Suma cubos

Dada la extraordinaria acogida que está teniendo la aplicación Cuenta_cubos, y como complemento de la misma, aquí os ofrezco Suma_cubos. Espero que guste tanto como la anterior.

Obsérvese que en esta aplicación, al igual que en esta otra, 

se refuerza visualmente el modelo gráfico partes-todo. ¿Por qué este modelo es tan importante?

La investigación sobre problemas verbales aritméticos aditivos, desde diferentes enfoques, ha sido muy profusa y enriquecedora desde finales de la década de los setenta del siglo pasado. Actualmente son muchos documentos los que divulgan las conclusiones de Vergnaud y Durand (1976) o de Heller y Greeno (1979), entre otros …

Fruto de estas investigaciones, el profesorado cuenta con clasificaciones y secuenciación de categorías y tipos de problemas aritméticos verbales, en función de su estructura semántica, que muchos centros han ido incorporando al currículo de Matemáticas:

He aquí algunos buenos ejemplos de lo anterior:

Resolución de prolemas aritméticos. Eoep de Ponferrada.

Problemas aritméticos escolares. Ceip Ignacio Halcón. Lebrija.
Problemas aritméticos escolares. Metamodelos. Ceip Ignacio Halcón. Lebrija.

Si bien es importante tener en cuenta estas clasificaciones cuando elaboramos propuestas de resolución de PAEV, para no eludir ni olvidar categorías importantes y para tener en cuenta las que resultan más fáciles y más difíciles, no es menos cierto que debe ser esencial analizar el esquema mental que utiliza el resolutor cuando resuelve problemas de este tipo. Ni usted, ni yo, ni los/as alumnos/as tienen en cuenta para nada la clasificación anterior cuando resuelven un problema aritmético de estructura aditiva. Es obvio que, para resolverlo, no necesitan ni tienen que saber  si es de cambio, comparación, igualación… Es muy difícil saber cómo el/la niño/a procesa, transforma y traduce para sí la información en su cabeza…, Y es aquí, y desde la práctica en el aula, donde encuentro fundamental el esquema partes-todo, por su eficacia y sencillez y porque permite  integrar en torno al mismo todos los PAEV de nivel 1 y estructura aditiva.

Patrones numéricos, geométricos,...y álgebra básica.

Los patrones o regularidades, de todo tipo, son, sin duda alguna, la esencia de las matemáticas. Obviamente están presentes en todos los tópicos matemáticos y en todos los niveles, desde la matemática más básica a la más avanzada.

La enseñanza-aprendizaje de la matemática debe apoyarse continuamente en ellos, favoreciendo su descubrimiento, poniéndolos de manifiesto y utilizándolos… pues permiten adivinar, predecir, generalizar,...

En las aplicaciones de Didactmatic siempre se ha cuidado mucho este aspecto. ¿Por qué, entonces, desarrollo una aplicación específica, como ésta, sobre patrones?

Al tratarse de una aplicación (macroaplicación, mejor dicho) dirigida a alumnos/as del 3º ciclo de Pimaria, se busca y se facilita un grado de generalización adecuado de los mismos que se hará, siempre adecuándose al nivel de los/as alumnos/as, a través del lenguaje algebraico, el lenguaje de las matemáticas, sobre todo a través de la expresión de los términos generales de las series aritméticas que se tratan.

Por otra parte, se incluyen patrones o regularidades, íntimamente relacionados, que no es frecuente incluir en el currículo de matemáticas, y que son bastante estudiados por la matemática recreativa: patrones o regularidades en el calendario; patrones que aparecen cuando colocamos los números ordenados de una serie aritmética en tablas o matrices (filas y columnas); patrones en cuadrados mágicos; patrones en números figurados (representados por puntos o circulitos con una especial distribución en el plano- y que favorecen actividades de visualización, comparación y argumentación de diferentes procedimiento de recuento-); patrones geométricos (en construcciones planas y poliedros) ligados a series aritméticas; disecciones específicas de polígonos (para obtener a partir de 4 polígonos unitarios idénticos un polígono semejante a doble escala lineal); regularidades presentes en diagramas de factorización (que son un tipo específico de números figurados);  patrones para generalizar la solución de un problema, etc…

En definitiva, matemática relevante a la vez que recreativa, visual, interactiva, creativa, manipulativa, innovadora, …

Hace unos días, una colega docente de Lima (Perú) me comentaba que con las aplicaciones de DidactMatic ella aprendía a la par que sus alumnos/as. Y así debe ser, al menos para la gran mayoría de maestras y maestros, y no debe ser motivo de pudor ni de considerarse un docente mediocre, ni mucho menos. 

(Desde aquí un especial saludo a todos los docentes peruanos. Ese encantador y enigmático país es, después de España, el que más aprovecha las aplicaciones que ofrezco online)

Soy consciente de que muchos de los docentes que imparten el área de matemáticas, por razones diversas, no han tenido la oportunidad de vivenciarlas, ni de recrearlas, ni de  explorarlas y descubrir sus conexiones y la diversidad de sus procedimientos y métodos en cada uno de los bloques de contenidos… Si no se ha ”vivido” la Geometría, por ejemplo, se tendrán pocas expectativas en relación con este bloque… y se acabará haciendo, lo de siempre, algunas actividades de simple reconocimiento… 

Cuerpos geométricos. 2º ciclo de Primaria.

Una versión reducida y adaptada de la macroaplicación "CUERPOS GEOMÉTRICOS. 3º ciclo".

Mantiene la mayor profusión de manipulativos e interactividad que podemos encontrar en la red, así como numerosas e interesantes innovaciones. Persigue un doble objetivo: Apoyar la realización de un TALLER DE CUERPOS GEOMÉTRICOS (con la realización en cartulina de modelos geométricos aquí presentados) y la EDUCACIÓN GEOMÉTRICA VISUAL (es por ello que las aplicaciones que incluye son de una gran riqueza en modelos gráficos, tanto estáticos como dinámicos...).

VISUALIZACIÓN/MANIPULACIÓN, VERBALIZACIÓN y ABSTRACCIÓN son tres etapas esenciales en el aprendizaje de las matemáticas. El lector podrá comprobar que se propone la interpretación (verbalización) de numerosos modelos. Se debe tener en cuenta el papel primordial del profesorado en asegurar que estas intepretaciones (individuales, grupales y/o colectivas ) se lleven a cabo ya que la aplicación no puede tener control sobre las mismas, no puede valorar una producción oral de un/a alumno/a...

Recuentos aproximados y estadística básica.

Son muchas las situaciones reales de la vida en las que es prácticamente imposible, o excesivamente engorroso, o lento y poco práctico, realizar un recuento exacto de elementos: recuentos de microbios en un cultivo, recuentos de células sanguíneas en un análisis, recuentos de personas en un evento, recuento de árboles en una zona, etc...(se podrían poner muchos ejemplos diferentes en los ámbitos de las Ciencias naturales y las Ciencias sociales). En estos casos, se utilizan procedimientos para realizar un recuento aproximado más rápido, más cómodo, y con garantías de una buena aproximación al valor real de los elementos que quieren contarse.

El recuento aproximado, sus procedimientos y los múltiples contextos en que se lleva a cabo, incide directamente en el desarrollo de la Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. Podemos abordar básicamente estos procedimientos en el 3º ciclo de Primaria diseñando un contexto simple de recuento de cantidades diferentes de puntos (que pueden representar elementos reales de muy diversa naturaleza) que se distribuyen al azar en una determinada zona.

Si esa zona está dotada de una cuadrícula o rejilla auxiliar, cuyo número de celdillas se puede variar con facilidad, la cuadrícula, sin duda, sugerirá un primer procedimiento para analizar: contar el número de puntos de una determinada celdilla y multiplicarla por el número de celdillas. Pero, obviamente, este procedimiento ofrece un elevado rango de variabilidad en los resultados al tratarse de puntos distribuidos aleatoriamente en la zona considerada: diferentes celdillas tendrán diferentes números de puntos...¿Qué celdilla elegir? ¿En cuántas celdillas conviene dividir la zona? ¿Cómo elegir una muestra adecuada?

Esta aplicación permite variar el número de puntos objeto de recuento, variar la configuración de la cuadrícula o rejilla auxiliar, realizar tantas tandas de recuentos como se desee, introducir los valores estimados y/o calculados... Genera y registra de manera automática los porcentajes de error cometidos en cada recuento (aspecto clave en la verificación de hipótesis y en la regulación de los procedimientos utilizados) y los guarda para, al final, mostrarlos en un gráfico de puntos que permita al alumno/a valorar la evolución de su competencia en el recuento a partir de la evolución en sus porcentajes de error.

Se permite la investigación, la autorregulación del proceso y, a lo largo de las pantallas, se va facilitando la ayuda o andamiaje necesario para la mejora del mismo. Además de la subitización (en los casos en que hay pocos puntos en una determinada celdilla), el conteo directo y la comparación de cantidades,  el recuento aproximado implica otras capacidades numéricas menos elementales…Implica, esencialmente, la estimación de cantidades percibidas visualmente y su comparación. Es la capacidad para estimar cantidades la responsable del "buen ojo" que se tenga. Y este "buen ojo" es un aspecto determinante del grado de exactitud del recuento, independientemente del procedimiento realizado. Evidentemente no se considera nunca aquí como procedimiento válido aquel que conlleve la suma o conteo directo de todos los puntos.

A medida que se avanza en la aplicación se facilita el número de puntos de hasta 5 casillas seleccionadas (de un total de 25 en este caso), así como la serie de datos correspondientes a esta “muestra” y el cálculo interactivo de la media aritmética, la mediana y la/s moda/s (en caso de que exista/n). Se invita a los/as alumnos/as a aprovechar, como ellos consideren, estos parámetros estadísticos en su objetivo de reducir el porcentaje de error...

Además,  se utiliza la situación problemática (en forma de investigación abierta) para contextualizar aprendizajes conceptuales y procedimentales. Se ayuda al aprendizaje, mediante preguntas de verdadero/falso, analizando el procedimiento de obtención del porcentaje de error y su diferencia con el error cometido en un recuento; favoreciendo la comprensión de los conceptos de media aritmética, mediana y moda; favoreciendo la explicación argumentada de procedimientos seguidos y su mejora…

La aplicación no brinda "el procedimiento más adecuado". Este aspecto lo deja abierto a la discusión grupal y colectiva...

Llenado de recipientes y razonamiento numérico proporcional.

¿Y si conectamos un cronómetro a un grifo?

Uno de los los logros terminales más importantes, en relación con las matemáticas de Primaria, es la consolidación del razonamiento numérico proporcional (entiéndase proporcionalidad directa) al final de la Etapa Primaria. No me refiero aquí a saber el procedimiento correcto para resolver una regla de tres directa mediante un algoritmo escrito, o mediante el uso de la calculadora. Me refiero a la capacidad para inferir y calcular mentalmente múltiples resultados nuevos, a partir de algún dato conocido, en situaciones en que dos magnitudes son directamente proporcionales. Esta capacidad se pone de manifiesto, de una manera incontestable, en las tablas de proporcionalidad. En las mismas no se pide la obtención de un solo dato nuevo sino que se generaliza un razonamiento que no tiene fin.

Dada la importancia que le concedo, algunas MACROAPLICACIONES ya publicadas en este blog inciden de una manera especial en  el razonamiento numérico proporcional ("Porcentajes", "Velocidad, móviles y razonamiento proporcional", "Proporcionalidad y semejanza",...), sobre todo utilizando tablas de proporcionalidad y/o colecciones de retos basados fundamentalmente en este tipo de razonamiento numérico, aportando contextos, situaciones problemáticas, simulaciones,...que no suelen  abordarse en Primaria; siempre con un enfoque innovador y creativo, muy alejado de la pura técnica calculatoria predominante...

Esta interesante aplicación persigue, también, la consolidación del razonamiento numérico proporcional, facilitando el andamiaje necesario y guiando el proceso. A la par, se realiza una interesantísima y realista conexión entre las magnitudes CAPACIDAD y TIEMPO. Si un/a alumno/a logra completar tablas de proporcionalidad directa que implican, además, el manejo competente de diferentes unidades de las magnitudes relacionadas, podemos asegurar que ese/a alumno/a ha consolidado el razonamiento numérico proporcional.

8 Metamodelos TIC de resolución de PAEV, de nivel 1 y estructura aditiva.

Algunas de las 8 aplicaciones que brindo integradas en esta macroaplicación fueron ya publicadas en 2009, incluidas en ProblemáTICas Primaria. Pero no he parado de retocarlas, mejorarlas y ampliarlas. Y no sólo porque sea un perfeccionista, que lo soy para determinadas tareas, sino porque además de mi criterio propio, tengo en cuenta sugerencias de compañeros y docentes. 

Anteriormente ya había publicado conjuntamente los modelos 2 y 3. Y es aquí donde me han llegado sugerencias. Hay quien no entiende, o considera complicada, o artificiosa, la SUMA POR COMPENSACIÓN y LA RESTA POR DESPLAZAMIENTO, algoritmos por los que opté en el modelo 3, para asistir la fase de cálculo por considerarlos los más potentes y acordes con estrategias de cálculo mental. El modelo 3 permite visualizar una presentación interactiva donde se ilustran estos algoritmos que favorecen un cálculo estratégico.

Quiero insistir desde aquí que si queremos cambiar una suma por otra equivalente (con el mismo resultado) forzosamente hemos de utilizar la compensación ( lo que quitamos a un sumando se lo añadimos al otro). Si hacemos esto procurando que algún sumando sea una cantidad exacta de decenas, centenas,..(números redondos) podremos resolver fácilmente la suma en un número reducido de pasos. De análoga manera si queremos encontrar una resta equivalente (misma diferencia) a otra dada, pero con diferentes minuendo y sustraendo, forzosamente tenemos que utilizar alguna de estas dos opciones:
     1.- Disminuir en una misma cantidad minuendo y sustraendo.     2.- Aumentar en una misma cantidad minuendo y sustraendo.
Ambas estrategias se traducen en un desplazamiento (hacia la izquierda  y hacia la derecha, respectivamente) en la recta numérica. El desplazamiento más eficaz es aquel que lleva de una manera más fácil a conseguir que el extremo correspondiente al sustraendo sea un número redondo (142 - 28 = 144 - 30 = 114;  56 - 19 = 57 - 20 = 37; 175 - 98 = 177 - 100 = 77;  127 - 32 = 125 - 30 = 195 - 100 = 95, ...). Evidentemente, estas estrategias necesitan trabajarse específicamente.

 Entender y practicar LA SUMA POR COMPENSACIÓN Y LA RESTA POR DESPLAZAMIENTO.

Teniendo en cuenta  que estas aplicaciones han tenido mucha aceptación y han sido muy  visualizadas, atendiendo a sugerencias de docentes, considerando que son muchos los docentes que utilizan en 1º ciclo de Primaria  la suma y resta por descomposición, incluso  teniendo en cuenta que los currículos de matemáticas de determinadas comunidades autónomas prescriben la utilización de los algoritmo estándar en la resolución de problemas, ...Por todo ello, el modelo 3 se enriquece aquí con los modelos 4 y 5. 

Los modelos 3, 4 y 5 tienen en común los 30 problemas de estructura aditiva que proponen. Y tienen las siguientes características:

• Cada problema presenta enunciado verbal e imagen que lo ilustra.
• El texto del enunciado se puede subrayar con colores diferentes para identificar datos e incógnita.
• Los datos, tanto necesarios como superfluos, se generan, y se varían al instante si se desea, aleatoriamente (pero dentro de unos rangos numéricos prefijados).
• La resolución comienza completando las operaciones indicadas (introduciendo datos y seleccionando la operación correcta).
• Cuando se completa correctamente la operación indicada (expresión de la estrategia de resolución del problema) aparece el formato del algoritmo correspondiente (para la suma o para la resta).
• Una vez que se completa el formato del algoritmo correctamente, se puede introducir la solución.
• Dispone de avisos acústicos y elementos gráficos que ayudan a pasar de una fase a otra.
• Indica, en todo momento, el número correspondiente al problema que se está realizando. Registra y remarca los números de los problemas correctamente realizados. 
• Permite la navegación por los problemas tanto de manera ascendente como descendente,  o elegir directamente el número del problema que se desea realizar. No es necesario haber terminado un problema para pasar a otro. Esto permite a los docentes recorrer, si lo desean, todos los problemas propuestos y analizar más rápida y cómodamente su contenido.

Cuenta cubos.

Siete escenarios diferentes, y configurables, para trabajar diferentes aspectos de la numeración en Educación Infantil. Una atractiva versión virtual de cubos encajables.

Ordenar.

Ordenaciones crecientes y decrecientes en relación con diferentes atributos y en diferentes contextos:

- Ordenar edificios según su altura.

- Ordenar construcciones policúbicas en relación con el número de cubos.

- Ordenar lápices según su longitud (posiciones vertical y horizontal)

- Ordenar peceras según su tamaño.

- Ordenar peceras según la cantidad de agua que contienen.

- Ordenar peceras según la cantidad de peces que contienen.

- Realizar carreras realistas de 5 insectos y ordenarlos (1º,2º,3º,4º y 5º) según el orden de llegada a meta. En cada carrera las velocidades de los insectos se eligen aleatoriamente dentro de un rango, por lo que, de paso, se aborda una situación de azar (puede que no gane el insecto que creíamos que iba a ganar).

- Realizar pesadas realistas de subconjuntos de tres animales diferentes, en cada caso, y ordenarlos según su peso.

Serpiente_series

Modo1: Se asiste la construcción de la serie con ayuda del número (código de color). Se pretende que el/la alumno/a capte el patrón que sigue cada serie en base a los ritmos en que se producen las repeticiones de un mismo código numérico (color).

Modo2: En cada nivel se propone una serie aleatoria pero dentro de un conjunto de series preestablecido. Así, en el nivel 1, las series pueden presentar algunos de estos tres patrones: abababab...; abcabcabc...; aabbaabbaabb... En el nivel 2, los patrones diferentes son : abbabba...; abccabcc... y abcdabcd.... En el nivel 3, los patrones diferentes son : aabbbaabbb...; abccdabccdabccd.. y abbcabbcabbc.  Los patrones utilizados en modo 1 y modo 2 son los mismos. 

Además, para aumentar la diversidad de los retos propuestos,  en el modo 2 varía el número de anillos de la serpiente propuestos para colorear, así como la ubicación  de éstos (se elige aleatoriamente dentro de un  conjunto de 10 tipos diferentes prefijados).

Clasificar y ordenar.