31 agosto, 2012

¿Es novedoso el llamado "Método Singapur" de matemáticas?

Hace unas semanas un docente chileno me felicitaba por los contenidos educativos de este blog y me preguntaba si en la concepción didáctica de los mismos subyacía  el “nuevo Método Singapur”, método que desde 2011, y de manera voluntaria, se está experimentando en Chile y otros países latinoamericanos movidos por el éxito que el pequeño país asiático (Singapur, con algo menos de 5,5 millones de habitantes) viene alcanzando en pruebas evaluativas internacionales de Matemáticas tales como Timss y PISA.

Este comentario_pregunta me movió a interesarme de manera especial por el método aludido, que no conocía...

  • ¿Cómo se presenta el método? ¿Cómo se concreta por parte de algunas editoriales?

...La fórmula, que tiene a Singapur como líder de las mediciones Timms a nivel mundial, se está perfeccionando en las aulas de casi 300 colegios y liceos de Chile, tanto del sistema público como privado y su eficacia está basada tanto en factores técnicos como valóricos:
  • Las matemáticas no se enseñan a partir de números ni tampoco desde una pizarra.
  • La introducción de los conceptos se inicia con una vivencia del propio alumno, luego se refuerza con una representación pictórica (figuras de plástico) y finalmente se suma la abstracción.
  • Los alumnos son los que hablan de sus experiencias, no los profesores. La idea es que los niños relacionen las matemáticas con su propia vida.

Fuente: Biblioteca del Congreso Nacional de Chile.

“Lo más interesante es que el método usado en Singapur contrasta con lo que pasa en los países angloamericanos y su influencia en otros como en Chile. Acá se usa el llamado currículo en espiral que aísla pocas ideas, pocas nociones matemáticas y las  trabaja con plenitud y en profundidad. Si uno abre un libro de matemática estadounidense o nuestro verá grandes teorías, fórmulas, ejercicios, mucho contexto y variedad, pero en Singapur usted verá menos cosas, demasiado humilde quizás, pero ahí hay una profundidad pedagógica tremenda. Es decir tenemos menos contenido pero profundo y luego eso ayuda a seguir adelante”, explica la Dra. Lorena Espinoza.





El enfoque metodológico CPA alude a la progresión desde lo concreto a lo pictórico (imágenes),para finalizar con lo abstracto (símbolos).

He aquí una presentación sobre los "Fundamentos del Método Singapur"
Vídeo. Fuente: Youtube //Biblioteca del Congreso Nacional de Chile.


He aquí algunos materiales de la editorial Santillana, en formato .pdf, que concretan el Método gráfico Singapur de resolución de problemas en el curso inicial:   Libro alumno   ///   Libro maestro.


En el blog Matemáticas Maravillosas se encuentra mucha más información, imágenes y enlaces para conocer a fondo el "Método Singapur".

  • ¿Es un método novedoso?

Después de investigar un poco sobre el llamado “Método Singapur” y "Método gráfico Singapur", sin pretender entrar a analizar las claves o variables de las que pueda depender su éxito, adelanto ya que me parece un buen enfoque para la enseñanza-aprendizaje de la matemática, que se puede llevar perfectamente a cabo al margen de las propuestas concretas de determinadas editoriales (si bien éstas pueden ser una ayuda valiosa para muchos/as maestros/as, también pueden limitar y condicionar a otros/as) y con gran diversidad de materiales manipulativos  (analógicos y digitales) y que no me parece que aporte innovación o novedad relevante (como argumentaré más adelante) sino que hace hincapié en aspectos  didáctico-metodológicos relevantes que vienen siendo asumidos en las mejores prácticas y forman parte de los estándares internacionales para la enseñanza-aprendizaje de la matemática: progresión de lo concreto a lo abstracto pasando por lo gráfico-pictórico; aprendizaje progresivo de conceptos - retomar los mismos contenidos pero con diferente grado de avance-; variaciones graduales en la dificultad de las tareas o retos propuestos; una matemática no enfocada en los cálculos, ni en la memorización, ni en procedimientos o fórmulas sino en la comprensión y los significados, en el uso de estrategias flexibles de razonamiento y de resolución de problemas, etc...


Entiendo el interés especial (comercial) de las editoriales por presentar como muy novedoso lo que no lo es tanto (“el auténtico Método Singapur”, es la ortodoxia que se propone y se anima a seguir fielmente la secuencia de actividades propuesta). Con frecuencia, los métodos, así concebidos, son ante todo eficaces denominaciones para conseguir objetivos eminentemente comerciales. Muy a menudo la etiqueta, la denominación, precede a la totalidad del contenido, con la intención de sugerir y delimitar algo muy novedoso, cuando no revolucionario, que sólo está dentro del método, que a su vez se concreta, de manera ortodoxa, con unos determinados materiales de unas determinadas editoriales... No en pocos casos el “método” se confunde con la propuesta concreta del mismo hecha por una determinada editorial, que no niego que suponga una buena ayuda orientativa, pero que no debe convertirse en una restricción más o menos dogmática de enfoques más abiertos. Puede ocurrir, incluso, que los métodos sirvan para crear, de manera maniquea, clases de profesores (los que llevan un determinado método a cabo de manera “ortodoxa”, claro está, y los que no), lo que puede conllevar, desde determinadas instancias educativas, a valoraciones poco precisas, incluso injustas, del desempeño profesional de estos docentes…
Más que formarse en un determinado método, el profesorado debe formarse, a mi juicio, en epistemología y didáctica de la matemática, en el conocimiento comparado y análisis de los recursos más adecuados para apoyar su trabajo; y estar perfeccionándose continuamente como profesionales. 

Me reafirmo en  mi convicción personal: no soy partidario de métodos concretos concebidos como “modos ordenados y sistemáticos de proceder, en general, en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas” cuando éstos son inflexibles. Sí creo, en cambio, en determinados enfoques metodológicos, flexibles, contrastados por la Didáctica de la Matemática, en las claves que conducen a unas mejores prácticas y en principios que se recogen muy bien en los Nuevos Estándares para la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática.


Según se muestra en algunos vídeos, lo que el profesorado más valora es la disponibilidad de material didáctico en cantidad y calidad suficiente como condición previa para una educación matemática atractiva y de calidad. Si los centros educativos que experimentan con este método reciben una dotación especial de material didáctico, el método es acogido, lógicamente, como  una bendición... En este aspecto me llama la atención que en el método la tecnología no sea un componente esencial del entorno de enseñanza-aprendizaje. No tiene en cuenta la integración de las TICs a las que alude el gobierno de Chile, ni las posibilidades que éstas ofrecen  para el desarrollo de nuevas habilidades, también desde los niveles básicos; ni al aprovechamiento de la ingente cantidad de contenidos educativos digitales abiertos y gratuitos disponibles en la red, ni a su potencial para compensar carencias y desigualdades... ni al uso pedagógico de materiales y recursos TIC". Las matemáticas no se enseñan a partir de números ni tampoco desde una pizarra", se decía en la presentación del método. Sin embargo una  pizarra digital nos puede permitir que los/as alumnos comiencen a experimentar materiales más versátiles que los típicos materiales analógicos, modelos interactivos adecuadoa a su edad, etc...

Esta reflexión me lleva de nuevo al comentario-pregunta inicial de mi colega chileno para responder indirectamente a la pregunta que me hacía. Muchos de los contenidos educativos de este blog surgieron, al margen claro está del método Singapur, con una intención claramente compensadora de desigualdades- de hecho, mi centro de trabajo durante muchos años fue centro de actuación educativa preferente, o de compensatoria, si se desea-. Dado que el material didáctico analógico es caro y muchos centros no  lo pueden conseguir en cantidad suficiente, comencé a diseñar versiones digitales de los correspondientes analógicos (bloques multibase, ábacos, reloj didáctico, balanzas numéricas, juegos de polígonos para composición de figuras, juegos de poliedros, pizarras geométricas y otros muchos materiales para "construir la geometría", juego de fracciones, formatos interactivos para el cálculo pensado, cartulinas multiproblemas,  una gran variedad de modelos dinámicos interactivos, etc...). Me di cuenta, pronto, que el diseño - con Flash, en mi caso- me permitía concebir y realizar materiales digitales novedosos cuya implementación analógica no es posible... Así, cuando llevaba a mis alumnos/as al aula de ordenadores, todos podían "manipular" un buen número de materiales digitales con enorme facilidad. Internet me ha permitido, luego, compartir estos materiales para que puedan ser aprovechados por alumnos/as de cualquier lugar del planeta, en especial los de habla hispana.

 
Pero, me estoy extendiendo demasiado y, como indiqué anteriormente, quisiera argumentar a continuación cada una de las razones por las que, aunque correcto y bien enfocado, no me parece novedoso el método Singapur. Todo ello porque me servirá, a su vez, de pretexto para tratar sobre interesantes cuestiones didácticas:



22 julio, 2012

Simulaciones de móviles con velocidad constante y razonamiento matemático en Primaria.

Razonamiento matemático con móviles. Educación Primaria.
Desde didactmaticprimaria.com, se ofrece  un nuevo recurso educativo digital.
Como complemento a la lección interactiva ofrecida en la entrada anterior de este blog (Métodos especiales de resolución de problemas aritméticos. Problemas de móviles en Primaria.), y siguiendo las consideraciones didáctico metodológicas que en la misma se hacen, he desarrollado esta nueva aplicación que va dirigida, como nivel/es de referencia, a alumnos/as de 10 años (5º de Primaria) en adelante.

En la concepción teórica e implementación técnica de esta aplicación subyace el enfoque de "educación matemática realista", basada en la resolución de problemas (o retos). Toma como base teórica los trabajos de Vigostky, quien sostiene que el aprendizaje no está supeditado al desarrollo, sino que éste puede ser potenciado por las prácticas de enseñanza (tradicionalmente no se tratan en Primaria problemas de móviles sino que se postponen para Secundaria y, además, se resuelven de manera algebraica, haciendo uso de las ecuaciones. Aquí, en cambio, se utiliza fundamentalmente la experimentación -simulación-, el razonamiento numérico proporcional que todo alumno tiene en mayor o menor grado, las operaciones básicas y métodos aritméticos y gráfico-geométricos). Teniendo en cuenta las conceptualizaciones de Vigostky en torno a la zona de desarrollo próximo, las simulaciones (o modelizaciones)  constituyen un inmejorable andamiaje intuitivo sobre el que apoyar el razonamiento matemático que permite resolver los numerosos retos propuestos...

Los modelos interactivos pueden ser utilizados para que los alumnos/as hagan sus hipótesis, expresen sus argumentos, adelanten soluciones aproximadas o exactas y verifiquen lo acertado o no de sus conjeturas.


Requiere, como único conocimiento previo, el concepto intuitivo de velocidad que los/as alumnos/as de estas edades tienen (derivado de la frecuencia de su uso social en competiciones, carreras, automóvil familiar, etc...). Puesto que se trata de una magnitud que expresa, a su vez, la relación entre dos más sencillas (espacio recorrido y tiempo empleado), conviene profundizar en el significado de esta relación, sobre todo en orden a desarrollar el razonamiento numérico proporcional que los alumnos de estas edades poseen em mayor o menor grado. Mientras velocidad y espacio son magnitudes directamente proporcionales, velocidad y tiempo son magnitudes inversamente proporcionales...
No se propone aquí el tratamiento formalizado de los contenidos del bloque de PROPORCIONALIDAD (propio de Educación Secundaria) pero sí se persigue favorecer, como ya se ha dicho, el razonamiento numérico proporcional utilizando diferentes métodos de resolución de problemas aritméticos: reducción a la unidad, uso de tablas de proporcionalidad, métodos gráfico-geométricos...

Comienza enseñándoles a utilizar el cronómetro para medir tiempos con precisión. Además, los botones del cronómetro sirven para controlar el movimiento (iniciarlo, detenerlo, reiniciarlo) de los diferentes móviles (coches, corredora, insectos,..) que se utilizan en las simulaciones. Se invita a los/as alumnos/as a que realicen tantas simulaciones como deseen - manipulación de modelos gráficos interactivos-, calculen las velocidades a las que se mueven diferentes coches que recorren un mismo circuito a diferentes velocidades, o las diferentes velocidades  de varios insectos, etc...; se profundiza, desde varias ópticas, en la simulación y análisis de diferentes problemas de móviles ( cuando marchan en sentidos opuestos para encontrarse; cuando parten en el mismo instante, desde el mismo punto y con velocidades diferentes; cuando parten desde el mismo punto, en la misma dirección pero uno aventaja al otro); etc...

Los retos propuestos (aproximadamente setenta) son realistas, poco rutinarios (no se busca la aplicación mecánica de una fórmula sino el uso del razonamiento numérico proporcional) y variados. 

La aplicación está perfectamente adaptada para su utilización con PDI, pudiendo completarse campos numéricos y de texto haciendo uso de los botones de teclado que aparecen en las diferentes pantallas que lo necesitan. De análoga manera, otras pantallas permiten hacer visible, o invisible, una calculadora. Se informa al instante de lo correcto o incorrecto de los datos introducidos por el usuario.


25 junio, 2012

Freudenthal y la Educación Matemática Realista (EMR)

Voy a comenzar este post presentando un magnífico applet de Java (tanto desde el punto de vista técnico como el didáctico) que podemos encontrar entre los que ofrece, para la educación matemática primaria,  el Freudenthal Institute (Utrecht University).

Aunque este applet no está en castellano su funcionamiento es bastante intuitivo. Presenta diferentes apartados que permiten desarrollar y consolidar habilidades de visualización, representación e interpretación espacial a partir de modelos geométricos tridimensionales que se pueden girar en el espacio 3D.

Así, por ejemplo,  en la opción "Vrij bouwen" se pueden diseñar libremente construcciones poilicúbicas y estudiar sus diferentes vistas espaciales. En la opción “Draaispel”, el reto propuesto con cada nuevo problema consiste en rotar el modelo policúbico tridimensional hasta que su vista frontal coincida con la silueta ( en negro) dada. En otras opciones hay que construir el modelo cuyas vistas se dan, etc...

Las diferentes opciones que se brindan en este excelente applet permiten ilustrar y  adentrarnos en " el uso didáctico de modelos en la Educación Matemática Realista", en  la correcta interpretación de las situaciones_problema y de los contextos "realistas" en la educación matemática, en la modelización matemática en contextos tecnológicos...Pero, ¿qué es "Educación Matemática Realista"?

27 mayo, 2012

Grados de innovación, interactividad y generalidad de los contenidos educativos digitales para Matemáticas.

No todo lo parecido es igual. Esto parece obvio, casi una perogrullada. Aplicando esta afirmación al caso concreto de los contenidos educativos digitales para el área de Matemáticas que se difunden por la red, nos encontramos con múltiples contenidos que tratan una misma temática, a veces una temática muy concreta, y que, sin embargo, pueden presentar diferencias notables en relación con el grado de innovación que implementan, el grado de interactividad - del lado del usuario - que permiten, el grado de generalidad con que se abarca el contenido, el enfoque didáctico subyacente, la estética, etc...
Todos los contenidos educativos, al igual que todos los libros, tienen algo aprovechable y bueno. Pero es tal la cantidad de contenidos educativos a los que podemos acceder, tan elevado el número de personas que realiza sus listados propios - de acuerdo con sus saberes, preferencias, intereses,...-, tan dispar el grado de publicidad y marketing que reciben unos con respecto a otros, etc... que parecemos estar inexorablemente abocados a  la infoxicación.

Cierta ausencia o bloqueo de la capacidad de análisis y procesamiento, o intereses muy particulares, se manifiestan en numerosos listados de contenidos en blogs personales y de aula, en repositorios, etc... En muchos de ellos parece que el único criterio de ordenamiento es la libre yuxtaposición de contenidos en relación con una temática. Consecuencia de lo anterior es que, con mucha frecuencia, aparecen listadas microaplicaciones elementales al mismo nivel que macroaplicaciones complejas, se relacionan, al mismo nivel, aplicaciones que suponen una amalgama de enfoques metodológicos diferentes, etc... En no pocos casos se publicitan con mayor énfasis las aplicaciones más mediocres a sabiendas que puede más el marketing que los análisis personales sobre la calidad y conveniencia de un determinado contenido educativo - o de un conjunto más o menos homogéneo de contenidos-. Con demasiada frecuencia, y con toda naturalidad, sumamos caos al caos...
 (Tengo pensado dedicar algunos post sobre esta temática concreta).

Al margen de la libertad y legítima defensa de los intereses particulares que cada uno tenga, considero que es fundamental que el profesorado desarrolle, como parte de su conocimiento profesional docente, hábitos y habilidades de análisis sobre el interés didáctico de los contenidos educativos que maneja.
Como ese, precisamente, es uno de  los objetivos  de este blog, y aunque las comparaciones resultan odiosas, me voy a servir de dos aplicaciones que tratan, ambas, de una curiosa manera (Método de Montecarlo) de calcular, de manera aproximada, el área de una figura. Puede resultar muy interesante y enriquecedor para los maestros/as que no lo conozcan. Hay alumnos del tercer ciclo de Primaria que lo comprenden, pues sólo requiere, como conocimiento previo, entender perfectamente el concepto de relación o cociente entre dos cantidades. 

Creo que ambas aplicaciones merecen, como mínimo, el calificativo de buenas. Sin tener en cuenta que una está realizada con Java (la segunda) y otra con Flash (la primera), se pueden descubrir diferencias notables entre ellas:

Primera aplicación (incluída en "Laboratorio Básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria")

 


Segunda aplicación (incluida en materiales educativos para Primaria del Proyecto Gauss)



¿Cuáles son esas diferencias? ¿Son diferencias relevantes? ¿Se aprecian con facilidad o, por el contrario, requieren detenimiento y saberes específicos?

22 mayo, 2012

Los cometas, unos cuadriláteros muy especiales.

He aquí la clásica y habitual clasificación de los cuadriláteros:



No tengo nada que objetar a la corrección e idoneidad de esta clasificación - basada en la relación de paralelismo de los lados- si bien, evidentemente, no es la única posible. Así, por ejemplo, podríamos establecer en el conjunto de los cuadriláteros, una primera relación: "tener dos diagonales perpendiculares". Con ella la clase de los cuadriláteros quedaría partida en dos clases disjuntas: los que tienen dos diagonales perpendiculares (todos los cuadrados, todos los rombos, determinados trapecios de cada una de las tres clases y determinados trapezoides) y los que no tienen dos diagonales perpendiculares (rectángulos, romboides, determinados tipos de trapecios y trapezoides). Esto nos llevaría a una clasificación evidentemente más compleja que la usual, con más clases. Haría falta utilizar más nombres de clases...(Es un ejercicio muy interesante)

Pero aún admitiendo que ésta (la de la imagen de arriba) es la mejor clasificación de los cuadriláteros, llama poderosamente  la atención la poca ramificación que presenta la clase de los trapezoides ( lo cual, por otra parte, no es de extrañar teniendo en cuenta la visión estática y estereotipada de los polígonos y lo relegado que ha quedado siempre el bloque de Geometría en relación con el currículo de matemáticas...). 

Parece, la de los trapezoides, una clase de cuadriláteros sin mayor interés, cuyos elementos tienen poco que ofrecer. Y, sin embargo, hay trapezoides de especial belleza y con regularidades visibles, como es el caso de los cometas. Presentan éstos un eje de simetría bilateral y dos vértices opuestos en los que, en cada uno de ellos, concurren dos lados de igual longitud. Los hay convexos ( cometas propiamente dichos)  y cóncavos ( dardos o puntas de flecha). Los trapezoides cometas, a su vez, pertenecen a una clase más general, la de los cuadriláteros con diagonales perpendiculares...

16 mayo, 2012

Un poco de historia de las Matemáticas en cómic.

 
Interesantísima presentación de Flash que hace un recorrido a través de las historia de las matemáticas.
Recurso educativo elaborado a través del Convenio Internet en el Aula, entre el MEC y las comunidades autónomas.

14 mayo, 2012

Universidad Americana y Manipuladores Virtuales para Matemáticas

La Universidad  Americana (UAM) fue fundada en 1992, por un grupo de catedráticos universitarios de vasta experiencia en el campo docente, investigativo y administrativo, con el propósito de contribuir al desarrollo de la Educación Superior en Nicaragua.  El Consejo Nacional de Universidades (CNU) aprobó oficialmente la UAM el 26 de noviembre de 1992, aprobación que le confirió el debido reconocimiento nacional e Internacional.

Agradezco, desde aquí, a Grettel Chavarría Sánchez, el detalle, que se pone de manifiesto en la siguiente presentación, de considerar ejemplos relevantes de este tipo de materiales los correspondientes a las Bibliotecas de Manipulables_ Virtuales_Matemáticas_Flash que se ofrecen en este blog. No en vano, este conjunto de materiales supera en cantidad, y en adecuación didáctica, a la archiconocida Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales de la UtahState University

Sólo un comentario al contenido de la presentación: No todos los manipulables virtuales están realizados en Java. Los de este blog está realizados en Flash.

¡Gracias!

MANIPULADORES VIRTUALES

09 mayo, 2012

12 de Mayo. Día escolar de las Matemáticas.

"En el año 2000, Año Mundial de las Matemáticas, se instituyó la celebración del día 12 de mayo como Día Escolar de las Matemáticas por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM). Esta fecha fue elegida en honor a Pedro Puig Adam, nacido el 12 de mayo de 1900 e  internacionalmente reconocido en el campo de la enseñanza de las Matemáticas.


Las diferentes Sociedades de Profesores de Matemáticas organizan actos abiertos, exposiciones, conferencias, debates, etc. para sensibilizar y articular al profesorado de otras materias en torno a las Matemáticas, dado que éstas constituyen un modelo, un lenguaje y un modo de pensar común a todas ellas.

Desde entonces ha tenido lugar esta celebración centrándola en un tema que relaciona las matemáticas con algún otro ámbito del conocimiento. Este año se desarrollará en torno a Matemáticas y economía. Ventajas de la cooperación. Desde el
INTEF destacamos algunos de los recursos y páginas de interés para desarrollar el tema en las aulas.

RECURSOS EDUCATIVOS EN EL PORTAL DEL INTEF

PÁGINAS DE INTERÉS
(Texto anterior e imagen tomados íntegramente del post publicado por el INTEF.
Los recursos destacados son de mi autoría)

Mi aportación, desde aquí, a la celebración de este día está formada por dos vídeos ( uno para la reflexión sobre la importancia de esta área curricular; otro para recrearnos con los misterios de los números primos) y dos libros muy prácticos, en formato PDF, que nos regala Efraín Soto Apolinar  (Méjico) desde Aprende Matemáticas (Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos y Construcciones geométricas con regla y compás) que pueden ayudarnos a resolver algunas dudas que tengamos sobre matemáticas básicas.

29 abril, 2012

Origami modular en Primaria


Si no has practicado nunca origami con tus alumnos/as de Primaria, te recomiendo que lo hagas cuanto antes. No importa el nivel en el que éstos/as se encuentren, hay diseños apropiados para cualquier edad. Además, podemos disponer de una cantidad ingente de excelentes vídeos sobre esta temática en YouTube, así como de múltiples documentos, con ilustraciones, en formato .pdf, que nos facilitan su aprendizaje y práctica partiendo de cero.

Friedrich Fröebel (1782 - 1852), pedagogo alemán creador de la educación preescolar y del concepto de jardín de infancia, llamado "el pedagogo del Romanticismo", se encargó de introducirlo en las escuelas con objetivo de enseñar las figuras geométricas. En el artículo "Origami e inteligencia" (29-11-2010) de la web "COSAS DE LA INFANCIA", se relacionan de manera exhaustiva los beneficios para los niños que reporta esta actividad, entre los que destacan:
  • Incentiva la imaginación y fomenta la expresión artística.
  • Fortalece la autoestima.
  • Desarrolla la destreza manual.
  • Beneficia la atención.
  • Exige paciencia y constancia.
  • Requiere de memoria e imaginación.
  • Acelera el proceso de maduración del cerebro.
  • Brinda tranquilidad y calma.
  • Proporciona placer y satisfacción.

Algunas figuras ilustres que fueron  fanáticos del origami: el poeta británico Percy Shelley (1972-1822); Lewis Carroll (Inglaterra, 1832-1898), autor de "Alicia en el país de las maravillas"; El pedagogo alemán Frederich Fröebel (1782-1852), creador del "jardín de infancia"; los escritores y filósofos españoles Miguel de Unamuno (1864-1936) y José Ortega y Gasset (1883- 1955), etc...

08 abril, 2012

Desde Argentina. Adrián Paenza.

Adrián Paenza

El Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires ofrece todos los Libros de divulgación matemática (Matemática...¿Estás ahí?) publicados por Adrián Paenza, en formato .pdf. (La descarga es sólo para uso personal y, obviamente, está prohibida su reproducción comercial.)





Los seis títulos que siguen ofrecen un interesantísimo y gratificante recorrido por  los mundos de los números y sus maravillas, las figuras y el pensar,  los problemas, la teoría de juegos, la combinatoria, el razonamiento lógico y las paradojas (uno de sus campos predilectos), personajes, historia y reflexiones sobre las matemáticas...Su lectura, además del enriquecimiento personal, nos puede sugerir propuestas para llevar al aula (debidamente adaptadas, claro está).

En el siguiente vídeo (CIFRAS IMPORTANTES DEL MUNDO), Adrián Paenza imagina la actual población humana reducidad a 100 personas y nos muestra gráfica y proporcionalmente algunos datos numéricos sobre aspectos cualitativos importantes de la misma.



07 abril, 2012

El modelo TPACK en el diseño de actividades didácticas.

¿Qué características debe tener el conocimiento profesional docente hoy?


modelo TPACK
En 2006,  Punya Mishra y Matthew J. Koeller ( Michigan State University) llevaron a cabo  un programa de investigación centrado en el desarrollo profesional docente con el objetivo de determinar  algunas de las cualidades esenciales del maestro en relación con la naturaleza compleja y multifacética de los conocimientos necesarios para la integración de la tecnología en la enseñanza. Propusieron el modelo del conocimiento tecnológico de contenido pedagógico -Technological Pedagogical Content Knowledge (TPCK o TPACK) - que se basa en la comprensión de que los procesos de aprendizaje son actividades complejas que precisan de tres tipos de conocimiento:

  • Conocimiento del Contenido: Es el conocimiento sobre el área de conocimiento, asignatura o disciplina que se enseña y se aprende.
  • Conocimiento Pedagógico: Cococimientos profundos sobre los procesos de enseñanza-aprendizaje, sobre objetivos generales, valores y metas de la educación...
  • Conocimiento Tecnológico: Comprensión de las TIC para aplicarlas al trabajo y a la vida cotidiana; es un conocimiento en un estado continuo de cambio.
Como no podía ser de otra manera, y coherentemente con el objetivo de este blog, me alegra enormemente la idea de redescubrir la innovación con TIC desde la pedagogía, sobre todo cuando no hace falta nada más que asomarse a Internet para percibir la desmedida fe que existe en la planificación tecnocéntrica de actividades educativas como sinónimo de educación progresista y de calidad...

Muchos docentes con espíritu innovador nos sentimos perdidos, inseguros o aturdidos ante la avalancha incesante de nuevas tecnologías y herramientas tecnológicas. Parece que estar en la avanzadilla supone conocer el máximo de  estas herramientas que nos aporta la web 2.0 y lo que se puede hacer, en educación, con cada una de ellas. Sospechamos, incluso, la existencia de poderosos intereses de marketing apoyando esta tendencia tecnocéntrica. Siendo lo anterior necesario, me alegra constatar que modelos teóricos bien fundamentados afirmen que lo auténticamente innovador en la educación con y en TIC llegará de las propuestas de uso, del redescubrimiento pedagógico centrado en el alumno y en el curriculo.

Veamos como nos presenta Jordi Adell el modelo TPACK.


Más vídeos de Jordi Adell.
Otra presentación, realizada por Ramiro Aduviri Velasco , sobre este mismo modelo. que lleva por título TECNOLOGÍA, METODOLOGÍA Y CREATIVIDAD:


01 abril, 2012

Contenidos de matemáticas de skoool.es en wikisaber.es. Valoración.

skoool.es, que incorpora su contenidos en wikisaber.es,  desarrolla actualmente, entre otros, objetos de aprendizaje  para el área de Matemáticas en la Etapa Primaria. Dichos contenidos educativos están concebidos como recursos complementarios y auxiliares para el desarrollo de los contenidos curriculares.

Los contenidos se presentan como objetos de aprendizaje, distribuidos en distintas Unidades, cada una de las cuales contiene, a su vez, el desarrollo conceptual, una autoevaluación y los objetivos de aprendizaje asociados a la misma. Ocasionalmente, y cuando el concepto lo requiere, la unidad se acompaña de un módulo de simulación interactiva en donde el alumno actúa y ejecuta, simulando, una determinada actividad de aprendizaje.
He aquí un listado de objetos de aprendizaje, propiedad de Intel Corporation, para matemáticas en la Etapa Primaria. (Se han añadido otras aplicaciones de Primer ciclo de ESO).

 

25 marzo, 2012

Dividir una tarta en partes iguales. Reflexiones sobre divisibilidad en Primaria.

¿Cómo dividir una tarta rectangular en 5 partes aproximadamente iguales y sin medir? Son numerosos los alumnos que comienzan 3º ciclo de Educación Primaria (de 10 años, aproximadamente) y no utilizan una estrategia eficaz para resolver este problema. Por lo general comienzan estimando una fracción rectangular que sea 1/5 del total y luego la repiten 5 veces. La estimación no suele ser buena: las partes son sensiblemente diferentes en tamaño, les sobra o les falta tarta, etc,…

Son una minoría los que utilizan alguna estrategia más eficaz, como considerar que el primer corte debe dividir la tarta en dos trozos diferentes (A y B, A>B) para luego dividir A en tres trozos aproximadamente iguales y B en dos trozos. Aunque varíe el tamaño de los trozos, según la mejor o peor estimación de cada niño/a, con esta estrategia se obtienen mejores resultados y, sobre todo, se aseguran de que no falte ni sobre tarta.

Esta dificultad es totalmente lógica pues se trata de dividir en partes iguales uno de los lados de la tarta (que es una magnitud continua) e involucra intuiciones espaciales, estimación dependiente de la experiencia y conocimiento de hechos y modelos numéricos. Incluso depende de la forma concreta en que se simula el problema (trazado, plegado, cortes...). Si la tarta es circular es problema resulta aún más complejo.

Si les planteamos el problema de manera inductiva (dividir la tarta en 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …) partes iguales, podremos comprobar que el fraccionamiento de la tarta en un número primo de partes ( 3, 5, 7,…) , a excepción del 2, es más difícil que en los casos en que el número de partes es compuesto. De igual manera,  los números impares se presentan como más dificultosos que los pares (en este caso una estrategia siempre válida es comenzar dividiendo por la mitad). La estrategia de la “mitad de”, de manera reiterada, les resulta fácil para fraccionar la tarta de manera eficaz en un número de partes que sea potencia de dos (2, 4, 8, 16, 32, …). Si el problema se resuelve mediante dobleces en un rectángulo de papel (tarta), los/as alumnos/as encuentran más estrategias de resolución que si lo resuelven mediante trazado de líneas (cortes) sobre un rectángulo (tarta). De cualquier manera, no obstante, la división de un rectángulo en partes iguales no les resulta fácil.


11 marzo, 2012

En busca del significado. Operaciones combinadas en Primaria. ¿Por qué? ¿Para qué?

Resulta sorprendente comprobar la fuerza de la inercia que supone la tradición escolar por sí misma frente a cualquier innovación o cuestionamiento de aspectos curriculares tales como los contenidos del área de Matemáticas. Esta fuerza, a veces individual y a veces colectiva,  unas veces de manera consciente y otras de forma inconsciente, se opone a cualquier planteamiento o cuestionamiento de todo aquello que ha pasado a formar parte de la tradición escolar (que parece ser una zona imaginaria de seguridad, de no vértigo…).
En este post voy a tratar de ilustrar lo anterior ciñéndome al tratamiento de un contenido específico: LAS OPERACIONES COMBINADAS.


Resolución de operaciones combinadas
Para trabajar este contenido específico podemos encontrar en Internet numerosísimas aplicaciones TIC (ver la presentación que sigue) diseñadas por profesionales docentes que buscamos integrar las TIC en el área de Matemáticas, trasladar a entornos digitales  interactivos, aprovechando las potencialidades de las TIC, lo que se venía haciendo de manera analógica, oral o con lápiz y papel… y, si es posible, añadir innovación y creatividad al servicio de la didáctica de la matemática.
Es indudable que supone un avance contar con aplicaciones digitales que propongan ejercicios e informen sobre lo acertado o no de la respuesta,  aplicaciones con las que los/as alumnos/as pueden trabajar de manera más rápida y eficaz, de forma autónoma o semidirigida, con las que puedan  progresar a su ritmo, que favorezcan la autorregulación de sus propios aprendizajes… Pero, además, hay que considerar la significatividad y relevancia de los contenidos y procedimientos, los objetivos que se persiguen, las competencias que se desean desarrollar...


04 marzo, 2012

Formatos interactivos para la práctica de un cálculo pensado, flexible y basado en números.


Aunque aún seamos claramente minoría, somos cada vez más los/as maestros/as que pretendemos que los contenidos propios de la aritmética escolar no se aborden de manera mecánica y rutinaria sino que sean soporte para hacer verdadera matemática; somos cada vez más los que priorizamos los significados y las estrategias, basadas en las propiedades de las operaciones, sobre la pura mecánica desprovista de significación; los que trabajamos con números y no con cifras; los que defendemos que los cálculos pueden realizarse de manera flexible; los que estamos convencidos de que los métodos de cálculo mental no deben ser en esencia diferentes de los métodos de cálculo escritos (ya que "se basan en los mismos principios, hechos y propiedades. Son los mismos métodos, es el uso mental o escrito que se hace de ellos lo que los denomina"- Bernardo Gómez Alfonso-),...

Dado que en nuestra sociedad, tecnológicamente avanzada, la mayor parte de los cálculos que realizan los ciudadanos son cálculos instrumentales (calculadoras, cajas registradoras, computadoras,...) es lógico y necesario que pierda énfasis en la escuela la realización de "cuentas", de cálculos escritos mecánicos y rígidos (eso lo hacen las máquinas) y que, paralelamente, se favorezca profundizar en el significado numérico y operacional; en el análisis de las situaciones numéricas basado en los hechos del sistema de numeración, en el significado y en la propiedades de las cuatro operaciones; en la disponibilidad de métodos de cálculo que enfaticen el cálculo pensado, flexible y basado en números...



27 febrero, 2012

Soportes manipulativos para apoyar la abstracción


En un post de este blog titulado "El lenguaje matemático de la belleza", se mostraban algunos vídeos, como "regalo para nuestro ojos y nuestro espíritu", de Cristóbal Vila. En los mismos nos sobrecoge la sensación de misterio, armonía, belleza y perfección que provoca la simetría dinámica de las formas geométricas...

Considero adecuado iniciar este nuevo post con otro excepcional y sugerente vídeo de Cristóbal Vila:




Desarrollos planos cerrándose para formar poliedros; el poder de la duplicación (potencias de 2) en el famoso problema de los granos de trigo sobre las casillas de un tablero de ajedrez; El problema de los siete puentes de Konigsberg (Euler); mosaicos y partición regular de la superficie; trazado de una curva cicloide a partir de un punto fijo en una circunferencia (rueda) que gira; la belleza sintética de algunas fórmulas matemáticas esenciales (teorema de Fermat,...); la historia de la Matemática a través de los retratos de matemáticos ilustres; el aparato de Galton (o binostato) para el estudio empírico de modelos probabilísticos; el mundo "matemágico" de Mauritius Cornelius Escher; pentominós, juegos y puzzles planos y tridimensionales; estructuras mecánicas de Leonardo da Vinci; los fractales en la naturaleza; la geometría en los objetos cotidianos...

El vídeo, que resume de manera breve y magistral algunos hitos esenciales de la historia de las Matemáticas, sugiere, desde mi punto de vista, la importancia de los soportes manipulativos para apoyar la abstracción de pautas y relaciones...

Los materiales son soportes para los contenidos en tanto en cuanto son "objetos o medios de comunicación que ayudan a descubrir, visualizar, entender y consolidar conceptos fundamentales en las fases de aprendizaje"´. Entre ellos, y ciñéndonos al área de Matemáticas y a los materiales eminentemente manipulativos, podemos distinguir entre manipulables físicos y virtuales.   Tanto unos como otros pueden hacer posible una metodología de las matemáticas cimentada en lo sensorial e intuitivo, incluso en lo experimental o empírico,  en la que cobra fuerza la manipulación de los contenidos que se desean trabajar en el aula (modelos construidos, instrumentos, mecanismos, juegos, materiales polivalentes para construir nuevos modelos...) y en la que se prioricen los métodos, modelos y estrategias sobre los propios contenidos...

19 febrero, 2012

Aproximación frecuencial a la probabilidad

En la última década del siglo XX se asiste a una propuesta de cambio curricular en la enseñanza de la probabilidad en todos los niveles educativos. En los diseños curriculares, no sólo en España, sino en otros países, se sugiere iniciar esta enseñanza a una edad más temprana e introducir la probabilidad en su acepción frecuencial. La metodología recomendada está basada en la experimentación y simulación de experimentos aleatorios. Así, por ejemplo, en los estándares del NCTM se indica que los estudiantes deben explorar mediante situaciones y de forma activa, los modelos de probabilidad.

A través de la experimentación y la simulación, los estudiantes deben formular hipótesis, comprobar conjeturas y depurar sus teorías sobre la base de la nueva información. Se supone que esta metodología ayudará a superar las dificultades y obstáculos que, sobre el desarrollo de la intuición del azar han descrito distintos autores, como Fischbein y Gazit (1984).

12 febrero, 2012

ODES de CUADERNIA para Matemáticas (Primaria). Valoración

En el post titulado Los mejores contenidos multimedia para Matemáticas_Primaria, de este mismo blog, me atreví a hacer un top 10 de los mismos, argumentado, en el que no incluí los materiales educativos digitales de CUADERNIA, por olvido. En justicia le hubiera correspondido un 6º ó un 7º lugar en mi top 10.


"Cuadernia es la herramienta que la Consejería de Educación, Cultura y Deportes de Castilla-La Mancha pone a disposición de toda la comunidad educativa para la creación y difusión de materiales educativos digitales."




Actualmente,  podemos encontrar en la Biblioteca de ODES de CUADERNIA  41 ODES para Matemáticas_Primaria, sobre todo para 5º y 6º: