ÁBACOS. Estrategias para la numeración.

Números. Hasta un millón. Hasta mil millones.

ARQUIGEOM. Juego educativo de arquitectura virtual.

ArquiGeom. Juego de arquitectura virtual. Didactmaticprimaria.net

Modelo de barras interactivo.

En su blog "Más ideas, menos cuentas", Pedro Ramos ha escrito un excelente post sobre "Prueba final de primaria de Singapur ", en la que presenta  los numerosos items de la prueba, los comenta y reflexiona acertadamente sobre los mismos.

Me ha parecido adecuado encabezar este post a partir de un comentario suyo, que reproduzco literalmente:

"Un detalle que me parece muy interesante es la profundidad con la que tratan la aritmética, con problemas como el 15. Aquí son inimaginables antes de llegar al álgebra, y creo que es un error. Como ya he comentado alguna vez, me parece que tratar problemas como estos sin herramientas algebraicas es muy importante para profundizar en la comprensión de la aritmética, y para desarrollar estrategias de resolución de problemas. La herramienta que aquí echamos de menos para resolver estos problemas es su famoso modelo de barras"

Pues bien, aquí está el problema número 15 :

Es obvio que problemas aritméticos como éste se identifican con los clásicos problemas que se resuelven algebraicamente y a los que se les dedica un tiempo considerable en Educación Secundaria. Éste, en concreto, se traduce algebraicamente en un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

También es obvio que problemas como éste se proponen porque se adecuan al modelo de barras tan característico del método Singapur. No todo problema aritmético se traduce fácilmente a un gráfico de barras ni es ésta siempre la mejor o única representación para facilitar la resolución de un problema aritmético.

Así, por ejemplo, encuentro el modelo de barras muy potente en la estructura aditiva ya que cualquier problema (de cambio, combinación, comparación o igualación, según la estructura semántica) puede ser reducido en la mente de los/as niños/as a un problema con tres barras (total y dos partes) integrando en un sólo tipo de esquema los esquemas de alto orden o superesquemas "parte-todo", de "transferencia" y de "más menos que" propuestos en la teoría de Kintsch y Greeno (1985) para problemas de combinación, cambio y comparación, respectivamente... 

En la estructura multiplicativa ya el modelo de barras es meno adecuado, sobre todo cuando algún factor es relativamente grande...Resulta, en cambio, casi insoslayable en problemas de fracciones y porcentajes porque facilita enormemente la comprensión. Por otra parte, traducen gráficamente bien una buena cantidad de problemas aritméticos que algebraicamente se corresponden con ecuaciones de primer grado, sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, ecuaciones de la recta,...

Pero es prácticamente imposible realizar un único modelo interactivo que se adecue a las diferentes tipologías de problemas aritméticos sin que pierda eficacia, agilidad o sencillez...

La imagen anterior muestra el problema modelado utilizando el modelo interactivo incorporado en las aplicaciones que presento a continuación. Nótese que el sistema de ecuaciones invita a su resolución por "sustitución". De manera análoga, en el modelo con barras se ha de sustituir cada barra roja (X) por  barra azul (y) + 0.8, de tal manera que podríamos afirmar que 8 barras azules + 3 x 0.8 es igual a 7.2. A partir de aquí es fácil resolver el problema.

Se trata de un modelo interactivo tremendamente ágil y muy sencillo de utilizar. A pesar de ello, las aplicaciones disponen de un tutorial interactivo para aprender el uso del modelo. He eludido en él el tratamiento de problemas de fracciones y porcentajes porque dispongo de otros modelos interactivos y asistidos más adecuados. En la aplicación para tercer ciclo de Primaria el modelo puede mostrar todos sus elementos y potencial. Para la aplicación dirigida al segundo ciclo de Primaria se utiliza el mismo modelo, pero simplificado.

Pero la utilización del modelo de barras, conlleva profundas reflexiones didácticas:

"Al disponerlos gráficamente, los datos conocidos y desconocidos se organizan de relativamente pocas formas diferentes, lo que facilita al alumno la identificación de la operación que corresponde a cada una de ellas" 

Urbano Ruiz S.,  Fernández Bravo  J.A., Fernández Palop M. P. ;  Universidad Camilo José Cela, España. "El modelo de barras: una estrategia para resolver problemas de enunciado en Primaria". 

Opino que siempre que esto ocurra, siempre que el modelo facilite al alumno la identificación de la operación a realizar,  la utilización del modelo será adecuada.

• ¿Ocurre esto siempre que se puede utilizar el modelo de barras? 
• ¿Ocurre esto en el modelado con barras del problema 15?

Por otra parte, no cabe duda de que saber realizar el modelo, en sí mismo, implica unos saberes, unas subcompetencias matemáticas ligadas a la comprensión, a la traducción de representaciones, etc. De hecho, nos vamos a encontrar mayores dificultades en la construcción del modelo adecuado a cada problema que en la interpretación correcta de modelos ya realizados. Por lo tanto, la modelización requiere una instrucción específica.

Por otra parte, creo que es indisociable la interacción mutua entre la representación lingüística y la representación figurativa. La práctica totalidad de los/as alumnos/as que saben realizar el modelo adecuado para un problema (en los casos menos complejos) es porque tienen la capacidad de previsualizarlo y, por lo general, de expresar lingüísticamente (prealgebraicamente) las relaciones entre los datos y la/s incógnita/as así como la capacidad para resolverlo una vez realizado...Por el contrario, difícilmente va a realizar correctamente el modelo un/a alumno/a que previamente no lo haya previsualizado o que no sepa verbalizar o subverbalizar lingüísticamente las relaciones aludidas entre los datos y la incógnita...

Otra cuestión interesante para el análisis que se pone de manifiesto en la práctica escolar es que el modelo de barras se basa en el establecimiento de relaciones entre las longitudes de las barras y el etiquetado de las mismas. Como, a priori, no se conocen los valores de las incógnitas, las barras utilizadas van a tener unas longitudes arbitrarias. Aunque el modelado del problema puede ser correcto sin que las barras guarden longitudes proporcionales a sus valores, se establecen con frecuencia relaciones incorrectas basadas en lo estrictamente figurativo del esquema que se está realizando.

Es obvio que este tipo de problemas podría tener otras representaciones figurativas alternativas:

Representación figurativa del problema número 15.

Representación figurativa del problema de las chucherías, portada de la aplicación 3º Ciclo.

Equivalencias entre modelos gráficos en la resolución de problemas aritméticos. El modelo de barras.

Esta aplicación pretende poner de manifiesto la utilidad del "MODELO DE BARRAS" (Método Singapur) como estrategia heurística para la modelización de problemas aritméticos. 

Los gráficos estáticos que se ofrecen - y que en su mayoría se corresponden con problemas aritméticos no verbalizados- pueden ser utilizados por los docentes como instrumento de aprendizaje del "MODELO DE BARRAS"  a la par que se trabaja la equivalencia entre representaciones gráficas. Por ello no se dan las soluciones. Se pretende que sean los/as alumnos/as quienes pongan enunciado a la situación representada y, a su vez, expresen las relaciones, los argumentos y razonamientos que lleven a determinar cuantitativamente las variables que aparecen (con lo cual se resuelve el problema representado).

Pero esta aplicación es, sin duda, un instrumento para la formación del profesorado. Ilustra la manera en que el "MODELO DE BARRAS"  es adecuado para la modelización de problemas aritméticos que algebraicamente se corresponden con ecuaciones de primer grado, con sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y con ecuaciones de la recta. NO HAY MODELIZACIÓN MATEMÁTICA SI NO SE REPRESENTA O EXPRESA UNA ECUACIÓN, UNA INECUACIÓN, UN SISTEMA DE ECUACIONES,... No he pretendido ser exhaustivo. Creo que es más que suficiente para ver su utilidad.

No cabe duda, como se puede apreciar en la aplicación, que permite representar perfectamente, y con relativa sencillez, las relaciones numéricas implicadas en cada uno de los ejemplos-problema, y que puede hacerse corresponder con el modelo "BALANZA/S EQUILIBRADA/S" (muy utilizado en DidactmaTICprimaria ) , que podría presentarse de manera más esquemática con barras en cada platillo...

Conviene tener en cuenta el sentido de esta aplicación en la enseñanza/aprendizaje de la utilización del modelo de barras. Lo que aquí se propone es la correcta interpretación del modelo ya realizado. EN OTRO NIVEL DE MAYOR DIFICULTAD SE SITÚA LA REALIZACIÓN DEL MODELO GRÁFICO, DESDE CERO, POR PARTE DE LOS/AS ALUMNOS/AS PARA MODELIZAR Y RESOLVER UN PROBLEMA ARITMÉTICO. 

En los dos post anteriores ya he presentado variantes interactivas del modelo de barras, pero estoy trabajando en un modelo interactivo lo más general y sencillo posible... sobre todo, una vez constatada la insuficiencia de los materiales impresos que desarrollan este modelo. Hay buenas versiones digitales  del modelo de barras. No obstante, las más generales me parecen complejas y las más simples no demasiado ágiles:

No cabe duda del potencial del  'modelo de barras' para la modelización de problemas aritméticos. Aunque esta modelización (representación gráfica) es ya una actividad matemática relevante en sí misma, el profesorado debe asegurarse de que la utilización del modelo favorezca, en los/as alumnos/as, la determinación de las operaciones que intervienen en la resolución del problema.

Post relacionados con éste:

• Álgebra y resolución de ecuaciones en Primaria_1
• Álgebra y resolución de ecuaciones en Primaria_2
• Modelo interactivo partes-todo sobre recta numérica. Resolución de problemas aritméticos.
• El modelo de barras en el Cálculo y en la Resolución de PAEV

Modelo interactivo partes-todo sobre recta numérica. Resolución de problemas aritméticos.

Con esta aplicación se trabaja la representación-modelización de problemas de RELACIONES NUMÉRICAS ENTRE TRES O CUATRO CANTIDADES (doble/mitad, triple/tercio, más/menos...). Para ello se utilizan tanto el modelo "part-part-whole" como el modelo "part-part-part-whole" correspondientes al MODELO DE BARRAS utilizados por el método Singapur de Matemáticas, pero en versión interactiva (barras de longitud variable).

El modelo de barras interactivas se combina, aquí, a su vez, con UNA RECTA NUMÉRICA INTERACTIVA que permite mostrar diferentes números de partes unitarias (<=30) y asignar un valor a cada parte unitaria(<=30)

El problema propuesto se resuelve cuando se ajustan correctamente las variables del gráfico interactivo que representa o modeliza la situación y cuando, además, se asignan correctamente los valores numéricos correspondientes a las tres variables que siempre intervienen en los problemas propuestos: <km recorridos ayer>, <km recorridos hoy> y <km recorridos entre los dos días>. (Todo ello en los niveles 1,2,3,4 y 5)

En el nivel 6 aparecen siempre 4 variables: <Cantidad de dinero que tiene Ana>, <Cantidad de dinero que tiene Benito>, <Cantidad de dinero que tiene Carla> y <Cantidad de dinero que tienen entre los tres>.

El ajuste correcto del gráfico exige, en cada caso, tener en cuenta la relación entre las cantidades correspondientes a <ayer> y las correspondientes a <hoy>, por ejemplo; que esa relación o proporción la guarden las respectivas barras de color que representan sendos conceptos. Pero, además, con un número de marcas concreto ha de alcanzarse un valor numérico concreto, lo que obliga al ajuste relativo tanto del número total de marcas asignadas al gráfico como del valor correspondiente a cada división de la recta numérica. Ello obliga al dominio de las tablas de multiplicar o, si se prefiere, de las series aritméticas comenzando en cero.

Como se puede apreciar, los/as alumnos/as tienen que tener en cuenta varias variables numéricas después de haber entendido perfectamente el texto. No les resulta una actividad fácil...

Para hacer la aplicación apropiada a partir del 2º ciclo de Educación Primaria, se han implementado seis niveles o grados de dificultad correspondientes a seis tipologías de problemas propuestos. Pero, además, cada tipología se diversifica en varias subtipologías elegidas aleatoriamente. A su vez, cada subtipología elige cantidades aleatorias dentro de unos rangos numéricos preestablecidos. De esta manera se logra implementar 29 subtipologías de problemas diferentes, cada una de ellas con cantidades aleatorias.

Geometría 3D. Construcciones policúbicas. Codificación y determinación.

Ofrezco aquí esta versión mejorada de mi aplicación "codifica_policubos", para ilustrar lo que entiendo por "MANIPULACIÓN AUMENTADA".

En entradas anteriores (Manipulativos físicos y virtuales en la enseñanza aprendizaje de la matemática, por ejemplo) ya he tratado sobre este concepto o atributo. Se trata de una variable técnico-didáctica esencial en el diseño y desarrollo de una gran parte de mis aplicaciones y de una característica diferenciadora de las mismas estrechamente relacionada con la manipulación libre y el aprendizaje por descubrimiento.

En las diferentes escenas que integran esta aplicación, se relacionan de manera interactiva construcciones policúbicas con sus correspondientes códigos, de dos tipos: código gráfico, por capas, en el que cada cubo de una determinada capa se representa con un cuadrado; y código numérico, en el que cada número representa la cantidad de cubos apilados sobre una misma base cuadrada...

Dada una determinada construcción policúbica, resulta tremendamente fácil transformarla en otras diferentes. La aplicación muestra, al instante, la variación en el código (gráfico o numérico) cuando se mueve un cubo de lugar, o cuando se añade o quita un cubo a la construcción policúbica... Esta inmediatez interactiva a la hora de registrar y mostrar los cambios producidos no es simplemente un elemento interactivo de carácter estético o motivacional, sino un elemento clave en la comprensión de los procedimientos, métodos y conceptos que se tratan... 

Si bien la "MANIPULACIÓN AUMENTADA" se puede lograr casi específicamente con el uso de aplicaciones digitales y multimedia adecuadas (que integren las fases manipulativa, gráfica y simbólica), son pocas las aplicaciones de este tipo que se orientan hacia el desarrollo de procesos, métodos y actitudes; y menos, aún, las que potencian en su diseño e interfaz esta potente variable al servicio del aprendizaje por descubrimiento. Al respecto, estoy preparando un documento interactivo que permita hacer, con la máxima objetividad, una clasificación y comparativativa de diferentes proyectos digitales para Matemáticas_Primaria.

Precisamente sobre características relacionadas con la integración de diferentes conocimientos (sobre la disciplina - matemáticas-, tecnológicos y pedagógicos) en los proyectos digitales multimedia para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en Primaria, y sobre todo sobre la manipulación con manipulativos virtuales, ilustrando cada afirmación, tratará el minicurso que impartiré en el VIII CIBEM Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, que se celebrará en Madrid  del 10 al 14 de julio de 2017.

Acceso a las actas del VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática realizado en Montevideo (Uruguay), en setiembre de 2013.

Cálculo estratégico de áreas.

En algunas comunidades autónomas del estado español (Comunitat Valenciana, por ejemplo) aparece como contenido de 2º Ciclo (en 4º concretamente) la determinación y cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos utilizando unidades no convencionales.

No es el caso de Andalucía,  a pesar de que sí que aparecen contenidos relativos a perímetros de figuras, ángulos,... en el 2º ciclo de Primaria. En Andalucía, contenidos y procedimientos relativos a la cantidad de superficie que ocupa una figura (un atributo visible y cuantificable de la misma) no aparece de manera explícita hasta el 3º ciclo de Primaria…

No obstante, en primer ciclo (Andalucía)  ya aparecen contenidos tales como:

• Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por composición y descomposición.
• Búsqueda de elementos de regularidad en figuras y cuerpos a partir de la manipulación de objetos.

En segundo ciclo (Andalucía) se contemplan investigaciones sencillas, que pueden estar relacionadas con la geometría y la medida, se explicitan criterios para el perímetro tales como:

• MAT.2.12.1. Comprende el método de cálculo del perímetro de cuadrados, rectángulos,triángulos, trapecios y rombos. (CMCT).
• MAT.2.12.2. Calcula el perímetro de cuadrados, rectángulos, triángulos, trapecios y rombos, en situaciones de la vida cotidiana. (CMCT)

También se “agrupan” en un mismo nivel de dificultad longitud, masa y capacidad, por la regularidad (de 10 en 10) que presentan sus unidades en el SMD y quizá, también, por el peso de la tradición escolar que pone el énfasis en reducir los atributos geométricos a su cuantificación y expresión en diferentes unidades y trabajar las equivalencias de unidades más que las propias estrategias de determinación y cálculo.

En 3º ciclo (Andalucía) ya aparecen contenidos tales como:

• 3.1. Unidades del Sistema Métrico Decimal de longitud, capacidad, masa, superficie y volumen.
• 3.7. Desarrollo de estrategias para medir figuras de manera exacta y aproximada.
• 3.11. Comparación de superficies de figuras planas por superposición, descomposición y medición.
• 3.12. Sumar y restar medidas de longitud, capacidad, masa, superficie y volumen.
• 4.10. Perímetro y área. Cálculo de perímetros y áreas.

Si presento esta aplicación como adecuada "a partir de 4º" es debido a mi experiencia en el aula. Los/as alumnos/as de este nivel comprenden (más con aplicaciones de geometría dinámica como ésta) estrategias, basadas en la composición y descomposición de figuras y en la reagrupación de sus partes haciendo uso de traslaciones traslación y giros; comprenden sencillas relaciones de reunión o multiplicidad en las figuras que pueden aplicar a la determinación de la cantidad de superficie (área) de éstas y su expresión en unidades no convencionales.

La aplicación presenta diferentes colecciones de figuras que pueden ser aprovechadas de múltiples formas, tanto de manera individual como grupal y colectiva, y/o que pueden servir de estímulo para otras tareas no propuestas en la misma:

Elegir una figura y explicar (oralmente y/o por escrito) el procedimiento seguido para expresar su área (cantidad de superficie) en unidades no convencionales.

Formar familias de figuras de igual área atendiendo a diferentes criterios ( con 4 escuadras, con 8 escuadras, con 9 triangulos equiláteros idénticos, ...

Geoplano "constructor" de nueve puntos.

Multiplicación y división. Algoritmos estándar.

Tal y como prometí en el post "De las estrategias propias a los algoritmos estándar", ofrezco aquí las aplicaciones interactivas que permiten aprender y practicar, gradualmente, los algoritmos estándar de la multiplicación y la división.

Trazado de polígonos regulares en Primaria.

Esta aplicación es el núcleo de los aprendizajes conceptuales y procedimentales necesarios para llevar a cabo la UDI "Trazamos un polígono regular de gran tamaño en el patio del colegio" que, en breve, voy a  desarrollar con mis alumnos/as de 4º de Primaria.

En ella se interrelacionan de manera productiva contenidos aritméticos (divisores de 360), geométricos (circunferencia, círculo, arco, cuerda, radio, diámetro, sector circular, segmento circular, ángulo central,...) y de medida (medida directa de segmentos, medida directa y determinación razonada de amplitudes angulares,..) haciéndolos extremadamente intuitivos. Se persigue ilustrar, favorecer la comprensión y aplicación de un sencillo procedimiento para dividir, con la ayuda del semicírculo - o círculo- graduado, la circunferencia en arcos iguales de un valor que sea divisor de 360º. A partir de arcos iguales se obtienen cuerdas iguales que son los lados de polígonos regulares...

No voy a descubrir aquí la importancia de los polígonos regulares como formas básicas especialmente armoniosas presentes en numerosísimos ámbitos del quehacer humano.

La aplicación tiene un marcado carácter utilitario y competencial. Lo aprendido se transfiere fácilmente al cuaderno personal...Pero interesa, de manera especial, que los/as alumnos/as capten la esencia del procedimiento de manera que sepan transferirlo a una situación "más extraña" (patio del colegio) en la que no contamos con semicírculos graduados gigantes, ni con reglas (graduadas o no) de tamaño gigante...Es por ello que resulta especialmente adecuado aprovechar y aplicar lo aprendido para reflexionar de manera colectiva y pormenorizada sobre todos los detalles que permitan llevar a cabo la tarea de trazar un polígono regular de gran tamaño en el patio del colegio: torbellino de ideas, discusión de procedimientos alternativos, materiales necesarios, fases, reparto de tareas, supervisores, registro en imágenes de lo realizado, presentación-exposición final, ...

Multigeoplano. Clases de triángulos y cuadriláteros.Percepción analítica.

En los geoplanos analógicos (y en la mayoría de los virtuales) los puntos de anclaje, que son vértices de los polígonos  que podemos formar, son fijos. En un geoplano ortométrico no se puede conseguir un triángulo equilátero. En un geoplano isométrico  no se puede conseguir un cuadrado…¿Y si se diseña un geoplano con puntos de anclaje variables de tal modo que permita obtener, entre muchos otros polígonos, todos los tipos de triángulos y cuadriláteros?

He denominado multigeoplano a esta aplicación en la que se pueden utilizar, a lo sumo, cuatro círculos desplazables de igual radio. Al desplazar los círculos, se muestran los puntos de intersección de sus correspondientes circunferencias (12 puntos como máximo), que serán potenciales vértices de polígonos. A ellos se pueden añadir los puntos que son centro de cada uno de los círculos.

El desplazamiento de los círculos se puede realizar de manera libre (a cualquier posición del plano)  o ajustando las posiciones de sus respectivos centros a posiciones discretas del plano gracias a la posibilidad de atracción a los vértices de una cuadrícula. Esto permite ajustar las posiciones relativas de dos círculos cualesquiera con la precisión deseada para que sean tangentes o bien secantes y, si se desea, obtener una disposición de puntos simétrica con respecto a alguno de los ejes de coordenadas… De esta manera se obtienen numerosas configuraciones diferentes de puntos de indudable interés para servir de soporte a razonamientos geométricos al alcance de alumnos del segundo y tercer ciclo de Primaria. Así, por ejemplo, se puede obtener el frecuentemente utilizado geoplano ortométrico de 3x3 puntos. Por otra parte, se pueden obtener triángulos y cuadriláteros de cualquier tipo…

Como es habitual en los materiales didácticos de DIDACTMATICPRIMARIA, se ofrece la opción de manipulación libre  así como un buen número de retos de búsqueda de polígonos que cumplan unas determinadas condiciones… Siguiendo el criterio didáctico de los que en su día denominé “geoplanos inteligentes” y “geofraccionadores”, la manipulación libre es una MANIPULACIÓN AUMENTADA dado que, de manera interactiva, se  informa de la clase de polígono obtenido así como de su área (tomando como unidad de superficie la de un cuadrado de la cuadrícula).

La semitransparencia de los diferentes polígonos obtenidos en una misma pantalla así como el que éstos sean desplazables permite compararlos entre sí por superposición. También permiten dejar ver la cuadrícula para comparar-cuantificar su área en relación con la unidad cuadrada. Las circunferencias ayudan a percibir simetrías y distancias iguales o diferentes entre puntos...Además se pueden medir con precisión distancias y longitudes con cualquier orientación mediante la regla graduada... Todos estos son aspectos de indudable interés didáctico para ayudar a descubrir relaciones geométricas. Así, por ejemplo, los puntos de intersección y centros de dos circunferencias secantes siempre son los vértices de un rombo...

Aún incidiendo de lleno (y de manera no rutinaria) en la CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS lo que se pretende fundamentalmente con esta aplicación es el desarrollo de LA PERCEPCIÓN ANALÍTICA del alumnado. En este sentido hay que tener en cuenta que famosos programas de enriquecimiento instrumental (como el PEI de Feuerstein, diseñado sobre la teoría de la modificabilidad estructural cognitiva y destinado al desarrollo de la inteligencia) contaban con instrumentos para trabajar la Organización de Puntos, la Percepción Analítica y la Orientación Espacial.

Por otra parte, la actividad que aquí se propone y promueve es tan antigua como el ser humano. Desde los albores del nacimiento del ser humano éste ha mirado el firmamento de noche y las estrellas (puntos) le han servido de estímulo para su inteligencia, creatividad y fantasía al componer y visualizar mentalmente  figuras obtenidas uniendo puntos (estrellas)…

Ruedas giratorias. Descubriendo patrones.

Hexágono regular modular. Investigación geométrico-numérica.

Ya en otras ocasiones he tratado sobre "Los polígonos modulares en la enseñanza-aprendizaje de la Geometría en Primaria". Para el hexágono regular modular en concreto, en el documento, en .pdf, "Uso creativo de la escuadra y cartabón" se ilustran otras posibilidades diferentes a las que se implementan con esta aplicación.

Por otra parte, ya he tratado anteriormente sobre los que yo denomino "geofraccionadores" y "pizarras geométricas". Varios modelos de geofraccionadores los incluyo en "Kit internivelar para la enseñanza-aprendizaje de fracciones, decimales y porcentajes"...

"Hexágono regular modular" es una aplicación dedicada al favicon de este blog, que no es sino un hexágono regular formado por 36 módulos congruentes que son "cartabones" (triángulos rectángulos escalenos de ángulos 30º, 60º y 90º). He querido ofrecer aquí modelos interactivos del mismo desde dos perspectivas diferentes: utilizándolo como pizarra geométrica (en este caso las figuras se obtienen coloreando números enteros de módulos) y como geoplano (las figuras se obtienen pulsando ordenadamente sobre los puntos sensibles que son vértices o nodos de la malla triangular correspondiente).

Dado que el  Planteamiento de pequeñas investigaciones en contextos numéricos, geométricos y funcionales, valorando su utilidad en las predicciones... es un contenido que se repite en todos los ciclos de Primaria, he enfocado el diseño de "Hexágono regular modular" de manera que ofrezca un gran potencial didáctico, para favorecer que los/as alumnos/as investiguen, para facilitarles que descubran y creen...

Lo he experimentado con mis alumnos/as de 4º de Primaria y, sencillamente, les encanta. Han realizado todos los retos propuestos sobre división de figuras en partes congruentes, han diseñado una buena cantidad de rompecabezas hexagonales,...y se han divertido buscando todos los tamaños de rectángulos posibles...

No es difícil constatar algunas características esenciales presentes en la práctica totalidad de las aplicaciones de DIDACTMATICPRIMARIA:

• La integración de las fases manipulativa, gráfica y simbólica. Ello se traduce en manipulaciones  realmente ágiles, eficaces, ordenadas y limpias (sin elementos de distracción) basadas en la excelente interactividad de los modelos gráfico-dinámicos sobre los que se actúa. Esto, indudablemente, funciona y  favorece que se manipule en cualquier nivel o etapa.

• La posibilidad de llevar a cabo una manipulación libre orientada. Las manipulaciones libres son manipulaciones “aumentadas” en el sentido de que se da alguna información matemática adicional y dinámica (por lo general de naturaleza numérica  -simbólica-) que es relevante para reflejar las acciones realizadas con los modelos y/o sus consecuencias… Se contempla la manipulación libre como un espacio para la introducción lúdica de conceptos, para la expresión y fomento de la creatividad del alumnado, para favorecer el aprendizaje autónomo y semidirigido, para la exploración y el descubrimiento, para la investigación… Pero no se trata sólo de que el alumnado explore, sino de facilitar, también, que lo haga el profesorado, que pueda proponer sus propias actividades y retos creando el necesario conflicto cognitivo acorde con el nivel de sus alumnos/as… Se prestan así, de una manera especial, al aprendizaje entre iguales informal. Contemplar la manipulación libre orientada dota a las aplicaciones de una gran versatilidad para el profesorado  y de un mayor potencial didáctico…No se trata de aplicaciones lineales en las que todas y cada una de las actividades están prefijadas. Por el contrario, permiten volver a ellas numerosas veces, con diferentes grados de profundización.

• La enorme profusión y diversidad de modelos gráfico-dinámicos diferentes puestos al servicio de un enriquecimiento real de las clases de matemáticas. Esto repercute directamente en una más rica concepción del área,  tanto por parte de docentes como de alumnos. Se diversifica la naturaleza del quehacer matemático del alumno (cosa tan necesaria ante la profusión de aplicaciones matemáticas excesivamente fragmentadas basadas en la simple asociación, o en la respuesta múltiple, o en la simple introducción de datos y corrección de respuestas) permitiendo que que el alumnado trace, coloree, desplace, gire; que exprese, que calcule, que compare, que mida, que corte, que pegue, que visualice, que experimente, que transforme, que construya y cree, que investigue... 

• Por otra parte, la riqueza de modelos gráfico-dinámicos es una importante vía para la introducción de innovaciones  en el currículo de matemáticas, una forma de demostrar que las aplicaciones_TICs en matemáticas pueden ofrecer nuevos escenarios con nuevas posibilidades (corrección -autorregulación del proceso-, interactividad, generación aleatoria y/o pseudoaleatoria,  simulación, experimentación, mayor riqueza y dinamismo en los lenguajes de presentación, mayor variedad y control en las fases intermedias de resolución, mayor variedad en la forma de resolver un problema, etc...)

Formatos interactivos para la enseñanza-aprendizaje del cálculo de divisiones.

En su día, la publicación de "Así calculamos en mi cole" supuso la oferta más extensa, variada y evolucionada de formatos digitales interactivos para la enseñanza-aprendizaje de un cálculo Pensado y Flexible a partir de la Descomposición Numérica. Entre esos formatos destacaban por su innovación aquellos que mostraban algoritmos numéricos, extendidos y flexibles, de las operaciones desarrollándose a la par y en correspondencia con las acciones realizadas por los/as alumnos/as sobre elementos gráficos y manipulativos presentes en las pantallas... Ese aspecto tan interesante desde el punto de vista didáctico ha marcado y marcará tendencia. De hecho están apareciendo algunas aplicaciones con este mismo propósito pero demasiado toscas aún en su interactividad y excesivamente elementales en relación con la naturaleza de los retos propuestos a los/as alumnos/as...

Fiel al principio de la evolución y mejora continua, en coherencia con la gran riqueza, variedad, excelente interactividad y creatividad de los modelos dinámicos que ofrece Didactmaticprimaria para todos y cada uno de los bloques del currículo de matemáticas, aquellos también han sufrido mejoras y ampliaciones.

Así, para la división, he desarrollado aplicaciones con el mismo funcionamiento que las que ilustran la división con billetes y monedas del euro (sin y con decimales) aunque con etiquetas numéricas (sin y con decimales) para que las diferentes nacionalidades y monedas no supongan un hándicap en su uso. A su vez, estas aplicaciones incorporan mejoras sutiles en relación con la corrección de manipulaciones y/o respuestas erróneas (como el bloqueo/desbloqueo de billetes y monedas -ídem para etiquetas-) colocadas en las zonas de reparto…

Por otra parte, se ha incorporado la división con regletas de Cuisenaire (que no figuraba en "Así calculamos en mi cole"-2010-2011) gracias a la implementación de un sencillo y eficaz “cortador de regletas”. También “Repartiendo pastelillos en platos” supone una mejora (en cuanto a funcionamiento, generalidad e interactividad) de  una aplicación análoga para ilustrar la división que se incluía en “MatemáTICas Primaria” (2007-2008)…

También la división a partir de la descomposición del dividendo en múltiplos del divisor se ha ampliado y conectado directamente con la multiplicación mediante la aplicación Número de veces que contiene el dividendo al divisor.

De manera intencionada no ofrezco en este menú la aplicación interactiva para tratar de manera gradual el algoritmo tradicional de la división que incluí en MatemáTICas Primaria. ¿Por qué? Pues simplemente porque no tendría cabida dentro de un cálculo que he etiquetado como PFDN (simplemente para indicar que no debe asociarse ni atribuirse a ninguna otra etiqueta) y porque yo no lo utilizo con mis alumnos/as.

Muñecos articulados y marioneta. Geometría del cuerpo humano.

El razonamiento espacial actúa sobre figuras geométricas (tridimensionales y planas) por medio de operaciones básicas entre las que destacan el análisis  (descomposiciones diversas de un mismo todo) y la síntesis (combinaciones diferentes de las mismas partes; las mismas partes constitutivas del muñeco articulado pueden combinarse, distribuirse u organizarse de maneras diferentes originando posturas diferentes) teniendo en cuenta la orientación espacial y las posiciones de las figuras en el espacio.

“Muñecos articulados y marioneta” reproduce la geometría esencial del cuerpo humano, del esquema corporal, favoreciendo el análisis y la síntesis para desarrollar tanto un pensamiento convergente (las diferentes partes se organizan para configurar un mismo todo- un mismo muñeco articulado- como divergente (las mismas partes – diferentes segmentos o piezas del muñeco articulado- se organizan formando muñecos que son diferentes –diferentes posturas-), fundamentales  para el pensamiento inventivo y creativo.

Los retos propuestos ponen en juego la observación sistemática, la percepción analítica y la comparación (similitudes y diferencias, grado en que una parte es diferente a su homóloga…).

“Muñecos articulados” presenta menos dificultad que “Marioneta”. A su vez, en “Muñecos articulados” se han contemplado dos niveles de dificultad (cada uno de ellos con 30 retos diferentes).  La diferencia entre una parte del muñeco que hay que modificar (girándola) y su homóloga en el muñeco estático propuesto– estado final al que hay que llegar- viene dada por un giro de un determinado valor. Para facilitar la correcta y exacta resolución de los retos propuestos, los giros posibles toman valores discretos (amplitudes angulares que son múltiplos de 30°, en el nivel 1, y múltiplos de 15°, en el nivel 2).

Dada la importancia de la figura humana para comunicar (acciones, sentimientos, …), su frecuente uso visual-plástico-artístico en nuestra sociedad y teniendo en cuenta, también, su adecuación al estadio evolutivo del dibujo en niños/as de Primaria, esta aplicación tiene un valor formativo interdisciplinar indudable. Esto la hace especialmente adecuada para su inclusión en UDIs interdisciplinares (Matemáticas-Educación Física-Plástica-Comunicación...)

Algunas ideas: Reproducir, sobre cartulina, las diferentes partes de un muñeco articulado similar al de esta aplicación. Hacer copias suficientes (al menos un muñeco articulado para cada alumno/a). Colorear los muñecos atendiendo a diferentes criterios y unir sus piezas de manera que permitan el giro de cada una de ellas. Elaborar luego, colectivamente, un gran mural que pueda servir para decorar un pasillo o un aula aportando cada alumno/a un muñeco con una postura diferente a la de los demás...

También se podría acompañar cada muñeco de un rótulo indicando la acción u emoción que cada postura sugiere a los/as alumnos/as, después de realizar un torbellino de ideas y consensuar la más adecuada para cada muñeco...

Secuencia de 5 UDIs para trabajar la Geometría en Primaria

¡Sigue mis pasos!

Comparando y ordenando pesos con los "Freak-Animal"

La medida del tiempo en Educación Primaria.