Resta por desplazamiento, una eficaz estrategia para el cálculo mental de diferencias.

Resta "por desplazamiento" sobre la recta numérica. DidactmaticPrimaria.net //Proyecto MATE.TIC.TAC

 

En el post anterior, en relación con los cálculos implícitos para averiguar el valor dado a cada figura, hablé de estrategias de cálculo mental y presenté la "rana saltarina" sobre una recta numérica interactiva para ilustrar la estrategia de cálculo mental de diferencias mediante la resta ascendente con dos o tres saltos.

Aquí voy a hablar de una estrategia de cálculo mental de diferencias que se utiliza sin ser reconocida como tal. La primera vez que presenté en este blog la aplicación "SUMA POR COMPENSACIÓN Y RESTA POR DESPLAZAMIENTO" (04 septiembre, 2016) hubo docentes que no la entendieron, incluso que la calificaron como "caca". 

La aplicación de arriba permite comprender y practicar esta eficaz y general estrategia para el cálculo mental de diferencias.

Cuando para medir la longitud de un objeto utilizamos una cinta métrica, o una regla, de manera natural llevamos un extremo al cero, siendo la longitud del objeto el número correspondiente al otro extremo. Si a esa regla o cinta métrica le faltaran las primeras marcas, casi con toda seguridad, llevaríamos un extremo del objeto al 10 (u otro número redondo). En este caso, para calcular la longitud del objeto tenemos en cuenta que al número del extremo final del objeto hay que restarle 10...

Imaginemos ahora que medimos segmentos sobre la recta numérica, con la particularidad de que podemos desplazarlos sin variar su longitud.

La medida de un segmento sobre la recta numérica será la diferencia entre los números correspondientes a sus extremos, siendo el extremo más a la derecha el minuendo y el que está más a la izquierda el sustraendo. Análoga y recíprocamente, cualquier diferencia numérica puede ser interpretada como la longitud de un determinado segmento en la recta numérica. Como el segmento es desplazable, el cálculo de su longitud (la diferencia) se facilitará colocando el extremo izquierdo del segmento (sustraendo) en una marca correspondiente a un número redondo (acabado en cero).

Este modelo dinámico del segmento diferencia desplazable sobre una recta numérica es tremendamente eficaz para el desarrollo de la estrategia de cálculo mental de diferencias que yo denomino "RESTA POR DESPLAZAMIENTO".

Basta un desplazamiento de a lo sumo 5 unidades (hacia la derecha o hacia la izquierda) para cambiar los números iniciales (sustraendo y minuendo) por otros en los que el sustraendo sea un número redondo:

33 - 18 = (33+2) - (18+2) = 35 - 20 = 15. ///Desplazamiento hacia la derecha de 2 unidades.

30 - 11 = (30-1) - (11-1) = 29 - 10 = 19. ///Desplazamiento hacia la izquierda de 1 unidad.

166 – 97 = 169 – 100 = 69 ///Desplazamiento hacia la derecha de 3 unidades.

En la resta por desplazamiento como estrategia de cálculo mental, se pone el foco generalmente en el sustraendo, para determinar el desplazamiento necesario. Nótese que todas las restas anteriores corresponden a “restas con llevada” en el algoritmo tradicional y que esa dificultad desaparece con un simple desplazamiento.

Existe resta con desplazamiento aún cuando el foco no se pone en primer lugar en el sustraendo. En el ejemplo que sigue detraemos, por partes, el sustraendo (resta por detracción). Nótese que la resta por comparación o por detracción son casos particular de la resta por desplazamiento.

385 – 171 = 285 – 71 (hemos detraído 100 unidades//desplazamiento hacia la izquierda de 100 unidades) = 215 – 1 (hemos detraído 70 unidades//desplazamiento hacia la izquierda de 70 unidades) = 214 – 0 = 214 (hemos detraído 1 unidad//desplazamiento hacia la izquierda de 1unidad) .

120 – 85 = 100 – 65 = 40 – 25 = 35 – 20 /// En este caso el desplazamiento tiene el foco en los minuendos, por ser números redondos

En la resta [100 – 89 = 100 – (80+9) = 100 - 80 – 9 = (100 – 80) – 9 = 20 – 9 = 11] se descompone el sustraendo y se detrae el mismo del minuendo en dos pasos. Nótese que puede interpretarse como dos desplazamientos 100 – 89 = 20 – 9 = 21 – 10 =11. En el primer desplazamiento (80 unidades a la izquierda) el foco se centra en el minuendo, por ser un número redondo, cambiando el minuendo y el sustraendo por otros coincidentes en las unidades. El segundo desplazamiento es de una unidad a la derecha...

En la resta [3685 – 1382 = 3683 – 1380 = 2683 – 380 = 2303 – 0 = 2303] primero se realiza un desplazamiento para buscar un sustraendo que sea un número redondo. Luego se realizan desplazamientos con el criterio de quitar un número redondo de unidades....

Una resta puede realizarse en varios desplazamientos no necesariamente del mismo sentido:

383 – 178 = 385 – 180 (desplazamiento hacia la derecha de dos unidades) = 205 -0 (desplazamiento hacia la izquierda de 180 unidades)

Evidentemente, la resta por desplazamiento se puede “algoritmizar” resolviéndola, “con lápiz y papel”, en tantos desplazamiento como sea necesario en función del cálculo mental actual de nuestros/as alumnos/as.

Como estrategia de cálculo mental, implica cambiar al menos una vez el minuendo y sustraendo dados así como encontrar la diferencia. Sólo resulta eficaz cuando se realiza en uno o dos desplazamientos. De lo contrario, habría que retener en la memoria demasiados datos... y no todos tenemos buena retentiva...

(La propiedad fundamental de la resta que está en juego es "Si sumamos, o restamos, un mismo número tanto al minuendo como al sustraendo, la diferencia no varía".

Mientras que en la estrategia de cálculo mental correspondiente a la resta “completando” o por “escalera ascendente” (idem. para la resta “quitando” o por “escalera descendente”) el segmento diferencia se recorre (en sentido ascendente y descendente, respectivamente) en varios saltos, en la resta por desplazamiento el segmento diferencia no se recorre sino que se desplaza.

Resta por escalera ascendente en la recta numérica, con la "rana saltarina". En este caso el segmento diferencia se
 recorre en dos o tres saltos. DidactmaticPrimaria.net. Proyecto MATE.TIC.TAC

Podríamos incluso interpretar la resta “ascendente” y “descendente” como desplazamientos sobre la recta numérica, pero no es tan intuitivo como los saltos de la rana saltarina: Toda diferencia puede interpretarse como el/los desplazamiento/s (equivalentes a los saltos de la rana saltarina sobre la recta numérica) necesario/s para llevar el extremo izquierdo del segmento diferencia (el sustraendo) hasta la posición que ocupaba el minuendo (ascendente) y viceversa (descendente)

<<Restar 9, 19, 29,... restando 10, 20, 30,... (respectivamente) y luego sumando 1>> tiene una explicación más significativa vista desde el modelo de “desplazamiento”: 

35 – 19 = 36 – 20.

Hay regularidades numéricas específicas que se pueden aplicar al cálculo mental de restas específicas y que se desprenden de la resta por desplazamiento:

11 - 9 = 1+1 = 2 --- 11 – 9 = 12 - 10

12 - 9 = 1+2 = 3 --- 12 – 9 = 13 - 10

15 - 9 = 1+5 = 6 --- 15 – 9 = 16 – 10

Sin embargo, esta “regularidad” de sumar los dígitos del minuendo cuando restamos 9 no vale ni tan siquiera para todos los minuendos de dos cifras : 21 – 9 no es igual a 2+1. Aunque estas y otras regularidades suelen presentarse como “trucos” rápidos para el cálculo mental que funcionan en determinadas ocasiones, la formación matemática no consiste en apropiarse de trucos matemáticos sino de propiedades y estrategias lo más generales posible.

La resta por desplazamiento, evidentemente, puede ser utilizada junto con otras estrategias de cálculo mental. Algo indispensable en toda estrategia eficaz de cálculo mental es que haga uso de los números redondos (decenas completas, centenas completas,...): En la resta “ascendente” vimos que la ranita salta, mientras puede, a puntos de la recta numérica correspondientes a números redondos. En la resta por desplazamiento el primer objetivo puede ser siempre buscar que el sustraendo sea un número redondo. En una suma por “compensación” [17+34 = (17+3) + (34-3) = 20 + 31 = 51] el primer paso puede ser cambiar los sumando iniciales por otros que den una suma equivalente de manera que uno de ellos, al menos, sea un número redondo. En la suma por descomposición (idem para la resta por descomposición) todos los sumandos parciales en que descomponemos cada sumando son números redondos excepto, a lo sumo, 1:

235 + 147 = (200 + 30 + 5) + (100 + 40 + 7)...