En busca del significado. Operaciones combinadas en Primaria. ¿Por qué? ¿Para qué?

Resulta sorprendente comprobar la fuerza de la inercia que supone la tradición escolar por sí misma frente a cualquier innovación o cuestionamiento de aspectos curriculares tales como los contenidos del área de Matemáticas. Esta fuerza, a veces individual y a veces colectiva,  unas veces de manera consciente y otras de forma inconsciente, se opone a cualquier planteamiento o cuestionamiento de todo aquello que ha pasado a formar parte de la tradición escolar (que parece ser una zona imaginaria de seguridad, de no vértigo…).

En este post voy a tratar de ilustrar lo anterior ciñéndome al tratamiento de un contenido específico: LAS OPERACIONES COMBINADAS.

Resolución de operaciones combinadas

Para trabajar este contenido específico podemos encontrar en Internet numerosísimas aplicaciones TIC (ver la presentación que sigue) diseñadas por profesionales docentes que buscamos integrar las TIC en el área de Matemáticas, trasladar a entornos digitales  interactivos, aprovechando las potencialidades de las TIC, lo que se venía haciendo de manera analógica, oral o con lápiz y papel… y, si es posible, añadir innovación y creatividad al servicio de la didáctica de la matemática.

Es indudable que supone un avance contar con aplicaciones digitales que propongan ejercicios e informen sobre lo acertado o no de la respuesta,  aplicaciones con las que los/as alumnos/as pueden trabajar de manera más rápida y eficaz, de forma autónoma o semidirigida, con las que puedan  progresar a su ritmo, que favorezcan la autorregulación de sus propios aprendizajes… Pero, además, hay que considerar la significatividad y relevancia de los contenidos y procedimientos, los objetivos que se persiguen, las competencias que se desean desarrollar...

Todas estas aplicaciones, con ligeras diferencias, tienen un denominador común: abordan las operaciones combinadas como cálculo numérico, con procedimientos específicos, centrado en la jerarquía de las operaciones aritméticas con números. Didácticamente se reducen a OPERACIONES COMBINADAS = CÁLCULO NUMÉRICO HACIENDO USOS DE LA JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES Y SUS PROPIEDADES. Presentan un cálculo descontextualizado, no situado, al margen de cualquier situación problemática real, casi desprovisto de cualquier significado, como si fuera un fin en sí mismo… El desarrollo de competencias matemáticas requiere, por el contrario, la contextualización,  la “situación”, la búsqueda de significados…

Se pone de manifiesto, claramente, que se ha realizado un trasvase del tratamiento didáctico tradicional y “analógico” de este tópico (operaciones combinadas) a un tratamiento didáctico  tradicional  y “digital” en el que permanece, sin ser cuestionado, su enfoque didáctico algorítmico y eminentemente sintético. A pesar de las ventajas de este trasvase, puestas de manifiesto en párrafos anteriores, podemos seguir preguntándonos por lo fundamental: OPERACIONES COMBINADAS EN PRIMARIA, ¿POR QUÉ? ¿PARA QUÉ?

Hay quienes piensan que la realización de ejercicios de operaciones combinadas tiene pleno sentido en sí misma.

Pienso, no obstante, que la respuesta obvia, mayoritaria  y más sensata, apuntaría a argumentar que este tratamiento de las operaciones combinadas está en relación con la resolución de problemas, cotidianos y escolares, de operaciones combinadas,  con el desarrollo de competencias matemáticas tales como:

• “Resolver problemas para los que se precise la utilización de las cuatro operaciones con números enteros, decimales y fraccionarios, utilizando la forma de cálculo apropiada y valorando la adecuación del resultado al contexto.”  
• “Capacitar a los/as alumnos/as para asignar a las distintas operaciones nuevos significados y determinar cuál de los métodos de cálculo es adecuado a cada situación”
• Desarrollar la actitud de “interpretar los resultados obtenidos en los cálculos y valorarlos  contrastándolos  con la situación de partida”, etc…

Mucho me temo que hay un salto cualitativo entre el dominio de la mecánica de las operaciones combinadas y la resolución de problemas de operaciones combinadas.

Profundizaremos más en este aspecto. Por ahora sólo diré algo que se puede comprobar fácilmente: Alumnos/as que realizan con bastante facilidad aplicaciones del tipo hasta ahora visto, presentan serias dificultades en la realización de aplicaciones en las que se deben asignar significados a las operaciones combinadas en contextos de resolución de problemas (imagen anterior y siguiente)(Esto no supone ningún descubrimiento nuevo sino la simple constatación de que la comprensión, cognitivamente hablando, ocupa un escalón de mayor rango que la mecanización):

Otros docentes, como el  peruano Luis Guerrero Ortiz  http://educaresdesarrollo.blogspot.com/2009/07/operaciones-combinadas.html (13 de julio de 2009) opinan lo siguiente (opinión que comparto casi plenamente): 

"¿Por qué un profesor prefiere enseñar matemática a los niños en base a ejercicios rutinarios, de esos que se resuelven casi sin usar la cabeza, y no en base a problemas? ¿Y por qué cuando eventualmente les propone resolver problemas, se inclina a presentarles unos muy simples, de esos que exigen pensar poco? Intentamos responder estas preguntas con un destacado grupo de maestros hace unos días y se nos ocurrían varias posibilidades. Hipótesis 1: El profesor no cree que sus estudiantes estén a la altura de las circunstancias. Por ejemplo, el currículo dice que el niño en sexto grado deberá saber resolver problemas que impliquen proporcionalidad directa y porcentaje o que le exijan utilizar operaciones combinadas con números naturales, fracciones y decimales. Estos muchachos no están para esto, puede pensar. Acto seguido, decidirá no proponerles problemas o les propondrá de vez en cuando algunos bastante fáciles.

Si tomamos en cuenta los últimos acontecimientos nacionales, entenderemos cuánto nos urge una educación que enseñe a los peruanos a razonar y a resolver problemas. Sin embargo ¿La actual política de capacitación docente están abordando los desafíos planteados en estas tres hipótesis? Lo siento, la respuesta correcta es no. Apenas parcialmente la segunda. Es decir, aún no logra resolver problemas utilizando operaciones combinadas. Hasta pronto."Ahora bien, sabemos que los profesores que prefieren enseñar a los niños una matemática más bien mecánica, son numerosos. Los resultados, además, hablan por sí mismos. En la Evaluación Nacional realizada por el Ministerio de Educación el 2004 a una muestra nacional de escuelas, sólo uno de cada diez niños (9,6%) que estaban en 2º grado tenía las competencias matemáticas que demandaba el currículo, las mismas que suponían en buena medida capacidad para resolver problemas. Y sólo uno de cada diez (12,1%) de los que cursaban el 6º grado rendía satisfactoriamente en esta área. Cuatro años después, según los resultados de la última evaluación censal en matemática a 2º grado el 2008, estas cifras no se han movido (9,4%).Hipótesis 3: El profesor sabe por experiencia que poner a los alumnos a resolver problemas es invertir en las clases mucho más tiempo del que realmente dispone. Se demoran demasiado y me hacen perder mucho tiempo, diría probablemente. Retrasarse en el programa provoca siempre mortificación al maestro, sobre todo en las escuelas urbanas, donde el director y los mismos padres de familia ven con muy malos ojos el «atraso», independientemente de sus motivos. Luego, usará problemas muy de vez en cuando y elegirá siempre los más sencillos para que los terminen rápido.Hipótesis 2: El profesor no se siente seguro de entender a cabalidad lo que el currículo le pide enseñar. Esto puede deberse a una de tres razones: las deficiencias de su formación, la ambigüedad de la gramática elegida por el currículo para comunicar sus demandas o las escasas oportunidades que tuvo para entender el sentido de la nueva matemática escolar, algo diferente de la que estaba habituado a enseñar. Como es natural, si el profesor no se siente del todo capaz para resolver del modo esperado esta clase de problemas matemáticos, se abstendrá prudentemente de utilizarlos en clase.

Retomando de nuevo la perspectiva de relacionar el cálculo específico de operaciones combinadas con números con la resolución de problemas de operaciones combinadas, habría que insistir en varios aspectos de especial relevancia:

• En la resolución de problemas es anterior, y más importante,  la determinación de la secuencia de operaciones con la que se resuelve el problema (expresión algebraica de las operaciones indicadas que lleva a la solución) que el cálculo de la misma (Ver "Álgebra y resolución de ecuaciones_2"). La  determinación de la secuencia operacional se realiza a partir de significados, de relaciones entre cantidades de magnitudes ( que no es lo mismo que relaciones entre números). Además, mi experiencia me dice que la captación del significado - indisociable de  la correcta interpretación de la estructura de la expresión (= estructura del problema)- influye muy positivamente en la correcta realización de los cálculos y, sobre todo, en la valoración de la coherencia de los mismos. (La repercusión recíproca no es nada evidente).

  

• En la resolución de problemas las operaciones no se realizan con números sino con cantidades de magnitudes. La expresión 8 x 4 x 5 = 160 carece apenas de conflicto cognitivo - al operar con datos de una misma naturaleza numérica- en tanto que 8 plantas x 4 pisos/planta x  5 ventanas/piso = 160 ventanas sí que plantea conflicto cognitivo: obliga a comprender y determinar no sólo la cantidad sino la magnitud resultante de cada operación...La realización de operaciones implica la aparición de magnitudes que no estaban explícitas en los datos (magnitudes implícitas o auxiliares) así como un uso continuo del análisis y la síntesis. (En relación con este apartado se puede consultar  Problemas aritméticos escolares de Luis Puig y Fernando Cerdán).

• Sólo si en la resolución de problemas combinados se prioriza la obtención y la escritura en una sola línea de la expresión algebraica que conduce a la solución, se podrá argüir que el cálculo de operaciones combinadas numéricas tiene alguna relación con la resolución de este tipo de problemas fundamentales en la Etapa Primaria.

• La mayor parte de los contextos  de cálculo son actualmente mayoritariamente instrumentales y relacionados con la tecnología;  implican programación de procesos, es decir, requieren de  personas que deben introducir, en forma de operaciones combinadas indicadas, los cálculos que la máquina debe realizar...Este es otro aspecto que pone claramente de manifiesto que es mucho más relevante en la escuela obtener la expresión de las operaciones indicadas que resolverlas...  

En definitiva, y a modo de conclusión, la mejor forma de trabajar las operaciones indicadas no es de forma descontextualizada y mecánica, como puro cálculo, sino en el contexto de la resolución de problemas de varias operaciones; priorizando la obtención de la expresión indicada de la secuencia de las mismas, a partir de los datos del problema, que conduce a su solución; otorgando significado a cada una de las partes de la expresión, y al conjunto...

He aquí algunas aplicaciones_TIC concebidas teniendo en cuenta estos planteamientos:

• Encuentro una combinación válida.
• Escenas 1a. Problemas de nivel 1. Estructura aditiva (+,-).
• Escenas 2a. Problemas de nivel 1. Estructura multiplicativa (x,:).
• Cartulinas multiproblema I.
• Cartulinas multiproblema II.
• Razono y asocio.
• Asocia. Problemas aritméticos escolares de nivel 2.Combinados mixtos.
• Completa y calcula.