13 junio, 2013

Matemática experimental



(Ver a pantalla completa)

He aquí un estupendo recurso, bien diseñado y que apuesta por la experimentación en matemáticas. Te aconsejo que hagas un recorrido por esta exposición interactiva.

01 junio, 2013

Geometría creativa y constructiva en Educación Primaria

Esculturas con cubos y fracciones de cubo
Esculturas con cubos y fracciones de cubo
Sólidos platónicos
Poliedros. Clases
La imagen de la izquierda corresponde a la aplicación "policubos" que se ofrece en este blog. Pone de manifiesto correspondencias entre diseños figurativos planos formados por cuadrados y medios cuadrados (escuadras) y diseños figurativos tridimensionales formados con cubos y mitades de cubo. La aplicación ayuda a intuir y comprender el paso del plano (2D) al espacio tridimensional (3D) abordando, a la par, el diseño creativo...


Diseños 3D figurativos compuestos por cubos, semicubos y pirámides 1/3 de cubo.

Sólidos platónicosPoliedros. Clases
En la aplicación "policubos II" se profundiza en el diseño libre con cubos y mitades de cubo con diferentes orientaciones espaciales.
Copiar figuras

Aplicaciones como "Copiar figuras" son ideales para el desarrollo de la percepción analítica que, como ya indiqué en un post anterior, es a la geometría lo que la comprensión lectora es a la lectura. Esta percepción analítica está favorecida por la referencia visual de la cuadrícula e implica la interiorización progresiva de aspectos topológicos, métricos y geométricos que no se pueden obviar. Ya en otros post he tratado con  profundidad el potencial didáctico de cuadrícula y tramas de puntos para abordar múltiples contenidos geométricos a lo largo de toda la etapa Primaria: "Regularidades en el plano. Mosaicos, cenefas, celosías,..", "Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas",...

El libro "Materiales para construir la geometría" (de Claudi Alsina, Carme Burgués y Josep Mª Fortuny. Colección "Matemáticas: cultura y aprendizaje", número 11. 1988) comienza con un párrafo que yo he citado ya en diferentes sitios que, a mi juicio, orienta la didáctica de la Geometría en la escuela y en el que creo firmemente:
"Vivir la Geometría en la escuela puede ser una experiencia feliz si basamos su aprendizaje en actividades constructivas, sensibles y lúdicas. De todas las disciplinas matemáticas la Geometría es la que mayores posibilidades ofrece a la hora de experimentar, mediante materiales adecuados, sus métodos, sus conceptos, sus propiedades y sus problemas. Es por ello que la enseñanza geométrica no debe sucumbir a las limitaciones formales, simbólicas y algebraicas de los conocimientos matemáticos: será precisamente es este primer estadio de sensibilidad donde el tacto, la vista, el dibujo y la manipulación permitirán familiarizar al alumno con todo un mundo de formas, figuras y movimientos sobre el cual asentar posteriormente los modelos abstractos"
Pero, además, a través de las formas, figuras y movimientos el alumno se adentra en un terreno de estética, de belleza,...sensaciones que, casi sin excepción, a todos nos produce esa especial perfección y armonía que percibimos en múltiples formas geométricas. 

No cabe, duda, por tanto, de que el tratamiento de la geometría, sobre todo de la geometría construida por los alumnos, incide de lleno en la educación en valores: si bien el reconocimiento y sentimientos de la armonía y belleza en relación con sus propias producciones  geométricas tiene una componente subjetiva (y por tanto hay que desarrollar también esa sensibilidad) para el alumno, por otra parte éste asume con facilidad que el grado de exactitud, armonía y belleza tiene una componente objetiva que está directamente relacionada con su interés y esfuerzo por lograr perfección en el trazado y construcción de formas, ...

Sólidos platónicosNo cabe duda de que las TICs, en conjunción con multitud de software específico de geometría dinámica,  están facilitado enormemente una visión creativa, dinámica e interactiva de la Geometría que no era posible, o al menos muy difícil, hace relativamente pocos años. Este hecho trae consigo, de manera ineludible, nuevos enfoques e innovaciones del currículo de geometría, también a nivel elemental.

Pero en Primaria no resulta fácil acercar a los alumnos/as el mundo de lo tridimensional, mediante aplicaciones virtuales,  de manera que suponga para ellos una experiencia  que conlleve, además, aprendizaje relevante. No al menos en la misma medida que para las figuras planas. No resulta nada fácil, por ejemplo, realizar diseños tridimensionales con Geogebra o algún otro software parecido. ¿Qué aplicaciones virtuales permiten a alumnos/as de Primaria la composición/descomposición de cuerpos tridimensionales? Nos tenemos que conformar con facilitarles la visualización de poliedros y estructuras poliédricas, incluso mostrarles poliedros que se transforman en sus correspondientes desarrollos planos, y viceversa; pero poco más...

He aquí algunas de las aplicaciones que se ofrecen en este blog que permiten trabajar diferentes aspectos de sólidos tridimensionales:




3D-poliedrosGeneración y codificación de policubos por capas
Desarrollos planos alternativos para un mismo poliedro.
Secciones de prismas, pirámides , cuerpos redondos y sólidos de revolución.Cubos, policubos y fracciones de cubo.

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A pesar de lo variado de estas aplicaciones y del indudable interés didáctico que supone la manipulación de modelos ya construidos, es necesario proponer a nuestros alumnos/as otras actividades "analógicas", de índole constructiva, manipulativa y lúdica que hagan uso de los procedimientos fundamentales de la Geometría: el dibujo y la construcción de modelos. Actividades que los ayuden a desarrollar y adquirir dominio en el trazado, doblado, recortado, pegado, construcción, etc; que desarrollen actitudes de perseverancia y afán de superación...

En el siguiente vídeo recojo algunas de las actividades de este tipo que he propuesto yo a alumnos/as de 5º y 6º. Podéis consultar, también, "Origami modular en Primaria". Espero que las encontréis interesantes y sugerentes:





Quiero acabar este post saltando de lo básico de esta temática, a lo más avanzado . Lo que nos muestra el siguiente vídeo es impresionante, alucinante,...


Inspirado por la división celular, Michael Hansmeyer escribe algoritmos que diseñan formas y figuras con millones de facetas extremadamente fascinantes. Ninguna persona podría delinearlas a mano, pero son construibles, y podrían revolucionar la manera en la que concebimos la forma arquitectónica.

Educación y tecnologías. Las voces de los expertos.

Educación y tecnologías. Las voces de los expertos.
Educación y tecnologías. Las voces de los expertos.


27 mayo, 2013

Kit internivelar para la enseñanza-aprendizaje de fracciones, decimales y porcentajes

Kit Internivelar para la enseñanza aprendizaje de fracciones decimales y porcentajes
kit_Internivelar_Fracciones_Decimales_Porcentajes





Tal y como anuncié en el post  “Fracción de un número y estimación de fracciones sobre la recta numérica” (19 de marzo), he estado preparando una macroaplicación sobre fracciones que al final ha tomado la forma de este “KIT INTERNIVELAR PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE FRACCIONES, DECIMALES Y PORCENTAJES”. Este trabajo, que me ha ocupado más tiempo del que yo pensaba, ha sido el responsable del bajo número de nuevos post publicados en este blog desde esa fecha. Todo ello a pesar de que se nutre de algunas aplicaciones preexistentes que han sido revisadas, adaptadas y mejoradas ( como es el caso de la resolución de problemas con fracciones asistida por ordenador). Además se han añadido otras nuevas para hacerlo más completo y útil a su propósito. Aún así se encuentra en “fase beta” ya que sus apartados son susceptibles de ampliación…


A pesar de ello, como puede comprobar el/la lector/a, es profuso en modelos interactivos que se ponen tanto al servicio del profesorado (para apoyar sus explicaciones) como del lado del alumnado (para facilitar la comprensión de conceptos y procedimientos; para ayudar a establecer  relaciones; como base de argumentaciones, etc.) y, a mi juicio ilustra que sigue cabiendo cierta innovación metodológica en un tópico matemático tan tratado como éste y sobre el que existe una gran cantidad de contenidos educativos multimedia excesivamente homogénea... 


 ¿Por qué un  kit como éste? Con frecuencia se observa en blogs de matemáticas que para este tópico (fracciones-decimales-porcentajes), también para otros, se ofrece un popurrí de imágenes-enlace a microaplicaciones de índole diferente (tanto desde el punto de vista de la autoría como, sobre todo, desde el punto de vista de su enfoque metodológico y de su interés y calidad didáctica) con contenidos que a veces se solapan y que favorecen una visión excesivamente rutinaria, fraccionada o incompleta de lo esencial en este tópico. Predominando, por otra parte, los enfoques que ponen el énfasis en lo mecánico que aquellos que apuestan por favorecer el aprendizaje por descubrimiento.


Por otra parte, contenidos esenciales de este tópico (equivalencia de fracciones, fracción de un número, nociones básicas de divisibilidad, cálculo de porcentajes, equivalencia fracción- número decimal-porcentaje) se basan en un pequeño número de conceptos y relaciones que empiezan a abordarse con cierta profundidad en 4º y 5º de Educación Primaria (y se siguen ampliando en cursos posteriores), siendo un correcto enfoque del mismo el tratamiento del campo conceptual de la multiplicación-división orientado hacia el desarrollo del razonamiento numérico proporcional (-que ya traté con profundidad en "velocidad, móviles y razonamiento matemático"- ya que el significado de relación o proporción de una fracción es fundamental), de estrategias de cálculo mental (ya que fracciones y porcentajes sencillos se utilizan con frecuencia en situaciones cotidianas y su manejo  competente involucra las principales estrategias que conforman el sentido numérico) así como de estrategias de representación y modelado gráfico de situaciones problemáticas (que facilitan enormemente la visualización, captación y expresión de relaciones así como el aprendizaje por descubrimiento).

"Largo es el camino de la enseñanza por medio de teorías, breve y eficaz por medio de ejemplos". 

                                                                           Lucio  Anneo  Séneca   

Como complemento a este recurso, me parece adecuado colocar aquí este estudio teórico práctico sobre fracciones-decimales-porcentajes:
  

20 abril, 2013

"Geofraccionador". Taller de fraccionamiento de figuras.


El nuevo recurso que brindo al público en esta entrada surge como evolución de otras aplicaciones centradas en el diseño de figuras sobre tramas de puntos virtuales e interactivas: "Copiar figuras", "Geoplanos", "Geoplano Inteligente", "Áreas de polígonos con vértices en una trama ortométrica", "Área de polígonos con vértices en una trama isométrica", "Pizarras geométricas", y otras...Todas ellas inciden de manera ideal, a mi juicio, en el desarrollo de la percepción espacial - tanto analítica como sintética-, que es a la geometría lo que la comprensión lectora es a la lectura.

Lo esencial en un geoplano virtual no es que represente con mayor o menor realismo los vértices o pivotes ni los "elásticos", a modo de un geoplano analógico. Como ya indiqué en  el post "Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas", el interés didáctico de los geoplanos ( sean dibujados, analógicos o digitales) reside en que son modelos finitos del plano, con una geometría finita: un número finito de puntos (puntos de la trama o vértices de la malla), de longitudes de segmentos, de valores angulares, de polígonos; un número finito de valores para el perímetro y el área de éstos,  etc...

Este nuevo recurso, que he bautizado con el nombre de "GEOFRACCIONADOR", está pensado para ser utilizado como "taller de fracciones" (aunque su interés es innegable para el estudio de áreas de figuras por composición/descomposición). Aunque me encantan los materiales didácticos analógicos, creo que no cabe duda del valor añadido que aportan los correspondientes materiales virtuales bien diseñados (ver "Material didáctico analógico vs material didáctico digital"). Así, "GEOFRACCIONADOR" añade nuevas dimensiones y posibilidades a las de materiales analógicos diseñados para la representación y estudio de fracciones, tales como los que aparecen en "eje" ("Espacio Jordi Esteve" página web de materiales manipulativos por la enseñanza de las Matemáticas. Un proyecto del grupo PuntMat: Ana Cerezo, Cecilia Calvo, David Barba y "mirones asociados"):


Espai Jordi Esteve


 Como "geoplano virtual" que es, permite la fácil obtención de polígonos pulsando sobre los vértices del mismo. Para adecuarlo especialmente al fraccionamiento, el polígono unidad (rectángulo, cuadrado o triángulo equilátero) se puede fraccionar en un número variable de partes iguales, variando a la par el número de puntos interactivos que se sitúan en los vértices de cada una de las partes. Además, se pueden trazar varias (hasta 12) figuras_fracciones del polígono unidad con diferente color, desplazables y semitransparentes,  para facilitar su comparación. Esta comparación se puede llevar a cabo por dos procedimientos esenciales: el adosamiento sin solapamiento (que equivale a la suma) y por superposición ( que sirve para ilustrar diferencias así como para captar relaciones de multiplicidad- multiplicación y división-).

La aplicación, además, en modo "manipulación libre", muestra las fracciones numéricas que se corresponden por el color con las fracciones figurativas. Se trata de un "geoplano virtual inteligente" en el sentido de que guarda alguna/s características de los polígonos trazados ( la fracción de la unidad que representan, el número de vértices, la longitud de los lados, etc...). De esta manera favorece el descubrimiento  y expresión de relaciones ( en modo manipulación libre) así como el proponer retos de determinación de polígonos que reúnan determinadas características y su comprobación.

Geofraccionador I

(Pulsar sobre la imagen para abrir la aplicación)



Como ya he indicado anteriormente, el gran potencial de esta aplicación se alcanza en modo "MANIPULACIÓN LIBRE" (tanto del lado de profesores/as como de alumnos/as) cuando se utilizan las características de diseño de la aplicación y el apoyo visual de las figuras para ilustrar, descubrir y expresar relaciones entre fracciones numéricas. 

A continuación se ofrecen algunas imágenes que sugieren el potencial didáctico de esta aplicación:



Ilustración gráfica del concepto "fracciones equivalentes".
Diferentes fracciones del rectángulo unidad. Correspondencia de color entre fracciones gráficas y numéricas.
Diferentes fracciones gráficas del triángulo equilátero unidad para el estudio de relaciones de reunión y multiplicidad entre ellas y expresión de las correspondientes relaciones numéricas implícitas.
Comparación gráfica y numérica de fracciones de una misma unidad. Suma (adosamiento sin solapamiento) y resta (superposición) de fracciones. Predecir el resultado numérico a partir del gráfico para demostrar la coherencia de las operaciones numéricas con fracciones.

Sencillas relaciones de multiplicidad entre fracciones de la misma unidad. Correspondencia gráfico-numérica.







19 marzo, 2013

Fracción de un número y estimación de fracciones sobre la recta numérica


Os presento dos aplicaciones que no siendo nuevas no estaban incluidas en la colección de "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_II". En realidad, la primera de ellas, "FRACCIÓN DE UN NÚMERO", se había incluido incompleta, sin la parte práctica. La versión definitiva de ésta así como la segunda aplicación "ESTIMACIÓN DE FRACCIONES", se me habían "traspapelado".


Fracción de un número. Comprender y practicar.


Estimación de fracciones sobre la recta numérica

Ambas aplicaciones, no obstante, se incluirán como apartados o subapartados del menú de una  macroaplicación  internivelar que estoy preparando sobre fracciones.

06 marzo, 2013

Perímetros. Una propuesta internivelar



Perímetro y área son dos magnitudes geométricas fundamentales en el estudio de las formas planas. Con demasiada frecuencia el estudio de estas dos "variables" es excesivamente rutinario, sin buscar conexiones entre ambas, y enfocado, con excesiva prisa, hacia el cálculo numérico de perímetros (lo que empobrece su vertiente y significado geométricos). Esto no es sino consecuencia lógica y directa de la tradición escolar y de nuestra formación en matemáticas y su didáctica.

Los propios conceptos matemáticos no son estáticos sino que evolucionan paralelamente a la historia de las matemáticas enriqueciéndose e interconectándose unos con otros de manera cada vez más rica y creativa. Así, por ejemplo, la geometría fractal ha puesto de manifiesto que una región de área finita puede tener un perímetro infinito (ver Curva de Koch). Sirva esto último para justificar el estudio de relaciones básicas perímetro-área en la enseñanza de las matemáticas básicas tendente a que los/as alumnos/as descubran familias de figuras isoperimétricas coincidentes en área, familias de figuras isoperimétricas  no coincidentes en su área, modificaciones perimétricas que no varían el área (lo cual conecta de manera natural con buena parte de la obra artístico matemática de Mauritius Cornelius Escher- embaldosados figurativos-), etc...

¿Hasta qué punto los docentes comprendemos, experimentamos, exploramos y conectamos los contenidos que queremos que nuestros/as alumnos/as aprendan? 

[...] Pero hay algo más. Y se trata de algo que he llegado a creer, por contraste con aquello de lo que tengo evidencia a través de la investigación: creo que los niños necesitan jugar más. Esto se debe a que las matemáticas se ocupan de abstracciones. El álgebra y la geometría pueden ser vistas como un juego con reglas más o menos arbitrarias sobre objetos que son abstracciones (por cierto, ambas materias resultan ser útiles en el mundo real, pero no tratan sobre eso). ¿Cómo podrían aprender los niños a usar el álgebra y la geometría? Si tienen muchas experiencias concretas de las que abstraer. Logramos eso bastante bien en nuestras clases, pero también necesitan la práctica de jugar con las abstracciones. Y los niños son muy buenos en ésto; inventan juegos todo el tiempo. Me gustaría ver mucho más juego matemático en la escuela primaria.
Pero, ¿deberían todos los maestros tener más experiencia matemática? Sí, aunque sospecho que hay muchas cosas en las que deberían tener más educación: alfabetización, psicología infantil... Lo que me gustaría ver, no obstante, es que todos los docentes tengan una educación en matemáticas al punto de ser positivos respecto de ellas, que tengan confianza en sus conocimientos según el nivel que enseñan, y que sepan lo suficiente como para alentar a sus alumnos para aprender la materia.Mucho más importante es que los maestros especializados en Matemática posean una mayor comprensión matemática. Creo que ningún maestro tiene jamás lo suficiente. Somos profesionales como docentes de Matemática, y los profesionales deben comprometerse con el desarrollo profesional en su área de trabajo. Si esperamos eso de las estrellas del fútbol, ¿por qué no de los profesores de Matemática? Imaginar que un profesor de Matemática puede dejar de aprender sobre la materia equivale a sugerir que un equipo de fútbol de primer nivel puede dejar de entrenarse.


Este nuevo recurso no sólo va dirigido a alumnos/as (que son siempre los destinatarios finales). Como casi todos los que diseño, está pensado, en primera instancia,  para los docentes. Pretendo favorecer, con el mismo, una visión más rica y amplia de la enseñanza-aprendizaje de los perímetros que no se reduzca a una simple medición y suma de longitudes... Invito a los docentes que no hayan experimentado o reflexionado suficientemente sobre este tópico a que, de una manera especial, realicen ellos mismo las exploraciones que se proponen en el apartado cuarto del menú ("Exploración de relaciones perímetro-área. regularidades").


25 febrero, 2013

Velocidad, móviles y razonamiento matemático

Ofrezco aquí la versión definitiva (ampliada y mejorada) de esta aplicación que ya fue presentada y tratada en dos post anteriores: 



    Se trata de la versión con la que a finales de septiembre me decidí a participar, un año más, en la convocatoria a  Premios al desarrollo de Materiales Educativos_2012 del Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado (INTEF). En esta ocasión no he obtenido premio, lo cual asumo con total naturalidad y deportividad después de haber sido premiado en cinco convocatorias consecutivas... 



    Está pensada para niños/as del tercer ciclo de Primaria así como para la atención a la diversidad en ESO. Dispone de guías (didáctica y de utilización) así como de una justificación de la propuesta.


    Pantalla de acceso a los diferentes apartados de la aplicación


    05 febrero, 2013

    Cuestión de Educación

    Para la reflexión sobre el sistema educativo, la formación del profesorado y otras cuestiones educativas y culturales  en España...



    http://www.lasexta.com/videos/salvados/2013-febrero-3-2013020300007.html


    02 febrero, 2013

    Resolución de problemas de matemáticas en Primaria. Problemas "de competencias"





    En el curso escolar 2008-2009 participé en un Grupo de Trabajo organizado por el CEP de Lebrija (Sevilla) y coordinado por mi colega y amigo Domingo Galán Ojedo que tenía como objeto el diseño de problemas aritméticos escolares de diferentes niveles y tipos. A él se debe, creo, la denominación de "problemas de Competencias" que aparece en el documento de arriba y en el título de este artículo. No sé si es la denominación más adecuada pero ésta, de cualquier modo, no es una cuestión fundamental aquí. Me propongo, en cambio, analizar las cuestiones didácticas fundamentales que guían este novedoso enfoque de la RP (resolución de problemas).

    En el artículo Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV) (sábado, 27 de octubre de 2012) expliqué con detalle - y listado de recursos TIC- el método fundamental que sigo en la resolución de PAEV, en el que van de la mano el desarrollo de competencias lingüísticas y el desarrollo de competencias matemáticas. Como se verá a continuación, el enfoque de "problemas de Competencias" , entre otros aspectos, hace hincapié también, y de manera especial, en la importancia de la lectura comprensiva de información escrita, tabulada y gráfica...Dicho de otro modo, contempla la RP como tarea ideal para el desarrollo conjunto de competencias lingüísticas y matemáticas. Todo ello en consonancia con la normativa educativa andaluza para el tratamiento de la lectura desde cada una de las áreas curriculares...

    ..."el proyecto educativo incorporará los criterios generales para el tratamiento de la lectura y la escritura en todas las áreas y materias del currículo" ... 
    (Instrucciones de 11 de junio de 2012 de la Dirección General de Ordenación Educativa sobre el tratamiento de la lectura para el desarrollo de la competencia en comunicación lingüística...)

    El documento que encabeza este artículo es un cuadernillo de problemas tal y como se entrega a los/as alumnos/as. Presenta siete situaciones (propuestas por varios maestros/as diferentes) que han sido abordadas, cada una de ellas, mediante numerosos problemas enlazados...

    Una característica común a todos y cada uno de ellos, que salta a la vista, es que la información textual , tabular y gráfica es profusa. Se pretende que los/as alumnos/as de segundo y tercero ciclos de Primaria se acostumbren a enfrentarse, en clase de Matemática y en relación con la RP,  con informaciones no necesariamente cortas  y fragmentadas - como suele ser habitual - sino que deben asumir que en clase de Matemáticas también se lee, que la lectura comprensiva y el análisis de la información es la fase inicial del proceso de RP. Ilustra, además, la naturalidad y la frecuencia con que se presenta información textual y, sobre todo, la tabulada y gráfica, para abordar la matemática de las situaciones de la vida diaria...

    Un centro de interés o situación real y cotidiana (equipo de natación, cumpleaños, carnaval, boda, comedor escolar,...) aglutina un conjunto de problemas perfectamente contextualizados (datos reales, situaciones y lugares reales,...) que abordan dicha situación desde diferentes puntos de vista de interés matemático, implicando contenidos de los diferentes bloques (números y operaciones, medida, formas y orientación en el espacio, tratamiento de la información,...). En cada situación, la información facilitada (de entrada) así como la información relativa al procesamiento de ésta (operaciones indicadas, cálculos,...) y las soluciones, se integran de manera ordenada en el espacio del papel.