmente pensado y estratégico que no excluye el cálculo algorítmico (siempre que sea flexible, abierto, basado en números…). Sin embargo, y a pesar de que somos los máximos defensores de algoritmos tipo algoritmos ABN, no nos gustan las connotaciones “de mercado”, de “ marketing”, “de apropiación intelectual”, etc... que percibimos en algoritmos ABN. Además, no identificamos algoritmos con cálculo. Mucho menos reducimos la matemática al cálculo – como pensamos que implícitamente se refleja en el blog “Algoritmos ABN”. Pensamos, además, que unas matemáticas naturales y divertidas no deben tener tanto regusto a pizarra y tiza y que, obviamente, deben ser divertidas…

Sin embargo, hay que dar la bienvenida en la red a aplicaciones TICs del tipo “tutor ABN” (otros preferimos llamarlos “formatos interactivos para la práctica tutorizada de algoritmos flexibles”) que también tienen sus precedentes...

Así, por ejemplo, los formatos interactivos para la práctica de cálculos flexibles que yo vengo diseñando han seguido su propia evolución en el tiempo, desde los algoritmos extendidos interactivos y basados en números incluidos en "Estrategias para la Numeración"-2005-, pasando por los incluidos en "MatemáTICas Primaria"-2008- hasta llegar a las aplicaciones incluidas en "Así calculamos en mi cole"-2010_2011- que van más allá de las expectativas cubiertas por los "tutores ABN"-.

En mi trabajo “MatemáTICas Primaria” (1º premio a materiales educativos multimedia_2008, del ITE), ya aparecen precursores de estos formatos y aplicaciones que van aún  más allá- puesto que contextualizan la generación interactiva del algoritmo-, como es el caso de "reparto monedas y billetes" del cual se ofrece a continuación una versión mejorada, aunque reducida respecto a la incluida en "Así calculamos en mi cole" , (Cada acción sobre el dinero tiene su repercusión numérica en el algoritmo interactivo que se va generando...):


Algunos de los formatos TICs interactivos para los algoritmos abn se han puesto en la red, a mi juicio, con excesiva precipitación. No se ha depurado suficientemente el código ActionScript de las mismas, o bien no se las ha dotado de las suficientes funciones de comprobación de las entradas numéricas realizadas por los usuarios. Estoy convencido de que Mario Ramos Rodríguez sabrá subsanar los errores que se reflejan en estas imágenes, donde la aplicación da por válidas  multiplicaciones y divisiones con resultados intermedios incorrectos... (Hubiera preferido comunicárselo de una manera más personal y discreta, pero no he encontrado ningún email de referencia en su página web ni ningún espacio para comentarios)




04 octubre, 2011

"ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE". Una apuesta por el cálculo pensado, flexible y basado en números.

Invito a los/as lectores/as a navegar por "Así calculamos en mi cole".
Aunque este recurso multimedia no aborda de manera exhaustiva el desarrollo de competencias de cálculo en la Etapa Primaria, sí que ilustra cómo se pueden diseñar contenidos educativos digitales que profundicen, con fundamento didáctico y metodológico, en aspectos de especial relevancia en el cálculo: manipulación de materiales didácticos virtuales para la representación y descomposición del número  (ábacos, bloques multibase, centena dinámica, juegos de dados, diana interactiva, balanza numérica,...); ilustración gráfico-numérica, e interactiva, de algoritmos flexibles de las operaciones básicas basados en el cálculo pensado con números; formatos interactivos que tutorizan el cálculo algorítmico flexible de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones; cálculo mental contextualizado en la resolución de problemas; formatos interactivos para trabajar estrategias concretas de cálculo mental, modelos gráficos interactivos como soporte para el cálculo pensado, etc... 

En entradas siguientes se profundizará con más detalle en los aspectos resaltados.



(Este recurso no se encuentra aquí ni totalmente adaptado a su uso online ni debidamente actualizado. Muchas de sus aplicaciones se han mejorado y actualizado para formar parte del proyecto MATE.TIC.TAC )(Noviembre de 2021)

03 octubre, 2011

De la división como reparto a un algoritmo flexible para la división

La integración de las TICs en Matemáticas debería estar sólidamente fundamentada, didáctica y metodológicamente. Esto no parece ser así en lo que a la integración de las TICs para el desarrollo de competencias en cálculo se refiere.
Resulta relativamente fácil diseñar aplicaciones que propongan cálculos y corrijan la respuesta dada por el usuario, incluso que los cálculos propuestos se generen de manera aleatoria de acuerdo con unos determinados parámetros de configuración elegidos... Esto ya es un avance, sin duda, sobre todo en relación con la corrección automática de los cálculos realizados en propuestas de cálculo mental... Pero, ¿qué tipo de cálculo proponen las aplicaciones que nos encontramos en la red?


Poco se ha indagado y profundizado, haciendo uso de las TICs, en los procesos de comprensión de las operaciones básicas. La práctica totalidad de las aplicaciones que nos encontramos en la red abordan un cálculo descontextualizado apoyado en los algoritmos tradicionales de lápiz y papel de las operaciones básicas....Estos algoritmos, además, se siguen presentando como el inicio de las operaciones a las que sirven.


Invito a los/as lectores/as a manipular la aplicación "División gráfica con billetes" incluida en el recurso multimedia "ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE". Es la primera aplicación existente en la red que ilustra cómo un reparto, a partes iguales, puede realizarse de manera flexible (abierta o divergente, si se prefiere) a la par que se genera de manera interactiva el correspondiente algoritmo numérico flexible (en función de las manipulaciones concretas realizadas con monedas y billetes por cada usuario). De esta manera, se pretende justificar la naturalidad del algoritmo propuesto en contraposición con el algoritmo tradicional de la división.