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08 noviembre, 2013

Seminario de Matemáticas Activas

Ramón Galán G. y Ángel Alsina P.
Durante la celebración de las XXXII Jornadas de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas organizada por la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas "Isaac Newton", he tenido la ocasión de conocer, charlar y compartir puntos de vista profesionales, entre otros, con Ángel Alsina y un gran maestro: Ramón Galán (Coordinador de Islas dentro de la Sociedad)

Ramón es un maestro apasionado por la Didáctica de las Matemáticas. Activo, entusiasta, incansable en su labor divulgativa y en su empeño por dotar a la matemática escolar de significados...

Es muy conocido en las Islas Canarias y lleva ya muchos años poniendo todo su saber y entusiasmo al servicio de la formación del profesorado... Le encanta diseñar material didáctico para el franelograma ( y aún más explicar su interés didáctico) y realizar vídeos divulgativos...

Fue Ramón quien clausuró las Jornadas con una originalísima presentación en la que relacionaba sencillos patrones matemáticos y creatividad musical...

Gran parte de su trabajo la presenta en su blog SEMINARIO DE MATEMÁTICAS ACTIVAS, que os facilito a continuación:



(Ver a pantalla completa)


Fue también muy enriquecedor para mí cambiar puntos de vistas con Ángel Alsina (Universidad de Girona) que realizó la conferencia inaugural "¿Cómo desarrollar la competencia matemática desde las primeras edades? Contribuciones de la Educación Matemática Realista (EMR)." y desarrolló el taller Vivir y tocar las matemáticas en educación infantil y primaria.

Como muestra del trabajo de Ángel Alsina, os dejo este documento, en formato .pdf, titulado Educación matemática en las primeras edades desde un enfoque sociocultural, publicado en la revista Aula de Infantil

(En el post titulado Evaluación de Contenidos Educativos Digitales Multimedia _ Matemáticas (CEDMMat)  ofrezco la presentación interactiva que utilicé para el desarrollo de un taller del mismo nombre durante las jornadas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas aludidas)

21 agosto, 2013

¿Retos topológicos en Educación Primaria?



Son escasísimos los contenidos educativos digitales multimedia que tratan aspectos topológicos básicos.
Muchos recordamos, aunque de manera vaga e indefinida, que una vez en la escuela se nos propuso resolver el reto de la “casita” (o “sobre de carta” si se prefiere). Se trataba de realizar el dibujo de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel y sin dibujar un mismo segmento dos veces…
Probablemente una gran mayoría de personas, incluso una mayoría de docentes, no hayamos sido conscientes de los momentos de acercamiento a cuestiones que tienen relación con esta rama de la geometría denominada topología, sobre todo de los aspectos lúdicos de la misma.

Figuras que pueden dibujarse de un solo trazo
"Casita" o "sobre de carta"
El sencillo reto de la “casita” enlaza directamente con el famoso e histórico problema de los puentes de Königsberg, con el matemático Euler, con el nacimiento de la topología y de la potente teoría de grafos.

La aplicación que aquí ofrezco, organizada en torno a cuatro secciones o apartados, hace posible de manera experimental, creativa y lúdica, que comprender y argumentar razonadamente sobre el problema de los puentes de Königsberg (y variantes del mismo) así como crear y dar respuesta a otros problemas análogos más complejos sea una tarea de matemáticas relevante al alcance de niños de Primaria, a la par que los familiariza con aspectos básicos de la topología.

Un coche recorriendo un circuito sin pasar dos veces por el mismo arco.


En el apartado RETOS se ilustra de manera dinámica lo que se entiende por “recorrido de un solo trazo” y se propone, a modo de retos, una veintena de figuras que pueden ser recorridas de un solo trazo, cada una de ellas de múltiples maneras (aquí soluciones). Se trata, pues, de una actividad de naturaleza divergente, creativa… El ordenador permite comprobar lo correcto o no del trazado realizado por el usuario en cada caso, es decir, de la solución concreta dada por él. Los retos propuestos permitirán intuir y descubrir la existencia de ciertos patrones o regularidades. Así, por ejemplo, la aplicación redibuja el trazado realizado por el usuario en el mismo sentido que éste lo hizo y en sentido contrario evidenciando de manera visual y dinámica que toda solución es doble. Pronto el usuario descubre que unas figuras tienen solución comenzando en uno cualquiera de sus vértices (y terminando en el mismo) y otras, en cambio, exigen comenzar y terminar en vértices concretos. ¿Por qué?

Figuras que pueden realizarse de un solo trazo
Las veinte figuras propuestas (de diferente dificultad)

Redibujando el trazado correcto de la figura número 9
Comprobación de un trazado solución correspondiente a la figura propuesta número 9

Mostrando una solución de una figura determinada
Trazado de una solución (1-7-2-8-3-4-9-5-6-10-7-6-1-5-4-1-3-2-1) 
En  el apartado SOLUCIONES el usuario puede descubrir la naturaleza combinatoria de las múltiples soluciones de cada una de las figuras (y de las que son equivalentes topológicamente a ella); se analizan todas las soluciones posibles de las figuras más sencillas propuestas; se muestran de manera interactiva y argumentada varias soluciones de cada una de las figuras propuestas (como adelanto de la TEORÍA) y se utilizan los números para codificar soluciones.



El apartado TEORÍA se aprovecha para introducir e ilustrar dinámicamente conceptos topológicos básicos relacionados con los retos propuestos y sus soluciones, tales como: figuras topológicamente equivalentes, grafo,  grafos topológicamente equivalentes, vértices o nodos, segmentos o arcos, regiones, orden de un nodo, nodo par, nodo impar,…

También se utiliza el apartado TEORÍA para llevar al alumno al descubrimiento o comprobación de unos cuantos resultados teóricos sencillos que son expresión de las regularidades que han podido ser experimentadas y que permiten determinar si un grafo va a tener o no solución. Se muestra de manera dinámica una familia de grafos generados “de un solo trazo” con un espirógrafo configurable, se pregunta sobre las características comunes de estas figuras así generadas; se muestran colecciones de figuras para que el usuario determine si tienen o no solución, etc... Esta teoría está perfectamente al alcance de niños/as de 9-10 años en adelante y es la que permitirá comprobar que el originario problema de los puentes de Königsberg no tiene solución.

Para completar aspectos no tocados en esta aplicación o bien para verlos desde otro punto de vista, se enlaza con algunas aplicaciones para Educación Primaria correspondientes al  Proyecto Canals (de Hernán Darío Alzate: "Redes I", "Redes II" y "Topología" ; de Diego Luis Feria Gómez: "Posiciones relativas entre líneas" ) a vídeos de YouTube sobre esta temática y a diferentes documentos digitales online.


Grafo correspondiente al problema de los puentes de Königsberg
"Los siete puentes de Königsberg"

En el apartado TALLER el usuario puede crear sus propios grafos colocando nodos y arcos en la zona de diseño tal y como desee. El ordenador evalúa si el grafo realizado tiene o no solución y por qué… Además sugiere y permite la simulación o modelado del problema de los puentes de Königsberg y variantes del mismo…



Grafo solución a un problema con 14 puentes.

Por último, y esto puede que sólo interese a desarrolladores de contenidos educativos digitales, la aplicación muestra un amplio abanico de maneras diferentes de abordar el trazado interactivo de líneas rectas y curvas...


(Se agradecen los comentarios)

02 febrero, 2013

Resolución de problemas de matemáticas en Primaria. Problemas "de competencias"





En el curso escolar 2008-2009 participé en un Grupo de Trabajo organizado por el CEP de Lebrija (Sevilla) y coordinado por mi colega y amigo Domingo Galán Ojedo que tenía como objeto el diseño de problemas aritméticos escolares de diferentes niveles y tipos. A él se debe, creo, la denominación de "problemas de Competencias" que aparece en el documento de arriba y en el título de este artículo. No sé si es la denominación más adecuada pero ésta, de cualquier modo, no es una cuestión fundamental aquí. Me propongo, en cambio, analizar las cuestiones didácticas fundamentales que guían este novedoso enfoque de la RP (resolución de problemas).

En el artículo Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV) (sábado, 27 de octubre de 2012) expliqué con detalle - y listado de recursos TIC- el método fundamental que sigo en la resolución de PAEV, en el que van de la mano el desarrollo de competencias lingüísticas y el desarrollo de competencias matemáticas. Como se verá a continuación, el enfoque de "problemas de Competencias" , entre otros aspectos, hace hincapié también, y de manera especial, en la importancia de la lectura comprensiva de información escrita, tabulada y gráfica...Dicho de otro modo, contempla la RP como tarea ideal para el desarrollo conjunto de competencias lingüísticas y matemáticas. Todo ello en consonancia con la normativa educativa andaluza para el tratamiento de la lectura desde cada una de las áreas curriculares...

..."el proyecto educativo incorporará los criterios generales para el tratamiento de la lectura y la escritura en todas las áreas y materias del currículo" ... 
(Instrucciones de 11 de junio de 2012 de la Dirección General de Ordenación Educativa sobre el tratamiento de la lectura para el desarrollo de la competencia en comunicación lingüística...)

El documento que encabeza este artículo es un cuadernillo de problemas tal y como se entrega a los/as alumnos/as. Presenta siete situaciones (propuestas por varios maestros/as diferentes) que han sido abordadas, cada una de ellas, mediante numerosos problemas enlazados...

Una característica común a todos y cada uno de ellos, que salta a la vista, es que la información textual , tabular y gráfica es profusa. Se pretende que los/as alumnos/as de segundo y tercero ciclos de Primaria se acostumbren a enfrentarse, en clase de Matemática y en relación con la RP,  con informaciones no necesariamente cortas  y fragmentadas - como suele ser habitual - sino que deben asumir que en clase de Matemáticas también se lee, que la lectura comprensiva y el análisis de la información es la fase inicial del proceso de RP. Ilustra, además, la naturalidad y la frecuencia con que se presenta información textual y, sobre todo, la tabulada y gráfica, para abordar la matemática de las situaciones de la vida diaria...

Un centro de interés o situación real y cotidiana (equipo de natación, cumpleaños, carnaval, boda, comedor escolar,...) aglutina un conjunto de problemas perfectamente contextualizados (datos reales, situaciones y lugares reales,...) que abordan dicha situación desde diferentes puntos de vista de interés matemático, implicando contenidos de los diferentes bloques (números y operaciones, medida, formas y orientación en el espacio, tratamiento de la información,...). En cada situación, la información facilitada (de entrada) así como la información relativa al procesamiento de ésta (operaciones indicadas, cálculos,...) y las soluciones, se integran de manera ordenada en el espacio del papel.



09 noviembre, 2012

Dinamic Paper, de Illuminations

Desde Illuminations, se ofrece, entre otras muchas, esta interesante aplicación que nos permite generar fácilmente elementos gráficos para el diseño de actividades de matemáticas: rectas numéricas, tramas de puntos, ejes de coordenadas rectangulares y polares, desarrollos planos de poliedros básicos, mosaicos, etc... Permite que personalizemos nuestro trabajo mediante la configuración de determinados parámetros de cada  elemento gráfico elegido. Las elecciones y configuraciones realizadas se pueden ir añadiendo a diferentes páginas de un documento que puede, luego, ser descargado en formato .pdf. También se puede descargar en formato JPEG.


Dinamic Paper, una aplicación de Illuminations