22 noviembre, 2015

Formatos interactivos para la enseñanza-aprendizaje del cálculo de divisiones.







En su día, la publicación de "Así calculamos en mi cole" supuso la oferta más extensa, variada y evolucionada de formatos digitales interactivos para la enseñanza-aprendizaje de un cálculo Pensado y Flexible a partir de la Descomposición Numérica. Entre esos formatos destacaban por su innovación aquellos que mostraban algoritmos numéricos, extendidos y flexibles, de las operaciones desarrollándose a la par y en correspondencia con las acciones realizadas por los/as alumnos/as sobre elementos gráficos y manipulativos presentes en las pantallas... Ese aspecto tan interesante desde el punto de vista didáctico ha marcado y marcará tendencia. De hecho están apareciendo algunas aplicaciones con este mismo propósito pero demasiado toscas aún en su interactividad y excesivamente elementales en relación con la naturaleza de los retos propuestos a los/as alumnos/as...

Fiel al principio de la evolución y mejora continua, en coherencia con la gran riqueza, variedad, excelente interactividad y creatividad de los modelos dinámicos que ofrece Didactmaticprimaria para todos y cada uno de los bloques del currículo de matemáticas, aquellos también han sufrido mejoras y ampliaciones.

Así, para la división, he desarrollado aplicaciones con el mismo funcionamiento que las que ilustran la división con billetes y monedas del euro (sin y con decimales) aunque con etiquetas numéricas (sin y con decimales) para que las diferentes nacionalidades y monedas no supongan un hándicap en su uso. A su vez, estas aplicaciones incorporan mejoras sutiles en relación con la corrección de manipulaciones y/o respuestas erróneas (como el bloqueo/desbloqueo de billetes y monedas -ídem para etiquetas-) colocadas en las zonas de reparto…

Por otra parte, se ha incorporado la división con regletas de Cuisenaire (que no figuraba en "Así calculamos en mi cole"-2010-2011) gracias a la implementación de un sencillo y eficaz “cortador de regletas”. También “Repartiendo pastelillos en platos” supone una mejora (en cuanto a funcionamiento, generalidad e interactividad) de  una aplicación análoga para ilustrar la división que se incluía en “MatemáTICas Primaria” (2007-2008)…

También la división a partir de la descomposición del dividendo en múltiplos del divisor se ha ampliado y conectado directamente con la multiplicación mediante la aplicación Número de veces que contiene el dividendo al divisor.

De manera intencionada no ofrezco en este menú la aplicación interactiva para tratar de manera gradual el algoritmo tradicional de la división que incluí en MatemáTICas Primaria. ¿Por qué? Pues simplemente porque no tendría cabida dentro de un cálculo que he etiquetado como PFDN (simplemente para indicar que no debe asociarse ni atribuirse a ninguna otra etiqueta) y porque yo no lo utilizo con mis alumnos/as.



15 noviembre, 2015

Modelos TICs de Resolución de Problemas de Matemáticas en el VI Encuentro Provincial del profesorado de Matemáticas. Sevilla.

Cartel del VI Encuentro.

La Universidad Pablo de Olavide acogió los días 11, 12 y 13 de noviembre del 2015 el VI Encuentro Provincial del Profesorado de Matemáticas de Sevilla, cuyo lema es "Matemáticas con arte".

La conferencia inaugural del encuentro, a cargo de D. Ángel Requena Fraile se dedicó al Turismo matemático como recurso didáctico. Tengo que reconocer que era como escuchar a un sabio. ¡Genial! El título coincide con el de un blog suyo desde el que se pueden descargar las interesantísimas diapositivas de su presentación, aunque no son nada comparadas con sus comentarios. En el blog, en cambio, aparecen comentadas.

"El arte con matemáticas es, si cabe, más bello.  Las matemáticas no son sólo una ciencia útil para la vida material o una aventura del pensamiento, también son un instrumento para el goce..."

Por mi parte, durante los días 11 y 12 colaboré en el VI Encuentro impartiendo el taller MODELOS TICs DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Aunque el texto completo del taller no es un formato adecuado para transmitir el contenido de un taller eminentemente interactivo y no supone sino un conjunto de brochazos gruesos para tratar de describir gráficamente esta temática, lo ofrezco aquí para quien pudiera estar interesado:

Acceso a los textos completos de los TALLERES.
Acceso a los textos completos de la COMUNICACIONES.

08 noviembre, 2015

20 problemas aditivos de cambio. Animados. Para 1º de Primaria.




20 problemas animados de cambio aditivo. Didactmaticprimaria.net




No cabe duda de que las TICs pueden ofrecer nuevos escenarios (en la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS) con nuevas posibilidades (corrección - autorregulación del proceso-, interactividad, simulación, experimentación, mayor  riqueza en los lenguajes de presentación, mayor variedad y control en las fases intermedias de resolución, mayor variedad en la forma de resolver un problema, etc...). Y no cabe duda de que Didactmaticprimaria ha profundizado de manera pionera en estos aspectos.
                
Esta aplicación presenta un modelo TIC de resolución no rutinaria de elementales problemas aditivos de CAMBIO que puede englobarse, a su vez, dentro del metamodelo de ESTRUCTURACIÓN.
                
En los problemas de cambio se parte de un conjunto inicial de elementos a los que se agrega o quita una cantidad de elementos de la misma naturaleza. De esta manera, las partes constituyentes del problema son la SITUACIÓN INICIAL, EL CAMBIO PRODUCIDO Y LA SITUACIÓN FINAL. La manera más rutinaria y frecuente de presentarlos es de forma verbalizada, fundamentalmente escrita (con frecuencia ilustrados con una imagen estática), dando dos cualesquiera de estas partes y preguntando por la tercera.
               
En esta aplicación, gracias a las TICs, SE REDUCE LA ABSTRACCIÓN haciendo hincapié en la visualización del cambio (y de las situaciones inicial y final) permitiendo pasar de manera gráfica y dinámica de la situación inicial a la final, y viceversa. De esta manera, además de hacer más atractivo el problema, se hace más patente la reversibilidad que caracteriza a cualquier problema aditivo de cambio: si de la situación inicial se pasa a la final aumentando, de la situación final se pasará a la inicial disminuyendo la misma cantidad, y viceversa. La reversibilidad del pensamiento puesto en juego en la resolución de estos problemas facilitará la reinterpretación de un problema de suma en otro de resta, y viceversa. Ser hace así más patente que suma y resta son la misma estructura aditiva.
                
No se facilitan a los/as alumnos/as  los datos de manera explícita ni se formula pregunta alguna. Resolver el problema aquí es completar con números un texto sencillo que se aproxima a un argumento lógico que relaciona la situación inicial, la final y el cambio producido. Por lo general bastará interpretar correctamente la situación y contar los elementos gráficos para determinar cuantitativamente situación inicial, cambio y situación final. Pero no siempre esto es posible para alumnos/as  de estas edades (primero de Primaria, como referencia) dado que el cambio es dinámico, diferentes elementos se mueven a la par y esto dificulta su recuento...En estos casos el cambio puede considerarse como  desconocido y tendrá que deducirse de la situación inicial y final. 
                               
Los/as alumnos/as pueden completar los tres datos numéricos correspondientes a los tres elementos del problema en el orden que deseen. El texto a completar  no  siempre  se  ajusta  a la secuencia temporal implícita o explícita en la situación. Esto se ha diseñado intencionadamente así para obligar al alumno a que reformule mentalmente la situación a partir de la correcta comprensión de los tres elementos del problema. Para facilitar la resolución, el botón <VER> se puede pulsar tantas veces como se desee para alternar situación inicial /situación final y visualizar el cambio tantas veces como se desee

Este modelo también se encuentra en la aplicación "Elefantes". Para este nivel (1º de Primaria) y en relación con los problemas de COMPARACIÓN (algo más difíciles) recomiendo la muy atractiva aplicación "Granja (1 y 2)", entre otras.




15 octubre, 2015

Muñecos articulados y marioneta. Geometría del cuerpo humano.





El razonamiento espacial actúa sobre figuras geométricas (tridimensionales y planas) por medio de operaciones básicas entre las que destacan el análisis  (descomposiciones diversas de un mismo todo) y la síntesis (combinaciones diferentes de las mismas partes; las mismas partes constitutivas del muñeco articulado pueden combinarse, distribuirse u organizarse de maneras diferentes originando posturas diferentes) teniendo en cuenta la orientación espacial y las posiciones de las figuras en el espacio.

“Muñecos articulados y marioneta” reproduce la geometría esencial del cuerpo humano, del esquema corporal, favoreciendo el análisis y la síntesis para desarrollar tanto un pensamiento convergente (las diferentes partes se organizan para configurar un mismo todo- un mismo muñeco articulado- como divergente (las mismas partes – diferentes segmentos o piezas del muñeco articulado- se organizan formando muñecos que son diferentes –diferentes posturas-), fundamentales  para el pensamiento inventivo y creativo.

Los retos propuestos ponen en juego la observación sistemática, la percepción analítica y la comparación (similitudes y diferencias, grado en que una parte es diferente a su homóloga…).

“Muñecos articulados” presenta menos dificultad que “Marioneta”. A su vez, en “Muñecos articulados” se han contemplado dos niveles de dificultad (cada uno de ellos con 30 retos diferentes).  La diferencia entre una parte del muñeco que hay que modificar (girándola) y su homóloga en el muñeco estático propuesto– estado final al que hay que llegar- viene dada por un giro de un determinado valor. Para facilitar la correcta y exacta resolución de los retos propuestos, los giros posibles toman valores discretos (amplitudes angulares que son múltiplos de 30°, en el nivel 1, y múltiplos de 15°, en el nivel 2).


Dada la importancia de la figura humana para comunicar (acciones, sentimientos, …), su frecuente uso visual-plástico-artístico en nuestra sociedad y teniendo en cuenta, también, su adecuación al estadio evolutivo del dibujo en niños/as de Primaria, esta aplicación tiene un valor formativo interdisciplinar indudable. Esto la hace especialmente adecuada para su inclusión en UDIs interdisciplinares (Matemáticas-Educación Física-Plástica-Comunicación...)

Algunas ideas: Reproducir, sobre cartulina, las diferentes partes de un muñeco articulado similar al de esta aplicación. Hacer copias suficientes (al menos un muñeco articulado para cada alumno/a). Colorear los muñecos atendiendo a diferentes criterios y unir sus piezas de manera que permitan el giro de cada una de ellas. Elaborar luego, colectivamente, un gran mural que pueda servir para decorar un pasillo o un aula aportando cada alumno/a un muñeco con una postura diferente a la de los demás...

También se podría acompañar cada muñeco de un rótulo indicando la acción u emoción que cada postura sugiere a los/as alumnos/as, después de realizar un torbellino de ideas y consensuar la más adecuada para cada muñeco...

10 agosto, 2015

Elefantes. Para 1º de Educación Primaria.


(Ver a pantalla completa)


Una aplicación que interrelaciona la estadística elemental (recuento y registro en forma de tabla) con la suma y resta (complemento al 10, 20, 30, 40 y 50) y con sencillos problemas aditivos de cambio

Además de los retos propuestos, la aplicación tiene mayor potencial didáctico, pues se puede pedir a los/as alumnos/as que interpreten los datos de cada fila y columna.

21 junio, 2015

El tratamiento del cálculo en el currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía.¿Ambigüedad o contradicción?

La Orden de 17 de marzo de 2015 desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía.

Me voy a centrar aquí exclusivamente en el área de Matemáticas, y más concretamente en el tratamiento del cálculo en dicha orden. 

En primer lugar observo que las cuestiones generales sobre el mismo vienen muy bien recogidas, de manera coherente y fundamentada didácticamente, tanto en la presentación del bloque 2 ("Números") como en las orientaciones metodológicas. Personalmente comparto la gran mayoría de estas indicaciones. Sin embargo, a medida que se relacionan los objetivos y contenidos con los criterios de evaluación y con los indicadores de éstos, percibo ciertas ambigüedades e incluso contradicciones que creo que no son producto de una incorrecta interpretación por mi parte.

He recogido en 10 puntos, y literalmente, las indicaciones más generales que sobre numeración, cálculo y resolución de problemas aritméticos escolares se expresan en esta orden :
  • (1) Se entiende la alfabetización numérica como “la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones”.
  • (2) Se entiende el desarrollo del significado numérico como “el dominio reflexivo de las relaciones numéricas  que se pueden expresar en capacidades como: habilidad para descomponer números de forma natural, comprender y utilizar la estructura del sistema de numeración decimal, utilizar las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas para realizar cálculos mentales y razonados”.
  • (3) “Es importante resaltar que para lograr esta competencia no basta con dominar los algoritmos de cálculo escrito; se precisa también desarrollar estrategias de cálculo mental y aproximativo…” 
Aquí percibo cierta separación entre algoritmos de cálculo escrito y las estrategias de cálculo mental. Sin embargo esta separación no ha de ser necesariamente así, ni es lo más conveniente. Los algoritmos de cálculo escrito pueden apoyarse en las mismas propiedades de las operaciones básicas y en estrategias de cálculo similares a las del cálculo mental, solo que facilitándolas gradualmente con el apoyo que supone la expresión y visualización de los pasos intermedios registrados. 
  • (4) “Los números han de ser usados en diferentes contextos, sabiendo que la comprensión de los procesos desarrollados y el significado de los resultados es un contenido previo y prioritario, que va más allá de la mera destreza de cálculo”.
Comprensión y significado se priorizan sobre la mera destreza en el cálculo. Totalmente de acuerdo. Entiendo que la mera destreza en el cálculo hace alusión a la automatización de procedimientos de cálculo.
  • (5) “Interesa principalmente la habilidad para el cálculo con diferentes procedimientos y la decisión en cada caso sobre el que sea más adecuado. A lo largo de la etapa, se pretende que el alumnado calcule con fluidez y haga estimaciones razonables, tratando de lograr un equilibrio entre comprensión conceptual y competencia en el cálculo.”
Lo encuentro ambiguo puesto que anteriormente (4) se ha indicado que la comprensión conceptual es parte prioritaria de la competencia en el cálculo. Creo que se ha utilizado competencia en el cálculo como sinónimo de destreza en el cálculo lo cual contradice en cierta forma y empobrece la indicación dada en el punto 4.
  • (6) “La construcción de los distintos tipos de números a lo largo de las tres etapas y del sistema decimal como base de nuestro sistema de numeración, debe ser desarrollada de forma contextualizada buscando preferentemente situaciones cercanas a las niñas y niños, usando materiales manipulables específicos: regletas de Cuisenaire, bloques multibase, multicubos, etc. Dentro de este proceso de construcción se irán desarrollando, de forma paralela e interrelacionada, las operaciones aritméticas.”
  • (7) “Es conveniente que los alumnos y alumnas manejen con soltura las operaciones básicas con los diferentes tipos de números, tanto a través de algoritmos de lápiz y papel como con la calculadora. Asimismo, es importante que el alumnado utilice de manera racional estos procedimientos de cálculo, decidiendo cuál de ellos es el más adecuado a cada situación y desarrollando paralelamente el cálculo mental y razonado y la capacidad de estimación, lo que facilitará el control sobre los resultados y sobre los posibles errores en la resolución de problemas".
  • (8) “Los problemas aritméticos escolares no deben ser entendidos como un instrumento de comprobación del manejo de las operaciones elementales sino como un recurso fundamental para la comprensión de los conceptos de suma, resta, multiplicación y división. El alumno o la alumna sabrá sumar cuando se sea capaz de resolver una situación problemática en la que la suma sea la operación que deba usarse. Los problemas aritméticos se graduarán pasando de situaciones que se resuelven en una etapa a aquellas de dos o tres etapas.”
  • (9) “Los problemas aritméticos deberán tener en cuenta las diferentes categorías semánticas y graduarse en función de su dificultad”
  • (10) “Los números han de ser usados en diferentes contextos: juegos, situaciones familiares y personales, situaciones públicas, operando con ellos reiteradamente, sabiendo que la comprensión de los procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo y prioritario respecto a la propia destreza en el cálculo y la automatización operatoria.”
Totalmente de acuerdo. Se vuelve a repetir, reforzándolo, el punto 4  que luego se ve oscurecido o diluido en el punto 5.
Para 1º ciclo de Primaria se expresa el siguiente criterio de evaluación:
C.E.1.5. Realizar, en situaciones cotidianas, cálculos numéricos básicos con las operaciones de suma y resta aplicando sus propiedades, utilizando procedimientos mentales y algorítmicos diversos, la calculadora y estrategias personales.
Para este criterio, se expresan, entre otros, los siguientes indicadores:
MAT.1.5.1. Realiza operaciones de suma y resta con números naturales. Utiliza y automatiza sus algoritmos, aplicándolos en situaciones de su vida cotidiana y en la resolución de problemas. (CMCT).
MAT.1.5.2. Utiliza algunas estrategias sencillas de cálculo mental: sumas y restas de decenas y centenas exactas, redondeos de números, estimaciones del resultado por redondeo, cambiando los sumando si le es más fácil. (CMCT, CAA).
MAT.1.5.3. Aplica las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas. (CMCT).
Nada que objetar si no fuera por la ambigüedad que supone la expresión de los siguientes contenidos para el bloque "Números".
2.16. Cálculo de sumas utilizando el algoritmo. 2.17. Cálculo de restas utilizando el algoritmo.
 ¿En qué quedamos?¿El algoritmo o algoritmos diversos?

El contenido siguiente, para 2º ciclo de Primaria, y el indicador MAT.2.5.1 parecen sacarnos de dudas (o sumirnos definitivamente en la duda y la contradicción):
2.18. Utilización de los algoritmos estándar de sumas, restas, multiplicación por dos cifras y división por una cifra, aplicándolos en su práctica diaria. Identificación y uso de los términos de las operaciones básicas.
MAT.2.5.1. Realiza operaciones utilizando los algoritmos estándar de suma, resta, multiplicación y división con distintos tipos de números, en comprobación de resultados en contextos de resolución de problemas y en situaciones cotidianas. (CMCT, CAA). 
¿Significa lo anterior que en primer ciclo se pueden utilizar algoritmos de lápiz y papel diversos y en segundo ciclo hay que cambiar a los algoritmos estándar?
No cabe duda sobre lo que se entiende por algoritmos estándar. Son los algoritmos tradicionales, los de toda la vida, los de nuestros tatarabuelos, los que utilizaron Menéndez Pelayo (1865) o Federico García Lorca (1908) en sus pruebas de reválida, como muy bien nos muestra Antonio R. Martín en "Los algoritmos tradicionales de las operaciones aritméticas:¡Han muerto, pero no han sido enterrados!"

¿Cómo es que después de un adecuado enfoque del cálculo, tanto en la presentación del bloque "Números" como en los objetivos del área, orientaciones metodológicas y criterios de evaluación aparecen luego, como sombras negras, sin fundamentación didáctica alguna, contenidos e indicadores que desdicen lo anterior?

¿Cómo se puede justificar esta ambigüedad o manifiesta contradicción? Admito, personalmente, que entre los algoritmos de lápiz y papel tengan cierta cabida, por su valor histórico y testimonial, los algoritmos estándar; pero defiendo que para cada una de las operaciones aritméticas existen diversos algoritmos de lápiz y papel mejor fundamentados que los algoritmos estándar y más adecuados para conseguir la competencia en el cálculo.


Ana María Juan. 3ºA. Curso 2014_2015. CEIP. Blas Infante. Lebrija (Sevilla)

Así divide Ana María J. y otros/as alumnos/as de 3º de Primaria de mi cole. Maneja los decimales pensando que está repartiendo una cantidad de euros entre un determinado número de personas. Expresa y entiende perfectamente un número decimal de euros (euros enteros más céntimos)... Evidentemente no se trata del algoritmo estándar de la división. Si bien ella no sabe resolver mentalmente y de manera exacta la división, sí sabe que el resultado debe ser algo menor que 10. Es obvio que en el algoritmo de lápiz y papel en el que se apoya hace uso de su grado actual de cálculo mental. Otros/as alumnos/as con menor grado de cálculo mental utilizarían cocientes intermedios más sencillos....No hay ruptura entre el procedimiento algorítmico escrito y el desarrollo de estrategias de cálculo mental.

¿Está esto en contra de las indicaciones sobre cálculo de la Orden citada al inicio? ¿No es posible desarrollar la competencia del cálculo al margen de los algoritmos estándar? ¿Son los algoritmos estándar los más apropiados para lograr competencia en el cálculo?

¿Qué intereses son los que mantienen a ultranza los algoritmos estándar de las operaciones básicas en el currículo de matemáticas de Primaria?


26 mayo, 2015

Reflexionando sobre la educación. Stephen Ball y Pierre Lévy

A modo de continuación con la última pregunta que planteo en la entrada anterior (¿Qué relación guarda toda esta filosofía con la cultura de la performatividad en la educación?) y para favorecer el conocimiento experto y la reflexión sobre esta temática, presento aquí una entrevista realizada a Stephen Ball.

Estandarización y docencia. Stephen Ball.




Me parece también muy interesante para la reflexión esta conferencia sobre "Inteligencia Colectiva para Educadores", de Pierre Lévy.


24 mayo, 2015

"Taller de Poliedros". Ejemplo de Unidad Didáctica Integrada.


Taller de poliedros. Ejemplo de Unidad Didáctica Integrada.

Ejemplo de UDI basada en el área de matemáticas diseñada para el 3º ciclo de Educación Primaria.
"Todo proceso de enseñanza-aprendizaje debe partir de una planificación rigurosa de lo que se pretende conseguir, teniendo claro cuáles son los objetivos o metas, qué recursos son necesarios, qué métodos didácticos son los más adecuados y cómo se evalúa el aprendizaje y se retroalimenta el proceso" (Orden de 17 de marzo de 2015, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía.)

He querido con esta UDI ajustarme al modelo emergente de programación integrada que se propone en trabajos como el que sigue (sobre Integración de las Competencias Básicas en Andalucía) para experimentar las luces y las sombras de la "planificación rigurosa":


Como mi pensamiento es eminentemente práctico, planifico ante todo en forma de tareas y actividades. Estas, dada mi experiencia, son las que vienen primero a mi mente y no me resulta difícil estructurarlas de manera coherente y darles unidad. Las tareas que tenía en mente, previo a la realización de la UDI y antes de formularlas, se ajustaban perfectamente a las orientaciones metodológicas. Casi con esto me bastaba... Los demás elementos de planificación  no han tenido para mí tanto peso como las orientaciones metodológicas. No obstante, me han servido para ir y venir de las actividades y tareas a dichos elementos (objetivos, contenidos, criterios de evaluación,...), y viceversa, para así ampliar, suprimir y/o modificar actividades de manera que se ajustara la integración de los elementos curriculares de manera más coherente .

No me ha resultado fácil (ni en tiempo ni en esfuerzo y a pesar de mi gran experiencia en el tema) realizar la integración de los elementos, sobre todo porque  los formatos normales en que nos comunicamos por escrito son insuficientes, al menos para mí, para crear una tabla tal que integre de manera clara, atractiva y eficaz la totalidad de los elementos de planificación haciendo corresponder, además, unos con otros. Necesitaríamos, para ello, una "sábana" enorme que no resultaría nada práctica... Además, son tantos los elementos curriculares a integrar que continuamente he sentido la fragmentación de mi pensamiento "integrado", la sensación de tener que encajar sobre el papel numerosas piezas de un puzle que yo ya sé encajar en mi pensamiento y desarrollar en mi desempeño profesional docente...

Así, por ejemplo, he incluido los indicadores (INDICADORES CORRESPONDIENTES A LOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN del grado de adquisición de las Competencias Básicas - que son concreción y secuenciación de los estándares de aprendizaje evaluables) sin hacerlos corresponder con las actividades sino con las tareas, dado que son muchas las actividades propuestas y hay indicadores que se repiten. ¿Qué hacer con los indicadores que se repiten en determinadas tareas? ¿Repetirlos en los documentos de planificación? ¿Marcarlos como especialmente relevantes?  Otro motivo por el que presento los indicadores por tareas es la constatación de una dificultad añadida: una determinada actividad puede incidir en parte de un indicador y no en su totalidad como ocurre con bastante frecuencia. Esto es así si nos ceñimos estrictamente a los indicadores que vienen dados en la Orden. Si, por el contrario, hubiera pretendido que  las tareas apuntaran siempre a la totalidad de lo descrito en los indicadores, al pie de la letra, se hubiera visto mermada mi libertad y creatividad en el diseño de actividades. Actuando con este último criterio, he constatado que se favorecería la homogeneidad de mi UDI con UDIs similares - sobre la misma temática-  realizadas por otros autores.)

  • ¿Estamos los/as profesores/as preparados para planificar la enseñanza-aprendizaje de esta manera tan rigurosa
  • ¿Hay una única forma de entender la planificación rigurosa?
  • ¿Se promociona la creatividad o la estandarización de productos?  
  • ¿Serán las editoriales quienes planifiquen por nosotros? 
  • ¿Qué relación guarda toda esta filosofía con la cultura de la performatividad en la educación?

21 abril, 2015

Material impreso para matemáticas del CEIP. Ignacio Halcón. Lebrija(Sevilla)

Desde hace ya más de una década mis colegas (excompañeros y amigos)  del CEIP. Ignacio Halcón de Lebrija (Sevilla) vienen diseñando sus propios materiales de matemáticas, que reprografían en color para su alumnado, como alternativa a los libros de texto. Dichos trabajos configuran su proyecto curricular de Matemáticas.

De una manera especial se incide en modelos de resolución de problemas. Si los enlazo aquí es porque comparto lo fundamental de su enfoque y porque los considero trabajos de calidad, de indudable interés y utilidad para maestros y maestras de Educación Primaria. Por otra parte, considero muy atractiva esta presentación de sus materiales subidos a Calaméo.

Trabajos de matemáticas del CEIP.  Ignacio Halcón. Lebrija (Sevilla)
(Haz clic sobre la imagen para acceder a los documentos)



12 abril, 2015

Adquisición de estrategias en técnicas de conteo.

Fuente: http://gmartinezor.wix.com/tecnicas-de-conteo
Fuente: http://gmartinezor.wix.com/tecnicas-de-conteo

Las imágenes anteriores, en las que se muestran alumnos/as colombianos/as utilizando aplicaciones digitales de didactmaticprimaria ( concretamente de "Laboratorio básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria", 1º premio a materiales educativo del ITE_2010), corresponden al sitio web  http://gmartinezor.wix.com/tecnicas-de-conteo, en la que se ilustra la construcción de un objeto virtual de aprendizaje (OVA) para la adquisición de estrategias en técnica de conteo. Dicho OVA ha sido realizada por Germán Martínez Ortega, licenciado en matemática, como Trabajo de Tesis presentado  a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia como requisito parcial para optar al título de MAGISTER EN ENSEÑANZA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES, en Bogotá, D.C. Julio de 2013.

Germán Martínez Ortega contó con mi permiso para la realización de esta obra derivada de otras de mi autoría que forman el núcleo de las unidades didácticas que componen este OVA. También yo cuento con su agradecimiento:






18 enero, 2015

El gran error en la enseñanza de matemáticas, según J.A. Fernández Bravo.

El día 8 de enero, El Confidencial publicó un artículo titulado "Uno de nuestros mejores profesores señala el gran error en la enseñanza de matemáticas", en el que José Antonio Fernández Bravo, decano de la Facultad de Ciencias Sociales y de la Educación de la Universidad Camilo José Cela, analiza los errores fundamentales que se dan en la enseñanza de las matemáticas a la vez que propone ocho ideas para mejorarla...

José Antonio Fernández Bravo. Fuente: El Confidencial.
José Antonio Fernández Bravo. Fuente: El Confidencial.
"...Quizás no interese que se genere pensamiento, que se genere autonomía, observación y crítica en el ciudadano. Quizás sea todo una pantomima y un disfraz con un telón de fondo en el que dice ‘no me interesa que pienses’, porque hoy ya se sabe cómo se puede generar pensamiento”.
La sexta idea, que me interesa especialmente, se recoge así en este artículo:

6. La tecnología debe ser un medio, nunca un fin.
“Las nuevas tecnologías mal utilizadas están evitando la manipulación de materiales, el entendimiento y la comprensión”, asegura Fernández Bravo con rotundidad. ¿Qué estamos haciendo con las nuevas tecnologías? Según el decano, “sustituir el papel impreso del libro por la misma imagen no trabajada del libro que se ve en la pizarra digital. Se puede enseñar mejor con dos palos y tres piedras que con las modernidades más grandes, porque en definitiva no hay avance mientras no haya mejores resultados con menos esfuerzo”.
Entiendo perfectamente lo que quiere decir J.A. Fernández Bravo, y pienso que es cierto en gran medida, pero tal vez lo haya expresado de forma muy  general y rotunda sin contemplar, como excepción, el loable y muy poco apoyado esfuerzo que bastantes docentes, convertidos también en desarrolladores de software educativo, estamos realizando en este sentido movidos por el "Principio de la Tecnología" en la educación matemática. Una minoría de docentes, por lo general silenciosa y silenciada, que tiene que hacer "juegos malabares" para integrar equilibradamente conocimientos curriculares, conocimientos didáctico-pedagógicos y conocimientos tecnológicos para conseguir aplicaciones TIC que vayan más allá del libro de texto y que favorezcan un uso constructivo y no instructivo de las TICs; desarrollando materiales didácticos digitales que concreten e ilustren el tratamiento de resultados ampliamente admitidos por la Didáctica de la Matemática; desarrollando materiales digitales eficaces, a pie de aula, para el tratamiento de la diversidad, el aprendizaje autónomo o semidirigido y por descubrimiento; materiales que reduzcan el esfuerzo de profesores y alumnos a la vez que faciliten un mejor tratamiento tanto de los principios internacionalmente admitidos para la educación matemática como de aspectos relevantes del currículo de esta área; aplicaciones digitales enfocadas a hacer realidad una matemática intuitiva, dinámica, interactiva... así como al logro de mayor competencia matemática...Materiales didácticos virtuales que también demandarán su derecho a formar parte de la historia de las materiales educativos para la enseñanza-aprendizaje de la matemática y que no están ya en la esfera del "esto es lo que se debe hacer" (más teórica y especulativa) sino en la del  "esto es lo que yo he hecho", que permite avanzar realmente mediante el análisis y mejoras evidentes de lo existente...

Me voy a permitir aquí añadir, a las ocho mencionadas por J.A. F. Bravo, una idea más para la mejora de la enseñanza de las matemáticas:

9. La formación del profesorado debe corregir el actual desequilibrio entre teoría y práctica.
Creo que los hábitos asociados a la economía especulativa (en su acepción de fraude) propia de los tiempos en que vivimos han influenciado nuestra manera de aceptar, entender y afrontar todos los ámbitos de lo social. Se pone más en valor la apariencia que la esencia. Son las "autoridades", en todos los ámbitos de lo social, quienes crean "las verdades" y no "las verdades" las que se constituyen en "autoridades". 

En el ámbito de la formación del profesorado también hemos asistido a un exceso de especulación (en su acepción de teoría, reflexión) en tanto en cuanto muchas acciones formativas (también demasiadas "investigaciones" y tesis) se dan en forma de "paquetes teóricos" justificados y avalados por el prestigio (+ influencia + marketing) de los ponentes y armados de manera coherente pero que no necesariamente tienen un fin práctico (a pesar de que siempre se puedan dirigir justificadamente hacia la mejora de la calidad de la enseñanza) ni tienen que ser contrastados en la realidad (o no tiene sentido hacerlo debido al número de variables de que depende)... Siendo la reflexión teórica sobre la enseñanza-aprendizaje algo muy necesario, creo firmemente que es más necesario corregir el desequilibrio entre la teoría y la práctica educativa. La formación del profesorado en matemáticas debe dar más peso al análisis crítico, a pie de aula, de "variables educativas relevantes", a través del contraste de opiniones, del estudio de actuaciones y producciones concretas del profesorado...


07 enero, 2015

Regletas de Cuisenaire. Versión digital.





Son muchos los vídeos , documentos teóricos y prácticos ("Trabajamos con las Regletas") que ilustran el interés y potencial didáctico de los "Números en color" de Cuisenaire, y relativamente numerosas las versiones digitales que se han hecho de las regletas.


He sido reticente durante años a realizar una versión digital de las regletas de Cuisenaire, sobre todo porque ya existían otras versiones. Curiosamente, todas las versiones que he encontrado, en las que las regletas se pueden desplazar, se basan en la representación plana de las mismas. No sé si esto se ha hecho así intencionadamente por parte de los desarrolladores, en atención a características psicológicas específicas de las edades de los alumnos a los que se destinan, o bien para eludir las dificultades técnicas añadidas que conlleva la representación tridimensional. Me temo que esto último ha tenido más peso en el diseño... Personalmente, yo sólo encuentro ventajas en la representación tridimensional de las regletas. Ésta ha sido una de las principales razones que me ha motivado a realizar esta aplicación, al constatar que existía espacio para la innovación y la mejora…

Me voy a centrar aquí exclusivamente en un análisis somero y crítico de estas versiones digitales desde el respeto y la consideración que merecen sus autores. Con el enfoque implementado en mi trabajo  “Evaluación de Contenidos Educativos Digitales Multimedia _ Matemáticas (CEDMMat)”, todas ellas pueden ser analizadas a la luz del modelo TPACK, es decir, desde el punto de vista de los diferentes grados de intersección o integración, logrados por los desarrolladores de estas versiones digitales, entre tecnología, didáctica-pedagogía y contenidos para asegurar una implementación exitosa de las TIC, entendiendo y aceptando que La tecnología optimiza (o puede optimizar) los procesos de enseñanza-aprendizaje con una compleja interconexión de tecnología, contenidos y pedagogía.

No descubro nada al afirmar que las regletas de Cuisenaire son un excelente material didáctico para la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, o al afirmar que se trata de un material polivalente. En el ámbito de las versiones digitales esto ha sido muy bien recogido en la aplicación “regletas”, de José Antonio Cuadrado. Se trata de una aplicación muy completa en este sentido. Ilustra cómo pueden utilizarse las regletas para trabajar múltiples conceptos, dada la polivalencia del material. Quizá haya descuidado aspectos como la manipulación libre, ya que no se pueden borrar regletas colocadas, no se ha contemplado la atracción a la cuadrícula y las regletas de las cuales se extraen copias ocupan demasiado espacio de la pantalla de trabajo….

La mayoría de los desarrolladores ha optado por realizar versiones elementales que contemplan exclusivamente la manipulación libre permitiendo obtener y colocar copias en pantalla, una a una, de las diferentes regletas. Éstas pueden presentar dos orientaciones: horizontal y vertical. Generalmente se contempla la atracción o ajuste a una cuadrícula (visible o invisible) para facilitar la colocación y exactitud en la composición realizada. He aquí algunas aplicaciones con las características descritas, todas ellas muy parecidas entre sí:

  • La versión digital desarrollada por Ángel Martínez Recio (Universidad de Córdoba. España) tiene un diseño excesivamente elemental. La manipulación resulta poco atractiva al utilizar regletas muy pequeñas y muy pocas opciones de configuración. Resulta una aplicación pobre atendiendo a aspectos multimedia y a su interactividad.
  • Algo análogo se puede decir de "Regletas de Cuisenaire con Geogebra" realizada por José Manuel Infante. Ni tan siquiera permite clonar regletas. Y es que Geogebra es un muy buen software pero resulta muy limitado cuando se pretende utilizarlo como Flash...
  • La versión digital de NRICH enriching mathematics facilita el giro de las regletas pero hay que elegir siempre regleta antes de colocarla. Al igual que la anterior, no facilita el clonado de regletas del mismo valor y tiene muy pocas opciones de configuración.
  • http://www.escolovar.org/mat_numero_cuisenaire1.swf. Prácticamente igual a las anteriores.
  • NumBlox, de Math Toybox. Con respecto a las anteriores, añade la posibilidad de escribir en pantalla.
  • De la aplicación Mathbars, de MathPlaygroundhe tomado el modo de elegir el valor de la regleta.
  • En un nivel básico de diseño se encuentra también la versión para JClic  realizada por Miren GarraldaEs también muy limitado su potencial didáctico-pedagógico. Se centra en la asociación regleta color - número simbólico, ordenar de menor a mayor, sumar1, descomposiciones alternativas de números sencillos…Todo ello de manera cerrada sin posibilidad de que los niños manipulen con las regletas.
  • La versión de learningmath aporta modo libre y propone, además, algunos problemas. Facilita el clonado de regletas del mismo valor, por simple pulsación, y su colocación en la pantalla de trabajo. Representa un avance con respecto a las anteriores.

En otro nivel más avanzado de diseño nos encontramos con aplicaciones tales como:
  • El Proyecto Medusa ofrece “Los números que suman 10” y “Las sumas dobles”. La primera es bastante mejor desde el punto de vista del diseño multimedia que desde el punto de vista de su potencial didáctico-pedagógico. Considero que se ha realizado un gran esfuerzo para el tratamiento de un contenido muy específico y reducido a través de una propuesta excesivamente cerrada, dirigida y convergente, sin contemplar la manipulación libre….La segunda aplicación comparte características con la primera. Presenta regletas  tridimensionales pero sin la posibilidad de que el alumno realice acciones con ellas. Se utilizan para ilustrar la fase gráfica previa a la realización de actividades simbólicas (con números y signos) que son el verdadero objetivo de la aplicación.
  • Vedoque nos ofrece una versión digital de las regletas con una manipulación no demasiado ágil debido a que no facilita el clonado de piezas del mismo valor y porque las piezas, mientras se desplazan, se ajustan a la cuadrícula. Eso causa el efecto de un desplazamiento discontinuo. Además de la manipulación libre, ofrece 20 interesantes puzles planos. Las regletas nunca presentan el símbolo numérico correspondiente a su valor ni las divisiones en regletas unitarias (blancas), aunque sí se facilita el recuento de unidades de cada una de ellas.
  • Las muy conocidas regletas realizadas por  Gil Gijón Canal, David Cantos Vila y Maximina Fernández Orviz son una aplicación muy completa y elaborada. Muy equilibrada en sus aspectos téncicos y didáctico-pedagógicos. Como única pega, encuentro que, en modo jugar,  propone actividades de completar con valores numéricos que necesitan hacer uso del teclado, con lo que no se adaptan a la pizarra digital al requerir un teclado auxiliar. En este modo, la manipulación no resulta ágil debido a que no facilita el clonado de piezas del mismo valor.
  • Como ya indiqué anteriormente, las regletas de José Antonio Cuadrado son una aplicación muy completa. Ilustra cómo pueden utilizarse las regletas para trabajar múltiples conceptos, dada la polivalencia del material. Ha cuidado mucho las explicaciones, mediante vídeos. Quizá haya descuidado aspectos como la manipulación libre, ya que no se pueden borrar regletas colocadas, no se ha contemplado la atracción a la cuadrícula y las regletas de las cuales se extraen copias ocupan demasiado espacio de la pantalla de trabajo…

Encontramos, también, interpretaciones más libres de las regletas y otras aplicaciones derivadas:
  • La versión de la National Library of Virtual Manipulatives, Utah State University es más libre dado que no “respeta” la correspondencia color-longitud propia de las regletas Cuisenaire. Aunque contempla sólo la manipulación libre, permite clonar regletas numéricas de un determinado valor con mucha facilidad…
  • MultipleRepresentations utiliza la regleta unidad y la decena entre otros tipos de representaciones…
  • Fraction bars no utliza las regletas Cuisenaire pero sí “fraction bars” para trabajar las fracciones de una manera muy ágil y eficaz. Si la relaciono aquí es como pretexto para afirmar que aunque las regletas Cuisenaire sean muy polivalentes y permitan ilustrar numerosos conceptos, conviene utilizar, también, diferentes materiales para ilustrar-modelar un mismo concepto. Sería tremendamente aburrido, y poco creativo, utilizar las regletas para todas aquellas situaciones en que resultan adecuadas. 
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He desarrollado la aplicación "Regletas de Cuisenaire" que ofrezco en este post teniendo en cuenta las virtudes y defectos, a mi juicio, de las anteriormente relacionadas. He pretendido en todo momento hacer rica la configuración de posibilidades en cada uno de sus modos de funcionamiento. He considerado prioritario enriquecer las posibilidades en el modo manipulación libre, favorecer el descubrimiento a través de una manipulación que resulte ágil y atractiva facilitando enormemente el clonado de regletas del mismo valor...

El cubo como unidad de diseño tridimensional ya lo había utilizado anteriormente en otras aplicaciones tales como ortoedroGeneración y codificación de policubos por capas,... La utilización del cubo unitario y de la regleta decena en bloques base 10 también son precedentes de esta aplicación. De análoga manera, he utilizado regletas (sin respetar los valores y colores de las de Cuisenaire) en varias aplicaciones que he realizado sobre fracciones.

Invito a los lectores a que descubran el potencial de esta aplicación y a que me hagan llegar las sugerencias que estimen oportunas.