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24 abril, 2022

Formatos interactivos para el cálculo mental de sumas y restas.

Contextos lúdicos para iniciarse en la descomposición
aditiva y en el cálculo mental de sumas y restas


El 15 de marzo de 2017 publiqué en este blog la macroaplicación
 "CONTEXTOS LÚDICOS PARA INICIARSE EN LA DESCOMPOSICIÓN NUMÉRICA Y EN EL CÁLCULO DE SUMAS Y RESTAS" (dados para la subitización y la suma con números perceptivos, balanzas y bolas numéricas para encontrar igualdades, diana y dardos, fichas numéricas, pirámides numéricas,...).








Las estrategias fundamentales para la suma y resta están presentes, de una u otra manera, en múltiples y variadas aplicaciones del Proyecto MATE.TIC.TAC, desde la Etapa Infantil: "Ranitas 1-2-3-4-5","Topos","Rekenrek, contadores y ábacos", "Suma y resta instantáneas", "Suma cubos", "Cuenta cubos", "Ranitas amigas del 10", "Pesa números", "Pesa juguetes", "Centena dinámica y tabla del 100 interactiva", "Tabla de sumar interactiva", "Rectas numéricas interactivas", "Estrategias fundamentales para la suma y resta", "Regletas básicas", "Regletas de Cuisenaire", "Bloques base 10", etc...

Para profundizar de una manera más específica en el cálculo mental de sumas y restas, el proyecto MATE.TIC.TAC cuenta con los más innovadores formatos interactivos (con configuración de tareas_ejercicios y de grados de dificultad, con completado asistido, con corrección instantánea, con generación aleatoria, con facilitación de captación de patrones y regularidades,...)

Formatos interactivos para el desarrollo del cálculo mental aditivo.
DidactmaticPrimaria.net // Proyecto MATE.TIC.TAC

A continuación se ofrece la aplicación.

24 noviembre, 2018

Cálculo mental básico con números naturales (+, -, x, :)

Cálculo mental básico con números naturales (+, -, x, :)



Versión mejorada para poder introducir texto con el teclado y con los botones numéricos presentes en la pantalla de la aplicación.

Dado que se puede configurar en múltiples niveles o grados de dificultad, se puede utilizar en cualquier curso de Primaria.

Los ejercicios propuestos se generan aleatoriamente dentro del rango numérico elegido.

11 enero, 2014

Cálculo mental contextualizado de porcentajes sencillos

Las siguientes aplicaciones están incluidas en la macroaplicación "kit internivelar para la enseñanza-aprendizaje de fracciones, decimales y porcentajes". No obstante creo que es conveniente que las relacione aquí con el fin de que pasen menos desapercibidas.

"Rebajas 10%, 15%, 20%, 25% y 50%" implementa el mismo modelo TIC que "Compro, pago, me devuelven" y es un complemento de la misma, pues también utiliza el contexto de situaciones de compra para favorecer el desarrollo del cálculo mental manejando significativamente porcentajes sencillos de gran aplicación en la vida real.



(Ver a pantalla completa)


Las dos aplicaciones que se integran aquí bajo el título "Resolución asistida de problemas con fracciones" son una mejora de las que aparecen incluidas en "ProblemáTICas Primaria".



(Ver a pantalla completa)


Estas aplicaciones están relacionadas, a su vez,  en la colección "Biblioteca_Manipulables_Virtuales_Matemáticas_IV" ( dedicada a modelos y metamodelos_TIC de resolución de problemas)

03 noviembre, 2013

Cálculo mental contextualizado para todos los niveles de Primaria (Situaciones de compra)

Siguiendo las sugerencias de maestros/as de mi colegio, he modificado la aplicación "COMPRO_PAGO_ME DEVUELVEN" para hacerla más versátil, de modo que pueda proponer retos asequibles a los/as alumnos/as en cada uno de los niveles y ciclos de Educación Primaria. La versión original contemplaba sólo 2 ó 3 sumandos (artículos o productos comprados) y no se podía elegir que los precios fuesen exclusivamente números naturales. 




El título de esta aplicación ya da una idea bastante aproximada tanto de su contenido como del objetivo que persigue.

Tengo que decir que ésta es una de las aplicaciones favoritas de los/as alumnos/as de 4º y 5º de mi colegio. Les encanta practicarla, sobre todo con la pizarra digital interactiva.

Todos/as manejamos dinero de manera cotidiana. Todos/as realizamos compras de algún tipo y realizamos, en mayor o menor medida, cálculos en relación con el precio total, con la cantidad que nos tienen que devolver si pagamos con..., o incluso determinar cuánto nos ha podido costar un determinado producto si sabemos el precio total y el de los restante productos comprados...

El atractivo añadido de esta aplicación es el apoyo visual que confiere al cálculo mental, que facilita tanto la retención de las cantidades parciales manejadas como la descomposición de las mismas para ajustar los cálculos necesarios. Por otra parte, como se puede comprobar, favorece la realización de múltiples cálculos sin tener que escribir ni un sólo número en las opciones <pago exacto> y <devolución exacta>. 

Como es habitual en las aplicaciones de didactmaticprimaria, no sólo se ofrecen opciones en relación con la tipología de actividad a realizar, también se permite configurar una determinada tipología en varios niveles de dificultad. Aquí, para las dos primeras opciones, se puede trabajar con 1, 2 ó 3 sumandos (aparecen una, dos o tres imágenes o productos, respectivamente, con cada nuevo problema).

Además, se ha añadido la posibilidad de trabajar exclusivamente con números naturales o bien con naturales y decimales conjuntamente. Por otra parte, la aplicación permite trabajar con EUROS, LIBRAS ESTERLINAS, PESOS MEXICANOS Y DÓLARES U.S.A. De esta manera, la aplicación presenta un buen número de configuraciones posibles de la tarea a realizar. Ello aumenta considerablemente la versatilidad, funcionalidad e interés didáctico de la misma, proponiendo retos asequibles para alumnos de cualquier nivel de Primaria y de países diferentes...

(Habría sido interesante que la moneda única sudamericana - moneda propuesta para ser la moneda de curso legal en los doce países miembros de la Unión Sudamericana de Naciones y reemplazar a las siguientes doce monedas: Peso argentino, Boliviano, Real brasileño, Peso chileno, Peso colombiano, Dólar estadounidense (en Ecuador), Dólar guyanés, Nuevo sol peruano, Guaraní paraguayo, Dólar surinamés, Peso uruguayo y Bolívar venezolano- se hubiera ya creado y entrado en vigor...)
No obstante, en la medida que disponga de tiempo - y pensando en los/as alumnos/as sudamericanos- mejoraré las aplicaciones en las que utilizo euros para que puedan manejar, también, algún tipo de moneda genérica...

¿Cuántos problemas distintos propone esta aplicación en cada tipología o para cada configuración concreta? Un número indefinido de ellos, tantos como se desee, ya que el ordenador los genera de manera aleatoria. Por otra parte, cambiar de problema es tan fácil como pulsar la tecla <espacio>..

11 diciembre, 2012

El currículo de matemáticas no es sólo numeración. La numeración no es sólo cálculo.

De nuevo me veo llevado a hacer un análisis crítico de ciertos aspectos en torno al “método ABN” y al correcto enfoque del cálculo en la escuela en relación con las características del cálculo en nuestra sociedad. Soy consciente de que hacer afirmaciones rotundas al respecto nos lleva a un terreno no exento de peligros.
algoritmo ABN
Fuente: "algoritmo abn"

El blog “Algoritmos ABN” es uno de los sitios de referencia para la didáctica de la Matemática en Primaria que relaciono en la parte derecha de mi blog. Y es que estoy totalmente de acuerdo con el enfoque flexible del cálculo que Jaime Martínez Montero ha etiquetado con la marca “ algoritmo abn”.  De hecho, con anterioridad a la aparición de esta marca, una minoría de maestros/as ya veníamos defendiendo y practicando un cálculo flexible alternativo al tradicional, sobre todo desde que a finales de los 90 se multiplicaran las publicaciones que abordaban el tratamiento de algoritmos no tradicionales, de las operaciones básicas, en la escuela.

Por mi parte, vengo desarrollando con mis alumnos un cálculo pensado, flexible y basado en números y he desarrollado múltiples formatos digitales interactivos para divulgar y favorecer la práctica del cálculo (tanto descontextualizada como contextualizada)  bajo este enfoque ("Así calculamos en mi cole") aunque no bajo la etiqueta "abn".

Este enfoque flexible apuesta por el desarrollo de algoritmos no tradicionales de las operaciones aritméticas para evitar las rigideces que presentan los tradicionales. Confiere al cálculo un carácter subjetivo y creativo (frente a "Esta división se hace así", "Yo hago esta división así"). Hace del cálculo una tarea pensada, matemáticamente relevante (algo que no se puede asegurar, sin más, en enfoques más tradicionales) dándole el rango de habilidad cognitiva de orden superior; y se adapta mejor a la diversidad del alumnado presente en las aulas. Y, sobre todo, es más coherente e integrador que el cálculo tradicional ya que aprovecha la natural descomposición/composición numérica de los números y las mismas estrategias y propiedades fundamentales de las operaciones se utilizan tanto para el cálculo que se apoya en lápiz y papel como para el que se realiza  “de cabeza” (que ha pasado a ser, sin duda, el verdaderamente importante)
"Hay otra razón que aboga por la inclusión del cálculo pensado en las clases, y es que la mayoría de las personas que son consideradas hábiles para calcular rara vez hacen uso de los algoritmos usuales, sino que suelen recurrir a manipular los números para facilitarse la tarea."
Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 67.
"La tragedia del algoritmo estándar en la escuela, ha llegado de la mano de las calculadoras de bolsillo y de las cajas registradoras.
Lo que para todo el mundo era un elemento crucial de cualquier currículo escolar hace veinte años, ha empezado a ser considerado como algo que va perdiendo importancia al mismo ritmo que aumenta el interés por el cálculo mental y estimativo." 
Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 113.  

El cálculo que realizan la mayoría de las personas en nuestra sociedad actual es un cálculo instrumental (calculadoras, cajas registradoras, computadoras,…). ¿Quién hace cálculos fuera de la escuela con ayuda de lápiz y papel? ¿Significa esto que no tiene ya sentido desarrollar razonables competencias de cálculo en nuestros/as alumnos/as?

No, evidentemente no, puesto que toda capacidad humana debe ser desarrollada. Significa plantearse la naturaleza y tipología del cálculo que tiene sentido desarrollar en la escuela, la magnitud de los números con los que se debe operar y las formas más razonables de abordarlos. Significa un esfuerzo por contextualizar el cálculo así como por el desarrollo de estrategias personales para calcular…Significa priorizar el cálculo aproximado y la estimación. Significa entender bien, de manera integrada y proporcionada, el currículo dematemáticas. 

Tradicionalmente el peso curricular recaía de manera aplastante sobre la numeración, más en concreto sobre los algoritmos de las operaciones básicas.  Se trataba de un currículo de matemáticas ciertamente empobrecido. Este es uno de los aspectos fundamentales que hay que superar. Actualmente tiene menos sentido que nunca que el cálculo (del tipo que sea) acapare la mayor parte del tiempo destinado al desarrollo del currículo de matemáticas en la escuela, sobre todo si se trata de un cálculo predominantemente descontextualizado. No faltan los que abogan por destronar el cálculo de la cima del quehacer matemático en el que se encuentra. Hay que asumir que el currículo de matemáticas de Primaria aborda las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Y que el eje vertebrador de estos bloques es la resolución de problemas. 


"Jaime Martínez, inspector de educación, explorador de algoritmos, ha soñado un mundo sin cuentas. Ha ido más allá. Lo está poniendo en práctica. 225 niños de Primaria de la provincia, entre Primero y Quinto, aprenden matemáticas sin hacer cuentas..."
Cuando uno visita el blog “Algoritmos ABN (que persigue entre sus objetivos explícitos erradicar las viejas cuentas y favorecer una matemática más divertida), observa que casi la totalidad de la ingente cantidad de imágenes y vídeos que en él se incluyen  se centran en cálculos numéricos. Aparentemente se trata de "nuevas cuentas" que se articulan en forma de tablas de números. Sin embargo hay una diferencia notable con las cuentas tradicionales. Desde que se inicia el proceso de resolución, cada fila que se va escribiendo es una igualdad equivalente a la anterior, de manera que no hay que esperar a que el proceso haya acabado para haber transformado de manera coherente el cálculo inicial propuesto: 236 - 189 = 136 - 89 = 106 - 59 = 100 - 53 = 50 - 3 = 47 (para una resta "por comparación"), o 236 - 189 = 11 + 36 ( para una resta "por escalera ascendente"),...

Evidentemente el hecho de que se recurra continuamente a la pizarra o al papel de una ficha o cuaderno no significa que no se trate de un cálculo “pensado”. Otro aspecto a tener en cuenta es que se utilizan algoritmos extendidos, más extensos, que van dando cuenta de cada uno de los pasos realizados. Esto no debe identificarse con una mayor dificultad que los tradicionales (que son “más económicos”) dado que a medida que un alumno progresa en el desarrollo de competencia en cálculo se reduce notablemente el número de pasos que utiliza para resolver un cálculo determinado. No me cabe duda del buen enfoque que se hace en ese sentido, priorizando claramente la comprensión sobre la mecanización y favoreciendo el afloramiento de modos personales de realizar los cálculos.
  
Pero, con sinceridad, siento que los/as maestros/as debemos ser muy torpes cuando parece ser que necesitamos que se nos ilustre hasta la saciedad el mismo método de cálculo para cada uno de los diferentes cálculos posibles (que son, evidentemente, infinitos). En realidad, casi todo se reduce a que tanto la suma, resta, multiplicación y división se pueden realizar “por partes”,  de manera flexible o personalizada ( no necesariamente todos/as los/as alumnos/as en los mismos pasos ni con los mismos números) y basándose en la descomposición numérica y las propiedades fundamentales de las operaciones básicas. Es por ello que el blog aludido transmite visualmente la idea de que el quehacer fundamental en  matemáticas de Primaria es el cálculo. No vemos en el blog ninguna referencia al mundo del espacio y las formas ( a excepción del método para resolver raíces cuadradas), ni al de la incertidumbre …

Podríamos extendernos tanto como quisiéramos en poner de manifiesto (como se hizo desde el origen de las matemáticas) las relaciones entre números y formas, cómo se apoyan y refuerzan mutuamente y cómo fruto de esa simbiosis se ponen de manifiesto con mayor fuerza patrones  o regularidades numérico-geométricas… No tendría nada que objetar si se identifica el “método ABN” con un método de cálculo, como así se presenta habitualmente. Pero es que desde el blog aludido y desde otros, así como desde diferentes medios de comunicación y documentos se hacen afirmaciones (a mi juicio poco rigurosas) más generales que apuntan hacia una inconveniente metamorfosis ( CÁLCULO = ALGORITMOS ABN = "LA SENDA PARA  ALCANZAR COMPETENCIA MATEMÁTICA"). ¿Debe interpretarse como la única senda? ¿Debe interpretarse que la competencia en cálculo es la única o más importante de las competencias matemáticas? Espero que no, porque ello supondría reducir el currículo de matemáticas a simple cálculo, volviendo a incurrir en errores parecidos a los que se pretendía superar… Esto me parece especialmente peligroso en estos tiempos tan tecnológicos en los que curiosamente se exalta más que nunca el desarrollo de la capacidad de cálculo (a veces de manera poco razonable, como si se pretendiera crear "calculadoras humanas") identificándolo con la excelencia en matemáticas.

Me voy a limitar aquí al análisis de algunas afirmaciones relacionadas con la resolución de problemas y con la descripción de las características del "cálculo abn": 
Con la nueva didáctica de las matemáticas que propugna Jaime Martínez se llega a los resultados correspondientes por desagregación o descomposición de las cantidades a operar... (Jaime.M.M)
¿Nueva didáctica de las matemáticas o no tan nueva didáctica del cálculo? 
"Las viejas cuentas son la causa fundamental que impide que los alumnos sepan resolver problemas"(Jaime.M.M)
Uno de los grandes "fallos" en la enseñanza tradicional de la aritmética es que se identifica operación con el algoritmo (cuenta) que la resuelve:
"Nuestro aprendizaje de cada una de las operaciones está tan ligado a su algoritmo que se suele confundir operación con el algoritmo usual que la resuelve" Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 67. 
No volvamos a cometer el mismo error (operación ¹ algoritmo de la operación)
Además, desde hace mucho tiempo los maestros nos venimos  quejando de que los alumnos no sepan con qué operación (u operaciones) se resuelve un determinado problema ("¿Es de sumar o de restar?"), en mucha mayor medida que sobre la propia realización de los cálculos. 
"Los algoritmos ABN aumentan notablemente la capacidad de resolución  de problemas" (Jaime.M.M)
¿Cómo? ¿De qué manera? ¿De qué problemas? Porque la realización de cálculos, incluso en los problemas típicamente aritméticos - que no son los únicos-, es una de las fases finales del proceso de resolución, y no precisamente la más relevante. A no ser que se considere como "problema" realizar un determinado cálculo. Esto sólo podría aproximarse a la verdad en los problemas aritméticos más elementales, los de una sola operación, en caso de que se presenten a los alumnos de forma que el "espacio de búsqueda" sea prácticamente inexistente. (Ver "Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)") 

"Un grupo de investigadores europeos ha visitado recientemente el Colegio San Rafael (Cádiz) para conocer el funcionamiento de este método de cálculo ideado como sabemos por Jaime Martínez, inspector de educación de la Delegación de Cádiz.

Procedentes de distintos países como Austria, Holanda, Alemania, etc. dichos investigadores pudieron comprobar de primera mano los resultados de este revolucionario método que demuestra que los alumnos de primaria mejoran no sólo su nivel de cálculo y su capacidad de resolución de problemas sino también su motivación en el aprendizaje de las matemáticas." [...]

[Fuente: "Las matemáticas de Cádiz". Diario de Cádiz (versión impresa). Fecha: 21/09/2012]

Algoritmos y resolución de problemas
Fuente: "algoritmo abn"
En el blog “Algoritmos ABN”, se hace bastante alusión teórica a la relación entre las operaciones y las tipologías de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV) que resuelven. Sin embargo este "revolucionario método ABN” no explicita ningún método concreto de resolución de estos problemas. Encontramos casi exclusivamente un modelo de resolución de PAEV, el modelo más tradicional. Con frecuencia vemos imágenes en las que el/la maestro/a ha escrito el enunciado de un PAEV en la pizarra y, a continuación, sin más, el algoritmo extendido con el que se resuelve. Es cierto que se asocia con mucha frecuencia un cálculo concreto con un determinado problema como forma de contextualizar el cálculo, y que incluso se hace una análisis comprensivo del enunciado. Lo peligroso es  asociar el algoritmo con la resolución de un PAEV ( incluso para los problemas más elementales), como se recoge en este texto del propio Jaime M. M. (hablando de la "doble resta" y de la "sumirresta"):

"[...] Aparte del nuevo campo de posibilidades de cálculo que abre, la importancia fundamental de estas operaciones radica en que simplifica enormemente el mundo de los problemas porque convierte, de golpe y sin transición, muchos de ellos de dos operaciones que son difíciles para los niños (todos los de dos restas y todos los de una suma y una resta) en problemas de una operación, simplificando enormemente la complejidad de su comprensión y su realización. Hay siete problemas distintos de sumar y, como vimos hace poco, trece diferentes de restar. Quiere decir que, combinándolos simplemente, nos salen 91 problemas distintos de sumar y restar (13 x 7), y 169 de dos restas (13 x 13). Es decir, que con la doble resta y la sumirresta cambiamos 260 problemas diferentes de dos operaciones en problemas de una operación. ¡Casi nada!


Los problemas de dos operaciones son especialmente difíciles para los niños. No es complicado averiguar por qué y hay una amplia literatura científica que da cuenta de ello. Para nuestro propósito, baste pensar que en un problema de una operación aparecen los datos y la pregunta. En uno de dos operaciones aparecen los datos de la primera operación, pero no la pregunta, mientras que en la segunda operación sí aparece la pregunta, pero solo uno de los datos. Véase el caso siguiente: “Un bosque con 2145 árboles se incendia y arden 368. Después plantan 325 árboles más. ¿Cuántos árboles hay ahora?” Es evidente que la primera operación (2145-368) no tiene pregunta, y que la segunda (1777+325) no tiene el dato de los 1777 árboles.


Por lo anterior, la sumirresta facilita mucho todo el proceso. Es fácil pasar directamente del texto al formato del algoritmo, y luego permite múltiples posibilidades de desarrollar los cálculos de uno u otra manera. La resolución clásica obliga a realizar primero una operación y luego otra, mientras que aquí se pueden abordar los cálculos sucesiva o simultáneamente." 

Aquí se hacen afirmaciones explícitas e implícitas a mi juicio poco rigurosas:
  • Hay operaciones que simplifican enormemente la complejidad de la comprensión de un determinado problema, cuando comprender un problema implica previamente descubrir las relaciones entre las magnitudes y las operaciones que transforman unas en otras...Ahí radica precisamente la esencia del acto creativo que supone la resolución de un problema y ahí radica, por tanto, su dificultad. De nuevo se identifica operación con algoritmo de la operación, que es un útil para efectuar ésta, y parece identificarse la realización del algoritmo con la esencia de la resolución de un problema. No comparto tal idea.
  • Parece que la tipificación de problemas es pura aritmética combinatoria. Aunque estoy seguro de que esa no es la visión de Jaime M.M. al respecto.
  • Parece que el proceso de resolución de problemas aritméticos se limita al paso del enunciado al formato del algoritmo, es decir, del texto al cálculo. Esta peligrosa asociación más que superada en la amplia literatura científica a la que el propio Jaime M. M. alude, supone un  reduccionismo del aspecto más troncal y vertebrador del currículo de matemáticas: la resolución de problemas (RP). Si bien esto se puede hacer fácilmente, aunque no sea lo más conveniente en la R.P, para PAEV de nivel 1(una sola operación), me llama poderosamente la atención lo artificioso que resulta justificar la doble resta y la sumirresta en relación con la resolución de PAEV de nivel 2. Sinceramente, parece un invento para encajar, con calzador, la resolución de estos problemas con un único algoritmo... No creo que sea éste el camino más conveniente en la búsqueda de comprensión. Me parece una senda poco conveniente en la didáctica de RP, máxime viniendo de una persona que apuesta por algoritmos extendidos, aunque sean menos económicos que los tradicionales, para  favorecer una mayor comprensión de los cálculos realizados y el desarrollo de estrategias de cálculo... 
Para terminar: 
Desde una perspectiva holística de las matemáticas, cualquier parte (bloque de contenidos) debe gozar en buena medida de los atributos de la totalidad (currículo de matemáticas) pero no sería riguroso  identificar la parte con el todo ni  el todo con la parte.






04 marzo, 2012

Formatos interactivos para la práctica de un cálculo pensado, flexible y basado en números.


Aunque aún seamos claramente minoría, somos cada vez más los/as maestros/as que pretendemos que los contenidos propios de la aritmética escolar no se aborden de manera mecánica y rutinaria sino que sean soporte para hacer verdadera matemática; somos cada vez más los que priorizamos los significados y las estrategias, basadas en las propiedades de las operaciones, sobre la pura mecánica desprovista de significación; los que trabajamos con números y no con cifras; los que defendemos que los cálculos pueden realizarse de manera flexible; los que estamos convencidos de que los métodos de cálculo mental no deben ser en esencia diferentes de los métodos de cálculo escritos (ya que "se basan en los mismos principios, hechos y propiedades. Son los mismos métodos, es el uso mental o escrito que se hace de ellos lo que los denomina"- Bernardo Gómez Alfonso-),...

Dado que en nuestra sociedad, tecnológicamente avanzada, la mayor parte de los cálculos que realizan los ciudadanos son cálculos instrumentales (calculadoras, cajas registradoras, computadoras,...) es lógico y necesario que pierda énfasis en la escuela la realización de "cuentas", de cálculos escritos mecánicos y rígidos (eso lo hacen las máquinas) y que, paralelamente, se favorezca profundizar en el significado numérico y operacional; en el análisis de las situaciones numéricas basado en los hechos del sistema de numeración, en el significado y en la propiedades de las cuatro operaciones; en la disponibilidad de métodos de cálculo que enfaticen el cálculo pensado, flexible y basado en números...



02 noviembre, 2011

Sobre ALOHA Mental Arithmetic y el cálculo deseable en la escuela


Agunos datos...
El ábaco se hizo para llevar a cabo las operaciones fundamentales de la aritmética. El ábaco es el precursor de los modernos computadores. El ábaco más pequeño se construyó en IBM Suiza, 13-nov-1996, del tamaño de una molécula de una millonésima parte de un milímetro. (http://abaxmuseum.blogspot.com/)
La computadora más rápida del mundo hasta la fecha (20 de junio de 2011) es el Ordenador K japonés. Se encuentra en el Instituto RIKEN, en el Centro Avanzado para las Ciencias de la Computación (AICS), en Kobe (Japón), y combina 68.544 CPU tipo SPARC64 VIIIfx cada una con ocho núcleos, lo que arroja un total de 548.352 núcleos. Es capaz de realizar más de ocho mil billones de cálculos por segundo (8 petaflop/s). (Wikipedia)

La "Perla Filosófica", de Gregor Reisch (1503)
Grabado en madera. Este grabado, también conocido como "Margarita Philosophica", nos muestra una alegoría de la aritmética arbitrando la rivalidad entre un partidario de las cifras (algorista) y un adepto al cálculo mediante fichas (abaquista). A uno y otro personaje están asociados por oposición los nombres de Boecio (muerto hacia el 525 y referencia obligada en el Medioevo Occidental) y Pitágoras (asociado a una representación geométrica de los números). El aire triunfal del primero, el aspecto confuso del segundo, así como la ropa llena de cifras de un árbitro parcial, ponen de manifiesto que al comenzar el Renacimiento acaba de producirse una victoria del primer bando, el de los algoristas.



A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos.

Vivimos en una sociedad tecnológicamente avanzada. Las múltiples y diferentes actividades humanas conllevan, cada vez más, la necesidad de realizar ingentes cantidades de cálculos y parece que el avance tecnológico puede medirse en cierta manera por la velocidad de cálculo de las computadoras...

¿Cómo es el cálculo en nuestra sociedad? La mayor parte del mismo es instrumental ( cajas registradoras, calculadoras, computadoras,...).

¿Se corresponde el cálculo que se enseña en la escuela con las características de la sociedad en que vivimos? Poco, ya que predomina un cálculo mecanizado, apoyado en los algoritmos renacentistas - de lápiz y papel-  de las operaciones básicas,  basados en cifras que no aportan significado y que no aprovechan suficientemente el potencial de las propiedades fundamentales de las operaciones. Se trata de un cálculo frecuentemente descontextualizado y que no ha sabido potenciar suficientemente la importancia del cálculo mental.
El cálculo así concebido es una habilidad cognitiva de orden inferior.

La escuela del siglo XXI debe apostar por un cálculo pensado, flexible, basado en números...Por un cálculo razonado (los cálculos más complejos se infieren siempre de otros hechos numéricos más sencillos haciendo uso de las propiedades de las operaciones, del reconocimiento de regularidades o patrones numéricos y del desarrollo progresivo del razonamiento proporcional...) y razonable (no se trata de convertir a nuestros/as alumnos/as en máquinas de calcular...).

Y sin embargo...

Podemos encontrar en Youtube numerosos vídeos que muestran a niños calculando de manera sorprendemtemente rápida, prodigiosa,... Es el caso de los vídeos correspondientes a ALOHA Mental Arithmetic  o a  Flash Anzan  ("el juego para las calculadoras humanas ultrarrápidas"...).

Creada en Malasia en el año 1993, ALOHA Mental Arithmetic cuenta en la actualidad con presencia en 19 países de los 5 continentes. El programa se ofrece de manera idéntica en todo el mundo para garantizar los estándares de calidad consolidados tras 18 años de experiencia. Se publicita como un divertido programa de desarrollo mental para niñ@s de 4 a 13 años, con beneficios para toda la vida:

Operaciones aritméticas con velocidad y precisión.
Capacidad de concentración y atención.
Creatividad y capacidad de visualización.
Capacidad de escucha y habilidad para la observación.
Memoria fotográfica y orientación espacial.
Mayor autoconfianza.
Habilidades analíticas.


ALOHA Mental Arithmetic se basa en el aprendizaje del ábaco :

Los estudiantes de ALOHA Mental Arithmetic descubren el funcionamiento básico del ábaco.
Después, empiezan a realizar operaciones aritméticas con este instrumento de cálculo.
Poco a poco, los alumnos aprenden a visualizar el ábaco en su cabeza y a utilizar esta imagen mental para calcular.
Con la práctica, los niños son capaces de prescindir totalmente del ábaco para realizar operaciones mentalmente a gran velocidad.
Al final del programa, los niños pueden realizar operaciones de hasta 17 dígitos, para lo que deben visualizar 85 cuentas del ábaco.














Sólo podría justificarse una propuesta de adiestramiento en cálculo mental descontextualizado, como la que nos muestran los vídeos anteriores, justificándola como desarrolladora de habilidades cognitivas de orden superior. Y eso es precisamente lo que está cuidando mucho Aloha Mental Arithmetic en su eficaz campaña de marketing. Sus responsables de expansión es España saben pasar con enorme soltura de las razones estrictamente comerciales a justificar sus beneficios para una educación de calidad como si fuesen auténticos expertos en psicología cognitiva.

Ya nadie bien informado duda de la existencia de dos hemisferios cerebrales que, además de controlar partes diferentes del cuerpo, cumplen funciones diferentes en los procesos mentales de reflexión, comprensión y memoria; de que el hemisferio cerebral derecho está subutilizado; de que es necesario revalorizar la importancia de la creatividad y la imaginación en el desarrollo de la inteligencia...Supongo que esto podrá llevarse a cabo de múltiples maneras...

No soy un experto en psicología cognitiva y no pongo en duda las bondades de este programa ALOHA, ni las de tantos otros programas de desarrollo cognitivo que proliferaron a partir de los años sesenta del siglo XX; pero no me extrañaría nada que, por razones estrictamente comerciales - que son las que imperan actualmente en nuestro mundo- se maximizaran en exceso sus beneficios educativos...

Resulta curioso que Kiran Motwani sea directora de Aloha Spain y madre de los niños Ronit y Samir Motwani, de 9 y 10 años de edad, campeones del mundo de cálculo mental. Samir Motwani tiene claro que quiere trabajar en la NASA (imagino que está convencido de que su buena capacidad de cálculo lo hace un buen candidato para ello...). Pero la NASA tiene computadoras que hacen billones de cálculos por segundo....


Creo que a medida que se vayan extendiendo por el territorio nacional las franquicias de ALOHA Mental Arithmetic tomará mayor importancia el debate sobre la necesidad de reorientar adecuadamente la enseñanza-aprendizaje del cálculo en la escuela. Esto me parece positivo. Pero, por otro lado, el poderoso marketing asociado, la oratoria - tipo predicador evangelista o adventista - de los jóvenes presentadores de campeonatos de ALOHA, me infunden sospechas... El asunto me plantea interrogantes tales como:

Soy consciente de que el cálculo con el ábaco es un cálculo estratégico, pensado, pero ...¿No se pone de manifiesto en estos vídeos un adiestramiento excesivamente mecánico y conductista?
¿Responde a las necesidades y características de un cálculo para todos/as?
¿Se trata realmente de un divertido programa para estimular la inteligencia de niños de 4 a 13 años?
Si se fomenta el cálculo mental como actividad extraescolar, ¿qué tipo de cálculo será el estrictamente escolar?
¿Necesita nuestro mundo calculadoras humanas?
¿Por qué se asocia con tanta facilidad buen nivel de cálculo con buen nivel de competencias matemáticas?



En el siguiente vídeo, Naomi W., una niña de 9 años, realiza cálculos mentales que si bien están por encima de la media de los/as niños y niñas de su edad, suponen un grado de competencia en el cálculo que perfectamente puede conseguir un determinado porcentaje de alumnos/as de nuestros centros, de 9 años, con los tiempos normales de enseñanza previstos para el área de Matemáticas. Eso sí, siempre que se enfoque y se practique el cálculo mental adecuadamente. Los cálculos propuesto en el vídeo pueden ser realizados haciendo uso de la propiedad distributiva - la fundamental en el cálculo mental - de la multiplicación con respecto a la suma y de la propiedad distributiva - por la izquierda- de la división con respecto a la suma. Requieren previamente cierto dominio de la descomposición aditiva de números y la memorización de hechos numéricos básicos (tablas de multiplicar pitagóricas)



Los vídeos anteriores muestran el cálculo como producto o resultado final, sin analizar su proceso. Te recomiendo que visualices vídeos sobre cálculo realizados en España con otro enfoque:

¿Y tú qué piensas al respecto?
¿Crees que la aplicación interactiva que se ofrece a continuación es adecuada para contextualizar la propiedad distributiva y adquirir un buen dominio de la misma para la realización de cálculo mental de productos?


(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)

¿Has sumado o restado alguna vez con el ábaco?

(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)





06 octubre, 2011

Cálculo mental contextualizado. Situaciones de compra.



(...) las competencias no puden definirrse sino en función de situaciones, están situadas como los conocimientos en un contexto social y físico. El concepto de situación se vuelve el elemento central del aprendizaje: dentro de cada situación el estudiante construye, modifica o refuta los conocimientos contextualizados y desarrolla competencias a la vez situadas. Se trata de un proceso determinante para el aprendizaje escolar, (…). Ya no se trata de enseñar contenidos disciplinares descontextualizados (área del trapecio, suma de fracciones, procedimiento de cálculo mental, reglas de sintaxis, etc.) sino de definir situaciones en las cuales los alumnos pueden construir, modificar o refutar conocimientos y competencias utilizando contenidos disciplinares.
(Jonnaert, 2002. Citado por Ángel Pérez Gómez y Encarnación Soto Gómez)

A juzgar por las características de las aplicaciones multimedia que circulan por la red para el desarrollo de competencias de cálculo, a los diseñadores de contenidos educativos digitales nos cuesta mucho trabajo contextualizar adecuadamente la aritmética escolar, es decir, darle un significado práctico e inmediato que permita, desde el comienzo, plantearse situaciones reales y resolver problemas que afecten e interesen directamente a nuestros/as alumnos/as. Todo ello a pesar de que:


El aprendizaje de la  Aritmética es un conocimiento socialmente útil ya que es una de las formas básicas de razonamiento; sistematiza el estudio de las cantidades, su simbolización y sus relaciones (...) El aprendizaje de la aritmética es un hecho social  determinado por el grado de evolución y desarrollo de cada sociedad. Son las necesidades colectivas de unas normas básicas y generales y del dominio cuantitativo de la realidad las que impònen el aprendizaje de la aritmética (...) (Bernardo Gómez Alfonso, 1993)
Es cierto que es mucho más fácil ser coherente en la teoría que en la práctica. Resulta sencillo argumentar que el cálculo escolar (que es lo que nos ocupa en este momento) debe ser un cálculo contextualizado, situado... y que la naturaleza de esas situaciones está directamente relacionada con el desarrollo de competencias de cálculo. Más difícil, no cabe duda, resulta implementar materiales educativos coherentes con la teoría expuesta.

Existe un amplísimo consenso en considerar la  Resolución de Problemas como contexto fundamental y vertebrador en Matemáticas. No cabe duda de que la mayoría de los problemas conllevan la realización de cálculos y la valoración de los resultados obtenidos y, por tanto, el cálculo cobra pleno sentido en la resolución de problemas. Pero, ¿todo el cálculo escolar debe estar situado en el contexto de la resolución de problemas? De ser así, nuestra quehacer en las aulas distaría mucho de lo que podría considerarse como una práctica deseable.

Al respecto, hay que considerar que en el dominio del sentido numérico y operacional intervienen convenciones y reglas (signos de las operaciones, símbolos de los números, forma de leer e interpretar los números, valor posicional en nuestro sistema de numeración, jerarquía en las operaciones combinadas,...),  hechos numéricos (dominio progresivo, a nivel de la memoria inmediata, de resultados de combinaciones numéricas básicas - tablas de sumar y multiplicar, por ejemplo -), técnicas (que se dominan a través de la necesaria repetición: contar de tantos en tantos de manera ascendente o descendente...), estrategias (descomposición aditiva de números, descomposición multiplicativa, compensación, complemento a, doblar, etc...).

Si sólo aprovechásemos los tiempos de resolución de problemas para profundizar en estos aspectos nos iríamos al extremo contrario...No "pecamos" si dedicamos tiempos específicos para el dominio de técnicas, estrategias, algoritmos,...Pero no desarrollaremos verdadera competencia en el cálculo si no ponemos el énfasis en su contextualización...


La aplicación "Compro-pago-me devuelven", incluida en el recurso "ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE", ilustra cómo pueden diseñarse aplicaciones multimedia de gran atractivo para nuestros/as alumnos/as que, en un contexto de resolución de problemas de la vida diaria, faciliten el desarrollo de  competencias de cálculo pensado.