Ecuaciones y sistemas de ecuaciones en Primaria.

Ver, también, el post "Álgebra y resolución de ecuaciones "( http://www.didactmaticprimaria.com/2012/01/algebra-y-resolucion-de-ecuaciones-en.html)

Patrones numéricos, geométricos,...y álgebra básica.

Los patrones o regularidades, de todo tipo, son, sin duda alguna, la esencia de las matemáticas. Obviamente están presentes en todos los tópicos matemáticos y en todos los niveles, desde la matemática más básica a la más avanzada.

La enseñanza-aprendizaje de la matemática debe apoyarse continuamente en ellos, favoreciendo su descubrimiento, poniéndolos de manifiesto y utilizándolos… pues permiten adivinar, predecir, generalizar,...

En las aplicaciones de Didactmatic siempre se ha cuidado mucho este aspecto. ¿Por qué, entonces, desarrollo una aplicación específica, como ésta, sobre patrones?

Al tratarse de una aplicación (macroaplicación, mejor dicho) dirigida a alumnos/as del 3º ciclo de Pimaria, se busca y se facilita un grado de generalización adecuado de los mismos que se hará, siempre adecuándose al nivel de los/as alumnos/as, a través del lenguaje algebraico, el lenguaje de las matemáticas, sobre todo a través de la expresión de los términos generales de las series aritméticas que se tratan.

Por otra parte, se incluyen patrones o regularidades, íntimamente relacionados, que no es frecuente incluir en el currículo de matemáticas, y que son bastante estudiados por la matemática recreativa: patrones o regularidades en el calendario; patrones que aparecen cuando colocamos los números ordenados de una serie aritmética en tablas o matrices (filas y columnas); patrones en cuadrados mágicos; patrones en números figurados (representados por puntos o circulitos con una especial distribución en el plano- y que favorecen actividades de visualización, comparación y argumentación de diferentes procedimiento de recuento-); patrones geométricos (en construcciones planas y poliedros) ligados a series aritméticas; disecciones específicas de polígonos (para obtener a partir de 4 polígonos unitarios idénticos un polígono semejante a doble escala lineal); regularidades presentes en diagramas de factorización (que son un tipo específico de números figurados);  patrones para generalizar la solución de un problema, etc…

En definitiva, matemática relevante a la vez que recreativa, visual, interactiva, creativa, manipulativa, innovadora, …

Hace unos días, una colega docente de Lima (Perú) me comentaba que con las aplicaciones de DidactMatic ella aprendía a la par que sus alumnos/as. Y así debe ser, al menos para la gran mayoría de maestras y maestros, y no debe ser motivo de pudor ni de considerarse un docente mediocre, ni mucho menos. 

(Desde aquí un especial saludo a todos los docentes peruanos. Ese encantador y enigmático país es, después de España, el que más aprovecha las aplicaciones que ofrezco online)

Soy consciente de que muchos de los docentes que imparten el área de matemáticas, por razones diversas, no han tenido la oportunidad de vivenciarlas, ni de recrearlas, ni de  explorarlas y descubrir sus conexiones y la diversidad de sus procedimientos y métodos en cada uno de los bloques de contenidos… Si no se ha ”vivido” la Geometría, por ejemplo, se tendrán pocas expectativas en relación con este bloque… y se acabará haciendo, lo de siempre, algunas actividades de simple reconocimiento… 

UDI. Método de resolución de PAEV mediante el modelado algebraico con etiquetas de texto.

La  resolución  de  PAEV (Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal) en Primaria tiene  una  larga  tradición  escolar. Basta con examinar un buen número de baterías de problemas (tanto en formato impreso como en formatos digitales e interactivos) para constatar que está  bastante consensuado y generalizado entre el profesorado un método de resolución cuyas fases podríamos codificar  así: Lectura analítica del enunciado - Aislamiento de datos e incógnita - Realización de cálculos - Valoración de la solución.

Este método es tan común que no se nos pasa por la cabeza cuestionarlo. El hecho de que sea comúnmente aceptado no significa que sea el más idóneo… (Ver la comparativa entre métodos que se incluye en la publicación)

Dada la especial relevancia de la RP en el currículo de Matemáticas de Primaria y dado que este método, al que me voy a referir en adelante como  MÉTODO ESTÁNDAR, es el más generalizado, y que incluso suele simplificarse y a veces se aplica de manera muy rutinaria, conviene analizarlo con cierta profundidad. A la par, argumentaré lo que a mi juicio son debilidades del método y cómo mejorarlas, y presentaré un método alternativo más significativo, más acorde con una sociedad tecnológicamente avanzada.  Se trata del método que vengo desarrollando hace ya más de 10 años con mis alumnos y que vengo proponiendo en espacios para la formación del profesorado:  “Resolución de PAEV mediante el Modelado Algebraico con Etiquetas de Texto."

Este método ya ha sido presentado en entradas anteriores. Pero dado que creo que es una de mis mayores aportaciones a la Didáctica de la Matemática "a pie de aula", he decidido presentarlo en forma de UDI  (Unidad Didáctica Integrada) que puede ser aprovechada, modificada y adaptada (para ello, ofrezco la descarga de la misma en formato .docx). 

Integra objetivos y contenidos de las áreas de Matemáticas y Lengua Española,  en relación con una tarea fundamental: el aprendizaje y aplicación de un método avanzado de resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV). Integra, fundamentalmente, subcompetencias matemáticas y lingüísticas. Incide en el desarrollo de competencias en CMCT, CCL, CSYC, CAA , CD y SIEP. 

Por otra parte, sirve para poner de manifiesto y ejemplificar cómo las aplicaciones interactivas que ofrezco en este blog pueden ser fácilmente integradas y utilizadas en UDIs como valiosos recursos para la realización de las tareas, subtareas y actividades propuestas en las mismas (individuales, grupales y colectivas) y como instrumentos para la evaluación en tanto en cuanto evidencian (para el propio alumno – autoevaluación y autorregulación del aprendizaje-, para un compañero – coevaluación- o para el docente – heteroevaluación-) buena parte del desempeño de los/as alumnos/as que queremos conseguir...  Además, brindan retroalimentación inmediata respecto al aprendizaje y desempeño logrado por el/la alumno/a y el logrado por sus compañeros en un ambiente de confianza, respeto  y ayuda mutua que facilita la expresión y el avance de todos.

Acceso a la UDI en formato .docx (se puede modificar y adaptar)

Acceso a la UDI en formato .pdf (licencia Atribución No comercial)

Otra UDI, "Taller de poliedros".

Resolución de Problemas. Búsqueda exhaustiva de soluciones posibles. Simulación concreta y abstracta. Construcción y representación de soluciones…

 “Resolución de Problemas. Búsqueda exhaustiva de soluciones posibles. Simulación concreta y abstracta. Construcción y representación de soluciones…”. Bajo este título tan largo y abierto he querido agrupar una serie de propuestas de situaciones problemáticas caracterizadas por tener múltiples soluciones (o una solución múltiple) o bien por presentar un espacio de búsqueda de una única solución relativamente complejo,  con diferentes estados posibles de los diferentes elementos que configuran la solución…

Lo que caracteriza a las propuestas que aquí se incluyen es que se facilita la construcción de la solución por simulación, o la estrategia de tanteo sistemático al permitir descubrir  direcciones que van encerrando la respuesta en un rango de posibilidades cada vez más pequeño…Todo ello mediante esquemas, diagramas o representaciones interactivos que permiten la manipulación de elementos y la simulación.

Son numerosas las propuestas de situaciones de este tipo que podemos encontrar en otras aplicaciones ofrecidas por  DidactmaticPrimaria: problemas abiertos sobre relaciones cuantitativas implementados con dinero (“Relaciones numéricas_100”), tanteo sistemático por acotación del error (“Pesa pensando”), problemas sobre relaciones de orden y tablas lógicas (“REPRESENTAR.  Una poderosa estrategia en la resolución de problemas”), generación exhaustiva de figuras asociadas con su valor numérico (“Geofraccionador”, “Geoconstructor”,…), retos topológicos con múltiples soluciones, etc…

Es por ello que aquí recojo, en buena medida, situaciones problemáticas de carácter combinatorio, no tratadas en otras aplicaciones, a modo de interesantes, innovadoras y adecuadas investigaciones para alumnos/as del tercer ciclo de Primaria, que inciden plenamente en contenidos del currículo de Matemáticas:

1.6. Desarrollo de estrategias personales para resolver problemas e investigaciones.

1.7. Utilización de recursos informáticos para la realización de actividades y la comprensión de contenidos matemáticos.

1.13. Utilización de recursos informáticos para la realización de actividades y la comprensión de contenidos matemáticos.

1.11. Confianza en las propias posibilidades y espíritu de superación de los retos y errores asociados al aprendizaje matemático.

1.5. Resolución de situaciones problemáticas abiertas: Investigaciones matemáticas sencillas sobre números, cálculos, medidas, geometría y tratamiento de la información, planteamiento de pequeños proyectos de trabajo. Aplicación e interrelación de diferentes conocimientos matemáticos. Trabajo cooperativo. Acercamiento al método de trabajo científico y su práctica en situaciones de la vida cotidiana y el entorno cercano, mediante el estudio de algunas de sus características, con planteamiento de hipótesis, recogida, registro y análisis de datos y elaboración de conclusiones. Estrategias heurísticas: aproximación mediante ensayo-error, reformular el problema. Desarrollo de estrategias personales para resolver problemas e investigaciones y pequeños proyectos de trabajo.

1.8. Desarrollo de actitudes básicas para el trabajo matemático: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad, estrategias personales de autocorrección y espíritu de superación, confianza en las propias posibilidades, iniciativa personal, curiosidad y disposición positiva a la reflexión sobre las decisiones tomadas y a la crítica razonada, planteamiento de preguntas y búsqueda de la mejor respuesta, aplicando lo aprendido en otras situaciones y en distintos contextos, interés por la participación activa y responsable en el trabajo cooperativo en equipo.

1.7. Planificación del proceso de resolución de problemas: comprensión del enunciado, estrategias y procedimientos puestos en práctica (hacer un dibujo, una tabla, un esquema de la situación, ensayo y error razonado, operaciones matemáticas adecuadas, etc.), y procesos de razonamientos, realización, revisión de operaciones y resultados, búsqueda de otras alternativas de resolución, elaboración de conjeturas sobre los resultados, exploración de nuevas formas de resolver un mismo problemas, individualmente y en grupo, contrastando su validez y utilidad en su quehacer diario, explicación oral de forma razonada del proceso de resolución, análisis coherente de la solución, debates y discusión en grupo sobre proceso y resultado.

1.10. Acercamiento al método de trabajo científico y su práctica en contextos de situaciones problemáticas, mediante el estudio de algunas de sus características, con planteamiento de hipótesis, recogida y registro de datos en contextos numéricos, geométricos o funcionales, valorando los pros y contras de su uso.

1.13. Utilización de herramienta y medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para obtener, analizar y selección información, realizar cálculos numéricos, resolver problemas y presentar resultados, desarrollar proyectos matemáticos, haciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos dentro del grupo. Integración de las tecnologías de la información y la comunicación en el proceso de aprendizaje matemático.

Probablemente algunos lectores se asusten o se sorprendan de que proponga retos de naturaleza combinatoria en Primaria. No deben asustarse ni sorprenderse. El enfoque de las propuestas es más cualitativo que cuantitativo. Se hace hincapié en  “¿cuáles?” y no en “¿cuántas?”. ¿Por qué? Veamos un ejemplo comentado relacionado con la propuesta “Repartos”:

Imaginemos que nos plantemos repartir 5 pastelillos en 3 platos (cada uno asociado a un/a niño/a), de manera que no haya ningún plato vacío. Si preguntamos “¿cuántos repartos diferentes podemos realizar?” estoy seguro de que la mayoría de los lectores no sabrían dar una respuesta relativamente rápida y, menos aún, justificada conceptualmente, a pesar de que el problema maneja unos números muy sencillos… En cambio, si solicitamos posibles soluciones (repartos diferentes posibles), rápidamente barajarán soluciones posibles, como 3-1-1 y  2-2-1, e imposibles, como 4-1-0, y no tardarán en descubrir que la descomposición 3-1-1 conlleva tres repartos diferentes (según el plato al que le correspondan los tres pastelillos): 3-1-1, 1-3-1, 1-1-3.  Lo mismo ocurre para la descomposición 2-2-1. Pues bien, ¿han necesitado saber que los tres casos ligados a cada una de las dos descomposiciones es justamente el número de permutaciones con repetición de tres elementos en los que uno se repite dos veces? ¡No! No es necesario este conocimiento de Secundaria para abordar el problema. Precisamente a  “¿cuántas?” se responde al final, simplemente contando los casos obtenidos por búsqueda exhaustiva, o bien se facilita el número total de casos posibles de antemano, para facilitar la resolución….

Esta argumentación tiene una excepción, la del producto cartesiano de dos conjuntos (“Cabezas diferentes”) y su generalización, la regla de multiplicar (“Candado. Código secreto”). Aquí es más fácil determinar el número de “variaciones” que las propias “variaciones”. De hecho es de las pocas cuestiones combinatorias que se proponen desde edades muy tempranas: “De cuantás maneras podemos vestir al osito con pantalón y camiseta si disponemos de dos pantalones diferentes y tres  camisetas diferentes?”

Además, las cuestiones combinatorias se abordan de manera inductiva, con casos particulares graduados en dificultad y en número de posibilidades (“Permutando”). Así, se va asumiendo como cierto que para dos objetos diferentes existen dos permutaciones diferentes, que para tres objetos existen seis permutaciones, que para cuatro objetos existen 24, etc… A pesar de que nos interesa más determinarlas cualitativamente ( porque conlleva el surgimiento de algoritmos personales de búsqueda), no se elude la posibilidad de que el/la alumno/a capte el patrón o regularidad inherente al número de permutaciones posibles ( 2 = 2x1; 6= 3x2x1; 24= 4 x 3 x 2 x1) ni  su simbología (2!=2x1; 3!=3x2x1; 4!=4x3x2x1; ….)

En “Macedonia de frutas” se abordan las “combinaciones” de varios elementos tomados de tantos en tantos: subconjuntos de dos frutas diferentes cuando se dispone de un total de seis frutas diferentes, por ejemplo, en los que el par pera-manzana es el mismo que el par manzana-pera, es decir, que no importa el orden…Es un reto bastante apropiado para alumnos/as de estas edades. ¡Y les encanta abordarlo! Además se transfiere lo aprendido a otros problemas similares y se conecta numeración y geometría: El número de combinaciones de 5 elementos tomados de dos en dos es igual al número de segmentos (lados + diagonales) de un pentágono.

En otras propuestas de carácter combinatorio (“Caminos_posibles”, “Caminos tramos ‘V’ y ‘H’”, “Figuras posibles”) responder a “cuántas” sería aún más difícil que en los casos anteriores dado que una misma figura puede aparecer con diferentes orientaciones espaciales o intervienen cuestiones geométricas y/o topológicas que condicionan el número de posibilidades y no son fáciles de explicar…¡Pero se facilita, interactivamente, la obtención de todos los casos posibles! Además, se insiste, en la codificación de las soluciones (mediante letras y/o números).

En “Dominó_igualación” se persigue que el alumnado distinga los casos en que puede haber solución de aquellos que no tienen solución así como que descubra una estrategia aritmética eficaz para resolver los casos con solución. “Equilibrio_números_balanza” es similar, aunque algo más difícil si no se ha descubierto la estrategia aritmética para la igualación de dos cantidades cuya suma es un número par.

“Parking” es la aplicación más lúdica. Se trata de un juego bastante conocido. La solución, para cada reto propuesto, no es obvia. Implica pensar de atrás hacia adelante y barajar diferentes estados de los elementos que intervienen en la solución.

En "coloca" se abordan situaciones de representación de la solución con la ayuda de  diferentes diagramas interactivos que tratan sobre situación espacial y problemas con relaciones de orden entre una y dos variables...

Ver, también, 

• REPRESENTAR, una poderosa estrategia en la resolución de problemas.

Supermercado virtual.

SUPERMERCADO VIRTUAL

Como el/la lector/a puede comprobar, <SUPERMERCADO> no es una batería de problemas al uso en los que se pide la introducción de un único número como solución a los mismos...

Se trata de una propuesta de resolución de problemas correspondientes a un METAMODELO_TIC DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS que podríamos denominar <MODELO DE RESOLUTOR EXPERTO> ya que el alumno es guiado con seguridad hasta la resolución del problema mediante una determinada forma de proceder experta, como si su maestro/a le estuviese planteando retos y, a la par, facilitándole ayudas...

La propuesta consta de 50 problemas en torno a SITUACIONES DE COMPRA realistas dentro de un mismo supermercado, y es más que suficiente para abordar aspectos tales como navegar por los diferentes departamentos , buscar productos y precios, calcular costes de compras, calcular beneficios o ganancias, el cambio o devolución si pago con..., rebajas, ofertas, etc...La colección sirve de pretexto, a su vez, para resolver problemas en los que se ven implicadas las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división y ratio) 

El primer problema con que se encuentra el/la alumno/a es con un enunciado en el que faltan datos (los precios de los productos) viéndose obligado/a a buscarlos en alguno de los cinco departamentos que contempla la aplicación (JUGUETES, DEPORTES, ELECTRODOMÉSTICOS, HOGAR, DEPORTE Y OCIO Y ALIMENTACIÓN). Una vez encontrados los precios que faltaban en el enunciado del problema, tiene que acudir a la zona de resolución y completar un texto. COMPLETAR EL TEXTO supone, aquí, RESOLVER EL PROBLEMA.

El texto a completar fuerza al alumno/a a una lectura comprensiva y analítica en la que, en no pocas ocasiones, deberá avanzar sobre el texto a completar postergando el completado de algunos datos hasta disponer de la información necesaria para poder deducir el texto incompleto y luego regresar y completarlo... Los textos solución parciales pueden ser palabras, signos de operaciones o números y hacen un barrido del problema que ayuda al alumno/a a captar las fases del mismo: datos, proceso, solución,.. .

Se pone un énfasis especial en la expresión de las magnitudes implicadas. Se facilita el uso de la calculadora para simular una situación real. No se trata de una calculadora convencional. Se ha puesto cuidado en que permita registrar la expresión del cálculo realizado (operaciones combinadas).

La aplicación, en su conjunto, simula PROCEDIMIENTOS QUE SE DAN EN LA COMPRA ONLINE, modalidad de compra cada vez más utilizada por los ciudadanos.

El texto solución de cada uno de los problemas presenta la forma de una argumentación lógica que incluye, de manera natural, la expresión de los cálculos necesarios...

Esta aplicación puede ser propuesta a partir de 4º de Primaria. Dado que este 'METAMODELO_TIC de RP' puede presentar dificultades derivadas de la adaptación a la forma de razonar y expresar el proceso del 'resolutor experto', se posibilita la visualización de la solución (texto solución completo) realizando CONSULTAS. Estas consultas están 'penalizadas' en relación con el porcentaje de eficacia que se muestra en la estadística. Sólo deben realizarse consultas en el caso de que el/la alumno/a se quede atascado/a...Un número elevado de consultas informa al docente de una gran dificultad en la resolución de estos problemas o bien de una forma de realización de los mismos poco adecuada y recomendable...

Autor: Juan García Moreno //C.E.I.P. Blas Infante// Lebrija (Sevilla)// Aplicación original realizada en 2009 y revisada y actualizada en 2017

REPRESENTAR, una poderosa estrategia en la resolución de problemas.

Algunas tipologías de problemas que se proponen en Primaria (por considerarse especialmente adecuadas para desarrollar capacidades de análisis, de razonamiento lógico, por favorecer actitudes de perseverancia, por obligar a una lectura analítica del enunciado,...) a menudo se presentan mediante enunciados que incluyen descripciones de eventos o situaciones que, en forma verbal, son muy difíciles de relacionar entre sí. 

Me refiero, sobre todo, a aquellos problemas de enunciado verbal en los que, por lo general, sólo se ve involucrada una magnitud (o variable) pero que necesitan ser leídos y releídos con especial cuidado, puesto que suelen expresar relaciones cualitativas y/o cuantitativas (en relación con esa magnitud) haciendo inversiones de orden y obligando a posponer o postergar el uso de la información que se acaba de procesar hasta disponer de otra que entre en relación con la primera y la haga útil...

Una representación gráfica adecuada permite la traducción visual del enunciado facilitando enormemente el control de las relaciones que en él se describen verbalmente. Además, no necesariamente hay que seguir el orden establecido en el enunciado...Eso sí, obliga a leer y releer éste comprobando, a la par, si la traducción gráfica es correcta parte a parte, relación a relación.

La visualización de conceptos y relaciones es ineludible en la matemática de la Etapa Primaria. Es imprescindible, didácticamente hablando, hacerles ver a los/as niños/as el poder que tienen las estrategias en la RP y, en especial, la de REPRESENTAR, en tanto en cuanto permiten simplificar en gran medida aquello que se presentaba como algo complejo y enrevesado...

Una aplicación digital e interactiva como ésta hace muy atractiva y relativamente sencilla la resolución de problemas con inversión de orden o con enunciados difíciles de leer al facilitar representaciones gráficas ágiles con elementos móviles que permiten el ensayo y error y el establecimiento adecuado de las relaciones que describe el enunciado. Pero hay que tener muy presente que una representación figurativa muy cercana a la realidad que se describe es más difícil de realizar por parte de los/as alumnos/as (complejidad del dibujo) de manera que refleje adecuadamente las relaciones que describe el enunciado, además de ser MENOS GENERAL que una representación gráfica con elementos simples (líneas, puntos, flechas, barras,...).

Desgraciadamente no es posible disponer de un modelo gráfico relativamente sencillo y con la suficiente generalidad como para abordar la REPRESENTACIÓN de ciertas tipologías de problemas.

El objetivo de esta aplicación es familiarizar al alumnado con LA ESTRATEGIA DE REPRESENTACIÓN. Una parte de la aplicación propone problemas a resolver utilizando diferentes representaciones más o menos figurativas (elementos desplazables y ordenables sobre una recta, diagramas de Venn, árbol genealógico, tablas, asociación de etiquetas,...) hasta desembocar (en una segunda parte de la aplicación) la representación mediante un completo y sencillo modelo de diagrama lineal interactivo para una magnitud o variable (fácilmente transferible a problemas análogos en los que intervienen dos variables o magnitudes).  

Cuando los/as alumnos/as resuelven los problemas propuestos haciendo uso de este diagrama lineal están preparados para el siguiente nivel: utilizar este mismo diagrama de manera libre para la invención de sus propios problemas.

El cumpleaños de Enrique.

Modelo de barras interactivo.

En su blog "Más ideas, menos cuentas", Pedro Ramos ha escrito un excelente post sobre "Prueba final de primaria de Singapur ", en la que presenta  los numerosos items de la prueba, los comenta y reflexiona acertadamente sobre los mismos.

Me ha parecido adecuado encabezar este post a partir de un comentario suyo, que reproduzco literalmente:

"Un detalle que me parece muy interesante es la profundidad con la que tratan la aritmética, con problemas como el 15. Aquí son inimaginables antes de llegar al álgebra, y creo que es un error. Como ya he comentado alguna vez, me parece que tratar problemas como estos sin herramientas algebraicas es muy importante para profundizar en la comprensión de la aritmética, y para desarrollar estrategias de resolución de problemas. La herramienta que aquí echamos de menos para resolver estos problemas es su famoso modelo de barras"

Pues bien, aquí está el problema número 15 :

Es obvio que problemas aritméticos como éste se identifican con los clásicos problemas que se resuelven algebraicamente y a los que se les dedica un tiempo considerable en Educación Secundaria. Éste, en concreto, se traduce algebraicamente en un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

También es obvio que problemas como éste se proponen porque se adecuan al modelo de barras tan característico del método Singapur. No todo problema aritmético se traduce fácilmente a un gráfico de barras ni es ésta siempre la mejor o única representación para facilitar la resolución de un problema aritmético.

Así, por ejemplo, encuentro el modelo de barras muy potente en la estructura aditiva ya que cualquier problema (de cambio, combinación, comparación o igualación, según la estructura semántica) puede ser reducido en la mente de los/as niños/as a un problema con tres barras (total y dos partes) integrando en un sólo tipo de esquema los esquemas de alto orden o superesquemas "parte-todo", de "transferencia" y de "más menos que" propuestos en la teoría de Kintsch y Greeno (1985) para problemas de combinación, cambio y comparación, respectivamente... 

En la estructura multiplicativa ya el modelo de barras es meno adecuado, sobre todo cuando algún factor es relativamente grande...Resulta, en cambio, casi insoslayable en problemas de fracciones y porcentajes porque facilita enormemente la comprensión. Por otra parte, traducen gráficamente bien una buena cantidad de problemas aritméticos que algebraicamente se corresponden con ecuaciones de primer grado, sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, ecuaciones de la recta,...

Pero es prácticamente imposible realizar un único modelo interactivo que se adecue a las diferentes tipologías de problemas aritméticos sin que pierda eficacia, agilidad o sencillez...

La imagen anterior muestra el problema modelado utilizando el modelo interactivo incorporado en las aplicaciones que presento a continuación. Nótese que el sistema de ecuaciones invita a su resolución por "sustitución". De manera análoga, en el modelo con barras se ha de sustituir cada barra roja (X) por  barra azul (y) + 0.8, de tal manera que podríamos afirmar que 8 barras azules + 3 x 0.8 es igual a 7.2. A partir de aquí es fácil resolver el problema.

Se trata de un modelo interactivo tremendamente ágil y muy sencillo de utilizar. A pesar de ello, las aplicaciones disponen de un tutorial interactivo para aprender el uso del modelo. He eludido en él el tratamiento de problemas de fracciones y porcentajes porque dispongo de otros modelos interactivos y asistidos más adecuados. En la aplicación para tercer ciclo de Primaria el modelo puede mostrar todos sus elementos y potencial. Para la aplicación dirigida al segundo ciclo de Primaria se utiliza el mismo modelo, pero simplificado.

Pero la utilización del modelo de barras, conlleva profundas reflexiones didácticas:

"Al disponerlos gráficamente, los datos conocidos y desconocidos se organizan de relativamente pocas formas diferentes, lo que facilita al alumno la identificación de la operación que corresponde a cada una de ellas" 

Urbano Ruiz S.,  Fernández Bravo  J.A., Fernández Palop M. P. ;  Universidad Camilo José Cela, España. "El modelo de barras: una estrategia para resolver problemas de enunciado en Primaria". 

Opino que siempre que esto ocurra, siempre que el modelo facilite al alumno la identificación de la operación a realizar,  la utilización del modelo será adecuada.

• ¿Ocurre esto siempre que se puede utilizar el modelo de barras? 
• ¿Ocurre esto en el modelado con barras del problema 15?

Por otra parte, no cabe duda de que saber realizar el modelo, en sí mismo, implica unos saberes, unas subcompetencias matemáticas ligadas a la comprensión, a la traducción de representaciones, etc. De hecho, nos vamos a encontrar mayores dificultades en la construcción del modelo adecuado a cada problema que en la interpretación correcta de modelos ya realizados. Por lo tanto, la modelización requiere una instrucción específica.

Por otra parte, creo que es indisociable la interacción mutua entre la representación lingüística y la representación figurativa. La práctica totalidad de los/as alumnos/as que saben realizar el modelo adecuado para un problema (en los casos menos complejos) es porque tienen la capacidad de previsualizarlo y, por lo general, de expresar lingüísticamente (prealgebraicamente) las relaciones entre los datos y la/s incógnita/as así como la capacidad para resolverlo una vez realizado...Por el contrario, difícilmente va a realizar correctamente el modelo un/a alumno/a que previamente no lo haya previsualizado o que no sepa verbalizar o subverbalizar lingüísticamente las relaciones aludidas entre los datos y la incógnita...

Otra cuestión interesante para el análisis que se pone de manifiesto en la práctica escolar es que el modelo de barras se basa en el establecimiento de relaciones entre las longitudes de las barras y el etiquetado de las mismas. Como, a priori, no se conocen los valores de las incógnitas, las barras utilizadas van a tener unas longitudes arbitrarias. Aunque el modelado del problema puede ser correcto sin que las barras guarden longitudes proporcionales a sus valores, se establecen con frecuencia relaciones incorrectas basadas en lo estrictamente figurativo del esquema que se está realizando.

Es obvio que este tipo de problemas podría tener otras representaciones figurativas alternativas:

Representación figurativa del problema número 15.

Representación figurativa del problema de las chucherías, portada de la aplicación 3º Ciclo.

Equivalencias entre modelos gráficos en la resolución de problemas aritméticos. El modelo de barras.

Esta aplicación pretende poner de manifiesto la utilidad del "MODELO DE BARRAS" (Método Singapur) como estrategia heurística para la modelización de problemas aritméticos. 

Los gráficos estáticos que se ofrecen - y que en su mayoría se corresponden con problemas aritméticos no verbalizados- pueden ser utilizados por los docentes como instrumento de aprendizaje del "MODELO DE BARRAS"  a la par que se trabaja la equivalencia entre representaciones gráficas. Por ello no se dan las soluciones. Se pretende que sean los/as alumnos/as quienes pongan enunciado a la situación representada y, a su vez, expresen las relaciones, los argumentos y razonamientos que lleven a determinar cuantitativamente las variables que aparecen (con lo cual se resuelve el problema representado).

Pero esta aplicación es, sin duda, un instrumento para la formación del profesorado. Ilustra la manera en que el "MODELO DE BARRAS"  es adecuado para la modelización de problemas aritméticos que algebraicamente se corresponden con ecuaciones de primer grado, con sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y con ecuaciones de la recta. NO HAY MODELIZACIÓN MATEMÁTICA SI NO SE REPRESENTA O EXPRESA UNA ECUACIÓN, UNA INECUACIÓN, UN SISTEMA DE ECUACIONES,... No he pretendido ser exhaustivo. Creo que es más que suficiente para ver su utilidad.

No cabe duda, como se puede apreciar en la aplicación, que permite representar perfectamente, y con relativa sencillez, las relaciones numéricas implicadas en cada uno de los ejemplos-problema, y que puede hacerse corresponder con el modelo "BALANZA/S EQUILIBRADA/S" (muy utilizado en DidactmaTICprimaria ) , que podría presentarse de manera más esquemática con barras en cada platillo...

Conviene tener en cuenta el sentido de esta aplicación en la enseñanza/aprendizaje de la utilización del modelo de barras. Lo que aquí se propone es la correcta interpretación del modelo ya realizado. EN OTRO NIVEL DE MAYOR DIFICULTAD SE SITÚA LA REALIZACIÓN DEL MODELO GRÁFICO, DESDE CERO, POR PARTE DE LOS/AS ALUMNOS/AS PARA MODELIZAR Y RESOLVER UN PROBLEMA ARITMÉTICO. 

En los dos post anteriores ya he presentado variantes interactivas del modelo de barras, pero estoy trabajando en un modelo interactivo lo más general y sencillo posible... sobre todo, una vez constatada la insuficiencia de los materiales impresos que desarrollan este modelo. Hay buenas versiones digitales  del modelo de barras. No obstante, las más generales me parecen complejas y las más simples no demasiado ágiles:

No cabe duda del potencial del  'modelo de barras' para la modelización de problemas aritméticos. Aunque esta modelización (representación gráfica) es ya una actividad matemática relevante en sí misma, el profesorado debe asegurarse de que la utilización del modelo favorezca, en los/as alumnos/as, la determinación de las operaciones que intervienen en la resolución del problema.

Post relacionados con éste:

• Álgebra y resolución de ecuaciones en Primaria_1
• Álgebra y resolución de ecuaciones en Primaria_2
• Modelo interactivo partes-todo sobre recta numérica. Resolución de problemas aritméticos.
• El modelo de barras en el Cálculo y en la Resolución de PAEV

Modelo interactivo partes-todo sobre recta numérica. Resolución de problemas aritméticos.

Con esta aplicación se trabaja la representación-modelización de problemas de RELACIONES NUMÉRICAS ENTRE TRES O CUATRO CANTIDADES (doble/mitad, triple/tercio, más/menos...). Para ello se utilizan tanto el modelo "part-part-whole" como el modelo "part-part-part-whole" correspondientes al MODELO DE BARRAS utilizados por el método Singapur de Matemáticas, pero en versión interactiva (barras de longitud variable).

El modelo de barras interactivas se combina, aquí, a su vez, con UNA RECTA NUMÉRICA INTERACTIVA que permite mostrar diferentes números de partes unitarias (<=30) y asignar un valor a cada parte unitaria(<=30)

El problema propuesto se resuelve cuando se ajustan correctamente las variables del gráfico interactivo que representa o modeliza la situación y cuando, además, se asignan correctamente los valores numéricos correspondientes a las tres variables que siempre intervienen en los problemas propuestos: <km recorridos ayer>, <km recorridos hoy> y <km recorridos entre los dos días>. (Todo ello en los niveles 1,2,3,4 y 5)

En el nivel 6 aparecen siempre 4 variables: <Cantidad de dinero que tiene Ana>, <Cantidad de dinero que tiene Benito>, <Cantidad de dinero que tiene Carla> y <Cantidad de dinero que tienen entre los tres>.

El ajuste correcto del gráfico exige, en cada caso, tener en cuenta la relación entre las cantidades correspondientes a <ayer> y las correspondientes a <hoy>, por ejemplo; que esa relación o proporción la guarden las respectivas barras de color que representan sendos conceptos. Pero, además, con un número de marcas concreto ha de alcanzarse un valor numérico concreto, lo que obliga al ajuste relativo tanto del número total de marcas asignadas al gráfico como del valor correspondiente a cada división de la recta numérica. Ello obliga al dominio de las tablas de multiplicar o, si se prefiere, de las series aritméticas comenzando en cero.

Como se puede apreciar, los/as alumnos/as tienen que tener en cuenta varias variables numéricas después de haber entendido perfectamente el texto. No les resulta una actividad fácil...

Para hacer la aplicación apropiada a partir del 2º ciclo de Educación Primaria, se han implementado seis niveles o grados de dificultad correspondientes a seis tipologías de problemas propuestos. Pero, además, cada tipología se diversifica en varias subtipologías elegidas aleatoriamente. A su vez, cada subtipología elige cantidades aleatorias dentro de unos rangos numéricos preestablecidos. De esta manera se logra implementar 29 subtipologías de problemas diferentes, cada una de ellas con cantidades aleatorias.

El modelo de barras en el Cálculo y en la Resolución de PAEV

No cabe duda de que la utilización de modelos gráficos para representar tanto las cantidades (conocidas y desconocidas) como las relaciones involucradas favorece la visualización, estructuración y comprensión en la resolución de determinados problemas y orienta al alumno hacia la determinación de las operaciones que debe realizar con los datos.

Si a ello unimos la verbalización de las magnitudes involucradas, en forma de etiquetas de texto, el modelo resultante es un potente heurístico en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal.

Modelos de barras en el cálculo y en la RP. Didactmaticprimaria.net

En esta aplicación utilizo el modelo partes-todo con regletas de Cuisenaire para apoyar el cálculo básico tanto en la estructura aditiva como en la multiplicativa. También utizo el modelo, de manera más ortodoxa, en la resolución de PAEV de estructura aditiva de nivel1.

El modelo que nos ocupa aquí, el "modelo de barras", modelo "parte-todo" ("part-whole"), fue desarrollado en los años 80  y muy utilizado en el "Método Singapur" de matemáticas. Se ha expandido a lo largo del mundo durante los últimos años debido a las altas calificaciones de los alumnos de Singapur en las pruebas PISA.(***) Se trata de un modelo necesario y fundamental por su adecuación a numerosas situaciones, aunque pueden desarrollarse variantes del mismo y considero que no necesariamente se deben atener a la forma en que es comúnmente presentado ya que no deja de ser un caso particular de la representación gráfica de relaciones partes-todo.

Los conceptos TODO y PARTE son ineludibles en la enseñanza-aprendizaje de la matemática. No se puede hablar de matemática relevante si los/as alumnos/as no hacen un uso constante del análisis (descomposiciones diversas de un mismo TODO) y la síntesis (combinaciones diferentes de las mismas PARTES).

Es obvio afirmar que prácticamente todos los libros de texto, desde hace mucho tiempo, han ilustrado, al menos en la representación de fracciones, la relación entre el todo y una parte…

DidactmaticPrimaria utiliza un verdadero derroche de modelos gráfico-dinámicos para favorecer la manipulación, visualización, estructuración y comprensión en la resolución de problemas y retos de todo tipo. Aunque las aplicaciones digitales de DidactmaticPrimaria conforman un proyecto digital que va más allá de métodos específicos de matemáticas, no cabe duda de que apuesta por “experimentar el placer de descubrir” a través de una gran riqueza y variedad de materiales manipulativos (como en el método Montessori, por ejemplo), o por potenciar la comprensión y metacognición a través de modelos relevantes como el modelo de barras del método Singapur..  Así, por ejemplo, he desarrollado y utilizado en mis aplicaciones variantes dinámicas de modelos partes-todo, aún sin conocer el método Singapur,  en:

Figura1: centena dinámica

Figura2: Modelo para resolución asistida de
problemas de fracciones y porcentajes

Figura 3:  Modelo para resolución asistida de problemas de fracciones.

Figura 4:  Modelo para resolución asistida de problemas de porcentajes.

Una centena dinámica (Figura 1).

Diferentes aplicaciones que he realizado para la resolución asistida 
de problemas con fracciones y porcentajes... 
(Figuras 2, 3 y 4 - en una clase con 25 alumnos/as 2 de ellos representan el 8% )

En problemas de móviles basados en el razonamiento aritmético. 

(Figuras 5A y 5B) 

Figura 5.A : "Modelo de barras implícito" en un problema aritmético de móviles.

Figura 5.B : Se han añadido las barras implícitas (que no eran visibles)

En este último caso podemos considerar que las barras están implícitas (Figuras 5 A y 5B) y que se podrían hacer visibles... La barra correspondiente al TOTAL está representada como fija y tiene en sus extremos a los coches que marchan en sentidos opuestos. Podemos asociar mentalmente una barra PARTE a cada coche, con extremos en él y en el punto de encuentro de ambos (el deslizador móvil que determina los valores de las partes y con la que se resuelve el reto propuesto)…

Figura 6: Modelo part-part-whole incluido en "Así Calculamos en mi Cole"

La figura 6 ilustra una aplicación de 2010 en la que incluí, sin conocer la metodología Singapur, un modelo "part-part-whole" en "Así Calculamos en mi cole" (trabajo premiado por el ITE en 2011). La aplicación la incluí en el submenú "Realizamos un cálculo flexible, pensado y mental en la resolución de problemas" con el título "doble/mitad, triple/tercio en la recta numérica". Quizá por todo lo anterior, desarrollado al margen del conocimiento del método Singapur, fuera por lo que en agosto de 2012 escribí el post 

¿Es novedoso el llamado "Método Singapur" de matemáticas? 

manifestando, sobre todo, mi extrañeza por la pompa y publicidad que determinada editorial y particulares - que aludían incluso a sus propiedades mágico-milagrosas- daban a algo que para mí no suponía novedad...

En el documento "El modelo de barras: una estrategia para resolver problemas de enunciado en Primaria", Sergio Urbano Ruiz, José Antonio Fernández Bravo, y María Pilar Fernández Palop, todos ellos de la Universidad Camilo José Cela, España, realizan un análisis interesante del modelo.

Resulta curioso (y motivo para la reflexión) que la primera imagen que encontramos en la web http://singapur.polygoneducation.com/, precisamente para ejemplificar el modelo de barras en la RP, ilustre y resuelva (o exprese) de manera incorrecta el problema propuesto. Puede que esto ponga de manifiesto una realidad más profunda: La representación gráfica interactúa con las relaciones representadas mentalmente, en un proceso de verificación continua de la adecuación entre las imágenes mentales, las relaciones verbalizadas lingüísticamente (al menos subverbalizadas) y lo que se plasma gráficamente. Se constata, así, que una de las dificultades más importantes en los problemas que expresan relaciones con números es el dominio del lenguaje...

Al menos debería haberse revisado el ejemplo propuesto para evitar errores y ambigüedades...

Gabriela compró 4/5 de kg. de azúcar. Ella usó 3/5 de esa cantidad (de la cantidad comprada) para hacer unos postres.

¿Cuánto azúcar usó? (La unidad de referencia aquí es la cantidad de azúcar que compró. No interesa, aquí, la que no compró, puesto que entonces la respuesta sería obvia y haría totalmente innecesaria la representación gráfica de la situación)

¿Cuánta azúcar le sobró? (Idem).

Sí, me reafirmo en que una de las dificultades más importantes en los problemas que expresan relaciones con números es el dominio del lenguaje...Observemos la más que ambigua utilización de la expresión "tres veces más" en esta imagen correspondiente a una captura de pantalla de un vídeo publicado en Youtube:

(***): Una circunstancia a tener en cuenta es que Singapur es una ciudad Estado de cinco millones de personas, con un PIB per cápita de 81.000 euros (el de España, por ejemplo, es de unos 28.000 euros).