Cálculo estratégico de productos y divisiones.

 

  Ver, también,

• Multiplicación (Kit interciclos)
• Formatos  interactivos para la enseñanza-aprendizaje de la división.
• Divisibilidad en Primaria
• Multiplicación y división. Algoritmos estándar.

Porcentajes. Kit 3º ciclo de Primaria.

Porcentajes. Kit 3º ciclo de Primaria. Didactmaticprimaria.net

Fracciones en Primaria. Kit_2º ciclo y kit_3º ciclo.

Multiplicación. Kit interciclos.

ÁBACOS. Estrategias para la numeración.

Números. Hasta un millón. Hasta mil millones.

Contextos lúdicos para iniciarse en la descomposición aditiva y en la realización de sumas y restas mentales

Contextos lúdicos para la descomposición numérica y el cálculo mental aditivo. DidactmaticPrimaria.net. Proyecto MATE.TIC.TAC

La original respuesta de Jiaqi Lin (operaciones combinadas en la resolución de PAEV)

Frente a modelos de resolución de PAEV (Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal) que ponen el énfasis en la forma de realizar los cálculos, vengo defendiendo un nuevo  modelo de   resolución   centrado   en   el   razonamiento lingüístico-matemático.  Se  trata  de  un  modelo  significativo,  avanzado  y  bien  fundamentado  didácticamente  en  tanto  en  cuanto pone el énfasis en la expresión de la estrategia de resolución íntimamente ligada a la estructura del problema. Ello implica necesariamente diferir la  realización  de los cálculos. Además de ser un modelo más significativo y "más experto", previene la mayoría de los errores que tradicionalmente vienen cometiendo los/as alumnos/as en la resolución de PAEV porque ven números que saben que tienen que operar con otros números y no significados y estructuras... Exige  mayor estructuración   de   la información   y   consiste   fundamentalmente   en   la   explicitación  prealgebraica  y  algebraica  de  la  estructura  del  problema  como  requisito previo a la realización de cálculos. 

En diferentes post de este blog he tratado sobre mi método de "Resolución de PAEV mediante el modelado algebraico con etiquetas de texto". Una justificación del mismo se realiza en este documento (en .pdf)

Las imágenes corresponden a un control escrito sobre resolución de problemas de varias operaciones, en 5º del presente curso, haciendo uso exclusivo de la expresión algebraica (operaciones combinadas en una sola línea) como expresión de la estrategia y, a la par, como solución indicada de los problemas propuestos.

En este caso los/as alumnos/as no pueden realizar ningún cálculo y, por tanto, sólo pueden aparecer en las expresiones algebraicas datos proporcionados en el problema...

Quiero aquí llamar la atención sobre la original respuesta de Jiaqi Lin a la pregunta "¿Cuánto dinero del recaudado les quedó a los gerentes del teatro después de pagar a los actores?"

No se ha repetido esta solución en ninguno de los otros 47 alumnos/as de 5º que realizó la prueba. La respuesta dada por los/as demás alumnos/as que han acertado esta pregunta ha sido [(225 x12)+(125x6)]-(350x5),  o bien ligeras variantes de la anterior : [(225 x12)+(125x6)]-[(225x5)+(125x5)];  [(225 x12)+(125x6)]-[(225 + 125)x5],...

Ni que decir tiene que los/as alumnos/as deben saber calcular el valor numérico de estas expresiones algebraicas. Pero quiero dejar claro que eso es secundario frente a la identificación y expresión de la estructura o columna vertebral del problema. Lo realmente importante para llegar a ser un resolutor experto es encontrar la expresión algebraica. Cualquier programador, por poner un ejemplo, daría las instrucciones de una manera similar para que el ordenador realizara los cálculos... Pero si digo que los cálculos son secundarios es porque generalmente se insiste muy poco en los significados de las expresiones algebraicas. Éstas, por lo general, no tienen su origen ni se relacionan con la resolución de problemas sino que aparecen como algo aparte y descontextualizado que es dado a los/as alumnos/as para ser resuelto siguiendo un conjunto de reglas. Para mis alumnos/as cada paréntesis o corchete encierra una magnitud diferente que hay que saber identificar y describir, y no nos importa escribir más paréntesis de los estrictamente necesarios:

(12-5): Cantidad de dinero que queda como beneficio a los gerentes del teatro por cada entrada de adulto tras haber pagado a los actores.

((12-5) x 225): Cantidad de dinero que queda como beneficio a los gerentes del teatro por todas las entradas de adulto tras haber pagado a los actores.

(6-5): Cantidad de dinero que queda como beneficio a los gerentes del teatro por cada entrada de niño tras haber pagado a los actores.

((6-5) x 125): Cantidad de dinero que queda como beneficio a los gerentes del teatro por todas las entradas de niño tras haber pagado a los actores.

((12-5) x 225)+((6-5) x 125): Cantidad de dinero que queda como beneficio a los gerentes del teatro por todas las entradas  tras haber pagado a los actores.

Lo anterior está directamente relacionado con los siguientes indicadores (Currículo de Matemáticas-Primaria-Andalucía):

Indicadores:

MAT.3.1.1. En un contexto de resolución de problemas sencillos, anticipa una solución razonable y busca los procedimientos matemáticos adecuados para abordar el proceso de resolución. (CMCT, CCL, CAA). 

MAT.3.1.2. Valora las diferentes estrategias y persevera en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. (CMCT, CAA, SIEP). 

MAT.3.1.3. Expresa de forma ordenada y clara, oralmente y por escrito, el proceso seguido en la resolución de problemas. (CMCT, CCL).

Además del modelado algebraico mediante etiquetas de texto, utilizamos otros modelos. He aquí algunas aplicaciones para segundo y tercer ciclo de Primaria que he diseñado y utilizo para el fin anteriormente descrito: 

A.- Un modelo de resolución asistida.

B.- Un modelo de asociación.

 C.- Un modelo de expresión/construcción.

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La siguiente "macroaplicación" contiene a las anteriores así como otras dos dedicadas específicamente al cálculo de operaciones combinadas. Se propone como una secuencia internivelar que recoge las consideraciones metodológicas y didácticas referidas anteriormente:

 

Multiplicación y división. Algoritmos estándar.

Tal y como prometí en el post "De las estrategias propias a los algoritmos estándar", ofrezco aquí las aplicaciones interactivas que permiten aprender y practicar, gradualmente, los algoritmos estándar de la multiplicación y la división.

Matemáticas_LOMCE. De las estrategias propias a los algoritmos estándar.

Mucho se ha hablado y se seguirá hablando de los algoritmos estándar de las operaciones básicas en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en la Etapa Primaria. Con la LOMCE, los correspondientes decretos por los que se establece el currículo de la Educación Primaria en cada una de las comunidades autónomas del estado español parecen reflejar un reforzamiento de los algoritmos estándar o tradicionales de las operaciones básicas, a pesar de que se contemplen, también, otros tipos de cálculo.

Aunque no he revisado todos y cada uno de los currículos  de matemáticas comunitarios (sería interesante que alguien con más tiempo hiciera un estudio detallado al respecto) sí puedo afirmar que la mayoría  de ellos contempla una situación muy parecida a la del currículo de matemáticas_Primaria en Andalucía:

Andalucía. Matemáticas. Primer ciclo
Contenidos:
2.16. Cálculo de sumas utilizando el algoritmo.
2.17. Cálculo de restas utilizando el algoritmo.
Indicadores:
MAT.1.5.1. Realiza operaciones de suma y resta con números naturales. Utiliza y automatiza sus algoritmos, aplicándolos en situaciones de su vida cotidiana y en la
resolución de problemas. (CMCT).
Andalucía. Matemáticas. Segundo ciclo
Contenidos
2.18. Utilización de los algoritmos estándar de sumas, restas, multiplicación por dos cifras y división por una cifra,aplicándolos en su práctica diaria.
Indicadores:
MAT.2.5.1. Realiza operaciones utilizando los algoritmos estándar de suma, resta, multiplicación y división con distintos tipos de números, en comprobación de resultados en contextos de resolución de problemas y en situaciones cotidianas. (CMCT, CAA).
Andalucía. Matemáticas. Tercer ciclo
Contenidos
2.22. Utilización de operaciones de suma, resta, multiplicación y división con distintos tipos de números, en situaciones cotidianas y en contextos de resolución de problemas. Automatización de los algoritmos.

Contenidos y criterios ( o indicadores) muy parecidos aparecen al menos en los currículos de Matemáticas de la Generalitat de Catalunya, Xunta de Galicia, Aragón, Baleares, Extremadura,  Navarra,...). No los he visto, en cambio, para la Comunidad de Madrid. Comunitat Valenciana y Canarias.

La mayoría (no todos) de estos currículos autónomos refuerzan la idea ( o creencia) de que los algoritmos estándar de las operaciones son una meta a la que hay que llegar por ser socialmente más eficientes que otros algoritmos de papel y lápiz.

¿Por qué no han tomado las demás comunidades autónomas la posición más abierta, más sencilla de expresar y  más consecuente con el estado actualo de la didáctica del cálculo que ha tomado, por ejemplo, la Comunitat Valenciana?

COMUNITAT VALENCIANA

CURSO 1º.

BL2.2. Sumar y restar números naturales de dos cifras con cualquier estrategia de cálculo (monedas, dedos, objetos, calculadora para investigar pequeñas situaciones numéricas,etc.), explicando el proceso seguido con sus propias palabras, dibujos y algoritmos escritos. Identificar las operaciones en situaciones que requieran unir o añadir, quitar o separar.

CURSO 2º.

BL2.2. Sumar y restar números naturales de tres cifras y multiplicar por 1, 2, 3, 4 y 5 como suma de sumandos iguales con cualquier estrategia de cálculo (monedas, dedos, objetos, calculadora para investigar pequeñas situaciones numéricas 2+2+2+2=2x4, etc.), explicando el proceso seguido con sus propias palabras y con algoritmos escritos. Identificar las operaciones en situaciones cotidianas que requieran unir o añadir, quitar o separar y repetir.

CURSO 3º

BL2.2 Sumar y restar números naturales de cuatro cifras, multiplicar por una cifra y dividir por una cifra en el divisor como reparto en partes iguales con cualquier estrategia de cálculo (monedas, billetes y objetos, memorización de las tablas, descomposición de números, calculadora para investigar pequeñas situaciones numéricas, etc.), explicando oralmente y/o por escrito (algoritmos escritos) el proceso seguido, haciéndose valer si fuera necesario de una calculadora. Identificar las operaciones en situaciones habituales por medio de juegos o simulaciones como un mercadillo, la preparación de una fiesta-cumpleaños, etc.

CURSO 4º

BL2.2. Operar con los números naturales con estrategias de cálculo (mental, estimación, calculadora, propiedades de los números) y procedimientos (algoritmos, calculadora) más adecuados según la naturaleza del cálculo para evaluar resultados, y extraer conclusiones en situaciones de compra-venta (rebajas, impuestos, presupuestos, reformas, etc.), de logística (distribución de recursos, planificación de viajes, etc.) y otras.

CURSO 5º

BL2.2. Operar con los números naturales y decimales con estrategias de cálculo (estimación, calculadora, propiedades de los números) y procedimientos (algoritmos y calculadora) más adecuados según la naturaleza del cálculo para evaluar resultados, y extraer conclusiones en situaciones de compra-venta (rebajas, impuestos, presupuestos, reformas, etc.), de logística (distribución de recursos, planificación de viajes, etc.) y otras.

CURSO 6º

BL2.2. Operar con los números naturales, decimales y fraccionarios con estrategias de cálculo (estimación, calculadora, propiedades de los números) y procedimientos (algoritmos y cualquier aplicación tecnológica que lo permita) más adecuados según la naturaleza del cálculo para evaluar resultados, extraer conclusiones y tomar decisiones en situaciones de compra-venta (p.e. rebajas, impuestos, presupuestos-reformas, etc.), de logística (p.e. distribución de recursos, planificación de viajes, etc.) y otras.

No voy aquí a abrir más este debate ni a posicionarme al respecto. Hay mucha literatura al respecto que el/la lector/a, sin duda, sabrá encontrar si está interesado en ello. 

Desde este blog me voy a limitar a ofrecer, entre otros muchos formatos interactivos para el desarrollo de un cálculo pensado, flexible y basado en la descomposición numérica, aplicaciones interactivas que abordan los algoritmos estándar de las operaciones básicas. Comenzaré con los de la suma y la resta:

Pero como no todo son algoritmos estándar y son múltiples las estrategias de cálculo ligadas a las propiedades de las operaciones básicas, aprovecho este espacio para ofrecer, ligeramente renovadas, estas aplicaciones sobre la resta que ya figuraban en "Así calculamos en mi cole":

Suma y resta por descomposición

Suma por COMPENSACIÓN y resta por DESPLAZAMIENTO

Aunque ya he tratado con anterioridad estas propiedades fundamentales de la suma y la resta ("al pasar pastelillos de un plato a otro el número total de pastelillos no varía" - COMPENSACIÓN-; si en una resta el minuendo y el sustraendo se incrementan en una misma cantidad, positiva o negativa, la diferencia no varía -DESPLAZAMIENTO-) en Didáctica de la Suma y Resta, en Bloques base 10, (y en otros), presento aquí esta nueva aplicación para que se tenga presente lo que se entiende por "compensación" y "desplazamiento", puesto que son estos potentes procedimientos de cálculo, además del cálculo mental,  los que se proponen en esta completísima y modificada aplicación para abordar la resolución de PAEV de nivel 1 de estructura aditiva:

Divisibilidad en Primaria.

Alusiones a la DIVISIBILIDAD en la Orden de 17 de marzo de 2015, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía.

Criterio de evaluación (para 3º ciclo de Primaria):

C.E.3.4. Leer, escribir y ordenar en textos numéricos académicos y de la vida cotidiana distintos tipos de números (naturales, enteros, fracciones y decimales hasta las centésimas), utilizando razonamientos

apropiados e interpretando el valor de posición de cada una de sus cifras.

2.10. Divisibilidad: múltiplos, divisores, números primos y números compuestos. Criterios de divisibilidad.2.25. Obtención de los primeros múltiplos de un número dado.2.26. Obtención de todos los divisores de cualquier número menor que 100.

Criterio de evaluación (para 3º ciclo de Primaria):

C.E.3.5. Realizar, en situaciones de resolución de problemas, operaciones y cálculos numéricos sencillos, exactos y aproximados, con números naturales y decimales hasta las centésimas, utilizando diferentes procedimientos mentales y algorítmicos y la calculadora.

2.25. Obtención de los primeros múltiplos de un número dado.2.26. Obtención de todos los divisores de cualquier número menor que 100.

En Primaria se puede afirmar que el primer acercamiento a los contenidos propios de la DIVISIBILIDAD se produce con la construcción de las series aritméticas ascendentes comenzando por el cero, es decir, contando de "tantos en tantos" a partir de cero. Este es el procedimiento de construcción de la serie ordenada de los múltiplos de un número cualquiera.

Si contamos una cantidad de billetes de 5 euros y vamos anotando los valores obtenidos tendremos una serie ordenada de múltiplos del 5. La construcción de la propia serie sirve como estrategia para resolver problemas tales como:

• ¿Puedo conseguir 35 euros sólo con billetes de 5 euros? ¿Y 42 euros?
• ¿Cuántos billetes de 5 euros se necesitan para juntar 55 euros?

Si visualizamos la serie de los múltiplos de 60, por ejemplo, encontraremos números terminados exclusivamente en 60 - 20 - 80 - 40 - 00 ...lo que facilita el descubrimiento y expresión de un criterio para determinar si un número determinado es, o no, múltiplo de 60.

Contar de "tantos en tantos" a partir del cero es la base de la construcción de las tablas de multiplicar pitagóricas (que también son las tablas de dividir). Es indudable que éstas han de construirse y memorizarse ya que constituyen un conjunto relativamente reducido de hechos numéricos indispensables para alcanzar competencia en el cálculo multiplicativo. 

En la tradición escolar la primera fase del aprendizaje de las tablas es una tarea totalmente convergente (7 x 5 = 35, factores --->producto), lo cual es lógico. La expresión de esta relación de todas las maneras posibles  es la verdadera expresión de la relación de DIVISIBILIDAD (7 x 5 = 35 --->5 x 7 = 35 ---> 35 : 7 = 5 ---> 35 : 5 = 7 ) y permite introducir el vocabulario específico básico (producto, factor, múltiplo, divisor...) y conceptos ligados a esos términos.

Dado que “divisor” tiene significados diferentes como uno de los términos de una división y como factor de un número, un contexto ideal para la introducción del vocabulario específico de la DIVISIBILIDAD es la división exacta ya que en ella el divisor es realmente factor o divisor del dividendo (lo que no es cierto para la división entera).

Los que apostamos por un cálculo pensado y flexible a partir de la descomposición numérica  vemos la necesidad de adelantar contenidos de divisibilidad para la realización de multiplicaciones y divisiones “por partes”. Nótese, por ejemplo, que la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma o resta es una consecuencia directa del hecho de que la suma (o resta) de dos múltiplos de un número es un nuevo múltiplo del número:

• 6 x 45 = 6 x (40 + 5) = 240 + 30 = 270 (hemos obtenido el múltiplo de 6 deseado – el 270- como suma de otros dos múltiplos de 6)
• 6 x 45 = 6 x (50 - 5) = 300 - 30 = 270 (hemos obtenido el múltiplo de 6 deseado – el 270- como resta de otros dos múltiplos de 6)

También en la división el dividendo puede distribuirse y permitir una realización de la división por partes en la que todas y cada una de las partes (si la división es exacta) pueden ser múltiplos del divisor o todas menos una (si la división es entera):

• 153 : 9 = (90 + 63) : 9 = 10 + 7 =17.
• 154 : 9 = (90 + 63 + 1) : 9 = 10 + 7 + 1/9 = 17 + 1/9.

Es por ello que la multiplicación debe transcender el simple conocimiento y uso de las tablas pitagóricas y ser una búsqueda pensada de múltiplos.

Evidentemente la relación de divisibilidad es reversible. Por eso, a partir de aquí, hay que retomar y enfocar las tablas de multiplicar no sólo en la dirección convergente (factores ---> producto) sino, sobre todo, en la dirección divergente (producto ---> factores) a la par que se “extienden” éstas por ser partes de conjuntos más amplios (cualquier número tiene infinitos múltiplos...).

Buscar dos o más factores para un número es un proceso divergente (creativo), como he mencionado anteriormente. Si hasta este momento el/la alumno/a tenía que saber que 7 x 8 = 56, ahora debe descubrir y formalizar que 56 = 7 x 8; 56 = 4 x 14; 56 = 2 x 28; etc.

Este hecho divergente permite apreciar y obtener ya diferentes formas de agrupar una determinada cantidad de objetos (56 caramelos ---> 7 bolsas x 8 caramelos/bolsa ; 56 caramelos ---> 4 bolsas x 14 caramelos/bolsa; etc.).

A partir de aquí, la progresión en el dominio de la divisibilidad puede seguir diferentes caminos que acaban solapándose unos con otros y reforzándose:

Formatos interactivos para la enseñanza-aprendizaje del cálculo de divisiones.

En su día, la publicación de "Así calculamos en mi cole" supuso la oferta más extensa, variada y evolucionada de formatos digitales interactivos para la enseñanza-aprendizaje de un cálculo Pensado y Flexible a partir de la Descomposición Numérica. Entre esos formatos destacaban por su innovación aquellos que mostraban algoritmos numéricos, extendidos y flexibles, de las operaciones desarrollándose a la par y en correspondencia con las acciones realizadas por los/as alumnos/as sobre elementos gráficos y manipulativos presentes en las pantallas... Ese aspecto tan interesante desde el punto de vista didáctico ha marcado y marcará tendencia. De hecho están apareciendo algunas aplicaciones con este mismo propósito pero demasiado toscas aún en su interactividad y excesivamente elementales en relación con la naturaleza de los retos propuestos a los/as alumnos/as...

Fiel al principio de la evolución y mejora continua, en coherencia con la gran riqueza, variedad, excelente interactividad y creatividad de los modelos dinámicos que ofrece Didactmaticprimaria para todos y cada uno de los bloques del currículo de matemáticas, aquellos también han sufrido mejoras y ampliaciones.

Así, para la división, he desarrollado aplicaciones con el mismo funcionamiento que las que ilustran la división con billetes y monedas del euro (sin y con decimales) aunque con etiquetas numéricas (sin y con decimales) para que las diferentes nacionalidades y monedas no supongan un hándicap en su uso. A su vez, estas aplicaciones incorporan mejoras sutiles en relación con la corrección de manipulaciones y/o respuestas erróneas (como el bloqueo/desbloqueo de billetes y monedas -ídem para etiquetas-) colocadas en las zonas de reparto…

Por otra parte, se ha incorporado la división con regletas de Cuisenaire (que no figuraba en "Así calculamos en mi cole"-2010-2011) gracias a la implementación de un sencillo y eficaz “cortador de regletas”. También “Repartiendo pastelillos en platos” supone una mejora (en cuanto a funcionamiento, generalidad e interactividad) de  una aplicación análoga para ilustrar la división que se incluía en “MatemáTICas Primaria” (2007-2008)…

También la división a partir de la descomposición del dividendo en múltiplos del divisor se ha ampliado y conectado directamente con la multiplicación mediante la aplicación Número de veces que contiene el dividendo al divisor.

De manera intencionada no ofrezco en este menú la aplicación interactiva para tratar de manera gradual el algoritmo tradicional de la división que incluí en MatemáTICas Primaria. ¿Por qué? Pues simplemente porque no tendría cabida dentro de un cálculo que he etiquetado como PFDN (simplemente para indicar que no debe asociarse ni atribuirse a ninguna otra etiqueta) y porque yo no lo utilizo con mis alumnos/as.