Geometría 3D. Construcciones policúbicas. Codificación y determinación.

Ofrezco aquí esta versión mejorada de mi aplicación "codifica_policubos", para ilustrar lo que entiendo por "MANIPULACIÓN AUMENTADA".

En entradas anteriores (Manipulativos físicos y virtuales en la enseñanza aprendizaje de la matemática, por ejemplo) ya he tratado sobre este concepto o atributo. Se trata de una variable técnico-didáctica esencial en el diseño y desarrollo de una gran parte de mis aplicaciones y de una característica diferenciadora de las mismas estrechamente relacionada con la manipulación libre y el aprendizaje por descubrimiento.

En las diferentes escenas que integran esta aplicación, se relacionan de manera interactiva construcciones policúbicas con sus correspondientes códigos, de dos tipos: código gráfico, por capas, en el que cada cubo de una determinada capa se representa con un cuadrado; y código numérico, en el que cada número representa la cantidad de cubos apilados sobre una misma base cuadrada...

Dada una determinada construcción policúbica, resulta tremendamente fácil transformarla en otras diferentes. La aplicación muestra, al instante, la variación en el código (gráfico o numérico) cuando se mueve un cubo de lugar, o cuando se añade o quita un cubo a la construcción policúbica... Esta inmediatez interactiva a la hora de registrar y mostrar los cambios producidos no es simplemente un elemento interactivo de carácter estético o motivacional, sino un elemento clave en la comprensión de los procedimientos, métodos y conceptos que se tratan... 

Si bien la "MANIPULACIÓN AUMENTADA" se puede lograr casi específicamente con el uso de aplicaciones digitales y multimedia adecuadas (que integren las fases manipulativa, gráfica y simbólica), son pocas las aplicaciones de este tipo que se orientan hacia el desarrollo de procesos, métodos y actitudes; y menos, aún, las que potencian en su diseño e interfaz esta potente variable al servicio del aprendizaje por descubrimiento. Al respecto, estoy preparando un documento interactivo que permita hacer, con la máxima objetividad, una clasificación y comparativativa de diferentes proyectos digitales para Matemáticas_Primaria.

Precisamente sobre características relacionadas con la integración de diferentes conocimientos (sobre la disciplina - matemáticas-, tecnológicos y pedagógicos) en los proyectos digitales multimedia para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en Primaria, y sobre todo sobre la manipulación con manipulativos virtuales, ilustrando cada afirmación, tratará el minicurso que impartiré en el VIII CIBEM Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, que se celebrará en Madrid  del 10 al 14 de julio de 2017.

Acceso a las actas del VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática realizado en Montevideo (Uruguay), en setiembre de 2013.

la resolución de problemas de Matemáticas en la formación inicial de Profesores de Matemáticas.

La UEX nos brinda este extenso y riguroso monográfico sobre la resolución de problemas de Matemáticas en la formación inicial de Profesores de Matemáticas.

El capítulo 10 ( de los 14 que conforman este manual) está dedicado a la "Resolución de problemas en matemáticas y TIC. Propuestas actuales y perspectivas de futuro". Sus autores son Luis M. Casas García y José Luis Torres Carvalho.

Dividen las propuestas actuales, de forma sintética, en cinco áreas:

– Propuestas teóricas sobre resolución de problemas, entre las que destacan las recomendaciones y guías de resolución de problemas, tanto para profesores como, en algunos casos, para alumnos. 

– Herramientas para la resolución de problemas tales como calculadoras, hojas de cálculo o aplicaciones dinámicas que sirven de ayuda en el cálculo o la representación. 

– Herramientas que permiten realizar simulaciones de procesos y crear o resolver situaciones matemáticas, como pueden ser las relacionadas con la estadística.  

– Herramientas de programación, inspiradas en lenguajes como Logo o Smalltalk, que posibilitan la creación y publicación por los alumnos de aplicaciones interactivas, animaciones, simulaciones, juegos y otros recursos educativos relacionados con contenidos educativos en matemáticas. 

– Propuestas de actividades para alumnos, que, en algunos casos se asemejan a las tradicionales, pero que en otros, como veremos, ofrecen alternativas educativamente novedosas.

Se pone como ejemplo de herramientas que permiten realizar simulaciones mi macroaplicación "Laboratorio Básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria".  

Como ejemplo de este tipo de herramientas proponemos la página de Juan García Moreno, el Laboratorio virtual de Azar y Probabilidad (Figura 7): http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2010/labazar/index.htmlFigura 7. Laboratorio Básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria (Juan García Moreno). Dirigido a los últimos ciclos de Primaria y los primeros cursos de Secundaria, es un recurso multimedia en forma de página web, que ofrece multitud de instrumentos interactivos, que permiten una metodología basada en la experimentación.

En el apartado de propuestas de actividades para alumnos se contraponen mis propuestas a otras más frecuentes de corte conductista :

Prácticamente todas las aplicaciones que hemos visto coinciden en que, además de que sólo contienen los tradicionales problemas aritméticos escolares, son bastante sencillas, tanto en lo referente a su diseño como al modelo didáctico subyacente, pues responden al modelo conductista de refuerzo de los aciertos/errores del alumno. 

La página de Juan García Moreno titulada “Resolución de Problemas – Metamodelos TIC” (...), de muy buena calidad técnica, como todos sus productos, tiene una concepción totalmente distinta, ya que presenta otro tipo de problemas:

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2009/problematic/

Esta página presenta problemas aritméticos escolares, geométricos, de razonamiento lógico, o de búsqueda exhaustiva, y los agrupa en torno a seis clases o “metamodelos” (García Moreno,2011). Propone no sólo distintos tipos de problemas, sino soluciones guiadas y sistemas de ayuda al alumno. Las distintas alternativas para presentar datos o responder a los problemas planteados son sumamente variadas: introducir números, completar textos, seleccionar o desplazar elementos, construir figuras, etc. Los contenidos muy bien adaptados para alumnos de Primaria, no coinciden con los habitualmente propuestos en los libros de texto (...).

La página presenta, por otra parte, unas guías didácticas sencillas y sumamente interesantes en las que se describen pormenorizadamente el contexto y los contenidos de la aplicación, objetivos que se persiguen y se hace referencia a su interés didáctico. Como se puede constatar, las aplicaciones propuestas presentan una enorme variedad de procedimientos de resolución: insertar números, completar texto lineal y texto organizado en tablas (con completado asistido y corrección instantánea), seleccionar elementos de la pantalla, desplazar elementos gráficos, desplazar elementos textuales o gráficos, realizar pesadas en una balanza virtual con funcionamiento realista, argumentar sobre imágenes y modelos dinámicos que expresan relaciones cuantitativas, trazar líneas y caminos, construir, dibujar, componer y descomponer (cortar) figuras, etc. (García Moreno, 2011)

Contextos lúdicos para iniciarse en la descomposición aditiva y en la realización de sumas y restas mentales

Contextos lúdicos para la descomposición numérica y el cálculo mental aditivo. DidactmaticPrimaria.net. Proyecto MATE.TIC.TAC

La medida de la superficie. Áreas.

Medida de la superficie. Secuencia internivelar. Menú. Didactmaticprimaria.net

Allí donde no pueden llegar las estáticas propuestas en material impreso, ni los libros de texto ni las “versiones digitales” de éstos; Allí donde no siempre alcanza la manipulación con una cantidad considerable de manipulativos físicos; más allá de las propuestas y proyectos digitales basados en un excesivo fraccionamiento de contenidos conceptuales y en una reducidísima gama de tipologías de tareas (respuesta múltiple y algunas ordenaciones); más allá de aquellos proyectos digitales en los que es nula o casi nula la posibilidad de manipulación y descubrimiento y en los que se elude el tratamiento de procedimientos y métodos…; más allá de las propuestas digitales rutinarias para complementar libros de texto; superando los listados y colecciones de manipulables virtuales… Allí es donde se sitúan las secuencias internivelares integradas en torno a un tópico matemático como la que se presenta aquí y de las que se pueden encontrar numerosos ejemplos en este blog.

Se trata de propuestas con una profusión sin precedentes de manipulativos virtuales perfectamente integrados para experimentar la gran variedad de procedimientos y métodos en cada uno de los bloques de contenidos del área de Matemáticas en Primaria así como para diversificar y enriquecer la naturaleza de las producciones de los/as alumnos.

Tienen el valor añadido (con respecto a la gran mayoría de los proyectos digitales para matemáticas en Primaria existentes) de estar tanto del lado del docente (para apoyar sus explicaciones y propuestas) como del lado del alumno/a (permitiendo su trabajo autónomo y/o semidirigido). Si ya son considerables las innovaciones que presentan a la hora de mostrar y tratar los contenidos, hay que destacar que desde su diseño se han implementado, como variables didácticas esenciales, la posibilidad de manipulación libre (tanto para que el profesorado construya sus propias ejemplificaciones y modelos como para dar al alumnado la posibilidad real de descubrir) y la de resolver los retos propuestos por el diseñador. A esto hay que sumar su excelente interactividad y un elevado grado de configuración de las aplicaciones.

Todo lo anterior convierte a estas secuencias integradas en poderosos y eficaces instrumentos para la enseñanza y el aprendizaje de matemáticas en Primaria. Pero son muchas más las variables epistemológicas y didácticas que se han considerado e implementado en su cuidado diseño fruto de una larga experiencia: equilibrar el rigor de los contenidos con el atractivo en su presentación, la gran variedad de retos que proponen y son capaces de corregir, las innovaciones vanguardistas que presentan, la búsqueda integradora de conexiones productivas entre conceptos y tópicos que se tratan…

Frente a una visión estática de la matemática, presentan una visión dinámica de la misma. Frente a una excesiva fragmentación de los contenidos conceptuales (en la que se busca aparentar exhaustividad, o bien administrar mejor la publicidad que va aparejada a cada unidad diferente de contenido,  o bien adecuarse a una justificación de los  la bondad de los "big data" en educación –con algoritmos poco fiables en la actualidad- y con utilidad dudosa, o bien adecuarse a su utilización en plataformas digitales…) se propone la integración de los mismos como forma más apropiada de desarrollar la competencia matemática. Frente al tratamiento de contados casos particulares, se busca el máximo de generalización con aplicaciones casi "inagotables" a las que se puede volver una y otra vez sin tener que hacer lo mismo que la última vez... 

Frente a una matemática dogmática y encorsetada, se propone una matemática flexible y creativa. Frente a una matemática unidireccional y convergente ("¿Cuál es el área de esta figura?") se propone una matemática bidireccional y divergente ("¿Cuál es el área de esta figura?" -----"Encuentra diferentes figuras de área 5 unidades cuadradas") Frente a la apariencia y el marketing como prioridades, se propone la esencia como más ajustada a la verdad; Frente a una matemática de lo mecánico y rutinario se propone una matemática de la comprensión, de lo cognitivo y metacognitivo, experimental y constructivista. Frente a una matemática que margina todo aquello que no sea cálculo se propone una matemática que reivindica la geometría, la medida, el tratamiento de la información, la estadística, el azar y la probabilidad y, sobre todo, una amplia y rica concepción de la resolución de problemas en Primaria. 

Cálculo estratégico de áreas.

En algunas comunidades autónomas del estado español (Comunitat Valenciana, por ejemplo) aparece como contenido de 2º Ciclo (en 4º concretamente) la determinación y cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos utilizando unidades no convencionales.

No es el caso de Andalucía,  a pesar de que sí que aparecen contenidos relativos a perímetros de figuras, ángulos,... en el 2º ciclo de Primaria. En Andalucía, contenidos y procedimientos relativos a la cantidad de superficie que ocupa una figura (un atributo visible y cuantificable de la misma) no aparece de manera explícita hasta el 3º ciclo de Primaria…

No obstante, en primer ciclo (Andalucía)  ya aparecen contenidos tales como:

• Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por composición y descomposición.
• Búsqueda de elementos de regularidad en figuras y cuerpos a partir de la manipulación de objetos.

En segundo ciclo (Andalucía) se contemplan investigaciones sencillas, que pueden estar relacionadas con la geometría y la medida, se explicitan criterios para el perímetro tales como:

• MAT.2.12.1. Comprende el método de cálculo del perímetro de cuadrados, rectángulos,triángulos, trapecios y rombos. (CMCT).
• MAT.2.12.2. Calcula el perímetro de cuadrados, rectángulos, triángulos, trapecios y rombos, en situaciones de la vida cotidiana. (CMCT)

También se “agrupan” en un mismo nivel de dificultad longitud, masa y capacidad, por la regularidad (de 10 en 10) que presentan sus unidades en el SMD y quizá, también, por el peso de la tradición escolar que pone el énfasis en reducir los atributos geométricos a su cuantificación y expresión en diferentes unidades y trabajar las equivalencias de unidades más que las propias estrategias de determinación y cálculo.

En 3º ciclo (Andalucía) ya aparecen contenidos tales como:

• 3.1. Unidades del Sistema Métrico Decimal de longitud, capacidad, masa, superficie y volumen.
• 3.7. Desarrollo de estrategias para medir figuras de manera exacta y aproximada.
• 3.11. Comparación de superficies de figuras planas por superposición, descomposición y medición.
• 3.12. Sumar y restar medidas de longitud, capacidad, masa, superficie y volumen.
• 4.10. Perímetro y área. Cálculo de perímetros y áreas.

Si presento esta aplicación como adecuada "a partir de 4º" es debido a mi experiencia en el aula. Los/as alumnos/as de este nivel comprenden (más con aplicaciones de geometría dinámica como ésta) estrategias, basadas en la composición y descomposición de figuras y en la reagrupación de sus partes haciendo uso de traslaciones traslación y giros; comprenden sencillas relaciones de reunión o multiplicidad en las figuras que pueden aplicar a la determinación de la cantidad de superficie (área) de éstas y su expresión en unidades no convencionales.

La aplicación presenta diferentes colecciones de figuras que pueden ser aprovechadas de múltiples formas, tanto de manera individual como grupal y colectiva, y/o que pueden servir de estímulo para otras tareas no propuestas en la misma:

Elegir una figura y explicar (oralmente y/o por escrito) el procedimiento seguido para expresar su área (cantidad de superficie) en unidades no convencionales.

Formar familias de figuras de igual área atendiendo a diferentes criterios ( con 4 escuadras, con 8 escuadras, con 9 triangulos equiláteros idénticos, ...

Manipulativos físicos y virtuales en la enseñanza aprendizaje de la matemática.

El número 75 de UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas (enero de 2017) lleva por título "Virtuales y manipulativos se complementan". Se trata de un monográfico en el que hemos aportado nuestra visión sobre esta temática Antonio Pérez Sanz, Joan Jareño, Raúl Fernández, José Ángel Murcia, Lluis Cros y yo.

Aquí ofrezco el artículo que lleva mi firma en el que, de manera bastante condensada, ofrezco mi experiencia y conocimientos sobre el tema:

Manipulativos

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Jugando con la trama de puntos interactiva...

Comprobando el correcto funcionamiento de la aplicación Trama de puntos interactiva, me encontré con una situación que llamó poderosamente mi atención. Aunque lo que voy a exponer a continuación excede el nivel al que suele ceñirse este blog, puede que algunos/as lectores/as encuentren útiles algunas de la reflexiones que aquí expongo.

Ante todo, lo que sigue es consecuencia directa de la posibilidad de "manipulación libre" que implemento en la gran mayoría de las aplicaciones que diseño, lo cual les confiere un enorme potencial para favorecer "el aprendizaje por descubrimiento".

 

La situación tiene que ver con la trama ortométrica y un problema de geometría euclídea. Elegí un punto como centro y comencé a trazar circunferencias concéntricas de manera que la sucesión de éstas fuera alcanzando los puntos de la trama sin dejar ninguno de ellos sin estar contenido en alguna circunferencia.

 

Lo que me llamó poderosamente la atención es que la serie de las circunferencias obtenidas parece no seguir ningún patrón, a pesar del orden tan patente que organiza los puntos de la trama. Se pueden encontrar dos circunferencias concéntricas consecutivas de radios muy próximos y la siguiente distanciarse "bastante" de las anteriores...

 

Evidentemente, si tomamos como unidad la distancia mínima entre dos puntos próximos de la trama (que podemos considerar dentro de un plano, es decir, infinita), la primera circunferencia tiene de radio 1, la segunda tiene de radio (raíz cuadrada de 2),... y la diferencia entre los radios de dos circunferencias consecutivas va a ser siempre menor que 1.

 

Me fijé en diferentes variables (número de puntos de la trama pertenecientes a cada circunferencia, radio de las circunferencias trazadas, coordenadas de los puntos,…)

 

Para la determinación de la primera variable, basta realizar una adecuada y exacta construcción de las circunferencias (para ello la trama de puntos interactiva es ideal aunque limitada) y con saber contar.

Así, la serie del número de puntos de la trama perteneciente a cada circunferencia es :

 4, 4, 4, 8, 4, 4, 8, 8, 4, 8, 4, 8, 12, 8, …. 

Parece ser que una circunferencia cualquiera de esta serie de circunferencias concéntricas siempre va a tener un número de puntos de la trama múltiplo de 4. Pero, ¿presenta esta serie alguna regularidad o patrón que permita obtener la fórmula que nos dé el número de puntos de la trama perteneciente a una circunferencia cualquiera en función  del número de orden de ésta? ¿Se podrá encontrar una circunferencia en la serie que contenga un número de puntos de la trama que sea múltiplo de 4 y tan grande como deseemos?

 

Aunque no lo he investigado a fondo, yo personalmente no encuentro ningún patrón que permita determinar con exactitud la serie de números anterior.

 

Para la determinación de la serie ordenada de números correspondientes a los radios de las circunferencias, se necesita hacer uso del famoso teorema de Pitágoras ( que es ya un contenido de Educación Secundaria). Aplicando este teorema se obtiene con facilidad la serie de radios:

(Aunque las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos - en verde- son números naturales, he preferido unificar, en forma de raíces, la presentación de la serie)

La situación anterior se puede formular de otras maneras equivalentes: Dada una circunferencia con centro en el origen de coordenadas cartesianas, determinar los radios de las circunferencias que tienen al menos 4 puntos cuyas coordenadas son números enteros. Así la circunferencia de radio 1 tendría 4 puntos de coordenadas enteras [(0,1), (-1,0),(0,-1) y (1,0)]. 

Con un radio mayor que 1 y menor que raíz de 2 no existe ninguna circunferencia con centro en el origen (0,0) que tenga puntos con coordenadas enteras...

¿Habrá alguna circunferencia con centro en el origen de coordenadas que tenga un número (múltiplo de 4) tan grande como se desee de puntos con coordenadas enteras?...

¿Cómo determinar los radios de las circunferencias que tienen al menos cuatro puntos de coordenadas enteras? Yo no soy capaz de encontrar ningún patrón en la serie de radios de estas circunferencias (no tiene por qué haberlo). 

Por analogía, se puede plantear la misma situación en la trama isométrica. Tampoco encuentro ningún patrón a excepción de que los puntos de la trama contenidos en cada circunferencia son múltiplos de 6 : 6, 6, 6, 12, 6, 6, 12, 6, 12, 12, 6, 6, ......., 18,...

Casi con toda seguridad, esta situación ya habrá sido matematizada anteriormente por alguien. Yo lo desconozco y, por si acaso, la dejo aquí, como problema abierto a la comunidad de "matemáticos"...

(Agradecería mucho cualquier información, enlace o comentario al respecto)

Algunas reflexiones relacionadas con lo anterior:

1.- La búsqueda de patrones o regularidades debe ser el motor fundamental de la actividad matemática en cualquier nivel. Se puede llevar a cabo desde Educación Infantil, constituye una valiosa fuente de aprendizaje y es imprescindible en una matemática enfocada al aprendizaje por descubrimiento. Es un contenido procedimental general de carácter transversal con respecto a todos los contenidos de la Matemática y de las otras disciplinas.

Ejemplo: Hoy mismo mis alumnos/as de 5º han ampliado considerablemente los criterios de divisibilidad que se dan en el libro de texto (por 2, por 3, por, 5, por 9 y por 10) con otros descubiertos y expresados por ellos (por 6, por 15, por 20, por 25, por 50, por 100, por 200, por 250, por 500,...) a partir de la visualización en la PDI de series de múltiplos de los números anteriores.

2.- No sólo existen patrones numéricos. Es fundamental trabajar los patrones geométricos, porque Geometría y Numeración están estrechamente relacionados, como es el caso de la situación con la que he iniciado este post, y porque son especialmente atractivos e intuitivos y favorecen la captación y expresión de las regularidades... 
( Ver Trama de puntos interactiva  y  Regularidades en matemáticas. Patrones)

3.- La propia matemática se constituye, así, en un contexto ideal en el que podemos plantear numerosas situaciones atractivas para descubrir patrones y regularidades en relación con cada uno de los contenidos que se tratan en el currículo de matemáticas. 

Geoplano "constructor" de nueve puntos.

Mascotas. Estadística para primer ciclo.

Mascotas. Estadística. 1º ciclo de Primaria. Didactmaticprimaria.net

¡Que divertido es pesar!

¡Qué divertido es pesar! Didactmaticprimaria.net