23 enero, 2012

Álgebra y resolución de ecuaciones en Primaria_2


En "Álgebra y resolución de ecuaciones en Primaria_1" mostré aplicaciones TICs y enfoques, desde prealgebraicos a estrictamente algebraicos, para abordar aspectos de álgebra  y de resolución de ecuaciones ( incluso sistemas)  en Educación Primaria; siempre en un contexto de resolución de problemas.



Creo, no obstante, que lo esencial del álgebra en Primaria está ligado a la correcta expresión alfanumérica de las operaciones indicadas con las que se resuelve un problema, sobre todo en los de nivel 2 (operaciones combinadas). Nuevamente la resolución de problemas aparece como eje vertebrador de las actividades más relevantes en matemáticas.

Se trata de pasar de la sospecha inteligente de la estrategia de resolución de un problema, de los heurísticos, del relato de cómo se resuelve, a su traducción al lenguaje pre-algebraico, al lenguaje matemático...

La expresión de las operaciones indicadas, en una sola línea, obliga al alumno a un esfuerzo de abstracción y simbolización, de interpretación y traducción, a la par que ofrece - como resultado final- un modelo algebraico del problema que puede ser "manipulado" teniendo en cuenta convenios ( jerarquía de las operaciones, interpretación de paréntesis...) y las propiedades de las operaciones básicas:


Precio 2 hamburguesas = Precio total - Precio de 2 refrescos.
Precio 1 hamburguesa = La mitad del precio de dos hamburguesas =
= (Precio total - Precio de 2 refrescos) : 2 --->
Precio de una hamburguesa = [6.60 - (2 x 1.10)] : 2

Aunque el paréntesis (2 x 1.10) sea innecesario, yo, personalmente, prefiero que mis alumnos/as lo pongan. Lejos de añadir complejidad, creo que facilita la comprensión al delimitar mejor un nuevo concepto o magnitud.

Los/as alumnos/as deben interpretar correctamente cada una de las "partes" de la expresión alfanumérica de las operaciones indicadas que resuelven el problema. Yo les exijo que la expresión debe ser anterior a cualquier cálculo y que han de utilizar en la misma exclusivamente datos facilitados en el enunciado del problema.

La expresión de las operaciones combinadas en una sola línea permite captar de manera ideal (globalmente) la estructura del problema, asignando significados concretos y precisos a cada una de las partes. Además, con el añadido de texto, flechas, llaves, resultados de cálculos... sobre la propia expresión, se unifican visual y gráficamente varios pasos del proceso de resolución. La mayoría de los/as niños/as saben aprovechar el conjunto gráfico final tanto para poner texto al problema como para explicar el proceso de resolución seguido...

Pero, ¿cómo llegar a dominar la relación existente entre una determinada expresión algebraica y su significado en un contexto de RP? ¿Qué pueden aportar las TIC?

He aquí algunas de las aplicaciones que he diseñado para tal fin:








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Todas estas aplicaciones, y muchísimas más, las tienes disponibles en este mismo blog, en la página fija del menú derecho titulada "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_II".

11 enero, 2012

Álgebra y resolución de ecuaciones en Primaria_1

Los/as alumnos/as de Primaria resuelven ecuaciones sencillas desde el primer curso de Primaria, si bien éstas no se presentan (en libros y otros formatos impresos) en el lenguaje algebraico habitual (en el que las cantidades desconocidas se representan mediante letras). Una ecuación (de primer grado) es una IGUALDAD en la que aparece una cantidad incógnita cuyo valor se desea averiguar.

Es evidente que una ecuación puede expresarse en los lenguajes usuales: oralmente ("¿Por cuánto hemos de multiplicar 5 para obtener 20?", ¿Qué número hay que restar a 25 para obtener 17?",...); por escrito; de forma gráfica, de forma gráfico-numérica, etc...

No cabe duda de que los/as alumnos/as de Primaria están capacitados para resolver no sólo ecuaciones de primer grado sino sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas e incluso sistemas de múltiples ecuaciones con múltiples incógnitas. La cuestión fundamental es cómo se aborda didáctica y metodológicamente este contenido. Lo deseable es llegar a dominar el lenguaje algebraico, el más universal de todos los lenguajes. Lo ineludible, pues estamos hablando de enseñanza-aprendizaje de la matemática, es el razonamiento.

En este vídeo se ilustra cómo se introduce el álgebra (con el uso tradicional de la "x") para resolver una ecuación, en un contexto de resolución de problemas, en 3º de Primaria.

 


A mí me parece un tanto artificioso, por innecesario, que una niña de 3º de Primaria emplee el procedimiento formal tradicional para eludir los denominadores en la resolución de ecuaciones, es decir, multiplicar un ente tan abstracto como lo es toda una igualdad por el denominador. Parece más natural y coherente averiguar el valor correspondiente a la mitad (10 - 4 = 6) y aplicar el concepto de doble (doble y mitad se construyen  apoyándose el uno en el otro) para averiguar el valor correspondiente a la cantidad entera. De esta forma se haría uso del razonamiento proporcional, que todo niño/a posee en mayor o menor grado, y cuyo desarrollo es esencial para lograr competencia en razonamiento numérico.

De cualquier manera, para mí, la cuestión didáctica fundamental que se puede analizar en este vídeo tiene que ver con la forma de representación. Bruner consideraba tres tipos de representación (enactiva, icónica y simbólica) y propuso que los conceptos se enseñasen siguiendo estas tres fases de forma que respondiesen de manera directa a los modos hipotéticos de representación. Dicho de otra manera, la forma en que los seres humanos se representaban mentalmente los actos, los objetos y las ideas, se podía traducir a formas de presentar los conceptos en el aula...
Tradicionalmente se ha venido utilizando, antes que la representación simbólica, la representación icónica - sobre todo el modelo gráfico de balanza/s - como forma de hacer más intuitivos, más atractivos y comprensivos - y más ajustado a las características psicológicas de los niños - los problemas algebraicos, así como para el desarrollo de la argumentación lógico-numérica y prealgebraica:





La imagen superior izquierda corresponde a un manipulable virtual que podemos encontrar en ILLUMINATIONS. La imagen superior derecha está tomada de Juan D. Godino y Vicenc Font en "Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros" La imagen de la derecha muestra una propuesta realizada por GenMagic así como una imagen correspondiente a la aplicación "Pesa Pensando_1", incluída en mi trabajo multimedia "ProblemáTICas Primaria".

Las balanzas con funcionamiento realista presentan la ventaja añadida de que, con ellas, no sólo se dota de significado al equilibrio (=) sino a los desequilibrios (> y <) o, lo que es lo mismo, permiten abordar ecuaciones e inecuaciones.

Estas imágenes ponen de manifiesto relaciones que los/as niños/as  de Primaria pueden interpretar y formular en forma de ecuaciones o igualdades. La correcta expresión de las mismas, así como del proceso de resolución, es ya una actividad prealgebraica interesante que interrelaciona expresión oral, argumentación lógica y razonamiento matemático.



Las pirámides numéricas ( en este caso el número de cada bola debe ser la suma de los números de las bolas inferiores con las que contacta) no sólo permiten trabajar de manera atractiva la suma/resta sino estrategias de resolución relacionadas con el orden de los pasos a seguir.

En una fase prealgebraica de resolución de ecuaciones o sistemas de ecuaciones los/as alumnos/as verbalizan los pasos de la resolución (que encuentran totalmente lógicos y comprensibles con el "andamiaje" gráfico) que luego se van a corresponder con los pasos tradicionales que "dicta" la teoría clásica de resolución de ecuaciones...





 Estas imágenes, tomadas por los propios alumnos/as con sus ultraportátiles, corresponden al aprovechamiento, en 6º de Primaria,  de las aplicaciones interactivas "Pesa Pensando _1" y "Pesa Pensando _2" (dependiendo del nivel da cada alumno/a) para la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones en su fase algebraica escrita (justamente en la primera sesión dedicada a ello).

 
















Los/as alumnos/as utilizan, para nombrar las incógnitas,  las iniciales de los nombres de los objetos cuyo peso quieren averiguar. De esta manera, las incógnitas representan objetos concretos y no parámetros variables.



"La utilización de representaciones icónicas permite introducir en la educación primaria un tipo de razonamiento que se puede calificar de algebraico, pre-algebraico o casi-algebraico, y que no sería posible realizar en el caso de haber optado por una representación completamente simbólica"
(Juan D. Godino y Vicenc Font en "Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros")

Algunos profesores de Secundaria están utilizando "Pesa Pensando 1" y "Pesa Pensando_2" de la misma forma que yo acabo de ilustrar para el tercer ciclo de Primaria. He aquí una nueva aplicación (especialmente diseñada para PDI) que utiliza bastantes de las imágenes de las aplicaciones aludidas, en la opción balanza fija. Permite resolver los retos propuestos, de manera pre-algebraica, realizando trazos para dibujar líneas, flechas, rodear, tachar, anotar cantidades,...




Otro contexto prealgebraico interesante es el de las relaciones numéricas usuales. Imaginemos que una niña le dice a un niño: "Entre los dos tenemos 40 euros". Si nos preguntamos por la cantidad de dinero que puede tener cada uno de ellos, pronto caemos en la cuenta de que se trata de un problema abierto, divergente, con muchas soluciones posibles...

Efectivamente, se trata de una situación abierta porque algebraicamente toma la forma de la ecuación de una recta: x + y = 40. Como sabemos, cada punto de la recta es una solución diferente. Teóricamente habría infinitas soluciones que hacen cierta la ecuación. En nuestro caso, al solucionarla con los valores concretos asociados a los diferentes billetes y monedas del euro, imponemos restricciones a la ecuación y el número de soluciones posibles es ya finito, aunque elevado si se consideran soluciones con céntimos de euro (números decimales).

Los/as alumnos/as encuentran rápidamente una primera solución, casi siempre equitativa, el par (20,20). Parece como si resolvieran la cuestión como un problema de suma (simple combinación) a partir del recuerdo de hechos numéricos básicos (20 + 20 = 40). Pronto algún alumno descubre que niño y niña no tienen que tener necesariamente la misma cantidad de dinero. A partir de ese momento, comienzan a solucionar el problema como posibles descomposiciones del número 40 en dos números naturales (22,18); (30,10); (10;30); ertc... No tardan mucho en descubrir que hay muchísimas soluciones no enteras: (19.5,20.5); (2.8,37.2); (2.75,37.25); etc...

La descomposición numérica del número 40 en dos sumandos implica asignar una cantidad, x, cualquiera (x <= 40) a uno de ellos y averiguar luego la otra cantidad, y, de manera que y = 40 - x.  Así, pues, cuando los/as niños hacen descomposición numérica están encontrando soluciones concretas de una ecuación, aunque los/as maestros/as de Primaria casi nunca seamos conscientes de ello.

A formas más complejas de expresar relaciones numéricas, corresponden problemas con ecuaciones más complicadas que no obstante los/as alumnos/as resuelven de manera prealgebraica:

En este caso, la ecuación implícita en el problema que hay que resolver , es  x + 1 = y - 1, que equivale a x - y = -2, o a y - x = 2. Dicho de otro modo, cualquier solución en que la niña tenga 2 € menos que el niño será correcta...(Incluso a algunos adultos nos sorprende que una diferencia de 2 unidades entre los elementos de dos conjuntos se convierta en igualdad cuando se pasa una unidad de un conjunto a otro y, sin embargo, eso es lo que ocurre cuando, sin ir más lejos, pedimos a un/a alumno/a que descomponga el número 10 - con 10 lápices, por ejemplo- en dos grupos pasando, cada vez, un lápiz de un grupo a otro: De (4, 6) se pasa a (5, 5) ...) 

He aquí una aplicación que provoca la necesidad de descomponer números en un contexto de resolución de problemas relacionados con formas usuales de expresar relaciones numéricas entre dos cantidades.




Las actividades de geometría han sido tradicionalmente, también, fuente de interesantes situaciones para la introducción del álgebra


Esta imagen resume un tipo de actividad que siempre propongo a los/as alumnos/as ( en 5º o en 6º de Primaria). Les pido que, con la ayuda de una trama ortométrica, encuentren todos los polígonos "recortables" (por no utilizar lo de conexos) que son composición de cuatro escuadras (mitades de cuadrado) congruentes ( misma forma y tamaño) unidas de manera que compartan lados iguales...

Obtienen, así, una colección o familia de figuras equivalentes en área ( = dos cuadrados unitarios) pero con diferentes perímetros. Se les pide que codifiquen o expresen algebraicamente el perímetro de cada una de las 14 figuras de la colección utilizando los dos valores básicos "a" y "b" correspondientes a las longitudes del lado y diagonal del cuadrado unitario, respectivamente.

Obsérvese que en la expresión del perímetro "a" y "b" son "objetos concretos" (longitudes concretas de segmentos) y que en el contexto del problema planteado no actúan como parámetros variables. A partir de la observación directa y de la constatación de la relación "a < b", se puede pedir a los/as alumnos/as que comparen, por ejemplo, los perímetros de las figuras 10 y 11 y argumenten por qué la figura 10 tiene mayor perímetro que la 11...

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Este artículo tiene su continuación  en Álgebra y resolución de ecuaciones en Primaria_2.

01 enero, 2012

Feliz año bisiesto 2012


Aquí reproduzco, de manera aproximada, una de las últimas clases de matemáticas (diciembre de 2011) con mis alumnos/as de 6º de Primaria.

(La mayéutica socrática no está reñida con el uso e integración de las TICs en clase de Matemáticas)



Yo: -¿Sabéis qué tiene de especial el nuevo año que se avecina, el 2012?
C.B. (al instante): - Que es bisiesto.

Yo: -¿Y qué significa el adjetivo bisiesto?
C.B. (de nuevo, al instante. Se esperaba la pregunta): - Que tiene un día más que un año normal.
Yo: -¿Cuántos días tiene un año, A.C?
A.C. (pensándoselo un poco): - 365.
Yo ( dirigiéndome de nuevo a A.C., que se distrae con facilidad): -¿Y un año bisiesto?
A.C. :- Pues un día más, 366.
Yo: -¿Y en qué mes se coloca este día más?
Casi toda la clase: - ¡En febrero!
Yo: -¡Vale!¿Alguien sabe decirme una definición de año?
R.Y:- Pues 365 días, o doce meses...
Yo: -¿Entonces un año bisiesto no es exactamente un año? Me refiero a una definición científica de año...
J.J. ( después de un momento de silencio de la case):- El tiempo que tarda el Sol en dar una vuelta alrededor de la Tierra.
F.J. (corrogiéndolo al instante): - ¡La Tierra alrededor del Sol!
J.J. (dándose una palmada en la cabeza, por su fallo):- ¡Ah, sí! Pero, en realidad, la Tierra tarda en dar una vuelta al Sol 365 días y cuarto. Si ponemos 365 días para un año cometemos un error de 6 horas, que es un cuarto de día. En dos años cometemos un error de 12 horas y en cuatro años un error justo de un día. Por eso cada cuatro años se añade un día al mes de febrero - que es el que menos tiene-, para compensar.
Yo: - Muy bien explicado, J.J. De esa manera se evita que las fechas astronómicas y cronológicas dejen de coincidir. Si no, podría ocurrir que el mes de enero - que sólo tiene que ver con el calendario, con la medida humana del tiempo, coincidiese, por ejemplo, con el verano (que es una estación provocada por la situación de nuestro planeta con respecto al Sol).
C.G.:¡Qué guay!¡Iría a la playa en enero!




Yo (viendo que algunos extienden sus manos con los puños cerrados): - ¿Alguien sabe un procedimiento para recordar los días de cada uno de los meses del año?
P.P: - Sí, con los nudillos de las manos. (Y explica correctamente el procedimiento).
P.D.: - Maestro, los dos meses de vacaciones, julio y Agosto, son de los que más días tienen.
Yo : - Sí, es cierto. ¿Alguien sabría decir lo que es un año marciano?
I.R.: - El tiempo que tarda el planeta Marte en dar una vuelta alrededor del Sol.
Yo : - ¡Correcto!
C.G: - ¿Y cuántos días son?
Yo : - No lo recuerdo. Lo podemos averiguar en Internet. Pero sí os puedo decir que cuanto más alejado está un planeta del Sol, más tarda en dar una vuelta alrededor de él y, por lo tanto, su año durará más días de los nuestros, días terrestres. De la misma manera, los planetas como Mercurio y Venus, que están más cerca del Sol que la Tierra, tendrán años de menos de 365 días terrestres, tambien llamados soles. Se me ocurre que luego lo averigüemos en Internet y hagamos una tabla que recoja la duración del año de cada planeta de nuestro Sistema Solar. Pero, lo que yo quiero ahora es que nos fijemos en el número 2012, sólo en el número. ¿Qué podemos afirmar de él?
P.P.:- Que es par, que es de la table del 2, ...
F.J.:- Que es de la tabla del 4, porque hemos dicho que era bisiesto.
Yo : A ver, F.J., explica eso con más precisión.
F.J.:- Que si contamos de 4 en 4 llegaríamos a 2012 porque 2012 es de la serie del 4 o de la tabla de multiplicar del 4.
Yo :- ¿Quién sabe expresarlo de otra manera?
C.B: -Que 2012 es un múltiplo de 4.
Yo : - Bien. ¿Y utilizando la palabra "divisible"?
I.R.: -Que 2012 es divisible entre 4.
Yo : - Bien. ¿Y cómo podemos estar seguros?
S.V: - Pues dividiendo entre 4.
Yo : - ¿Y ya está?
P.P.:- Dividiendo entre 4. Si da división exacta sí es múltiplo de 4. Si no, no.
Yo : - Muy bien. ¿Cómo harías tú mentalmente la división, P.C?
P.C.: - 2000 entre 4 y 12 entre 4 y luego lo sumo.
Yo : - Vale, pero escríbelo en la pizarra indicando las operaciones que vas a realizar y utilizando correctamente el signo igual.
P.C. ( escrito en la pizarra): 2012 : 4 = (2000 + 12) : 4 = 2000 : 4 + 12 : 4 = 500 + 3 = 503.
Yo : - ¿Estáis de acuerdo?
Casi toda la clase: - ¡Sí!
Yo : - P.C. ha descompuesto el dividendo de la división, el número 2012, en dos múltiplos de 4. ¿Podría haberlo descompuesto en tres o más múltiplos de 4?
Varios alumnos: - ¡Sí!
P.P.:- ¡Yo, yo, maestro!¡Yo sé varias manera diferentes!.
Yo : -Pues sal a la pizarra y exprésalas correctamente.
P.P y otros (escrito en la pizarra):
  • 2012 : 4 =(1000 + 1000 + 12) : 4 = 1000 : 4 + 1000 : 4 + 12 : 4 = 250 + 250 + 3 = 503.
  • 2012 : 4 =(1600 + 400 + 12) : 4 = 1600 : 4 + 400 : 4 + 12 : 4 = 400 + 100 + 3 = 503.
  • 2012 : 4 =(2000 + 20 - 8) : 4 = 2000 : 4 + 20 : 4 - 8 : 4 = 500 + 5 - 2 = 503.
  • 2012 : 4 =(1000 + 1000 + 20 - 8) : 4 = 1000 : 4 + 1000 : 4 + 20 : 4 - 8 : 4 = 250 + 250 + 5 - 2 = 503.
  • etc.
Yo : - A ver quién me sorprende con alguna forma más sencilla de realizar la división...
F.J(escrito en la pizarra):
  • 2012 : 4 = 1006 : 2 = 503 : 1 = 503.
Yo : - Bien, veo que se entiende. Os planteo otra cuestión. Hay múltiplos de 4 que también son múltiplos de 8 como el 8, el 16, el 24, ...¿Es 2012 un múltiplo de 8?
M.V. (rápidamente): - No, porque no podemos hacerlo dos trozos que sean múltiplos de ocho.
C.B. - Ni dos, ni tres, ni cuatro porque  no da exacto.
Yo : - Exprésalo mejor, M.V., utilizando el verbo descomponer.
M.V. (rápidamente): - Porque no lo podemos descomponer en dos múltiplos de 8...
Yo : - ¿Cuál es el resultado, M.V., de dividir 2012 entre 8?
P.P y otros :-¡Ay, está "chupao"!
M.V. (rápidamente): - La mitad de 503 ...
P.P :- 251.5.

Yo : - Expresa, M.V., un procedimiento indicado para dividir 2012 entre 8.
M.V. (se dirige a la pizarra lentamente):
  • 2012 : 8 = (1600 + 400 + 8 + 4) : 8 = 1600 : 8 + 400 : 8 + 8 : 8 + 4 : 8 = 200 + 50 + 1 + 0.5 = 251.5
Yo : - ¿Sabes tú alguna otra manera, C.G?
C.G. (se dirige a la pizarra lentamente):
  • 2012 : 8 = 1006 : 4 = 503 : 2 = (500 + 3) : 2 = 500 : 2 + 3 : 2 = 250 + 1.5 = 251.5.
Yo : - Bien, volviendo al resultado de la división 2012 entre 4. ¿Que significado tiene 503?
I.R (rápidamente): - Que 2012 es 503 veces 4.
Yo : - Vale, pero ¿qué es 503?
C.B. (un poco dubitativa): - ¿Que desde que comenzó el mundo, bueno no, el tiempo, ha habido 503 años bisiestos?
Yo : - ¿Desde que comenzó el mundo? ¿Desde que comenzó el tiempo?
P.P. (exaltada): - ¡Desde Jesucristo, maestro!

Yo : - Bien, este es ya un asunto algo complicado y lleno de historia. Sería conveniente que lo investigáramos en Internet. Podemos buscar "calendario juliano" o "calendario gregoriano" en Wikipedia. Por ahora vamos a suponer que el comienzo del año uno coincide con el año de nacimiento de Jesucristo. Como bien ha dicho C.B., ha habido 503 años bisiestos desde entonces. ¿De acuerdo? ¿Qué hubiera ocurrido si no se hubieran contado estos 503 años bisiestos?
P.R. (después de un ratito de silencio): - Habría que restar 503 días...

Yo : - Sí, pero ¿al tiempo astronómico, el de los astros, o al tiempo cronológico, el de los calendarios?
P.R.: - ¡Al de los calendarios!
Yo : - ¡Atentos, que esto es alogo lioso! El tiempo astronómico no se puede cambiar. No podemos adelantar ni retrasar la posición de nuestro planeta dando vueltas alrededor del Sol sin parar... Si no hubiésemos contado esos 503 años como bisiestos, el calendario iría 503 días por delante de la fecha actual, es decir, 503 días por delante del tiempo astronómico. Seguiríamos estando en un día fresco de finales de otoño pero habría que sumar 503 días, más de un año, al calendario, bueno, a la fecha actual, para saber la fecha que correspondería al día de hoy...
P.R.: - ¡Ya lo he entendido!
J.J.: De 365 a 400 van 35 y de 400 a 503 van 103. Por lo tanto, habría que añadir un año completo y 138 días más a la fecha actual.
Yo : - ¡Perfecto, J.J!¿Sabrías continuar tu razonamiento?
J.J.: - Añadimos un año completo y estaríamos en el mismo día de hoy, 20 de diciembre, pero de 2012...
Yo  (interrumpiendo): - Seguiría siendo finales de otoño. Sólo faltarían dos días para que comenzara el invierno. ¡Sigue!
J.J.: - Ahora habría que añadir 138 días, que son 120 + 18, cuatro meses y medio más o menos.

Yo  (interrumpiendo): - Totalmente de acuerdo. Por tanto...¡Sigue, D.H!
D.H.(estaba distraído): - Que hay que añadir cuatro meses y medio....
Yo (adivinando que sólo repite un eco) : - No estás atendiendo lo suficiente, D. Si añadimos cuatro meses y medio a la fecha actual, ¿en que fecha del calendario nos quedaríamos, D.?
C.B. y otros/as (exaltados y con las manos en alto): - ¡Yo, yo, maestro!
D.H. (moviendo los labios, tras un tiempo y después de haber oído algo): - ¿A principios de Mayo?
Yo : - Correcto, veo que tienes buen oído, aunque no estoy seguro de que hayas entendido el razonamiento que estamos haciendo. Bueno, resumiendo... Si  hubiéramos contado como años corrientes, de 365 días, desde el año 1 al 2012, hoy el calendario no marcaría el día 20 de diciembre sino un día de la primera quincena de Mayo. Por último, imaginaros que en vez de 20 de diciembre de 2012 el calendario marcara ya el día 20 de diciembre de 4024, justo el doble... ¿qué estación del año sería si se hubieran contado como años corrientes los 4024 años?
C.B. - La misma, maestro, porque el tiempo astronómico no varía. Estaríamos a finales de otoño.
Yo : -No, C., date cuenta que he dicho que el calendario marca 20 de diciembre de 4024. Si se han contado todos los años de 365 días estaríamos adelantados al tiempo astronómico, en el que un año es 365,25 días, ¿no crees?.
C.B. - Sí, ya lo entiendo. Ahora en vez de restar a la fecha actual 503 días habría que quitar el doble, 1006 días...
Yo : -Muy bien, C. ¿Por qué?
P.P (adelantándose a la respuesta de C.B): - Porque si en 2012 años hay 503 bisiestos, en el doble de años habrá el doble de años bisiestos.
C.G.(interrumpiendo):- ¡Eso es ya el futuro, maestro!
Yo : -Correcto. ¿Quién sabe hacer el cálculo mental de una manera aproximada?
P.R.: Ahora en vez de restar 1 año y 138 días habría que restar 2 años y 276 días.
J.J.: Maestro, yo sé otra manera. Es mejor quitar 3 años completos y sumar.
Yo : -¿Y sumar qué?
J.J.: Los días que van desde 276 a 365.
Yo : - Que son...
J.J.: De 276 hasta 300 van 24, más 65 son 89 días, tres meses más o menos..
Yo : - Muy bien, por lo tanto, aunque seguiríamos estando a 20 de diciembre, astronómicamente hablando estaríamos en...
F.J. ( y otros): Si quitamos tres años completos, seguimos estando a finales de diciembre. Si luego sumamos tres meses estaríamos a finales de marzo y sería primavera...

Yo (yendo hacia la pizarra): - O estaríamos muy próximos a entrar en ella... Bueno, ahora voy a anotar en la pizarra algunas actividades de investigación que váis a hacer con la ayuda de vuestros ordenadores portátiles y de Internet, para luego comentarlas en clase:
  • 1.-  Busca en Internet la duración de cada uno de los años de los planetas de nuestro sistema solar, expresados en días terrrestres. Haz una tabla, en tu cuaderno, para presentar la información.
  • 2.- Busca en Wikipedia "calendario gregoriano". Lee la información detenidamente y anota en tu cuaderno sólo las ideas que entiendas y sepas explicar, preferentemente las ideas que más tengan que ver con las matemáticas.

19 diciembre, 2011

Matemáticas y Creatividad


¡Qué gran vídeo de RSAnimate!
En RSAnimate proponen un nuevo y creativo formato para la presentación de ideas innovadoras. Lejos de utilizar sólo alguna forma concreta de transmitir la información (digamos escrita), combinan de manera interesante muchas de ellas: el lenguaje escrito, hablado y visual. El resultado es una experiencia envolvente para los sentidos, permitiendo el aprendizaje fácil de ideas complejas...

Contenido: trata sobre la obsolescencia del sistema educativo actual, nacido de la revolución industrial. El autor no podía ser otro que el gran Sir Ken Robinson ; Ken Robinson es un experto internacional en el desarrollo de la creatividad, innovación y recursos humanos. Según él las escuelas matan la creatividad. También es uno de los oradores principales del mundo con un profundo impacto en el público de todos los países. Sus vídeoconferencias en TED  han sido vistos por unos 200 millones de personas en más de 150 países.




¿Por qué un vídeo como éste en un blog que trata sobre DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS CON TIC?
Porque el "para qué" de la Educación precede al "para qué" de las Matemáticas, obviamente. Porque creo en una matemática humanista. Porque si hablo de competencias en educación no le doy el sentido y el significado que tiene la palabra competencias en el mundo de las grandes corporaciones y empresas de donde viene y hacia donde parece dirigirse, sino que aludo al grado de desarrollo de ciertas potencialidades del ser humano... También porque, mediante mis trabajos, quiero aportar mi grano de arena para ilustrar que la matemática permite desarrollar la creatividad en la escuela...

Ken Robinson dice que las escuelas matan la creatividad
Febrero de 2006


Sir Ken Robinson: ¡A iniciar la revolución del aprendizaje!
Febrero de 2010.



En la escuela es tradicional incluir acciones y tareas de creatividad en áreas vinculadas con la educación artística y con la literaria. Pocas veces se piensa que la Matemática brinda un espacio fundamental para ello...Vigotski considera que la creatividad existe potencialmente en los seres humanos, y es susceptible de ser desarrollada; es decir, que no es privativa de los genios, sino que está presente en cualquier ser humano que imagine, transforme y cree algo: "Es precisamente la actividad creadora del ser humano la que hace de él un ser proyectado hacia el futuro, un ser que crea y transforma el presente".

Si, como afirma Vigotsky, la creatividad es una capacidad innata,  parece lógico pensar que se pueda aplicar a todos los ámbitos de la actividad humana. La creatividad no es imitación porque involucra una nueva interpretación. Está en estrecha relación con el contexto y el aprendizaje. Se caracteriza por la novedad, la originalidad, el no conformismo, la creación de un orden nuevo, la formación de una nueva síntesis, la pertinencia del resultado, la eficacia de la solución o de las soluciones. La creatividad abarca los sistemas afectivos, sensorial y cognitivo.
¿Es posible hablar de tareas o procesos de enseñanza y aprendizaje creativos de las matemáticas? ¿Requiere ciertas dosis de creatividad la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas? 

He aquí algunos documentos y sitios web que tratan el tema de la enseñanza creativa de las matemáticas:
Las musas matemáticas: hacia una enseñanza creativa. Claudi Alsina Catalá. Universidad Politécnica de Catalunya.

"Enseñar creativamente significa enseñar con variaciones e innovaciones. Una lección creativa debe ser interesante, provocadora, no convencional, productiva y motivadora. Hay variaciones en técnicas de enseñar, en materiales, en actividades y en evaluacion. Hay innovaciones en los diseños de los recursos, en selecciones de actividades y en instrumentos de evaluación" 
Matemática creativa. 10 axiomas para aprender matemáticas con imaginación, disfrutándolas. David del Prado Díez. Instituto Avanzado de Creatividad Aplicada Total. Santiago de Compostela.
  • Matemática gratificante y placentera.
  • Aprendizaje vivencial.
  • Matemática como expresión múltiple de las inteligencias, no sólo la simbólica sino la gráfica, la muscular, la musical.
  • Matemática aplicada y útil.
  • Matemática diversificadora y flexible.
  • Matemáticas de genio y por genio para genios.
  • Matemática combinatoria.
  • Problemas vitales, reales o inventados.
  • Aprendizaje analógico comparativo e inventivo de la matemática.
Más cerca de la creatividad que de los números. Por Raquel San Martín.De la Redacción de LA NACION.


EL DESARROLLO DE LA CREATIVIDAD PARA EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA DESDE EL AULA Y/O ESCUELA . blog. Ensayo.
Calidad y creatividad en  Educación Matemática. C. Eloy Arteaga Valdés. Xixím: Revista electrónica de didáctica de las matemáticas, Nº. 2, 2002
“Toda educación actual, que se precie de tal, tiene que tener en cuenta la creatividad”, y es que la creatividad es uno de los más grandes y nobles principios indispensables en todo proceso o enseñanza-aprendizaje, para contribuir al desarrollo del ser humano como una unidad Bio-Psico-Social-Trascendente. Un ingrediente importante en la creatividad es el razonamiento divergente que se caracteriza por la producción de una gran variedad de soluciones alternativas, totalmente factibles.
Cultiva en el alumno el razonamiento divergente, es habituarlo a tener un pensamiento, reflexivo, crítico, analítico, que no límite por expectativas sino que se distinga por su originalidad.

"Hacer matemáticas va más allá de las cuentas. Es imaginar, hacer conjeturas, discutir, poner a prueba lo que uno supone y validarlo, construir entre todos un conocimiento"

"La matemática enseña a incorporar formas de pensar, más allá de contenidos puntuales. Es básica para el pensamiento, está muy conectada con la creación artística y en ella la creatividad es un elemento dominante".

"Lo que se enseña se parece más a un conjunto de técnicas para resolver ejercicios, reglas y procedimientos que se apoyan en la autoridad del docente"... "...la postura recomendable es que el proceso de aprendizaje se desencadene a partir de un problema, matemático o no, con muchas soluciones posibles, que suponga inventar. Hay que aprender técnicas y procedimientos, pero se adquieren con un sentido".



Expertos: Occidente fomenta creatividad en Matemáticas y Asia los resultados. Noticia de la Agencia EFE. (23/10/2009)




"Estados Unidos y Europa destacan y fomentan la creatividad en la educación de las matemática, mientras que Asia destaca por lo disciplinado de su método y el énfasis que pone en los resultados, según han puesto de manifiesto expertos sobre educación matemática en Valencia."

" Es imposible mejorar la calidad de la Educación Matemática, desarrollar el pensamiento matemático de los alumnos en la resolución de problemas y otras actividades al margen de la creatividad..."

16 diciembre, 2011

Nuevas Tecnologías: mitos, promesas y realidades







Cada uno/a de nosotros/as construimos o atribuimos, diariamente, de manera consciente o inconsciente una serie de cualidades, propiedades, desventajas o beneficios que nos posicionan de determinada manera frente a las nuevas tecnologías. (Roberto Aparici)


Jesus .A. Beltrán Llera
  • Catedrático de Psicología Evolutiva y de la Educación de la Universidad Complutense de Madrid
  • Director del Departamento de Psicología Evolutiva y de la Educación de la Facultad de Educación de la Universidad Complutense de Madrid.
  • Miembro del comité de redacción de numerosas revistas y editoriales como Revista Española de Pedagogía, Revista Española de Psicología General y Aplicada, Revista de Educación del Ministerio de Educación y Ciencia, Revista Bordón, Consultor de la Editorial Erlbaum. Hillsdale ( U.S.A.).
  • Miembro del Comité de evaluación del Ministerio para la evaluación del profesorado.
  • Miembro de la Agencia Nacional de Evaluación del Ministerio de Educación y Ciencia.
  • Presidente de los dos primeros Congresos Internacionales de Psicología y Educación que se han celebrado en España.
  • Presidente de la Asociación Española de Psicología, Educación y Psicopedagogía.
  • Ha publicado más de 40 libros y 150 artículos relacionados con la Psicología de la Educación y el Aprendizaje.
(Nota biográfica extraída de reddigital.cnice.mec.es)

Me parece excelente el análisis que realiza Jesús A. Beltrán sobre los mitos, promesas y realidades asociados con las Nevas Tecnologías en este documento:




La nueva pedagogía a través de Internet










14 diciembre, 2011

Razonamiento proporcional y multiplicación

Observemos la siguiente imagen:


¿De cuántas maneras diferentes podríamos averiguar el número de pelotas correspondiente a 9 cajas iguales?

Se nos ocurre que podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 8 cajas (96) y 1 caja (12), y sumarlos. También podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 6 cajas (72) y 3 cajas (36), y sumarlos. Otra forma de llegar al resultado correcto sería aprovechar los resultados correspondientes a 7 cajas (84 pelotas) y 2 cajas (24 pelotas) y sumar 84 más 24. Y muchas otras formas más...

¿Cómo habrían resuelto los antiguos egipcios esta situación?

Dado que los antiguos egipcios sólo sabían duplicar o doblar (multiplicar por 2), habrían realizado una tabla análoga a la de la izquierda y  aprovechado los resultados correspondientes a 8 cajas (96 pelotas) y 1 caja (12 pelotas) que, sumados, dan 108 pelotas.

De manera análoga, para calcular el número de pelotas correspondientes a 11 cajas iguales, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 2 y 1 cajas, sumando 96 + 24 + 12.

Para calcular el número de pelotas correspondientes a 14 cajas, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 4 y 2 cajas, sumando 96 + 48 + 24...



Como se puede apreciar, el método de multiplicación egipcio es muy productivo, en el sentido de que a partir de unos cuantos resultados sencillos, por combinación, se obtienen muchos otros resultados... Por otra parte, este método no es nada mecánico, se apoya en una estrategia fundamental del cálculo, la duplicación, en el razonamiento proporcional (a doble número de cajas corresponde doble número de pelotas) y podemos darle una interpretación perfectamente formal haciendo uso de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
Así, 14 x 12 = (8 + 4 + 2) x 12 = 8 x 12 + 4 x 12 + 2 x 12 = 96 + 48 + 24 = 132.

En definitiva, el método egipcio propone una multiplicación "por partes" haciendo uso de números - no cifras- y basada en la propiedad distributiva (una estrategia fundamental en la resolución de problemas consiste en dividir el problema dado en  partes más manejables).

¿Y si consideramos una adaptación del método egipcio al siglo XXI, haciendo una mejora de sus potencialidades?

Imaginemos que un/a niño/a domina los hechos numéricos que se reogen en la tabla de la izquierda. Es obvio que, a partir de ellos, podría obtener un buen número de nuevos resultados. Así, por ejemplo, podría calcular el número de pelotas que hay en 39 cajas iguales aprovechando los resultados correspondientes a 40 cajas y 1 caja realizando la resta 480 - 12 = 470 - 2 = 468.

Podría calcular el número de pelotas correspondientes a 78 cajas así: 480 + 360 + 120 - 24 = 500 + 340 + 100 - 4 = 940 - 4 = 936. Quizá resulte más fácil de esta otra manera: 480 + 480 - 24 = (500 - 20) + (500 - 20) - 24 = (1000 - 40) - 24 = 1000 - 64 = 936.

Estos últimos ejemplos ilustran una variación del método egipcio que pone mayor énfasis en los aspectos de proporcionalidad numérica inherentes al conocimiento y dominio del sistema numeración decimal (Si 10 x 62 = 620 ---> 20 x 62 = 1240...) y en el aprovechamiento de los "números redondos" (acabados en ceros). Nótese, además, que este método de multiplicación se basa en el cálculo pensado con números - no en un cálculo mecánico con cifras como el algoritmo tradicional de la multiplicación -; es flexible - permite llegar al mismo resultado utilizando estrategias y/o secuencias de cálculo diferentes-, más o menos largos según el grado de competencia en cálculo pensado con que cuente cada alumno/a (atención a la diversidad). Además, hace el cálculo más atractivo.

Podría argumentarse que la multiplicación 12 x 47, mediante el algoritmo tradicional, es más fácil puesto que sólo requiere conocer las tablas de multiplicar ( las del 1 y las del 2 para este caso concreto) y la mecánica del algoritmo... ¡Totalmente de acuerdo con este argumento! Pero...

...es que se trata de enseñar y aprender Matemáticas plenas de significados, de desarrollar competencias matemáticas...Si algo hay ineludible en esta área curricular es el razonamiento. Todo/a niño/a tiene cierto grado de razonamiento proporcional que hay que fomentar. Tanto la construcción de tablas de multiplicar -que son tablas de proporcionalidad- como el método utilizado para realizar multiplicaciones se deben basar en el desarrollo de este tipo de razonamiento, fundamental en la adquisición de competencias matemáticas en Primaria ya que prepara el camino a nociones matemáticas valiosas. Sería deseable que un/a alumno/a de tercer ciclo de Primaria supiera calcular mentalmente, por ejemplo, el 15% de 840 € utilizando el razonamiento proporcional más o menos así : El 15% de 840 = 10% de 840 + 5% de 840 = la décima parte de 840 + la mitad de la décima parte de 840 = 84 + 42 = 126.



La imagen de arriba muestra una división propuesta por mí, al azar, y realizada por una alumna de 5º de Primaria. Obsérvese el uso que hizo esta niña del razonamiento proporcional en la realización de la misma: Si 2 x 57 = 114 entonces 0,20 x 57 = 11, 4. Si 0,20 x 57 = 11, 4 entonces 0,02 x 57 = 1,14.

Se podría argumentar que el desarrollo de competencias matemáticas también contempla rutinas, tareas a nivel de la simple alfabetización, como podrían ser los algoritmos tradicionales de las operaciones básicas. Pero es que si estos algoritmos tradicionales cumplían perfectamente su papel alfabetizador en el siglo XIX y en buena parte del siglo XX, actualmente ya no la cumplen. Estamos inmersos en una sociedad tecnológica en la que la mayor parte de los cálculos son instrumentales (cajas registradoras, calculadoras, computadoras,...). Esto implica repensar el papel del cálculo y la numeración que se imparten en la escuela. De acuerdo con unos principios claros para la mejora de la educación matemática, deben servir para el desarrollo de competencias matemáticas.

Las siguientes aplicaciones, incluídas en ¡ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE!, permiten construir tablas de proporcionalidad sencillas - que incluyen como caso particular las tablas de multiplicar- así como la utilización de formatos interactivos que tutorizan la práctica de la multiplicación basada en el cálculo pensado con números, de manera flexible y haciendo uso del razonamiento proporcional:



Dado que el método para multiplicar por el que se apuesta aquí en cierta forma rescata y mejora el método de multiplicación egipcia, parece conveniente ilustrar éste último mediante un vídeo: