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29 junio, 2020

Las investigaciones asistidas en MATE.TIC.TAC

Invertir triángulos de bolas. Investigación. Proyecto MATE.TIC.TAC

Son numerosísimas las investigaciones, relativamente complejas, que se proponen en el proyecto MATE.TIC.TAC, y que se hacen fáciles al estar asistidas por espacios de exploración interactiva bien diseñados, con todo el "andamiaje" necesario para avanzar con seguridad en la consecución del objetivo propuesto.

El reto de invertir un triángulo de bolas desplazando un número de ellas (el mínimo, que generalmente se da) es frecuentemente propuesto en matemáticas, en diferentes niveles. Lo que no es frecuente es proponer la generalización del reto a partir de la exploración de un número suficiente de casos particulares, utilizando un proceso inductivo informal, de naturaleza experimental.

Un buen número de las investigaciones propuestas en MATE.TIC.TAC ( y que no se encuentran así, ni por asomo, en la gran mayoría de los proyectos digitales de matemáticas) se basan en la exploración de relaciones numérico-geométricas, en la búsqueda de patrones o regularidades numérico-geométricas...

Evidentemente, el diseño de las mismas es incomparablemente más exigente que la propuesta del mismo reto expresada por escrito y apoyada con alguna imagen estática. Requiere que, previamente, el desarrollador haya experimentado, investigado perfectamente el tema que propone, haya descubierto las regularidades implícitas...Y luego sepa implementar adecuadamente los espacios de exploración interactiva para facilitar el trabajo de los alumnos/as ( y de los docentes). 

Hoy mismo me ha llegado a mi móvil un artículo de EuropaSur titulado "Para qué las matemáticas". Evidentemente, lo he leído. Reproduzco, aquí, parte de los párrafos finales: 


"Desde siempre, y ahora más que nunca, debe fomentarse el estudio de las matemáticas al mismo nivel que el de la lengua materna, como se hacía antes de que el movimiento “hacer todo sin esfuerzo” se fuera apoderando de las mentes de los legisladores. Profesionales de la nada –terminada en “gogo”− que han conseguido convertir los libros de texto en revistas ilustradas y tebeos de colorines, y convencer a los administradores públicos de que se puede enseñar una materia sin sabérsela, dando instrucciones del método de enseñar lo que sea sin que haya que tener idea de lo que es.
La matemática subyace a todo, es el lenguaje de la Naturaleza. Todos esos avances que percibimos en comunicación, información y previsión, en procesamiento de imágenes y en reconocimiento de patrones, en seguridad, en criptografía, están escritos en esa lengua universal que como la música pertenece a todos y es sustancial a todas las sensaciones. España es hoy una potencia mundial en Matemáticas [...] Nos falta una sociedad concienciada y sensible a lo importante, y un sistema educativo que no confíe la enseñanza de la matemática a los que no han sido, ellos mismos, educados en su metodología; más de la mitad de los profesores de primaria y secundaria en España, no son matemáticos de formación."

Sí, la realidad de la escuela, al menos en España, es que un elevado porcentaje de docentes de matemáticas dotados, no cabe duda, de gran entusiamo y de las mejores intenciones, ha tenido poco contacto, en su formación inicial, con la matemática y su didáctica , o no las ha "vivido" o experimentado suficientemente... 

En un contexto así no es fácil que el criterio general y predominante sea el más adecuado para orientar el desarrollo de competencias matemáticas en los/as niños/as. Y pueden incluso "viralizarse" tendencias nada convenientes, gracias al poderosísimo altavoz que suponen las redes sociales, o al poder tergiversador y de "burbuja" del marketing, o al poco análisis crítico,...

Para mí - que no soy sospechoso de no conceder al cálculo mental la importacia que merece- un ejemplo de esto último es la constatación del elevado porcentaje de docentes que asocian la excelencia en matemáticas con la excelencia en el cálculo, la proliferación de los campeonatos de cálculo mental, o que se publicite un método de cálculo como una revolución en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, o que se "venda" un buen nivel de cálculo mental como "superpoderes" para "supehéroes" (lo he comentado en repetidas ocasiones) , o que vaya calando -incluso entre los propios docentes- que la matemática que se ofrece fuera de la escuela (en manos de startups, franquicias de métodos, ...) no pueda darse, y con más calidad, dentro de la escuela...

¿Hemos desarrollado los docentes de matemáticas suficientemente las competencias que perseguimos desarrollar en los/as niños/as?¿O no es necesario que un docente de matemáticas haya desarrollado previamente competencias matemáticas?

Bueno, no quiero alargarme. Lo que sí es cierto es que instrumentos como los del proyecto MATE.TIC.TAC ya preparados y flexibles, "prêt-à-porter", pueden facilitar en gran medida la docencia en matemáticas, aunque éstas no se hayan "vivenciado" suficientemente. Dado el elevado potencial didáctico implementado en su desarrollo, es fácil transferir eficazmente gran parte de esta "energía potencial" a la enseñanza-aprendizaje.

Y para acabar, algo que recojo en la Guía Didáctica de MATE.TIC.TAC:

Algunos docentes me han manifestado que con estas aplicaciones ellos/as aprenden a la par que sus alumnos/as. Y así debe ser, y no es motivo de pudor ni de considerarse un docente mediocre. Como ya se refirió anteriormente, estas aplicaciones refuerzan también el rol del profesorado y apoyan enormemente la tarea de la enseñanza sin quitar protagonismo a los docentes, facilitando que incluso docentes con poca formación sean protagonistas de una enseñanza de calidad, se sientan seguros y más expertos en la materia. Soy consciente de que muchos de los docentes que imparten el área de matemáticas, por razones diversas, no han tenido la oportunidad de vivenciarlas, de recrearlas, de descubrir sus conexiones y la diversidad de sus procedimientos y métodos en cada uno de los bloques de contenidos… Si no se ha ”vivido” la Geometría, por ejemplo, se tendrán pocas expectativas en relación con este bloque… y se acabará haciendo lo de siempre, algunas actividades de simple reconocimiento…
 MATE.TIC.TAC va dirigido, en primera instancia, al profesorado ayudándole a tener una visión amplia, rica e innovadora de la matemática curricularmente relevante. Facilita los instrumentos para implementar una enseñanza-aprendizaje de la matemática acorde con esa visión. En este sentido tiene, también, un alto valor formativo para el profesorado. El proyecto debe considerarse, siempre, una propuesta abierta supeditada al profesorado, que debe gestionarla e integrarla de la manera más eficaz para su grupo-clase.



15 junio, 2020

Conflicto cognitivo. ¿Solo para alumnos/as?

Engranajes o ruedas dentadas. Proyecto MATE.TIC.TAC


-“No sé, no me suena mucho a matemáticas para Primaria. No me parece demasiado adecuado. ¿No es muy complicado?…”

Algo así me comentó, a bote pronto,  un colega docente, con más de 10 años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas en 3º ciclo, al presentarle “Ruedas dentadas” como aplicación para alumnos/as a partir de  5º-6º  de Primaria. A lo que yo le respondí, algo muy parecido a esto:

-“No dudo en que les va a crear el necesario conflicto cognitivo. A ti parece habértelo creado, o al menos cierta extrañeza… Soy consciente de que es una propuesta poco o nada frecuente. Pero ten en cuenta que los contenidos que se trabajan en matemáticas, los problemas, los contextos, las imágenes, etc… siguen estando muy condicionados por una larguísima tradición impresa y por lo que sobre el papel se puede mostrar, ilustrar y proponer

Eso es lo que habitualmente la mayoría de docentes considera “apropiado” en tanto que frecuente y conocido…Es lo que está en su zona de desarrollo próximo y no le causa ni extrañeza,  ni conflicto cognitivo… Evidentemente, sobre el papel, no se puede proponer un sistema de ruedas dentadas perfectamente acopladas cuyo movimiento se puede iniciar, detener o reanudar a voluntad accionando los botones de un cronómetro…¡Pero qué maravilla que esto sí se pueda realizar con el uso de tecnología!


Si lo consideras desde el punto de vista del desarrollo de subcompetencias matemáticas, tendrás que admitir que contiene elementos que favorecen un conflicto cognitivo y el andamiaje necesario para facilitar el enfrentamiento de los conocimientos previos con los aquí involucrados: división de la circunferencia en partes iguales, ángulos correspondientes a una vuelta completa o a fracciones de vuelta, divisibilidad (¿cuándo coinciden las ruedas acopladas en sus posiciones iniciales?), medida del tiempo, valoración de errores en la medida actitud científica de verificación de hipótesis, proporcionalidad directa (en ruedas dentadas acopladas, a doble número de dientes corresponde un tiempo doble en completar una vuelta), proporcionalidad inversa (en ruedas dentadas acopladas, a doble número de dientes corresponde una velocidad de giro mitad …), formas alternativas de expresar la velocidad de giro (vueltas/minuto, rpm,…),... 

Mi colega seguía haciendo de abogado del diablo.

- Cuando digo que no me parece demasiado apropiado es porque quizá las ruedas dentadas o engranajes no son demasiado familiares para los/as alumnos/as de Primaria.

- Bueno, puede que no sea muy familiar pero tampoco es algo extraño. Los piñones de una bicileta son ruedas dentadas. Muchos relojes analógicos muestran su maquinaria, en la que se observan engranajes. El engranaje es un símbolo frecuentemente utilizado para referirse a la tecnología. Están presentes en no pocos juguetes y no digamos del sinfín de construcciones humanas en las que se utilizan...La rueda de tres dientes tiene forma de  "spinner", muy conocido por todos ellos y, antes de pasar a los retos propuestos, se propone, a modo de juego, acoplar adecuadamente una cantidad variable de "spinners" para que giren y visualizar una construcción geométrica móvil... Además, no todos los contextos adecuados tienen que ser necesariamente familiares. Pueden extraerse, también, de la propia matemática...Lo importante es que resulten atractivos y sugerentes, que faciliten el despliegue de actividades matemáticas relevantes, que tengan potencial didáctico...

Date cuenta de los contenidos propios del 3º ciclo que se pueden trabajar aquí interconectados… ¡Ese es el camino para el desarrollo de verdaderas competencias matemáticas! Además, se repasan conocimientos previos y se va graduando la dificultad de los retos propuestos…”

- ¿Cómo has diseñado tantos engranajes diferentes y compatibles entre ellos? Su acoplamiento es perfecto...

-Pues haciendo usos de mis competencias matemáticas, sobre todo geométricas (el dibujo es el principal y más importante procedimiento de la Geometría). Pero requiere cierto dominio de la trigonometría. Diseñar un sistema de engranajes como éstos sería un reto interesante para alumnos/as de Bachillerato...

Y es que aún hoy, nuestra concepción de lo que es la matemática de Primaria está tremendamente condicionada por nuestra propia experiencia escolar y, sobre todo, por la "matemática impresa". Imagino que algún día se valorará en su justa medida el salto cualitativo que supone aportar a la enseñanza-aprendizaje de la matemática métodos, procesos y actitudes, "nuevos paisajes matemáticos", que no siempre son accesibles con fichas ni con libros de texto, ni con otros materiales analógicos... 



21 septiembre, 2019

El teorema de Pick para alumnos/as de Primaria.



El Teorema de Pick (yo prefiero en Primaria hablar de fórmula de Pick) no suele incluirse en el currículo de Matemáticas de Educación Primaria, a pesar de ser enormemente visual y fácil de comprobar, incluso utilizando sólo papel cuadriculado. Los conceptos topológico-geométricos (interior, frontera, área, puntos alineados o sobre una misma recta,...) y operaciones (+,-,x,:) implicados en su comprobación son muy sencillos. Todo ello lo hace apropiado para los últimos niveles de Primaria en los que pocos teoremas se adecuan al nivel de los/as alumnos/as.

Dado que en MATE.TIC.TAC se utilizan mucho las tramas de puntos interactivas para el desarrollo de subcompetencias geométricas, sería un fallo no ofrecer a los/as alumnos/as de 3º ciclo de Primaria la oportunidad de comprobarlo en el cálculo de áreas de figuras con vértices en diferentes tramas, o al menos en la trama ortométrica (en la que suele presentarse casi siempre). Pero, obviamente, no es necesario contar con tramas interactivas para su correcto tratamiento didáctico. Basta con tramas impresas sobre papel y lápices de varios colores.

(La versión que aquí presento es una actualización de esta otra ya disponible en mi blog, desde 2011)

Contribuye a la formación en valores de los/as alumnos/as, como una oportunidad más de constatar que la matemática es patrimonio de la humanidad, que no es algo acabado, y que a ella han contribuido, y contribuyen, muchas mentes, como es el caso de Georg Alexander Pick. Se puede aprovechar el hecho de que Pick fue un matemático de origen judío, nacido en Austria, que murió en el Campo de concentración de Theresienstadt para considerar la realidad humana que subyace detrás de determinadas aportaciones.

Además de conocer un interesantísimo patrón en relación con el cálculo de áreas en situaciones discretas, invita a razonar y justificar el área ya conocida del polígono trazado por procedimientos más generales: dividiendo la figura en polígonos más sencillos y calculando el área total como suma de áreas parciales. Esto último tiene un gran valor didáctico. 

La comprobación interactiva de la fórmula de Pick resulta fácil para alumnos/as de 5º y 6º de Primaria. Didácticamente,como se ha comentado anteriormente, conviene proponer figuras de área conocida, calculada con la fórmula de Pick, por ejemplo, para justificar argumentadamente su área utilizando también otras estrategias.

Se presenta primero la fórmula de Pick en una cuadrícula (o trama ortométrica de puntos). En otra escena, los puntos de una misma trama isométrica pueden ser considerados tanto los vértices de una malla triangular como de una malla rómbica. Elegir uno u otro de estos polígonos unitarios de la malla como unidad de superficie, conlleva multiplicar o dividir la fórmula de Pick por 2. 

Para el caso de la malla rómbica y el rombo como unidad de superficie, las fórmula de Pick coincide con la fórmula para una malla cuadrada o rectangular (A = nI + nF/2 - 1)*. Sin borrar la figura realizada, pero eligiendo la malla triangular y el triángulo equilátero como unidad de superficie, se comprueba como el área viene ahora dada por la misma fórmula, solo que multiplicada por 2: (A = 2nI  + F - 2).

(*) 
nI = número de puntos de la trama en el interior del polígono.
nF= número de puntos de la trama en la frontera del polígono (lados).



19 agosto, 2018

Pentaminós, hexadeltas y tetraescuadras.

Pentaminós, hexadeltas y tetraescuadras.


¿Qué decir de las “familias de figuras” obtenidas a partir de un sencillo criterio geométrico?

Si pensamos, por ejemplo, en los diferentes niveles de organización de la materia viva (subatómico, atómico, molecular, celular, pluricelular,...) comenzamos a entender cómo lo más complejo surge de lo más simple organizado de infinidad de maneras diversas que hace posible  la  combinatoria de los elementos más simples…

El concepto de unidad es de los más abstractos en matemáticas, porque una unidad considerada a un determinado nivel es una pluralidad compleja a otros niveles (un elefante, un triángulo,…)

Pues bien, un procedimiento que guarda analogía con el que sigue la propia Naturaleza para crear su diversidad, podemos implementarlo con las "familias de figuras". Las figuras elementales serán las unidades, los "átomos" con los que se pueden formar "moléculas" más complejas...

El razonamiento espacial actúa sobre figuras geométricas por medio de operaciones básicas entre las que destacan el análisis (descomposiciones diversas de un mismo todo) y la síntesis (combinaciones diferentes de las mismas partes) teniendo en cuenta la orientación espacial de las figuras. El análisis y la síntesis son habilidades cognitivas constitutivas de nuestra inteligencia. Las utilizamos cuando leemos, cuando descomponemos y componemos números, cuando componemos y descomponemos figuras,… Desarrollan tanto nuestro pensamiento convergente (partes diferentes se organizan configurando un mismo todo final) como el pensamiento divergente, inventivo y creativo (las mismas partes se organizan en todos que son diferentes). 

Por otra parte, el razonamiento espacial no sólo es básico para disciplinas matemáticas (Geometría, Topología,...) sino que es básico en disciplinas técnicas (Arquitectura, Microelectrónica,…)

Creo que está más que justificado ofrecer en el currículo de matemáticas la posibilidad de que los/as alumnos/as jueguen con figuras tan especiales como los pentaminós, hexadeltas y tetraescuadras, que exploren posibilidades de agruparlas, etc…

El problemas es que la/s experiencia/s que se proponen como enriquecedoras para los/as alumnos/as deberían haberlas tenido antes los docentes. Esto, en la mayoría de los casos, no es así, sobre todo tratándose de experiencias geométricas… Por ello, una aplicación interactiva como ésta, esencialmente visual, dinámica y constructiva, en la que se proponen y se implementan novedosas investigaciones geométricas, resulta un instrumento ideal para facilitar esa experiencia a alumnos/as y docentes…

¡Qué la disfruten!

Ver, también,  






10 abril, 2016

Trazado de polígonos regulares en Primaria.





Esta aplicación es el núcleo de los aprendizajes conceptuales y procedimentales necesarios para llevar a cabo la UDI "Trazamos un polígono regular de gran tamaño en el patio del colegio" que, en breve, voy a  desarrollar con mis alumnos/as de 4º de Primaria.

En ella se interrelacionan de manera productiva contenidos aritméticos (divisores de 360), geométricos (circunferencia, círculo, arco, cuerda, radio, diámetro, sector circular, segmento circular, ángulo central,...) y de medida (medida directa de segmentos, medida directa y determinación razonada de amplitudes angulares,..) haciéndolos extremadamente intuitivos. Se persigue ilustrar, favorecer la comprensión y aplicación de un sencillo procedimiento para dividir, con la ayuda del semicírculo - o círculo- graduado, la circunferencia en arcos iguales de un valor que sea divisor de 360º. A partir de arcos iguales se obtienen cuerdas iguales que son los lados de polígonos regulares...

No voy a descubrir aquí la importancia de los polígonos regulares como formas básicas especialmente armoniosas presentes en numerosísimos ámbitos del quehacer humano.

La aplicación tiene un marcado carácter utilitario y competencial. Lo aprendido se transfiere fácilmente al cuaderno personal...Pero interesa, de manera especial, que los/as alumnos/as capten la esencia del procedimiento de manera que sepan transferirlo a una situación "más extraña" (patio del colegio) en la que no contamos con semicírculos graduados gigantes, ni con reglas (graduadas o no) de tamaño gigante...Es por ello que resulta especialmente adecuado aprovechar y aplicar lo aprendido para reflexionar de manera colectiva y pormenorizada sobre todos los detalles que permitan llevar a cabo la tarea de trazar un polígono regular de gran tamaño en el patio del colegio: torbellino de ideas, discusión de procedimientos alternativos, materiales necesarios, fases, reparto de tareas, supervisores, registro en imágenes de lo realizado, presentación-exposición final, ...