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23 abril, 2022

Resta por desplazamiento, una eficaz estrategia para el cálculo mental de diferencias.

Resta "por desplazamiento" sobre la recta numérica. DidactmaticPrimaria.net //Proyecto MATE.TIC.TAC

 

En el post anterior, en relación con los cálculos implícitos para averiguar el valor dado a cada figura, hablé de estrategias de cálculo mental y presenté la "rana saltarina" sobre una recta numérica interactiva para ilustrar la estrategia de cálculo mental de diferencias mediante la resta ascendente con dos o tres saltos.

Aquí voy a hablar de una estrategia de cálculo mental de diferencias que se utiliza sin ser reconocida como tal. La primera vez que presenté en este blog la aplicación "SUMA POR COMPENSACIÓN Y RESTA POR DESPLAZAMIENTO" (04 septiembre, 2016) hubo docentes que no la entendieron, incluso que la calificaron como "caca". 

La aplicación de arriba permite comprender y practicar esta eficaz y general estrategia para el cálculo mental de diferencias.

29 octubre, 2012

Propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas. Ciclo Medio. Educación Primaria


Desde el centro de recursos para enseñar y aprender matemáticas del Departamento de Enseñanza de la Generalitat de Catalunya (cesire/creamat), se nos ofrece este documento que  recoge algunas propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas en el ciclo medio de la Educación Primaria.





Este documento, en lo referente a las operaciones básicas, se podría completar y matizar, con este otro de David Barba y Cecilia Calvo:




También es interesante contar con esta otra visión de las operaciones centrada en algoritmos Abiertos y Basados en Números (aunque no comparto algunas afirmaciones que se hacen en el documento tales como " ...algoritmos ABN = la senda para alcanzar competencia matemática" -porque excluye otras sendas más relevantes -; "Las viejas cuentas son la causa fundamental que impide que los alumnos sepan resolver problemas"- cuando todos sabemos el papel determinante , entre otros, del pensamiento,  la afectividad, la metacognición y las habilidades lingüísticas-  y, sobre todo, "El cálculo basado en algoritmos ABN aumenta notablemente la capacidad de resolución de problemas" - porque la realización de cálculos, incluso en los problemas típicamente aritméticos, es una de las fases finales del proceso y no precisamente la más relevante, a no ser que se considere como "problema" realizar un determinado cálculo .  Ver artículo anterior a éste en este mismo blog-) :





Comparto, en lo esencial, los enfoques y propuestas recogidos en estos documentos en lo relativo al tratamiento del bloque aritmético (a mi juicio los otros bloques no están suficientemente bien tratados en el primer documento) Pero, dado que no aluden a recursos educativos (impresos, manipulables físicos o virtuales, ...) que pudieran utilizarse  para este fin coherentemente con estos enfoques, me voy a permitir enriquecerlos  sugiriendo aplicaciones (contenidos educativos multimedia) que se ofrecen en este blog, para cada una de las propuestas realizadas. Me voy a limitar al apartado OPERACIONES con el fin de que este post no sea demasiado extenso.


14 diciembre, 2011

Razonamiento proporcional y multiplicación

Observemos la siguiente imagen:


¿De cuántas maneras diferentes podríamos averiguar el número de pelotas correspondiente a 9 cajas iguales?

Se nos ocurre que podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 8 cajas (96) y 1 caja (12), y sumarlos. También podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 6 cajas (72) y 3 cajas (36), y sumarlos. Otra forma de llegar al resultado correcto sería aprovechar los resultados correspondientes a 7 cajas (84 pelotas) y 2 cajas (24 pelotas) y sumar 84 más 24. Y muchas otras formas más...

¿Cómo habrían resuelto los antiguos egipcios esta situación?

Dado que los antiguos egipcios sólo sabían duplicar o doblar (multiplicar por 2), habrían realizado una tabla análoga a la de la izquierda y  aprovechado los resultados correspondientes a 8 cajas (96 pelotas) y 1 caja (12 pelotas) que, sumados, dan 108 pelotas.

De manera análoga, para calcular el número de pelotas correspondientes a 11 cajas iguales, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 2 y 1 cajas, sumando 96 + 24 + 12.

Para calcular el número de pelotas correspondientes a 14 cajas, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 4 y 2 cajas, sumando 96 + 48 + 24...



Como se puede apreciar, el método de multiplicación egipcio es muy productivo, en el sentido de que a partir de unos cuantos resultados sencillos, por combinación, se obtienen muchos otros resultados... Por otra parte, este método no es nada mecánico, se apoya en una estrategia fundamental del cálculo, la duplicación, en el razonamiento proporcional (a doble número de cajas corresponde doble número de pelotas) y podemos darle una interpretación perfectamente formal haciendo uso de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
Así, 14 x 12 = (8 + 4 + 2) x 12 = 8 x 12 + 4 x 12 + 2 x 12 = 96 + 48 + 24 = 132.

En definitiva, el método egipcio propone una multiplicación "por partes" haciendo uso de números - no cifras- y basada en la propiedad distributiva (una estrategia fundamental en la resolución de problemas consiste en dividir el problema dado en  partes más manejables).

¿Y si consideramos una adaptación del método egipcio al siglo XXI, haciendo una mejora de sus potencialidades?

Imaginemos que un/a niño/a domina los hechos numéricos que se reogen en la tabla de la izquierda. Es obvio que, a partir de ellos, podría obtener un buen número de nuevos resultados. Así, por ejemplo, podría calcular el número de pelotas que hay en 39 cajas iguales aprovechando los resultados correspondientes a 40 cajas y 1 caja realizando la resta 480 - 12 = 470 - 2 = 468.

Podría calcular el número de pelotas correspondientes a 78 cajas así: 480 + 360 + 120 - 24 = 500 + 340 + 100 - 4 = 940 - 4 = 936. Quizá resulte más fácil de esta otra manera: 480 + 480 - 24 = (500 - 20) + (500 - 20) - 24 = (1000 - 40) - 24 = 1000 - 64 = 936.

Estos últimos ejemplos ilustran una variación del método egipcio que pone mayor énfasis en los aspectos de proporcionalidad numérica inherentes al conocimiento y dominio del sistema numeración decimal (Si 10 x 62 = 620 ---> 20 x 62 = 1240...) y en el aprovechamiento de los "números redondos" (acabados en ceros). Nótese, además, que este método de multiplicación se basa en el cálculo pensado con números - no en un cálculo mecánico con cifras como el algoritmo tradicional de la multiplicación -; es flexible - permite llegar al mismo resultado utilizando estrategias y/o secuencias de cálculo diferentes-, más o menos largos según el grado de competencia en cálculo pensado con que cuente cada alumno/a (atención a la diversidad). Además, hace el cálculo más atractivo.

Podría argumentarse que la multiplicación 12 x 47, mediante el algoritmo tradicional, es más fácil puesto que sólo requiere conocer las tablas de multiplicar ( las del 1 y las del 2 para este caso concreto) y la mecánica del algoritmo... ¡Totalmente de acuerdo con este argumento! Pero...

...es que se trata de enseñar y aprender Matemáticas plenas de significados, de desarrollar competencias matemáticas...Si algo hay ineludible en esta área curricular es el razonamiento. Todo/a niño/a tiene cierto grado de razonamiento proporcional que hay que fomentar. Tanto la construcción de tablas de multiplicar -que son tablas de proporcionalidad- como el método utilizado para realizar multiplicaciones se deben basar en el desarrollo de este tipo de razonamiento, fundamental en la adquisición de competencias matemáticas en Primaria ya que prepara el camino a nociones matemáticas valiosas. Sería deseable que un/a alumno/a de tercer ciclo de Primaria supiera calcular mentalmente, por ejemplo, el 15% de 840 € utilizando el razonamiento proporcional más o menos así : El 15% de 840 = 10% de 840 + 5% de 840 = la décima parte de 840 + la mitad de la décima parte de 840 = 84 + 42 = 126.



La imagen de arriba muestra una división propuesta por mí, al azar, y realizada por una alumna de 5º de Primaria. Obsérvese el uso que hizo esta niña del razonamiento proporcional en la realización de la misma: Si 2 x 57 = 114 entonces 0,20 x 57 = 11, 4. Si 0,20 x 57 = 11, 4 entonces 0,02 x 57 = 1,14.

Se podría argumentar que el desarrollo de competencias matemáticas también contempla rutinas, tareas a nivel de la simple alfabetización, como podrían ser los algoritmos tradicionales de las operaciones básicas. Pero es que si estos algoritmos tradicionales cumplían perfectamente su papel alfabetizador en el siglo XIX y en buena parte del siglo XX, actualmente ya no la cumplen. Estamos inmersos en una sociedad tecnológica en la que la mayor parte de los cálculos son instrumentales (cajas registradoras, calculadoras, computadoras,...). Esto implica repensar el papel del cálculo y la numeración que se imparten en la escuela. De acuerdo con unos principios claros para la mejora de la educación matemática, deben servir para el desarrollo de competencias matemáticas.

Las siguientes aplicaciones, incluídas en ¡ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE!, permiten construir tablas de proporcionalidad sencillas - que incluyen como caso particular las tablas de multiplicar- así como la utilización de formatos interactivos que tutorizan la práctica de la multiplicación basada en el cálculo pensado con números, de manera flexible y haciendo uso del razonamiento proporcional:



Dado que el método para multiplicar por el que se apuesta aquí en cierta forma rescata y mejora el método de multiplicación egipcia, parece conveniente ilustrar éste último mediante un vídeo:

07 diciembre, 2011

Didáctica de las operaciones básicas según la UNIR


La Universidad Internacional de La Rioja (UNIR) es una universidad virtual de nueva creación (2008), que nace con una visión global de la educación unida a la empresa.


La UNIR propone un modelo universitario virtual, con visión Global, construido a partir de las nuevas tecnologías

Su proyecto pedagógico se basa en la educación personalizada y participativa, así como en el trabajo colaborativo de los alumnos.

La Universidad Internacional de La Rioja (UNIR) es una universidad de iniciativa privada fundada el 12 de septiembre de 2008 y a la que se le otorgó su reconocimiento oficial mediante la Ley 3/2008, de 13 de octubre de 2008, del Parlamento de La Rioja. Su estructura, organización y funcionamiento han sido diseñados conforme a los parámetros y exigencias del Espacio Europeo de Educación Superior (EEES). Sus futuros graduados, obtendrán títulos oficiales de grado con validez en todos los estados europeos del EEES.
La modalidad didáctica de la UNIR es la de una universidad on line, lo que le permite tener una proyección realmente global: sus alumnos y profesores, recibirán e impartirán, respectivamente, sus enseñanzas en español o en inglés y podrán localizarse en cualquier parte del mundo. Las anteriores características hacen que, fundadamente, pueda referirse a esta nueva universidad como: UNIR, La Universidad en Internet
.
Fuente: Wikipedia.









¿Así?



¿O así?







El vídeo sólo se centra en las propiedades formales y descontextualizadas de la multiplicación y la división y no en las estrategias de cálculo que se derivan de esas propiedades básicas ( que son lo verdaderamente importante para "aprender y enseñar a multiplicar y dividir")

Al contrario de lo que se afirma en este vídeo, la conmutatividad de la multiplicación no presenta problemas a los/as alumnos/as, ni tan siquiera en los cálculos más formales y descontextualizados - mucho menos en los cálculos contextualizados relativos a la resolución de problemas.

La propiedad distributiva de la multiplicación - con respecto a la suma y resta-, junto con la descomposición aditiva de números, se traduce en la estrategia didáctica fundamental para el cálculo de productos. Se puede realizar un producto complejo como suma de productos simples: 6 x 234 = 6 x (200 + 30 + 4) = 1200 + 180 + 24 = 1380 + 20 + 4 = 1400 + 4 = 1404.





Se afirma en en el vídeo anterior de la UNIR que la división no tiene la propiedad distributiva con respecto a la suma o la resta. Ello es, desde un punto de vista formal, estrictamente cierto - porque siendo distributiva por la derecha no lo es por la izquierda-. Sin embargo esta distributividad de la división -con respecto a la suma y resta- por la derecha se traduce en la estrategia más potente para el cálculo de divisiones. Nos permite realizar divisiones por partes (descomponiendo aditivamente el dividendo), como ilustra de manera inequívoca la siguiente aplicación:
















Después de la visualización crítica de estos vídeos correspondientes a más de una decena de temas sobre Didáctica de las Matemáticas en la E. Primaria, tengo que afirmar que a mí, personalmente, me parece una didáctica muy light la que propone la UNIR en estos vídeos, pobre en contenido científico.

Podemos encontrar numerosísimos vídeos y otros recursos educativos multimedia realizados por maestros/as, didactas, etc... que profundizan más, de manera más científica y con objetivos explícitos más claros y relevantes, en "el arte de enseñar" los aspectos de las matemáticas en la E. Primaria sobre los que inciden los vídeos.

Se pone de manifiesto, nuevamente, la desconexión entre escuela y universidad - en su relación recíproca-. ¿Es la Universidad un centro privilegiado de producción y difusión del Conocimiento? Parece que la misión de las universidades en el siglo XXI es otra, casi puramente mercantil.

04 octubre, 2011

"ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE". Una apuesta por el cálculo pensado, flexible y basado en números.

Invito a los/as lectores/as a navegar por "Así calculamos en mi cole".
Aunque este recurso multimedia no aborda de manera exhaustiva el desarrollo de competencias de cálculo en la Etapa Primaria, sí que ilustra cómo se pueden diseñar contenidos educativos digitales que profundicen, con fundamento didáctico y metodológico, en aspectos de especial relevancia en el cálculo: manipulación de materiales didácticos virtuales para la representación y descomposición del número  (ábacos, bloques multibase, centena dinámica, juegos de dados, diana interactiva, balanza numérica,...); ilustración gráfico-numérica, e interactiva, de algoritmos flexibles de las operaciones básicas basados en el cálculo pensado con números; formatos interactivos que tutorizan el cálculo algorítmico flexible de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones; cálculo mental contextualizado en la resolución de problemas; formatos interactivos para trabajar estrategias concretas de cálculo mental, modelos gráficos interactivos como soporte para el cálculo pensado, etc... 

En entradas siguientes se profundizará con más detalle en los aspectos resaltados.



(Este recurso no se encuentra aquí ni totalmente adaptado a su uso online ni debidamente actualizado. Muchas de sus aplicaciones se han mejorado y actualizado para formar parte del proyecto MATE.TIC.TAC )(Noviembre de 2021)

03 octubre, 2011

De la división como reparto a un algoritmo flexible para la división

La integración de las TICs en Matemáticas debería estar sólidamente fundamentada, didáctica y metodológicamente. Esto no parece ser así en lo que a la integración de las TICs para el desarrollo de competencias en cálculo se refiere.
Resulta relativamente fácil diseñar aplicaciones que propongan cálculos y corrijan la respuesta dada por el usuario, incluso que los cálculos propuestos se generen de manera aleatoria de acuerdo con unos determinados parámetros de configuración elegidos... Esto ya es un avance, sin duda, sobre todo en relación con la corrección automática de los cálculos realizados en propuestas de cálculo mental... Pero, ¿qué tipo de cálculo proponen las aplicaciones que nos encontramos en la red?


Poco se ha indagado y profundizado, haciendo uso de las TICs, en los procesos de comprensión de las operaciones básicas. La práctica totalidad de las aplicaciones que nos encontramos en la red abordan un cálculo descontextualizado apoyado en los algoritmos tradicionales de lápiz y papel de las operaciones básicas....Estos algoritmos, además, se siguen presentando como el inicio de las operaciones a las que sirven.


Invito a los/as lectores/as a manipular la aplicación "División gráfica con billetes" incluida en el recurso multimedia "ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE". Es la primera aplicación existente en la red que ilustra cómo un reparto, a partes iguales, puede realizarse de manera flexible (abierta o divergente, si se prefiere) a la par que se genera de manera interactiva el correspondiente algoritmo numérico flexible (en función de las manipulaciones concretas realizadas con monedas y billetes por cada usuario). De esta manera, se pretende justificar la naturalidad del algoritmo propuesto en contraposición con el algoritmo tradicional de la división.