El modelo de barras en el Cálculo y en la Resolución de PAEV

No cabe duda de que la utilización de modelos gráficos para representar tanto las cantidades (conocidas y desconocidas) como las relaciones involucradas favorece la visualización, estructuración y comprensión en la resolución de determinados problemas y orienta al alumno hacia la determinación de las operaciones que debe realizar con los datos.

Si a ello unimos la verbalización de las magnitudes involucradas, en forma de etiquetas de texto, el modelo resultante es un potente heurístico en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal.

Modelos de barras en el cálculo y en la RP. Didactmaticprimaria.net

En esta aplicación utilizo el modelo partes-todo con regletas de Cuisenaire para apoyar el cálculo básico tanto en la estructura aditiva como en la multiplicativa. También utizo el modelo, de manera más ortodoxa, en la resolución de PAEV de estructura aditiva de nivel1.

El modelo que nos ocupa aquí, el "modelo de barras", modelo "parte-todo" ("part-whole"), fue desarrollado en los años 80  y muy utilizado en el "Método Singapur" de matemáticas. Se ha expandido a lo largo del mundo durante los últimos años debido a las altas calificaciones de los alumnos de Singapur en las pruebas PISA.(***) Se trata de un modelo necesario y fundamental por su adecuación a numerosas situaciones, aunque pueden desarrollarse variantes del mismo y considero que no necesariamente se deben atener a la forma en que es comúnmente presentado ya que no deja de ser un caso particular de la representación gráfica de relaciones partes-todo.

Los conceptos TODO y PARTE son ineludibles en la enseñanza-aprendizaje de la matemática. No se puede hablar de matemática relevante si los/as alumnos/as no hacen un uso constante del análisis (descomposiciones diversas de un mismo TODO) y la síntesis (combinaciones diferentes de las mismas PARTES).

Es obvio afirmar que prácticamente todos los libros de texto, desde hace mucho tiempo, han ilustrado, al menos en la representación de fracciones, la relación entre el todo y una parte…

DidactmaticPrimaria utiliza un verdadero derroche de modelos gráfico-dinámicos para favorecer la manipulación, visualización, estructuración y comprensión en la resolución de problemas y retos de todo tipo. Aunque las aplicaciones digitales de DidactmaticPrimaria conforman un proyecto digital que va más allá de métodos específicos de matemáticas, no cabe duda de que apuesta por “experimentar el placer de descubrir” a través de una gran riqueza y variedad de materiales manipulativos (como en el método Montessori, por ejemplo), o por potenciar la comprensión y metacognición a través de modelos relevantes como el modelo de barras del método Singapur..  Así, por ejemplo, he desarrollado y utilizado en mis aplicaciones variantes dinámicas de modelos partes-todo, aún sin conocer el método Singapur,  en:

Figura1: centena dinámica

Figura2: Modelo para resolución asistida de
problemas de fracciones y porcentajes

Figura 3:  Modelo para resolución asistida de problemas de fracciones.

Figura 4:  Modelo para resolución asistida de problemas de porcentajes.

Una centena dinámica (Figura 1).

Diferentes aplicaciones que he realizado para la resolución asistida 
de problemas con fracciones y porcentajes... 
(Figuras 2, 3 y 4 - en una clase con 25 alumnos/as 2 de ellos representan el 8% )

En problemas de móviles basados en el razonamiento aritmético. 

(Figuras 5A y 5B) 

Figura 5.A : "Modelo de barras implícito" en un problema aritmético de móviles.

Figura 5.B : Se han añadido las barras implícitas (que no eran visibles)

En este último caso podemos considerar que las barras están implícitas (Figuras 5 A y 5B) y que se podrían hacer visibles... La barra correspondiente al TOTAL está representada como fija y tiene en sus extremos a los coches que marchan en sentidos opuestos. Podemos asociar mentalmente una barra PARTE a cada coche, con extremos en él y en el punto de encuentro de ambos (el deslizador móvil que determina los valores de las partes y con la que se resuelve el reto propuesto)…

Figura 6: Modelo part-part-whole incluido en "Así Calculamos en mi Cole"

La figura 6 ilustra una aplicación de 2010 en la que incluí, sin conocer la metodología Singapur, un modelo "part-part-whole" en "Así Calculamos en mi cole" (trabajo premiado por el ITE en 2011). La aplicación la incluí en el submenú "Realizamos un cálculo flexible, pensado y mental en la resolución de problemas" con el título "doble/mitad, triple/tercio en la recta numérica". Quizá por todo lo anterior, desarrollado al margen del conocimiento del método Singapur, fuera por lo que en agosto de 2012 escribí el post 

¿Es novedoso el llamado "Método Singapur" de matemáticas? 

manifestando, sobre todo, mi extrañeza por la pompa y publicidad que determinada editorial y particulares - que aludían incluso a sus propiedades mágico-milagrosas- daban a algo que para mí no suponía novedad...

En el documento "El modelo de barras: una estrategia para resolver problemas de enunciado en Primaria", Sergio Urbano Ruiz, José Antonio Fernández Bravo, y María Pilar Fernández Palop, todos ellos de la Universidad Camilo José Cela, España, realizan un análisis interesante del modelo.

Resulta curioso (y motivo para la reflexión) que la primera imagen que encontramos en la web http://singapur.polygoneducation.com/, precisamente para ejemplificar el modelo de barras en la RP, ilustre y resuelva (o exprese) de manera incorrecta el problema propuesto. Puede que esto ponga de manifiesto una realidad más profunda: La representación gráfica interactúa con las relaciones representadas mentalmente, en un proceso de verificación continua de la adecuación entre las imágenes mentales, las relaciones verbalizadas lingüísticamente (al menos subverbalizadas) y lo que se plasma gráficamente. Se constata, así, que una de las dificultades más importantes en los problemas que expresan relaciones con números es el dominio del lenguaje...

Al menos debería haberse revisado el ejemplo propuesto para evitar errores y ambigüedades...

Gabriela compró 4/5 de kg. de azúcar. Ella usó 3/5 de esa cantidad (de la cantidad comprada) para hacer unos postres.

¿Cuánto azúcar usó? (La unidad de referencia aquí es la cantidad de azúcar que compró. No interesa, aquí, la que no compró, puesto que entonces la respuesta sería obvia y haría totalmente innecesaria la representación gráfica de la situación)

¿Cuánta azúcar le sobró? (Idem).

Sí, me reafirmo en que una de las dificultades más importantes en los problemas que expresan relaciones con números es el dominio del lenguaje...Observemos la más que ambigua utilización de la expresión "tres veces más" en esta imagen correspondiente a una captura de pantalla de un vídeo publicado en Youtube:

(***): Una circunstancia a tener en cuenta es que Singapur es una ciudad Estado de cinco millones de personas, con un PIB per cápita de 81.000 euros (el de España, por ejemplo, es de unos 28.000 euros).