Movimientos en el plano. Isometrías.

Resolución de Problemas. Búsqueda exhaustiva de soluciones posibles. Simulación concreta y abstracta. Construcción y representación de soluciones…

 “Resolución de Problemas. Búsqueda exhaustiva de soluciones posibles. Simulación concreta y abstracta. Construcción y representación de soluciones…”. Bajo este título tan largo y abierto he querido agrupar una serie de propuestas de situaciones problemáticas caracterizadas por tener múltiples soluciones (o una solución múltiple) o bien por presentar un espacio de búsqueda de una única solución relativamente complejo,  con diferentes estados posibles de los diferentes elementos que configuran la solución…

Lo que caracteriza a las propuestas que aquí se incluyen es que se facilita la construcción de la solución por simulación, o la estrategia de tanteo sistemático al permitir descubrir  direcciones que van encerrando la respuesta en un rango de posibilidades cada vez más pequeño…Todo ello mediante esquemas, diagramas o representaciones interactivos que permiten la manipulación de elementos y la simulación.

Son numerosas las propuestas de situaciones de este tipo que podemos encontrar en otras aplicaciones ofrecidas por  DidactmaticPrimaria: problemas abiertos sobre relaciones cuantitativas implementados con dinero (“Relaciones numéricas_100”), tanteo sistemático por acotación del error (“Pesa pensando”), problemas sobre relaciones de orden y tablas lógicas (“REPRESENTAR.  Una poderosa estrategia en la resolución de problemas”), generación exhaustiva de figuras asociadas con su valor numérico (“Geofraccionador”, “Geoconstructor”,…), retos topológicos con múltiples soluciones, etc…

Es por ello que aquí recojo, en buena medida, situaciones problemáticas de carácter combinatorio, no tratadas en otras aplicaciones, a modo de interesantes, innovadoras y adecuadas investigaciones para alumnos/as del tercer ciclo de Primaria, que inciden plenamente en contenidos del currículo de Matemáticas:

1.6. Desarrollo de estrategias personales para resolver problemas e investigaciones.

1.7. Utilización de recursos informáticos para la realización de actividades y la comprensión de contenidos matemáticos.

1.13. Utilización de recursos informáticos para la realización de actividades y la comprensión de contenidos matemáticos.

1.11. Confianza en las propias posibilidades y espíritu de superación de los retos y errores asociados al aprendizaje matemático.

1.5. Resolución de situaciones problemáticas abiertas: Investigaciones matemáticas sencillas sobre números, cálculos, medidas, geometría y tratamiento de la información, planteamiento de pequeños proyectos de trabajo. Aplicación e interrelación de diferentes conocimientos matemáticos. Trabajo cooperativo. Acercamiento al método de trabajo científico y su práctica en situaciones de la vida cotidiana y el entorno cercano, mediante el estudio de algunas de sus características, con planteamiento de hipótesis, recogida, registro y análisis de datos y elaboración de conclusiones. Estrategias heurísticas: aproximación mediante ensayo-error, reformular el problema. Desarrollo de estrategias personales para resolver problemas e investigaciones y pequeños proyectos de trabajo.

1.8. Desarrollo de actitudes básicas para el trabajo matemático: esfuerzo, perseverancia, flexibilidad, estrategias personales de autocorrección y espíritu de superación, confianza en las propias posibilidades, iniciativa personal, curiosidad y disposición positiva a la reflexión sobre las decisiones tomadas y a la crítica razonada, planteamiento de preguntas y búsqueda de la mejor respuesta, aplicando lo aprendido en otras situaciones y en distintos contextos, interés por la participación activa y responsable en el trabajo cooperativo en equipo.

1.7. Planificación del proceso de resolución de problemas: comprensión del enunciado, estrategias y procedimientos puestos en práctica (hacer un dibujo, una tabla, un esquema de la situación, ensayo y error razonado, operaciones matemáticas adecuadas, etc.), y procesos de razonamientos, realización, revisión de operaciones y resultados, búsqueda de otras alternativas de resolución, elaboración de conjeturas sobre los resultados, exploración de nuevas formas de resolver un mismo problemas, individualmente y en grupo, contrastando su validez y utilidad en su quehacer diario, explicación oral de forma razonada del proceso de resolución, análisis coherente de la solución, debates y discusión en grupo sobre proceso y resultado.

1.10. Acercamiento al método de trabajo científico y su práctica en contextos de situaciones problemáticas, mediante el estudio de algunas de sus características, con planteamiento de hipótesis, recogida y registro de datos en contextos numéricos, geométricos o funcionales, valorando los pros y contras de su uso.

1.13. Utilización de herramienta y medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para obtener, analizar y selección información, realizar cálculos numéricos, resolver problemas y presentar resultados, desarrollar proyectos matemáticos, haciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos dentro del grupo. Integración de las tecnologías de la información y la comunicación en el proceso de aprendizaje matemático.

Probablemente algunos lectores se asusten o se sorprendan de que proponga retos de naturaleza combinatoria en Primaria. No deben asustarse ni sorprenderse. El enfoque de las propuestas es más cualitativo que cuantitativo. Se hace hincapié en  “¿cuáles?” y no en “¿cuántas?”. ¿Por qué? Veamos un ejemplo comentado relacionado con la propuesta “Repartos”:

Imaginemos que nos plantemos repartir 5 pastelillos en 3 platos (cada uno asociado a un/a niño/a), de manera que no haya ningún plato vacío. Si preguntamos “¿cuántos repartos diferentes podemos realizar?” estoy seguro de que la mayoría de los lectores no sabrían dar una respuesta relativamente rápida y, menos aún, justificada conceptualmente, a pesar de que el problema maneja unos números muy sencillos… En cambio, si solicitamos posibles soluciones (repartos diferentes posibles), rápidamente barajarán soluciones posibles, como 3-1-1 y  2-2-1, e imposibles, como 4-1-0, y no tardarán en descubrir que la descomposición 3-1-1 conlleva tres repartos diferentes (según el plato al que le correspondan los tres pastelillos): 3-1-1, 1-3-1, 1-1-3.  Lo mismo ocurre para la descomposición 2-2-1. Pues bien, ¿han necesitado saber que los tres casos ligados a cada una de las dos descomposiciones es justamente el número de permutaciones con repetición de tres elementos en los que uno se repite dos veces? ¡No! No es necesario este conocimiento de Secundaria para abordar el problema. Precisamente a  “¿cuántas?” se responde al final, simplemente contando los casos obtenidos por búsqueda exhaustiva, o bien se facilita el número total de casos posibles de antemano, para facilitar la resolución….

Esta argumentación tiene una excepción, la del producto cartesiano de dos conjuntos (“Cabezas diferentes”) y su generalización, la regla de multiplicar (“Candado. Código secreto”). Aquí es más fácil determinar el número de “variaciones” que las propias “variaciones”. De hecho es de las pocas cuestiones combinatorias que se proponen desde edades muy tempranas: “De cuantás maneras podemos vestir al osito con pantalón y camiseta si disponemos de dos pantalones diferentes y tres  camisetas diferentes?”

Además, las cuestiones combinatorias se abordan de manera inductiva, con casos particulares graduados en dificultad y en número de posibilidades (“Permutando”). Así, se va asumiendo como cierto que para dos objetos diferentes existen dos permutaciones diferentes, que para tres objetos existen seis permutaciones, que para cuatro objetos existen 24, etc… A pesar de que nos interesa más determinarlas cualitativamente ( porque conlleva el surgimiento de algoritmos personales de búsqueda), no se elude la posibilidad de que el/la alumno/a capte el patrón o regularidad inherente al número de permutaciones posibles ( 2 = 2x1; 6= 3x2x1; 24= 4 x 3 x 2 x1) ni  su simbología (2!=2x1; 3!=3x2x1; 4!=4x3x2x1; ….)

En “Macedonia de frutas” se abordan las “combinaciones” de varios elementos tomados de tantos en tantos: subconjuntos de dos frutas diferentes cuando se dispone de un total de seis frutas diferentes, por ejemplo, en los que el par pera-manzana es el mismo que el par manzana-pera, es decir, que no importa el orden…Es un reto bastante apropiado para alumnos/as de estas edades. ¡Y les encanta abordarlo! Además se transfiere lo aprendido a otros problemas similares y se conecta numeración y geometría: El número de combinaciones de 5 elementos tomados de dos en dos es igual al número de segmentos (lados + diagonales) de un pentágono.

En otras propuestas de carácter combinatorio (“Caminos_posibles”, “Caminos tramos ‘V’ y ‘H’”, “Figuras posibles”) responder a “cuántas” sería aún más difícil que en los casos anteriores dado que una misma figura puede aparecer con diferentes orientaciones espaciales o intervienen cuestiones geométricas y/o topológicas que condicionan el número de posibilidades y no son fáciles de explicar…¡Pero se facilita, interactivamente, la obtención de todos los casos posibles! Además, se insiste, en la codificación de las soluciones (mediante letras y/o números).

En “Dominó_igualación” se persigue que el alumnado distinga los casos en que puede haber solución de aquellos que no tienen solución así como que descubra una estrategia aritmética eficaz para resolver los casos con solución. “Equilibrio_números_balanza” es similar, aunque algo más difícil si no se ha descubierto la estrategia aritmética para la igualación de dos cantidades cuya suma es un número par.

“Parking” es la aplicación más lúdica. Se trata de un juego bastante conocido. La solución, para cada reto propuesto, no es obvia. Implica pensar de atrás hacia adelante y barajar diferentes estados de los elementos que intervienen en la solución.

En "coloca" se abordan situaciones de representación de la solución con la ayuda de  diferentes diagramas interactivos que tratan sobre situación espacial y problemas con relaciones de orden entre una y dos variables...

Ver, también, 

• REPRESENTAR, una poderosa estrategia en la resolución de problemas.

¿Coincidencias? (En clave de humor...)

En clave de humor...

En un principio, ABN (ese "revolucionario" e "innovador" método para el cálculo, "creado desde cero" por su creador) optó  por una división de este tipo aunque, eso sí, con mucha  rejilla... (Pues ese aspecto puramente formal, no original de ABN, parece ser, para ellos, la esencia de "su método"). Creo que nunca se llegó a implementar ningún modelo de división flexible con el "Tutor ABN".

Ahora, con los nuevos cuadernillos (que imagino que será una buena ocasión para "actualizar" y añadir contenidos) parece que ABN ha optado por este otro modelo de la división, íntimamente relacionado con el anterior, pero poniendo mayor énfasis en los múltiplos del divisor.

(Estas pantallas corresponden a aplicaciones mías incluidas en "ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE")

Llamemos A al contenido mostrado en la imagen anterior y B al mostrado  en la imagen siguiente. Si no consideramos aspectos tales como que A es gratuito, que A es interactivo, que A es configurable, que A es general y generativo, pues propone divisiones aleatorias (dentro de un rango numérico) y las corrige....Si no consideramos estos aspectos "irrelevantes", ¿sabrían buscar 5 diferencias entre la forma de dividir en B y A?

https://www.actiludis.com/wp-content/uploads/2018/06/Contenidos-Transicio%CC%81n-5%C2%BA.pdf

Enlace relacionados:

Sobre la multiplicación.

Sobre la división.

SMD. Longitud, Masa y Capacidad. 3º Ciclo Primaria.

Números enteros

GEO_BASIC_2D

"Geo*Basic*2D", de Didactmaticprimaria.net

GEO_BASIC_2D combina un conjunto de 12 geo_herramientas básicas para la realización de construcciones geométricas bidimensionales fijas (como si las trazáramos en una pizarra analógica). Además cuenta con borrador y escritura a mano. 

Desde el inicio de su diseño se ha concebido para ser el equivalente digital ampliado de ese conjunto de instrumentos de trazado geométrico que no siempre tenemos disponible en las aulas, o no siempre en buen estado. ¡Con qué facilidad se pierde, por ejemplo, la ventosa del compás de pizarra! (lo digo al menos por mí). Pero pretende ir mucho más allá...

Facilita enormemente la realización de las construcciones geométricas aportando nuevas posibilidades y funcionalidades que no son posibles con las herramientas analógicas equivalentes: colocación exacta de puntos medios, borrado selectivo de  todos/as los/as segmentos, rectas, semirrectas y circunferencias; borrado de trazados uno a uno comenzando por el último, tramas de puntos interactivas, poligonal dinámica mostrando longitudes de segmentos, posibilidad de construir fácilmente polígonos desplazables (tantos como se desee, iguales o diferentes, a partir de una trama de puntos o a partir de los vértices de un polígono regular configurable); tramas ortométrica e isométrica interactivas, fácil configuración de colores y grosores de segmentos; rectas desplazables, rectas paralelas y perpendiculares pulsando sobre puntos de la geo_escuadra o del geo_cartabón, fácil y exacta medición y construcción de ángulos, área interactiva de los polígonos trazados sobre tramas, fácil trazado de circunferencias y arcos, etc...

No pretende ser el extraordinario Geogebra (en su versión para Primaria), ni tan siquiera el C.a.R u otro software análogo. En este caso las construcciones realizadas no son escalables ni girables. No es que no apueste por una geometría dinámica, no. Pero no ha sido ese el propósito de esta aplicación que hace tiempo me fue sugerida por un par de lectores. Se trata de reunir productivamente herramientas geométricas que ya he utilizado en otras aplicaciones. Se ha optado por las construcciones fijas, por reducir la dificultad, por buscar un equilibrio adecuado entre sencillez de uso, vistosidad y potencial de construcción, de manera que resulte adecuado en 2º y 3º ciclos de Primaria. Así, por ejemplo, los puntos de intersección entre diferentes elementos de trazado se determinan visualmente, como se haría con construcciones realizadas en una pizarra analógica.

En principio permite realizar cualquier construcción geométrica fija con regla (no graduada) y compás (o con regla compás y escuadra), sobre todo las adecuadas a la Etapa Primaria: mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo, triángulo equilátero y hexágono regular, cuadrado y otros polígonos regulares y estrellados...Se pueden formar con suma facilidad toda clase de triángulos, cuadriláteros y otros polígonos permitiendo cuantificar sus perímetros  y sus áreas en diferentes unidades de longitud o superficie; facilita el fraccionamiento creativo de polígonos, la realización de diseños geométricos con intencionalidad artística, etc... 

Espiral. Ejemplo de precisión y facilidad de manejo  del geo_compás. La aguja del compás se sitúa con total precisión sobre el punto deseado.

Trabajos realizados por alumnos/as de 6º  (CEIP. Blas Infante, Lebrija-Sevilla) a partir de la visualización, a través de la PDI,  de la construcción previamente realizada con GEOBASIC_2D

Ilusión óptica. Ejemplo de coloreado de polígonos. Se muestran las geo_herramientas seleccionadas así como el despliegue interactivo de otras subherramientas configurables  (grosor de línea, color,  tipo y tamaño de trama de puntos,...)

CUADRILÁTEROS diferentes de igual área sobre trama ortométrica.

Es ideal para la PDI y su utilización no está reñida con las versiones de Geogebra para Primaria.

En CUERPOS GEOMÉTRICOS se ofrece una amplísima colección de manipulativos virtuales 3D, dinámicos e interactivos, así como herramientas de construcción 3D (geocubo, geoprisma,..) también basados en geometría dinámica.

En ARQUIGEOM  se aborda la  construcción 3D con elementos desplazables tridimensionales en perspectiva isométrica.

En GEOMETRÍA 3D se aborda la construcción policúbica con cubos en perspectiva caballera.

La práctica totalidad de las aplicaciones que he desarrollado en relación con la geometría plana  incorporan, cada una de ellas, numerosos manipulativos virtuales dinámicos e interactivos: ángulos, semejanza y proporcionalidad, área de figuras planas, circunferencia y trazado de polígonos polígonos regulares,...

En una línea parecida a la de GEO_BASIC_2D se sitúan aplicaciones como GEOPLANO INTELIGENTE, GEO_CONSTRUCTOR, TRAMAS INTERACTIVAS(), MULTIGEOPLANO ,...(Esta última aplicación está basada en los puntos de intersección dinámicos de un conjunto de circunferencias)...

Porcentajes. Kit 3º ciclo de Primaria.

Porcentajes. Kit 3º ciclo de Primaria. Didactmaticprimaria.net

Gracias, gracias...uno también tiene su ego...

Aunque abundan en mi blog comentarios muy similares, éste me ha tocado de lleno mi ego y he decidido publicarlo aquí. Si lo tengo especialmente en cuenta es por provenir de un profesor de matemáticas y computación con 20 años de experiencia. Una persona con un perfil así sabe valorar todo lo que conlleva el desarrollo de software educativo innovador y de calidad.

¡Muchas, gracias, J.F.G!

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Probabilidad de sucesos simples y compuestos. Aproximación frecuencial

Experimentos aleatorios. Equipamiento configurable.

Experimentos aleatorios. Equipamiento experimental. Didactmaticprimaria.net

En la última década del siglo XX se asiste a una propuesta de cambio curricular en la enseñanza de la probabilidad en todos los niveles educativos. En los diseños curriculares, no sólo en España, sino en otros países, se sugiere iniciar esta enseñanza a una edad más temprana e introducir la probabilidad en su "ACEPCIÓN FRECUENCIAL". La metodología recomendada está basada en la experimentación y simulación de experimentos aleatorios.

Así, por ejemplo, en los estándares del NCTM se indica que los estudiantes deben explorar mediante situaciones y de forma activa, los modelos de probabilidad. A través de la experimentación y la simulación, los estudiantes deben formular hipótesis, comprobar conjeturas y depurar sus teorías sobre la base de la nueva información. Se supone que esta metodología ayudará a superar las dificultades y obstáculos que, sobre el desarrollo de la intuición del azar han descrito distintos autores, como Fischbein y Gazit (1984).

El kit de situaciones experimentales que aquí se presenta, supone una primara aproximación, más bien informal, a esta temática. Se brindan situaciones experimentales de naturaleza aleatoria. Se pretende, a partir de la experiencia, formalizar conceptos tales como "SUCESO", "FRECUENCIA ABSOLUTA", "FRECUENCIA RELATIVA", "CASOS FAVORABLES", "CASOS POSIBLES" O "PROBABILIDAD" (Mediante la fórmula de Laplace)...Se incide de lleno en el paso de las intuiciones primarias sobre el azar (las que se forman antes e independientemente de una enseñanza sistemática) a las intuiciones secundarias (que se forman después de un proceso sistemático de enseñanza).

Con estas situaciones de simulación_experimentación se pretende apoyar el desarrollo del razonamiento inductivo, el aprender a intuir, plantear hipótesis, hacer conjeturas, generalizar… A nivel de aprendizaje, no debemos poner en duda que la forma de razonar puede tener tanto interés como los propios contenidos conceptuales; que el razonamiento es, en sí mismo, un gran contenido a aprender y totalmente irrenunciable en Matemáticas

De manera análoga, se pretende apoyar el desarrollo del razonamiento argumentativo o deductivo, animando a los/as alumnos/as a ensayar argumentaciones cada vez más fundamentadas y convincentes… motivándolos en la capacidad para detectar inconsistencias en los razonamientos propios y ajenos, a que se enfoquen en explicar, verificar, comunicar, sistematizar y descubrir... 

Este kit, favorecer una actitud positiva ante la experimentación y la simulación y el desarrollo de la confianza en la propia capacidad para experimentar, descubrir y comunicar.