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19 julio, 2020

Laberintos y Topología (Infantil y Primaria)


Suele pensarse que la Topología o “Geometría de la posición” es una parte complicada de la Matemática. Pero dado que ésta no se interesa por la medida sino solamente por la forma y en cómo ésta puede variar sin provocar roturas, hay elementos de esta disciplina que aparecen antes que el concepto de medida (nociones de posición, dentro-fuera, interior-exterior, formas topológicamente equivalentes, conexiones entre agujeros, caminos dentro de laberintos, etc). Estos aspectos se pueden abordar adecuadamente desde edades muy tempranas. También se puede progresar en el reconocimiento de propiedades y regularidades de carácter topológico a lo largo de la Etapa Primaria.


La construcción de la noción de “espacio” constituye una de las bases lógico-matemáticas fundamentales que sirven para estructurar el futuro pensamiento abstracto-formal. Para garantizar la comprensión de los principios fundamentales de la geometría en el futuro es de suma importancia que los docentes, mediante la  selección correcta de estrategias de enseñanza y actividades de aprendizaje adecuadas, promuevan el desarrollo de nociones topológicas, proyectivas y euclidianas. 
En “La representación del espacio en el niño”, Jean Piaget y Bärbel Inhelder defienden que los conceptos fundamentales y primeros del espacio (como espacio representado y no  como concepción global del mismo) no son euclidianos, sino “topológicos”. Es decir, basados en correspondencias que involucran relaciones de proximidad (o de vecindaje), relaciones de separación, relaciones de orden o sucesión espacial (orden lineal y circular), relaciones de envolvimiento y continuidad. Afirman que "el orden genético de adquisiciones de las nociones espaciales, es inverso al orden histórico del progreso de la ciencia", que las relaciones topológicas son consideradas con anterioridad a las  proyectivas y  euclidianas por parte del niño.

Aproximadamente a partir de los dos años, las relaciones espaciales más sencillas se expresan mediante palabras como: “arriba”, “abajo”, “encima”, “debajo”, “más arriba”, “más abajo”, “delante”, “detrás”,…; dichas expresiones contribuyen eficazmente a alcanzar las nociones espaciales. En esta etapa el niño no puede distinguir, por ejemplo, un círculo de un cuadrado porque ambas son figuras cerradas, pero si las puede diferenciar de la figura de una herradura. Posteriormente logra distinguir líneas curvas de rectas y figuras largas de cortas, así como también diferenciar el espacio interior y exterior de una frontera dada o determinar posiciones relativas al interior de un orden lineal.
Luego aparecen progresivamente relaciones de tipo proyectivo. La geometría proyectiva puede entenderse, informalmente, como la geometría que se obtiene cuando nos colocamos en un punto, mirando desde ese punto. Esto es, cualquier línea que incide en nuestro "ojo" nos parece ser solo un punto, en el plano proyectivo, ya que el ojo no puede "ver" los puntos que hay detrás. Equivale a la proyección sobre un plano de un subconjunto del espacio en la geometría euclidiana tridimensional. Estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas, pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida.
Posteriormente, aparecen las relaciones de tipo euclidiano que tratan de la representación de las longitudes, ángulos, áreas y volúmenes como propiedades que permanecen constantes, cuando las figuras representadas son sometidas a transformaciones rígidas.

No cabe duda que en la resolución de los laberintos usuales (que suelen proponerse desde las edades más tempranas) se ven involucradas nociones topológicas básicas (interior, exterior, dentro, fuera, abierto, cerrado,…) y que ya desde Infantil (4-5 años) se manejan nociones básicas de tipo proyectivo y euclidiano.


Laberintos. Educación Infantil. Proyecto MATE.TIC.TAC


El Proyecto MATE.TIC.TAC. propone la realización de laberintos clásicos (o más usuales) desde Infantil. Concretamente propone dos procedimientos diferentes de resolución de laberintos: trazado del recorrido a mano (mediante uno o más trazos) y teledirigiendo a un muñeco mediante las teclas (arriba, abajo, izquierda y derecha) de una consola presente en pantalla.






También en primer ciclo se proponen laberintos de recorrido con muñeco teledirigido, solo que más complejos que en Infantil y en los que se van introduciendo variantes (varias entradas, varios salidas, varios recorridos válidos,...




Los laberintos clásicos siempre tienen una solución, una entrada y una salida. A partir del 2º ciclo de Primaria, el proyecto MATE.TIC.TAC  propone una nueva categoría de laberintos que no se ajustan a la noción clásica de "laberinto" y que conectan con aspectos topológicos que no siendo elementales pueden ser comprendidos y utilizados por alumnos/as de Primaria.

Topológicamente equivalentes. ProyecTo MATE.TIC.TAC

MATE.TIC.TAC propone "LABERINTOS CON PLATAFORMAS Y PUENTES" que son topológicamente equivalentes a grafos con nodos y arcos. Ahora se puede imponer una restricción al recorrido: que pase por cada uno de los puentes una sola vez. Se trata de una clase especial de "laberintos" porque puede que no tenga solución, o que tenga múltiples soluciones diferentes, dependiendo de la plataforma en que se inicie el recorrido.

Los/las lectores/as más expertos habrán reconocido, de inmediato, que se trata de una adaptación para escolares, con variantes, del famoso problema de "Los puentes de Königsberg" (origen de la Topología) y que esto enlaza directamente con la "Teoría de Grafos".

Los puentes de Königsberg. Proyecto MATE.TIC.TAC


"LABERINTOS CON PLATAFORMAS Y PUENTES" puede ser considerado como una ampliación del  excepcional "Taller de Topología para alumnos/as de Primaria" (ver vídeo), del proyecto MATE.TIC.TAC, incluido en el el bloque de "procesos, métodos y actitudes" del 3º ciclo. En dicho  taller se proponen múltiples figuras para ser recorridas de un solo trazo, se muestran  transformaciones topológicas que permiten identificar figuras topológicamente equivalentes. Se analizan, codifican y estudian recorridos y soluciones, buscando el descubrimiento de regularidades. Se puede realizar cualquier grafo colocando nodos y arcos; y evaluar si puede, o no, ser recorrido de un solo trazo. De manera concreta se puede analizar el problema de "Los puentes de Königsberg" y variantes con menos o más puentes....

Pero mientras que en "Taller de Topología" los retos propuestos se resuelven mediante trazado "a mano", "de un solo trazo", aquí se ha añadido el atractivo de adaptarlos para que puedan ser recorridos mediante un monigote teledirigido. De esta manera, esta misma aplicación se adecúa y se ofrece para alumnos/as de 2º ciclo de Primaria (obviando, si es necesario, la pretensión de que descubran patrones topológicos...)


21 agosto, 2013

¿Retos topológicos en Educación Primaria?



Son escasísimos los contenidos educativos digitales multimedia que tratan aspectos topológicos básicos.
Muchos recordamos, aunque de manera vaga e indefinida, que una vez en la escuela se nos propuso resolver el reto de la “casita” (o “sobre de carta” si se prefiere). Se trataba de realizar el dibujo de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel y sin dibujar un mismo segmento dos veces…
Probablemente una gran mayoría de personas, incluso una mayoría de docentes, no hayamos sido conscientes de los momentos de acercamiento a cuestiones que tienen relación con esta rama de la geometría denominada topología, sobre todo de los aspectos lúdicos de la misma.

Figuras que pueden dibujarse de un solo trazo
"Casita" o "sobre de carta"
El sencillo reto de la “casita” enlaza directamente con el famoso e histórico problema de los puentes de Königsberg, con el matemático Euler, con el nacimiento de la topología y de la potente teoría de grafos.

La aplicación que aquí ofrezco, organizada en torno a cuatro secciones o apartados, hace posible de manera experimental, creativa y lúdica, que comprender y argumentar razonadamente sobre el problema de los puentes de Königsberg (y variantes del mismo) así como crear y dar respuesta a otros problemas análogos más complejos sea una tarea de matemáticas relevante al alcance de niños de Primaria, a la par que los familiariza con aspectos básicos de la topología.

Un coche recorriendo un circuito sin pasar dos veces por el mismo arco.


En el apartado RETOS se ilustra de manera dinámica lo que se entiende por “recorrido de un solo trazo” y se propone, a modo de retos, una veintena de figuras que pueden ser recorridas de un solo trazo, cada una de ellas de múltiples maneras (aquí soluciones). Se trata, pues, de una actividad de naturaleza divergente, creativa… El ordenador permite comprobar lo correcto o no del trazado realizado por el usuario en cada caso, es decir, de la solución concreta dada por él. Los retos propuestos permitirán intuir y descubrir la existencia de ciertos patrones o regularidades. Así, por ejemplo, la aplicación redibuja el trazado realizado por el usuario en el mismo sentido que éste lo hizo y en sentido contrario evidenciando de manera visual y dinámica que toda solución es doble. Pronto el usuario descubre que unas figuras tienen solución comenzando en uno cualquiera de sus vértices (y terminando en el mismo) y otras, en cambio, exigen comenzar y terminar en vértices concretos. ¿Por qué?

Figuras que pueden realizarse de un solo trazo
Las veinte figuras propuestas (de diferente dificultad)

Redibujando el trazado correcto de la figura número 9
Comprobación de un trazado solución correspondiente a la figura propuesta número 9

Mostrando una solución de una figura determinada
Trazado de una solución (1-7-2-8-3-4-9-5-6-10-7-6-1-5-4-1-3-2-1) 
En  el apartado SOLUCIONES el usuario puede descubrir la naturaleza combinatoria de las múltiples soluciones de cada una de las figuras (y de las que son equivalentes topológicamente a ella); se analizan todas las soluciones posibles de las figuras más sencillas propuestas; se muestran de manera interactiva y argumentada varias soluciones de cada una de las figuras propuestas (como adelanto de la TEORÍA) y se utilizan los números para codificar soluciones.



El apartado TEORÍA se aprovecha para introducir e ilustrar dinámicamente conceptos topológicos básicos relacionados con los retos propuestos y sus soluciones, tales como: figuras topológicamente equivalentes, grafo,  grafos topológicamente equivalentes, vértices o nodos, segmentos o arcos, regiones, orden de un nodo, nodo par, nodo impar,…

También se utiliza el apartado TEORÍA para llevar al alumno al descubrimiento o comprobación de unos cuantos resultados teóricos sencillos que son expresión de las regularidades que han podido ser experimentadas y que permiten determinar si un grafo va a tener o no solución. Se muestra de manera dinámica una familia de grafos generados “de un solo trazo” con un espirógrafo configurable, se pregunta sobre las características comunes de estas figuras así generadas; se muestran colecciones de figuras para que el usuario determine si tienen o no solución, etc... Esta teoría está perfectamente al alcance de niños/as de 9-10 años en adelante y es la que permitirá comprobar que el originario problema de los puentes de Königsberg no tiene solución.

Para completar aspectos no tocados en esta aplicación o bien para verlos desde otro punto de vista, se enlaza con algunas aplicaciones para Educación Primaria correspondientes al  Proyecto Canals (de Hernán Darío Alzate: "Redes I", "Redes II" y "Topología" ; de Diego Luis Feria Gómez: "Posiciones relativas entre líneas" ) a vídeos de YouTube sobre esta temática y a diferentes documentos digitales online.


Grafo correspondiente al problema de los puentes de Königsberg
"Los siete puentes de Königsberg"

En el apartado TALLER el usuario puede crear sus propios grafos colocando nodos y arcos en la zona de diseño tal y como desee. El ordenador evalúa si el grafo realizado tiene o no solución y por qué… Además sugiere y permite la simulación o modelado del problema de los puentes de Königsberg y variantes del mismo…



Grafo solución a un problema con 14 puentes.

Por último, y esto puede que sólo interese a desarrolladores de contenidos educativos digitales, la aplicación muestra un amplio abanico de maneras diferentes de abordar el trazado interactivo de líneas rectas y curvas...


(Se agradecen los comentarios)