Resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal. ¿Preparando a los/as alumnos/a para su presente y futuro o para nuestro pasado?

Andreas Schleicher, director del área educativa de la OCDE, y creador del informe PISA afirma, en una entrevista de EL PAIS, que 

“La educación en España prepara a los alumnos para un mundo que ya no existe”, que “El actual currículo en España tiene, digamos, un kilómetro de amplitud y un centímetro de espesor, y creo que no es bueno para los estudiantes. El futuro para España debería pasar por enseñar menos cosas, pero de forma más profunda, generando más compresión”

“Tienes al sistema educativo preparando para un mundo que ya no existe y no haciéndolo para el mundo que estamos viendo emerger. Es duro para los padres aceptar que el mundo de nuestros hijos es diferente a la imagen que tenemos del nuestro. Pero en eso consiste la educación. En preparar a los estudiantes para su futuro, no para nuestro pasado”.

Para ilustrar un detalle sobre este “desfase” entre el sistema educativo y las características del mundo actual, quiero aportar aquí una reflexión relacionada con la enseñanza-aprendizaje de la Matemática básica y, más en concreto, con algo esencial y troncal en la misma, la resolución de problemas. Acotando aún más la reflexión, sólo voy a tratar de los problemas aritméticos de enunciado verbal en Educación Primaria.

Soy consciente de que algunas de las siguientes afirmaciones pueden resultar un tanto chocantes, extrañas o revolucionarias para un buen porcentaje de docentes:

1.- Pocos docentes dudamos de la especial relevancia que la resolución de problemas tiene en el currículo de Primaria, sobre todo para promover y potenciar en los alumnos la argumentación, la capacidad de razonamiento lógico ...y para enseñarles a pensar y expresarse de una forma estructurada, sistemática y flexible.

2.- Todo problema aritmético de enunciado verbal tiene, fundamentalmente, una estructura de relaciones semánticas entre las magnitudes implicadas que, tras una correcta lectura, comprensión y argumentación, puede expresarse al margen de las cantidades concretas (datos numéricos) de éstas. De hecho, un alumno entiende un problema aritmético cuando es capaz de explicarlo sin números (que en principio son distractores para la comprensión) y sabe cómo resolverlo cuando es capaz de expresar el proceso de resolución sin utilizar número alguno.

Para mí es obvio que en la resolución de problemas aritméticos, y considerando preparar a los estudiantes para su futuro y no para nuestro pasado, el énfasis ha de ponerse en la expresión prealgebraica y/o algebraica de la solución más que en los cálculos y en la comprobación de éstos. La expresión a la que me refiero es la que modeliza correctamente un problema, la que da cuerpo y estructura a la argumentación que conlleva a la resolución del problema. Incluso podría valer como solución del problema. Ello implica necesariamente expresar una ecuación, por sencilla que ésta sea, bien en forma prealgebraica o en forma algebraica.

“Mi abuelo tenía ayer [ ] patos y [ ] gallinas. Hoy han nacido [ ] patos . ¿Cuántos patos tiene ahora mi abuelo?”

Para resolver este problema elemental es ineludible establecer, de manera verbalizada o subvervalizada (pensada), esta igualdad (que es una ecuación expresada prealgebraicamente):

¿Nº DE PATOS QUE TIENE MI ABUELO AHORA?= Nº DE PATOS QUE TENÍA MI ABUELO AYER + Nº DE PATOS QUE HAN NACIDO HOY. O su equivalente:

¿Nº DE PATOS QUE TIENE MI ABUELO AHORA?= Nº DE PATOS QUE HAN NACIDO HOY+ Nº DE PATOS QUE TENÍA MI ABUELO AYER;

Esta expresión de la estructura del problema implica identificar la magnitud incógnita (cantidad desconocida, magnitud implícita) así como las magnitudes explícitas necesarias y relacionarlas con el signo igual y el signo de una operación (en los problemas elementales de nivel 1)

Sólo cuando esta ecuación prealgebraica se ha establecido, de cualquier manera, quedan de manifiesto las magnitudes implicadas y la estructura aditiva que las relaciona. Ahora el problema se ha comprendido y se ha modelizado (se ha expresado el proceso de resolución). ES LA ESTRUCTURA GENERAL DEL PROBLEMA LA QUE “LLAMA” A LOS NÚMEROS (que son datos numéricos particulares) Y A LA/S OPERACIÓN/ES (suma en este caso) para obtener una solución numérica particular, para implementar un caso particular...

NO ES LA FORMA CONCRETA DE REALIZAR LA SUMA (los cálculos) la que nos lleva a la comprensión del problema, ni a determinar la estructura del problema (o proceso de resolución).

Esta es la fase verdaderamente creativa en la resolución de un problema aritmético. Esto es más obvio, aún, cuando nos referimos a problemas aritméticos de varias operaciones. Llegar a esta ecuación es más importante que cualquier aspecto relacionado con la realización de los cálculos, o con la comprobación de los mismos, en un sociedad donde casi todo se programa con algoritmos computacionales, en la que cualquier gadget tecnológico procesa, como salida, los cálculos implícitos en el algoritmo que se facilita como entrada. Los números concretos que intervienen (cantidades de las magnitudes implicadas) y los cálculos necesarios para dar un resultado numérico están en un segundo plano en la RP.

Método de RP_aritméticos. Proyecto MATE.TIC.TAC

3- La gran mayoría de propuestas, documentos, imágenes, etc.. relacionados con la RP_Aritméticos no van en esta línea e inciden poco o nada en este aspecto esencial. Reflejan una larga tradición escolar, por lo que miran a nuestro pasado y no al mundo actual y futuro. Los/as alumnos/as, a lo sumo, dejan constancia de los datos, de la pregunta, de los cálculos realizados (con frecuencia de forma desordenada)... pero prácticamente nunca de la argumentación realizada, de la estructura de relaciones semánticas del problema... Si perseguimos enseñar a nuestros/as alumnos/as a pensar y expresarse de una forma estructurada, sistemática y flexible, no podemos eludir la identificación de las estructuras básicas (problemas de nivel 1) y las variantes de éstas (problemas de varias operaciones)

Independientemente de otros heurísticos que puedan utilizarse en la RP_Aritméticos, la argumentación siempre será ineludible en cualquier proceso de resolución no rutinario. Esta capacidad de la que todos disponemos en mayor o menor grado, que tiene como base la íntima relación entre el lenguaje y el razonamiento lógico, debe ser promovida y potenciada en la escuela. Es la herramienta que siempre tendremos “ a mano” para sintetizar en forma prealgebraica más o menos personal y/o en forma algebraica correcta, -según el nivel de nuestros/as alumnos/as y de la dificultad del problema en cuestión- el plan de solución del mismo, de manera ordenada y estructurada.

4.- Consecuencia directa de esa visión -que mira más al pasado que al futuro- es que las operaciones combinadas se presentan casi siempre y mayoritariamente como cálculos descontextualizados útiles para poner de manifiesto las propiedades de las operaciones; como un juego de reglas (jerarquía de operaciones) que deben seguirse paso a paso para reducirlas a un número, como si no tuvieran relación con la resolución de problemas aritméticos. Dicho de otra manera, las operaciones combinadas siguen estando supeditadas a un enfoque calculatorio cuando, por el contrario, surgen con toda naturalidad y cobran todo su sentido y relevancia dentro de la resolución de problemas como instrumento idóneo para la modelización de los mismos. Este contexto de RP. ayuda enormemente a la comprensión de la jerarquía de las operaciones y al correcto uso de paréntesis (que puede ser más personal de lo que imaginamos).

5.- Algunos expertos sostienen (y creen que ello supone una revolución) que la forma de calcular ayuda a la comprensión y resolución del problema. Esto sencillamente no es ni lógico ni cierto. Comprensión, modelización y disposición-realización de cálculos son fases diferentes en la RP y de diferente naturaleza cognitiva. Otra cosa distinta es que la forma de disponer ,expresar y realizar los cálculos favorezca en mayor o menor medida la reinterpretación del problema , sobre todo en los problemas aritméticos más elementales, los de nivel 1 (una sola operación)

La forma de expresar y realizar los cálculos viene facilitada y condicionada esencialmente por las propiedades de las operaciones. Así la suma y resta se pueden realizar por partes basándonos en la descomposición aditiva de números. Operar con números es más significativo que operar con dígitos. Los algoritmos tradicionales de las operaciones básicas operan con cifras o dígitos. Son convergentes (iguales para todos), los más eficientes, los de toda la vida; y son los más reducidos (los que menos espacio ocupan) pero, evidentemente no son los que más significado ni flexibilidad aportan. Gracias al poder de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y resta (junto con la descomposición aditiva) , la realización de una multiplicación puede ser un procedimiento muy flexible (y por tanto adaptarse mejor a estilos individuales). El resultado de un cálculo es único (convergente) pero el procedimiento seguido puede ser bastante divergente. Una misma multiplicación se puede hacer de muchísimas maneras diferentes , siendo unas más fáciles de realizar que otras. En la división se puede distribuir el dividendo con respecto a la suma y resta [900:5=(500+500-100):5], no ocurre lo mismo con el divisor, y podemos realizar un reparto por partes de manera flexible, descomponiendo el dividendo en múltiplos del divisor (a lo sumo nos quedara un único número no múltiplo del divisor), por ejemplo, y realizando repartos parciales más sencillos.

6.- Es obvio que el cálculo que debe realizarse en la escuela debe perseguir, como el resto de la Matemática, desarrollar la argumentación y, por tanto, debe ser mayoritariamente inferencial, estratégico, pensado, argumentado. Si no, mejor utilizar, siempre que se pueda, la calculadora. Pero aún así, por mucha tradición que exista, por mucha inercia, por mucho que nos cueste aceptarlo, no es YA lo esencial en la resolución de problemas, ni siquiera en la resolución de problemas aritméticos.

7.- El enfoque calculatorio tradicional reduce a cálculo la mayor parte del currículo de matemáticas en Primaria. Y es que el enfoque calculatorio es una consecuencia casi natural de la forma más habitual de presentar la matemática, impresa y estática, a través de libros de texto, cuadernillos y fichas... Desde hace más de 20 años recursos digitales para la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas nos permiten no sólo corregir de manera rápida ejercicios rutinarios sino, y sobre todo, acceder a una matemática dinámica, interactiva, mucho más experiencial y ligada al desarrollo de competencias científicas y tecnológicas, con modelos dinámicos e interactivos que ilustran y profundizan, con más eficacia para la enseñanza y el aprendizaje, en la gran variedad de métodos y procedimientos presentes en cada uno de los bloques del currículo de Matemáticas.

UDI_RP aritméticos

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(Ver/descargar UDI en formato PDF)

Otro post relacionado con éste:

• Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV) (sábado, 27 de octubre de 2012)

8 Metamodelos TIC de resolución de PAEV, de nivel 1 y estructura aditiva.

Algunas de las 8 aplicaciones que brindo integradas en esta macroaplicación fueron ya publicadas en 2009, incluidas en ProblemáTICas Primaria. Pero no he parado de retocarlas, mejorarlas y ampliarlas. Y no sólo porque sea un perfeccionista, que lo soy para determinadas tareas, sino porque además de mi criterio propio, tengo en cuenta sugerencias de compañeros y docentes. 

Anteriormente ya había publicado conjuntamente los modelos 2 y 3. Y es aquí donde me han llegado sugerencias. Hay quien no entiende, o considera complicada, o artificiosa, la SUMA POR COMPENSACIÓN y LA RESTA POR DESPLAZAMIENTO, algoritmos por los que opté en el modelo 3, para asistir la fase de cálculo por considerarlos los más potentes y acordes con estrategias de cálculo mental. El modelo 3 permite visualizar una presentación interactiva donde se ilustran estos algoritmos que favorecen un cálculo estratégico.

Quiero insistir desde aquí que si queremos cambiar una suma por otra equivalente (con el mismo resultado) forzosamente hemos de utilizar la compensación ( lo que quitamos a un sumando se lo añadimos al otro). Si hacemos esto procurando que algún sumando sea una cantidad exacta de decenas, centenas,..(números redondos) podremos resolver fácilmente la suma en un número reducido de pasos. De análoga manera si queremos encontrar una resta equivalente (misma diferencia) a otra dada, pero con diferentes minuendo y sustraendo, forzosamente tenemos que utilizar alguna de estas dos opciones:
     1.- Disminuir en una misma cantidad minuendo y sustraendo.     2.- Aumentar en una misma cantidad minuendo y sustraendo.
Ambas estrategias se traducen en un desplazamiento (hacia la izquierda  y hacia la derecha, respectivamente) en la recta numérica. El desplazamiento más eficaz es aquel que lleva de una manera más fácil a conseguir que el extremo correspondiente al sustraendo sea un número redondo (142 - 28 = 144 - 30 = 114;  56 - 19 = 57 - 20 = 37; 175 - 98 = 177 - 100 = 77;  127 - 32 = 125 - 30 = 195 - 100 = 95, ...). Evidentemente, estas estrategias necesitan trabajarse específicamente.

 Entender y practicar LA SUMA POR COMPENSACIÓN Y LA RESTA POR DESPLAZAMIENTO.

Teniendo en cuenta  que estas aplicaciones han tenido mucha aceptación y han sido muy  visualizadas, atendiendo a sugerencias de docentes, considerando que son muchos los docentes que utilizan en 1º ciclo de Primaria  la suma y resta por descomposición, incluso  teniendo en cuenta que los currículos de matemáticas de determinadas comunidades autónomas prescriben la utilización de los algoritmo estándar en la resolución de problemas, ...Por todo ello, el modelo 3 se enriquece aquí con los modelos 4 y 5. 

Los modelos 3, 4 y 5 tienen en común los 30 problemas de estructura aditiva que proponen. Y tienen las siguientes características:

• Cada problema presenta enunciado verbal e imagen que lo ilustra.
• El texto del enunciado se puede subrayar con colores diferentes para identificar datos e incógnita.
• Los datos, tanto necesarios como superfluos, se generan, y se varían al instante si se desea, aleatoriamente (pero dentro de unos rangos numéricos prefijados).
• La resolución comienza completando las operaciones indicadas (introduciendo datos y seleccionando la operación correcta).
• Cuando se completa correctamente la operación indicada (expresión de la estrategia de resolución del problema) aparece el formato del algoritmo correspondiente (para la suma o para la resta).
• Una vez que se completa el formato del algoritmo correctamente, se puede introducir la solución.
• Dispone de avisos acústicos y elementos gráficos que ayudan a pasar de una fase a otra.
• Indica, en todo momento, el número correspondiente al problema que se está realizando. Registra y remarca los números de los problemas correctamente realizados. 
• Permite la navegación por los problemas tanto de manera ascendente como descendente,  o elegir directamente el número del problema que se desea realizar. No es necesario haber terminado un problema para pasar a otro. Esto permite a los docentes recorrer, si lo desean, todos los problemas propuestos y analizar más rápida y cómodamente su contenido.

UDI. Método de resolución de PAEV mediante el modelado algebraico con etiquetas de texto.

La  resolución  de  PAEV (Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal) en Primaria tiene  una  larga  tradición  escolar. Basta con examinar un buen número de baterías de problemas (tanto en formato impreso como en formatos digitales e interactivos) para constatar que está  bastante consensuado y generalizado entre el profesorado un método de resolución cuyas fases podríamos codificar  así: Lectura analítica del enunciado - Aislamiento de datos e incógnita - Realización de cálculos - Valoración de la solución.

Este método es tan común que no se nos pasa por la cabeza cuestionarlo. El hecho de que sea comúnmente aceptado no significa que sea el más idóneo… (Ver la comparativa entre métodos que se incluye en la publicación)

Dada la especial relevancia de la RP en el currículo de Matemáticas de Primaria y dado que este método, al que me voy a referir en adelante como  MÉTODO ESTÁNDAR, es el más generalizado, y que incluso suele simplificarse y a veces se aplica de manera muy rutinaria, conviene analizarlo con cierta profundidad. A la par, argumentaré lo que a mi juicio son debilidades del método y cómo mejorarlas, y presentaré un método alternativo más significativo, más acorde con una sociedad tecnológicamente avanzada.  Se trata del método que vengo desarrollando hace ya más de 10 años con mis alumnos y que vengo proponiendo en espacios para la formación del profesorado:  “Resolución de PAEV mediante el Modelado Algebraico con Etiquetas de Texto."

Este método ya ha sido presentado en entradas anteriores. Pero dado que creo que es una de mis mayores aportaciones a la Didáctica de la Matemática "a pie de aula", he decidido presentarlo en forma de UDI  (Unidad Didáctica Integrada) que puede ser aprovechada, modificada y adaptada (para ello, ofrezco la descarga de la misma en formato .docx). 

Integra objetivos y contenidos de las áreas de Matemáticas y Lengua Española,  en relación con una tarea fundamental: el aprendizaje y aplicación de un método avanzado de resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV). Integra, fundamentalmente, subcompetencias matemáticas y lingüísticas. Incide en el desarrollo de competencias en CMCT, CCL, CSYC, CAA , CD y SIEP. 

Por otra parte, sirve para poner de manifiesto y ejemplificar cómo las aplicaciones interactivas que ofrezco en este blog pueden ser fácilmente integradas y utilizadas en UDIs como valiosos recursos para la realización de las tareas, subtareas y actividades propuestas en las mismas (individuales, grupales y colectivas) y como instrumentos para la evaluación en tanto en cuanto evidencian (para el propio alumno – autoevaluación y autorregulación del aprendizaje-, para un compañero – coevaluación- o para el docente – heteroevaluación-) buena parte del desempeño de los/as alumnos/as que queremos conseguir...  Además, brindan retroalimentación inmediata respecto al aprendizaje y desempeño logrado por el/la alumno/a y el logrado por sus compañeros en un ambiente de confianza, respeto  y ayuda mutua que facilita la expresión y el avance de todos.

Acceso a la UDI en formato .docx (se puede modificar y adaptar)

Acceso a la UDI en formato .pdf (licencia Atribución No comercial)

Otra UDI, "Taller de poliedros".

Taller de Resolución de Problemas Aritméticos Escolares (PAEV y PANV) para PDI

Los centros educativos son algo dinámico, vivo, cambiante. En mi centro, en concreto, viene cambiando de un curso para otro aproximadamente un tercio del profesorado. De hecho, hemos visto necesaria en este curso escolar la revisión de las líneas metodológicas en matemáticas y, más en concreto, la necesidad de unificar criterios y materiales didácticos en relación con la resolución de problemas (que ya se había manifestado en la memoria final del curso pasado).

Movido por esta necesidad y como consecuencia de las acciones planificadas para lograr mayor coordinación, he organizado de manera interactiva, y siguiendo mis propios criterios, un buen número de aplicaciones que se ofrecen en este blog ( mejorándolas y añadiendo otras nuevas) y que inciden sobre la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS ESCOLARES. El resultado es un taller bastante amplio y rico que se instalará en todos los ordenadores del centro para poder ser utilizado offline.

Este taller es coherente con las líneas metodológicas para el ÁREA DE MATEMÁTICAS consensuadas en nuestro PLAN DE CENTRO, a la vez que las ejemplifica, materializa y concreta en forma de actividades interactivas para la Etapa Primaria (en lo que a RP aritméticos se refiere). Las 32 aplicaciones TIC que lo configuran abordan de manera NO RUTINARIA e INNOVADORA la resolución de problemas aritméticos  proporcionando una experiencia amplia, rica, atractiva y curricularmente relevante de lo que es 'resolver problemas' haciendo uso de los ordenadores del centro y de las PDIs.

(Taller presentado por primera vez en público en el CEIP. Serafina Andrades, de Chiclana de la Frontera (Cádiz) // Mayo-2014)

(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)

No son simples baterías de problemas al uso propuestas a los/as alumnos/as para constatar si saben, o no, resolver determinados problemas. Se han diseñado con un sólida fundamentación didáctica pensando tanto en los docentes como en los/as alumnos/as, para incidir en los procesos claves de la enseñanza-aprendizaje de la RP, proporcionando a los/as alumnos/as el andamiaje necesario para la realización de los retos propuestos.

La riqueza y diversidad de METAMODELOS y MODELOS  procedimentales inciden de manera especial en el análisis/síntesis de la información, el establecimiento de relaciones entre las partes y el todo, la explicitación de la ESTRUCTURA del problema tanto a NIVEL LINGÜÍSTICO (prealgebraico) como a NIVEL ALGEBRAICO (operaciones combinadas), el reconocimiento de situciones problemáticas CONVERGENTES Y DIVERGENTES, el desarrollo del SIGNIFICADO OPERACIONAL, ... 

Este Taller pone de manifiesto que más que la búsqueda de un procedimiento o método que sirva para la resolución de cualquier problema aritmético se persigue y apuesta por la riqueza de procedimientos en la RP. En este sentido, se ha tenido en cuenta la teoría expuesta por José A. Fernández Bravo en METAMODELOS Y MODELOS DE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS sobre metamodelos procedimentales en problemas verbalizados con enunciado y pregunta, sobre todo modelos de ESTRUCTURACIÓN Y GENERATIVOS. No obstante, también se tratan problemas no verbales (sin enunciado) y mixtos (con enunciado incompleto o desectructurado)...

Por otra parte, se enriquece la teoría de Fernández Bravo con la incorporación de novedosos metamodelos TIC y la interactividad que permiten ('simulación', 'modelización', 'análisis y síntesis mediante cartulinas multiproblema', 'resolución asistida', etc...). 

Se ha pretendido en todo momento que los problemas o retos propuestos resulten atractivos para los/as alumnos/as. Por lo general se presentan contextualizados con escenas gráficas en las que intervienen niños y niñas en situaciones más o menos cotidianas.

No existe en la red ( o en la nube si se prefiere) algo similar.

Aunque las aplicaciones son muy artesanales, están bastante experimentadas y  muy bien cuidadas en sus aspectos esenciales (interactividad, estadísticas, información al profesorado del interés didáctico,...), la propuesta - como todo lo que ofrezco en mi blog- es susceptible de mejora, ampliación y cambios. Todas las aplicaciones incluidas en este taller (algunas de ellas son, a su vez, macroaplicaciones) están perfectamente adaptadas para su uso con PDI.

Niño resolviendo problemas propuestos en "PESA_PENSANDO_I" semidirigido por su mamá.

He encontrado en Youtube estos vídeos subidos por Luisa de Lama que ilustran el aprovechamiento fuera de la escuela de la aplicación "PESA PENSANDO I" ( incluida en "ProblemáTICas Primaria"). Una mamá supervisa y guía a su hijo mientras realiza, uno por uno, los 20 problemas propuestos en el apartado "balanzas fijas" de la aplicación aludida. 

Me ha alegrado mucho encontrarlo puesto que yo suelo limitarme a desarrollar contenidos educativos multimedia interactivos - lo que ocupa todo mi tiempo disponible-, que nacen desde la escuela y para la escuela, pero no suelo ilustrar su uso, mediante vídeos, con alumnos y alumnas... En este caso Luisa de Lama lo ha hecho por mí. Se pone de manifiesto el valor añadido de los contenidos educativos multimedia bien diseñados y atractivos, tanto para el trabajo individual como colectivo, bien sea dirigido, semidirigido o autónomo; tanto en el aula como en otras situaciones de enseñanza-aprendizaje...

Se trata de una aplicación fuertemente visual en la que el equilibrio de la/s balanza/s es fácilmente interpretado como una igualdad y que favorece enormemente la captación y expresión de las relaciones numéricas... Las balanzas implementan, con dificultad gradual, ecuaciones de primer grado y sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que están al alcance de niños y niñas de 2º y 3º ciclo de Educación Primaria. Con los alumnos y alumnas de 3º ciclo pueden ser utilizadas de manera prealgebraica como se ilustra en "Álgebra y resolución de ecuaciones en Primaria_1".

Como se puede comprobar, cada problema propuesto es un soporte ideal para que el niño verbalice tanto las relaciones numéricas como el razonamiento lógico que lleva a la solución. Viene bien como continuación de los últimos post de este blog dedicados a la resolución de PAEV ya que, al fin y al cabo, es otro modelo_TIC de resolución de PAEV.

Aunque yo concebí la aplicación como soporte, también, de estrategias para el cálculo mental, vemos que no pierde virtualidad si se recurre a cálculos con lápiz y papel. (Ver también "Pesa_pensando II" y "Balanzas fijas equilibradas")

Análisis y síntesis en la resolución de Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)_III. Del enunciado a la expresión algebraica solución del problema.

En un post que escribí hace ya más de dos años (En busca del significado. Operaciones combinadas en Primaria. ¿Por qué? ¿Para qué?) ilustraba con numerosos ejemplos que la práctica totalidad de las aplicaciones_TIC que tratan las operaciones combinadas lo hacen de una manera descontextualizada ( al margen de la resolución de problemas) y con un enfoque convergente, meramente instructivo (la expresión algebraica es algo dado al alumno, ajena a él; se busca la interpretación correcta única, la correcta decodificación basada en el uso de convenios relacionados con la jerarquía de las operaciones…).

 

Las operaciones combinadas se presentan, efectivamente, como algo dado a los alumnos para que éstos las interpreten pero no como producción o construcción de los propios alumnos haciendo uso del lenguaje matemático en el contexto de resolución de problemas. Si bien la correcta interpretación (decodificación) es necesaria, no es suficiente para desarrollar niveles superiores de competencia matemática relacionada con el dominio progresivo y contextualizado del lenguaje simbólico..

Si además tenemos en cuenta que las soluciones numéricas, en nuestra sociedad tecnológicamente avanzada, son casi exclusivamente dadas como expresiones alfanuméricas (operaciones combinadas) que los procesadores matemáticos de calculadoras, computadoras y otros muchos dispositivos electrónicos resuelven numéricamente, se hace más patente la necesidad de un nuevo enfoque en la didáctica de las operaciones combinadas (que no parecen sostenerse como un tópico matemático aislado e independiente de otros…)

 

Por otra parte, he comentado en diferentes artículos de mi blog que desarrollar aplicaciones TIC sobre resolución de problemas consistentes en baterías de problemas con comprobación de la solución (entendida como un número) no supone un gran avance con respecto a una batería de problemas propuestos en material impreso (o en algún formato digital equivalente). Las aplicaciones TIC sobre resolución de problemas deben ir más allá, buscando incidir interactivamente en el meollo del proceso de resolución…

(Ver aplicación a tamaño completo)

El modelo de resolución de PAEV que propone esta nueva aplicación pone el énfasis en la producción, por parte de los alumnos y alumnas, de expresiones algebraicas (operaciones indicadas) que pueden considerarse ya soluciones del problema. No obstante, la aplicación, para cada problema diferente, evalúa tanto la expresión algebraica producida como el número dado como solución... Evidentemente la aplicación implementa un nivel deseable para alumnos del tercer ciclo de la Etapa Primaria. Además, aunque no se expliciten las relaciones entre magnitudes (análisis y síntesis) éstas han de realizarse ineludiblemente para poder resolver correctamente el problema propuesto. Es por ello que se recomienda que antes se hayan trabajado otras aplicaciones que pongan de manifiesto el análisis síntesis en la resolución de PAEV, como las que se tratan en post anteriores a éste en este mismo blog.

 

Basta experimentar con la aplicación para darse cuenta de que el paso o traducción de las relaciones implícitas en el enunciado del problema a su expresión algebraica no es precisamente un proceso convergente. Muy al contrario, se trata por lo general de un proceso divergente y, por tanto, creativo… Para ilustrar esta afirmación podemos analizar un ejemplo:

Las siguientes expresiones algebraicas, entre otras, serían respuestas válidas atendiendo a las restricciones que impone la aplicación (la expresión algebraica sólo puede utilizar datos presentes en el enunciado, es decir, no puede contener números que sean resultado de un cálculo previo con datos; un determinado dato, por lo general, aparece una sola vez en la expresión,… ):

1.-  ((49 x 10) : 280) : 7

2.-  ((10 x 49) : 280) : 7

3.-  ((49 x 10) : 7) : 280

4.-  ((10 x 49) : 7) : 280

5.-  (49 x 10) : 280 : 7

6.-  49 x 10 : 280 : 7

7.-  49 x 10 : 7: 280

8.-  (49 x 10 : 280) : 7

9.-  (49 x 10 : 7): 280

10.- 49 x (( 10 : 7): 280)

11.- 49 x (( 10 : 280): 7)

Lo primero que salta a la vista es que podemos hacer uso exclusivamente de paréntesis estrictamente necesarios o bien utilizar también paréntesis “personales” que sirven para reforzar la consideración de una determinada cantidad de una magnitud creada durante la fase de análisis/síntesis que no aparece de forma explícita en el enunciado del problema o bien para dar cuenta de la estrategia seguida para llegar a la solución…

Mientras que en 1, por ejemplo, se ha calculado primero el arroz total que corresponde a cada persona durante una semana, en 3 se ha calculado primero el arroz total que corresponde a todo el campamento en un día… Personalmente, encuentro que las expresiones 1 y 3 son más significativas que sus correspondientes 6 y 7, respectivamente. Y esto es, precisamente, porque hacen uso de paréntesis que aún no siendo estrictamente necesarios sí que aportan significado.

Es precisamente la economía de paréntesis la que puede dar problemas y la que da origen a convenios en la realización de determinadas secuencias de cálculo, como se ilustra en la imagen. La aplicación da por válida la expresión 49 x 10 : 280 : 7. Sin embargo puede que el alumno no realice correctamente la secuencia de cálculos. Es por ello que la aplicación también comprueba el valor numérico de la expresión algebraica.

Desde un punto de vista técnico, contemplar la divergencia en las respuestas correctas dificulta considerablemente el código y diseño de la aplicación… Pero merece la pena una aplicación así ya que favorece especialmente que el problema sea captado de manera global haciendo más patente la estructura del problema.

Los problemas que se proponen en esta aplicación manejan datos numéricos realistas y coherentes con las situaciones problemáticas presentadas. Se pretende, además, que los alumnos realicen los cálculos en línea, no en columnas, sobre la propia expresión algebraica. Para ello, se ha habilitado una zona de escritura “a mano”, que puede utilizarse tanto para ensayar la expresión algebraica solución como para realizar los cálculos.

Cuando se utiliza en clase, con la PDI, es necesario que los niños y niñas realicen el análisis/síntesis del problema y justifiquen oralmente el proceso de resolución seguido. 

Una aplicación que complementa perfectamente a ésta es "ASOCIA":

(Ver aplicación a tamaño completo)

Análisis y síntesis en la resolución de Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)_II

Voy a comenzar este post  presentando un fragmento literal de un valioso documento (una tesis doctoral) titulado “Sobre habilidades en la resolución de problemas aritméticos verbales, mediante el uso de dos sistemas de representación yuxtapuestos”, de JOSEFA HERNÁNDEZ DOMÍNGUEZ (Curso 1996/97. CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS (Páginas 18 y 19). Servicio de publicaciones de la universidad de la Laguna)

El problema, en el que centramos nuestra investigación, tiene que ver con el conocimiento de las dificultades, que experimentan los alumnos en la resolución de los problemas aritméticos verbales, y la influencia que el uso de sistemas de representación gráfica tiene en la mejor comprensión de los mismos. La falta de habilidad de los estudiantes en la resolución puede estar relacionada con múltiples factores, como la no comprensión del enunciado del problema, debido a no haber adquirido un grado suficiente de capacidad de lectura, un dominio insuficiente del significado de las operaciones, una falta de capacidad para razonar en un problema concreto, la incorrecta ejecución de las operaciones o no saber el orden en que éstas (si son varias) ha de seguirse.

Al mismo tiempo, los profesores expresan sus propias dificultades al tratar de desarrollar el aprendizaje sobre la resolución de problemas.

Unos se inclinan por enseñarles a buscar palabras clave, otros enfatizan la lectura comprensiva del texto, otros llegan incluso a utilizar la plástica o la dramatización como elementos que faciliten la comprensión, pero el sentimiento general que expresan sigue siendo el de no tener claro el camino a seguir….

Desde principios de siglo, psicólogos y educadores matemáticos han tratado de investigar las causas de estas dificultades; unos las han atribuido a déficits lingüísticos, otros a dificultades aritméticas específicas. La forma de la enseñanza es otro factor clave. Nuestras escuelas inciden fuertemente en los algoritmos y menos en el desarrollo de estrategias y en la maduración de procesos cognitivos superiores, tales como el nivel de razonamiento y la comprensión conceptual. La típica pregunta que hacen muchos alumnos en el aula cuando se enfrentan a resolver un problema aritmético verbal, “¿tengo que sumar o restar?”, refleja el objetivo de los problemas aritméticos escolares: la elección de una operación y su ejecución como fin fundamental de los mismos. Y, finalmente, aunque menos investigadas, las variables afectivas, que ahora han emergido con mucha fuerza, tienen también algo que aportar sobre las dificultades en la resolución de problemas…

Creo que una gran mayoría de maestros /as estará de acuerdo con este diagnóstico sobre la situación en torno a la resolución de PAEV.

Puesto que en los PAEV el enunciado verbal en que se presenta el problema no separa a éste en sus partes constituyentes, el trabajo con el problema comienza con la lectura comprensiva de su enunciado (texto-problema) que debe llevar a una primera descomposición del texto y al aislamiento de datos e incógnita salvando las dificultades derivadas de los aspectos sintácticos del enunciado:

• El tamaño del problema, que se puede medir por el número de caracteres, palabras o frases. 
• La complejidad gramatical, entendida como el número de sustantivos, adjetivos, pronombres, etc, o al tipo de oraciones y proposiciones que constituyen el enunciado del problema. 
• La presentación de los datos mediante números, símbolos o palabras. 
• La situación de la pregunta en texto del problema, que podrá dar lugar a situaciones diferentes: situaciones en que están bien explicitados los tres elementos del enunciado:
          1. Canónicas: son del tipo [ a + b = ? ] 
          2. No canónicas: del tipo [ a + ? = c ] o [ ? + b = c ] 
O bien, situaciones que no están correctamente explicitadas, como por ejemplo que el texto completo sea una interrogación en la que se entremezclen tanto la información como la pregunta del problema. (Diferentes estudios vienen a demostrar que problemas así formulados son más difíciles de resolver)
• La explicitación de la relación semántica entre los datos y la incógnita, la presencia de datos o no en la pregunta del problema, la existencia de datos irrelevantes,...
• El orden de presentación de los datos en el texto del problema, que se puede corresponder, o no,  con el orden en que éstos han de ser considerados a la hora de efectuar la operación. 

Pero, ¿cómo se puede controlar mediante una aplicación TIC - que favorezca el trabajo autónomo o semidirigido- que el alumno ha llevado a cabo satisfactoriamente esta lectura analítica? En esta aplicación, para cada problema, se proponen cinco afirmaciones relativas al enunciado del mismo en las que el alumno/a debe decidir si son verdaderas o falsas…Esta fase previa a la realización del problema obliga al alumnado al análisis del mismo.  La elección realizada por el alumno nos dará una medida de la comprensión del problema. Es evidente que hoy por hoy no podemos desarrollar una aplicación que valore cualitativamente una respuesta libre y abierta a preguntas determinadas. Lo que ocurre, a mi juicio, es que para PAEV de nivel 1, a no ser que adrede dificultemos el texto, puede resultar una tarea un tanto repetitiva. Además una pregunta bien formulada puede tener casi tanta complejidad sintáctica como el propio enunciado del problema…

De cualquier forma, resulta imprescindible provocar que un alumno traduzca el problema con sus propias palabras obligándole a mencionar, al hacerlo, los datos y la incógnita del problema.

La aplicación permite tachar datos innecesarios del enunciado del problema, subrayar datos e incógnita con diferentes colores, rodear palabras clave…

En “La instrucción en PAEV: Marcos, ideas y sugerencias ” Luis Puig y Fernando Cerdán nos advierten, ilustrándolo con ejemplos concretos, de ciertos peligros en relación con el uso de palabras-clave (más que, menos que, tantos como, más joven, más grande, caro, barato) y exponen diferentes criterios y puntos de vista interesantes en relación con la traducción entre diferentes representaciones del problema...

De suma importancia es considerar la traducción entre diferentes representaciones. El enunciado de cada problema se acompaña en esta aplicación de una imagen ilustrativa que lo contextualiza presentando objetos individuales que se mencionan en el problema, pero sin llegar a ser objetos analíticos en el sentido de que no dan cuenta de las relaciones numéricas entre los datos… Por otra parte, sí se posibilita y propone la utilización de un diagrama o esquema abstracto interactivo (representación evidentemente más provechosa que la mera ilustración) que permite reflejar fielmente las relaciones entre los datos y la incógnita y supone una nueva posibilidad de traducción entre diferentes representaciones del problema. Se trata de esquema todo-partes que se adecua a las diferentes tipologías de problemas de una sola operación de estructura aditiva (combinación, cambio y comparación) con la condición de que se asigne el significado correcto a cada parte en el contexto del problema, que se establezca la correcta dependencia semántica entre las proposiciones del texto.

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(En breve pienso publicar en este blog otra aplicación como esta para problemas de estructura multiplicativa de una sola operación))

Una vez superada esta fase del problema,  el análisis continúa  con la correcta colocación de las etiquetas de texto y la correcta selección de la operación a realizar. Todo ello previo a la realización de cálculos.

Cuando el análisis del contenido se realiza con problemas de varias operaciones hay que ir más allá de separar datos e  incógnita y de repetir por trozos el contenido del problema. Será necesario descomponer en partes, investigar cada parte, comparar unas partes con otras y determinar sus relaciones mutuas.

La aplicación que sigue es una variante de las presentadas en Análisis y síntesis en la resolución de Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)_I, para problemas de dos o más operaciones,  que refuerza de manera especial la distinción entre la expresión de la estrategia fundamental de resolución del problema y el desarrollo de ésta. A la par, apunta de manera más directa a la relación isomórfica entre estructura prealgebraica y expresión algebraica_solución del problema. (No obstante estoy trabajando actualmente en otra aplicación, en esta línea, que tenga mayor generalidad y se adecue a mayor número de PAEV de dos o más operaciones).

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Análisis y síntesis en la resolución de Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)_I

Los profesores, mayoritariamente, manifestamos que no existe una relación satisfactoria entre el mucho tiempo que se dedica en las aulas a plantear problemas aritméticos a los alumnos y el escaso progreso que éstos consiguen en las habilidades para su resolución. 

Con frecuencia nos quejamos de que libros de texto y cuadernillos de trabajo proponen, de manera reiterativa, un número elevado de problemas, frecuentemente repetitivos, que no da tiempo a realizar... El problema se agrava si el tratamiento de la Resolución de Problemas (RP, en adelante) se realiza fundamentalmente de manera individual y en forma de deberes escritos para casa – porque consumen mucho tiempo de clase -, copiando el enunciado, volviendo a copiar datos, pregunta,…(que, para la mayoría de los alumnos, supone un procesamiento insuficiente o poco productivo de la información), volviendo a repetir los pasos para su corrección en la pizarra...

Teniendo en cuenta la ingente cantidad  de libros y documentos digitales en los que se recogen ideas y conclusiones útiles sobre la resolución de problemas, en la página Biblioteca_Viva_Didáctica_Matemáticas, de este blog, ofrezco un listado que puede ser considerado como suficiente para maestros/as que deseen estar puestos en el tema.

Un buen número de las ideas y propuestas que se recogen en los documentos anteriores – y otros análogos- han sido aprovechadas, interpretadas y llevadas a formatos impresos por profesores que han sentido la necesidad de abordar la RP en sus aulas de manera más científica, más fundamentada.  En mucha menor medida estas ideas y propuestas se han llevado al formato digital. (Ver Metamodelos y modelos TIC (I) (II) y (III) en la resolución de problemas) Hay, además, muy poca investigación específica sobre el aporte que pueden hacer las TIC en la resolución de PAEV.

Las TIC, aunque aún en casos muy contados, nos están permitiendo disponer de formas atractivas, rápidas y eficaces de abordar la RP que nos liberan de la excesiva dependencia de la tradición escrita escolar. No todo se aborda en la escuela de forma óptima escribiendo…

Creo que es cierto y justo afirmar que  didactmaticprimaria  es un sitio pionero en la investigación y desarrollo de modelos_TIC que ayudan (tanto al alumnado como al profesorado) a abordar la RP en Primaria de manera atractiva y con una sólida fundamentación didáctica y pedagógica. Basta con echar un vistazo a los modelos relacionados en la página  Biblioteca_Manipulables_Virtuales_Matemáticas_IV para convencerse de ello.

Como ya he mencionado anteriormente, diferentes investigaciones han puesto de manifiesto categorías y tipos fundamentales de problemas, modelos y metamodelos de RP así como los mecanismos que intervienen y se activan cuando se intenta resolver un problema. Ello implica saber (y por lo tanto enseñar) las estrategias que mejor ayudan a su resolución.

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Salta a la vista que esta nueva aplicación digital no propone la RP de manera rutinaria, que va más allá de ofrecer una batería de problemas de una determinada categoría o tipo (las hay a miles) y que no se conforma, tampoco, con hacer una propuesta de problemas que puedan corregirse o comprobarse con la inmediatez que permiten las TIC, pero ocultando o eludiendo el tratamiento de las dificultades inherentes a la resolución de problemas aritméticos.

Por el contrario, esta aplicación forma parte de un conjunto de formatos interactivos que implementan y desarrollan un innovador modelo-TIC (de generación y estructuración) de resolución de Problemas Aritméticos Escolares de Enunciado Verbal (PAEV), de dos o más operaciones en este caso, que pone el énfasis en el desarrollo conjunto de competencias lingüísticas y matemáticas haciendo explícita la estructura del problema a dos niveles: el del PROCESAMIENTO LINGÜÍSTICO (que lleva a la expresión prealgebraica de la igualdad directriz del problema – estructura lógica-) y el del PROCESAMIENTO MATEMÁTICO (que traduce la anterior en forma de expresión algebraica que puede considerarse ya la solución del problema). Su especial adaptación a la PDI (Pizarra digital interactiva) y el trabajo colectivo con la misma permitirá hacer patentes en el contexto de RP las interrelaciones entre competencias lingüísticas y matemáticas (Leer, Pensar y Razonar, Hablar, Argumentar y Justificar, Escuchar, Comunicar, Construir modelos, Plantear y resolver problemas, Representar, Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico,...)

(La fundamentación de este método puedes encontrarla en Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)).

Este modelo_TIC de resolución de PAEV recoge e implementa lo esencial del método ANÁLISIS-SÍNTESIS en la resolución de problemas (muy bien presentado en los documentos Problemas aritméticos escolares  y La estructura de los problemas aritméticos de varias operaciones combinadas (ambos de Luis Puig y Fernando Cerdán), pero quizá vaya más aún más allá:

El resolutor, guiado por el análisis de la incógnita y de los datos, planea el método de resolver el problema en su cabeza y comienza a llevarlo a cabo. Si falla, analiza los errores, clarifica por qué el método elegido no le permite alcanzar la solución, intenta corregirlo, o toma una vía diferente. Algunas veces, por un momento, reconstruye el problema, descarta algunos datos, simplificando la determinación de las relaciones entre los datos y la incógnita. El trabajo creativo del pensamiento se da en estas construcciones y en la elección de las posibles vías de solución. (Kalmykova, 1975, pgs. 118-119)

De una manera deliberada, se difiere el manejo de números y la realización de cálculos hasta que no se haya encontrado la correcta estructura lógica del problema, formada por las magnitudes implicadas en la solución y las operaciones entre ellas (que establecen las relaciones semánticas entre las magnitudes). 

Se pone así de manifiesto que resolver un problema aritmético es, ante todo y sobre todo, una cuestión de significados – y no de cálculos -. De hecho, no dudaríamos en absoluto en afirmar que el enunciado de un  PAEV ha sido entendido por un alumno si sabe exponerlo con sus palabras sin hacer uso de números. El diferir la realización de los cálculos en un PAEV no es algo caprichoso. No tiene sentido comenzar a calcular si no se ha encontrado la forma de llegar a la solución. Además, esto evita varias de las mayores dificultades que históricamente ha señalado y constatado el profesorado en relación con el proceso de resolución:

• Insuficiente comprensión del enunciado del problema derivada de una insuficiente representación mental del mismo.
• Excesiva prisa por realizar cálculos numéricos y, por tanto, tendencia a usar estrategias superficiales (casi exclusivamente de identificación – datos, incógnita,…-) que, con frecuencia, les lleva a derivar los esfuerzos en lo secundario, en una parte, impidiéndoles captar o representar la totalidad primaria o fundamental.
• Insuficiente interiorización de las propiedades de las operaciones, las relaciones entre ellas y sus significados (muchas veces derivadas de la práctica de cálculos descontextualizados, y al margen de la RP, en las que sólo se manejan números y no cantidades determinadas de magnitudes)
• Dificultad en la organización de los elementos utilizados en la resolución (textos, cálculos- sobre todo cuando realizan “cuentas”verticales unas al lado de otras-, gráficos, etc).

Esta aplicación brinda una importante ayuda al alumnado en el proceso de resolución ya que le facilita los elementos del problema que él tiene que relacionar adecuadamente para encontrar la solución.

Invito a los/as  maestros/as que aún crean que lo esencial de la resolución de PAEV reside en los números o en los cálculos algorítmicos - de la naturaleza que sean-,  a practicar con esta otra aplicación que no es sino una variante de la anterior. ¡En ella se proponen 80 problemas sin números en torno a 20 situaciones problemáticas! (con 148 soluciones diferentes)

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Invito desde aquí al profesorado a probar estas aplicaciones en las aulas. Agradecería cualquier comentario en relación con su puesta en práctica.