Andreas Schleicher,
director del área educativa de la OCDE, y creador del informe PISA
afirma, en una entrevista de EL PAIS, que
“La educación en España
prepara a los alumnos para un mundo que ya no existe”, que “El
actual currículo en España tiene, digamos, un kilómetro de
amplitud y un centímetro de espesor, y creo que no es bueno para los
estudiantes. El futuro para España debería pasar por enseñar menos
cosas, pero de forma más profunda, generando más compresión”
“Tienes
al sistema educativo preparando para un mundo que ya no existe y no
haciéndolo para el mundo que estamos viendo emerger. Es duro para
los padres aceptar que el mundo de nuestros hijos es diferente a la
imagen que tenemos del nuestro. Pero en eso consiste la educación.
En preparar a los estudiantes para su futuro, no para nuestro
pasado”.
Para
ilustrar un detalle sobre este “desfase” entre el sistema
educativo y las características del mundo actual, quiero aportar
aquí una reflexión relacionada con la enseñanza-aprendizaje de la
Matemática básica y, más en concreto, con algo esencial y troncal
en la misma, la resolución de problemas. Acotando aún más la
reflexión, sólo voy a tratar de los problemas aritméticos de
enunciado verbal en Educación Primaria.
Soy
consciente de que algunas de las siguientes afirmaciones pueden
resultar un tanto chocantes, extrañas o revolucionarias para un buen
porcentaje de docentes:
1.-
Pocos docentes dudamos de la especial relevancia que la resolución
de problemas tiene en el currículo de Primaria, sobre todo para
promover y potenciar en los alumnos la argumentación, la capacidad
de razonamiento lógico ...y para enseñarles a pensar y expresarse
de una forma estructurada, sistemática y flexible.
2.-
Todo problema aritmético de enunciado verbal tiene,
fundamentalmente, una estructura de relaciones semánticas entre las
magnitudes implicadas que, tras una correcta lectura, comprensión y
argumentación, puede expresarse al margen de las cantidades
concretas (datos numéricos) de éstas. De hecho, un alumno entiende
un problema aritmético cuando es capaz de explicarlo sin números
(que en principio son distractores para la comprensión) y sabe cómo
resolverlo cuando es capaz de expresar el proceso de resolución sin
utilizar número alguno.
Para
mí es obvio que en la resolución de problemas aritméticos, y
considerando preparar a los estudiantes para su futuro y no para
nuestro pasado, el énfasis ha de ponerse en la expresión
prealgebraica y/o algebraica de la solución más que en los cálculos
y en la comprobación de éstos. La expresión a la que me
refiero es la que modeliza correctamente un problema, la que
da cuerpo y estructura a la argumentación que conlleva a la
resolución del problema. Incluso podría valer como solución del
problema. Ello implica necesariamente expresar una ecuación, por
sencilla que ésta sea, bien en forma prealgebraica o en forma
algebraica.
“Mi
abuelo tenía ayer [ ] patos y [ ] gallinas. Hoy han nacido [ ] patos
. ¿Cuántos patos tiene ahora mi abuelo?”
Para
resolver este problema elemental es ineludible establecer, de manera
verbalizada o subvervalizada (pensada), esta igualdad (que es una
ecuación expresada prealgebraicamente):
¿Nº
DE PATOS QUE TIENE MI ABUELO AHORA?= Nº DE PATOS QUE TENÍA
MI ABUELO AYER + Nº DE PATOS QUE HAN NACIDO HOY. O su
equivalente:
¿Nº
DE PATOS QUE TIENE MI ABUELO AHORA?= Nº DE PATOS QUE HAN NACIDO
HOY+ Nº DE PATOS QUE TENÍA MI ABUELO AYER;
Esta
expresión de la estructura del problema implica identificar la
magnitud incógnita (cantidad desconocida, magnitud implícita) así
como las magnitudes explícitas necesarias y relacionarlas con el
signo igual y el signo de una operación (en los problemas
elementales de nivel 1)
Sólo
cuando esta ecuación prealgebraica se ha establecido, de cualquier
manera, quedan de manifiesto las magnitudes implicadas y la
estructura aditiva que las relaciona. Ahora el problema se ha
comprendido y se ha modelizado (se ha expresado el proceso de
resolución). ES LA ESTRUCTURA GENERAL DEL PROBLEMA LA QUE “LLAMA”
A LOS NÚMEROS (que son datos numéricos particulares) Y A LA/S
OPERACIÓN/ES (suma en este caso) para obtener una solución
numérica particular, para implementar un caso particular...
NO
ES LA FORMA CONCRETA DE REALIZAR LA SUMA (los cálculos) la que nos
lleva a la comprensión del problema, ni a determinar la estructura
del problema (o proceso de resolución).
Esta
es la fase verdaderamente creativa en la resolución de un problema
aritmético. Esto es más obvio, aún, cuando nos referimos a problemas aritméticos de varias operaciones. Llegar a esta ecuación es más importante que
cualquier aspecto relacionado con la realización de los cálculos, o
con la comprobación de los mismos, en un sociedad donde casi todo
se programa con algoritmos computacionales, en la que cualquier
gadget tecnológico procesa, como salida, los cálculos implícitos
en el algoritmo que se facilita como entrada. Los números
concretos que intervienen (cantidades de las magnitudes implicadas) y
los cálculos necesarios para dar un resultado numérico están en un
segundo plano en la RP.
3-
La gran mayoría de propuestas, documentos, imágenes, etc..
relacionados con la RP_Aritméticos no van en esta línea e inciden
poco o nada en este aspecto esencial. Reflejan una larga tradición
escolar, por lo que miran a nuestro pasado y no al mundo actual y
futuro. Los/as alumnos/as, a lo sumo, dejan constancia de los datos,
de la pregunta, de los cálculos realizados (con frecuencia de forma
desordenada)... pero prácticamente nunca de la argumentación
realizada, de la estructura de relaciones semánticas del problema...
Si perseguimos enseñar a nuestros/as alumnos/as a pensar y
expresarse de una forma estructurada, sistemática y flexible, no
podemos eludir la identificación de las estructuras básicas
(problemas de nivel 1) y las variantes de éstas (problemas de varias
operaciones)
Independientemente
de otros heurísticos que puedan utilizarse en la RP_Aritméticos, la
argumentación siempre será ineludible en cualquier proceso de
resolución no rutinario. Esta capacidad de la que todos disponemos
en mayor o menor grado, que tiene como base la íntima relación
entre el lenguaje y el razonamiento lógico, debe ser promovida y
potenciada en la escuela. Es la herramienta que siempre tendremos “
a mano” para sintetizar en forma prealgebraica más o menos
personal y/o en forma algebraica correcta, -según el nivel de
nuestros/as alumnos/as y de la dificultad del problema en cuestión-
el plan de solución del mismo, de manera ordenada y estructurada.
4.-
Consecuencia directa de esa visión -que mira más al pasado que al
futuro- es que las operaciones combinadas se presentan casi siempre y
mayoritariamente como cálculos descontextualizados útiles para
poner de manifiesto las propiedades de las operaciones; como un juego
de reglas (jerarquía de operaciones) que deben seguirse paso a paso
para reducirlas a un número, como si no tuvieran relación con la
resolución de problemas aritméticos. Dicho de otra manera, las
operaciones combinadas siguen estando supeditadas a un enfoque
calculatorio cuando, por el contrario, surgen con toda naturalidad y
cobran todo su sentido y relevancia dentro de la resolución de
problemas como instrumento idóneo para la modelización de los
mismos. Este contexto de RP. ayuda enormemente a la comprensión de
la jerarquía de las operaciones y al correcto uso de paréntesis
(que puede ser más personal de lo que imaginamos).
5.-
Algunos expertos sostienen (y creen que ello supone una revolución)
que la forma de calcular ayuda a la comprensión y resolución del
problema. Esto sencillamente no es ni lógico ni cierto. Comprensión,
modelización y disposición-realización de cálculos son fases
diferentes en la RP y de diferente naturaleza cognitiva. Otra cosa
distinta es que la forma de disponer ,expresar y realizar los cálculos
favorezca en mayor o menor medida la reinterpretación del problema ,
sobre todo en los problemas aritméticos más elementales, los de
nivel 1 (una sola operación)
La forma de expresar y realizar los cálculos viene facilitada y
condicionada esencialmente por las propiedades de las operaciones.
Así la suma y resta se pueden realizar por partes basándonos en la
descomposición aditiva de números. Operar con números es más
significativo que operar con dígitos. Los algoritmos tradicionales
de las operaciones básicas operan con cifras o dígitos. Son
convergentes (iguales para todos), los más eficientes, los de toda
la vida; y son los más reducidos (los que menos espacio ocupan)
pero, evidentemente no son los que más significado ni flexibilidad
aportan. Gracias al poder de la propiedad distributiva del producto
con respecto a la suma y resta (junto con la descomposición aditiva)
, la realización de una multiplicación puede ser un procedimiento
muy flexible (y por tanto adaptarse mejor a estilos individuales). El
resultado de un cálculo es único (convergente) pero el
procedimiento seguido puede ser bastante divergente. Una misma
multiplicación se puede hacer de muchísimas maneras diferentes ,
siendo unas más fáciles de realizar que otras. En la división se
puede distribuir el dividendo con respecto a la suma y resta
[900:5=(500+500-100):5], no ocurre lo mismo con el divisor, y podemos
realizar un reparto por partes de manera flexible, descomponiendo el
dividendo en múltiplos del divisor (a lo sumo nos quedara un único
número no múltiplo del divisor), por ejemplo, y realizando repartos
parciales más sencillos.
6.-
Es obvio que el cálculo que debe realizarse en la escuela debe
perseguir, como el resto de la Matemática, desarrollar la
argumentación y, por tanto, debe ser mayoritariamente inferencial,
estratégico, pensado, argumentado. Si no, mejor utilizar, siempre
que se pueda, la calculadora. Pero aún así, por mucha tradición
que exista, por mucha inercia, por mucho que nos cueste aceptarlo, no
es YA lo esencial en la resolución de problemas, ni siquiera en la
resolución de problemas aritméticos.
7.-
El enfoque calculatorio tradicional reduce a cálculo la mayor
parte del currículo de matemáticas en Primaria. Y es que el enfoque
calculatorio es una consecuencia casi natural de la forma más
habitual de presentar la matemática, impresa y estática, a través
de libros de texto, cuadernillos y fichas... Desde hace más de 20
años recursos digitales para la enseñanza y el aprendizaje de las
Matemáticas nos permiten no sólo corregir de manera rápida
ejercicios rutinarios sino, y sobre todo, acceder a una matemática
dinámica, interactiva, mucho más experiencial y ligada al
desarrollo de competencias científicas y tecnológicas, con modelos
dinámicos e interactivos que ilustran y profundizan, con más
eficacia para la enseñanza y el aprendizaje, en la gran variedad de
métodos y procedimientos presentes en cada uno de los bloques del
currículo de Matemáticas.
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