De nuevo me veo llevado a hacer un
análisis crítico de ciertos aspectos en torno al “método ABN” y al correcto
enfoque del cálculo en la escuela en relación con las características del
cálculo en nuestra sociedad. Soy consciente de que hacer afirmaciones
rotundas al respecto nos lleva a un terreno no exento de peligros.
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| Fuente: "algoritmo abn" |
El
blog “Algoritmos ABN” es uno de los sitios de referencia para la didáctica de
la Matemática en Primaria que relaciono en la parte derecha de mi blog. Y es
que estoy totalmente de acuerdo con el enfoque flexible del cálculo que Jaime
Martínez Montero ha etiquetado con la marca “ algoritmo abn”. De hecho, con anterioridad a la aparición de esta marca, una minoría de maestros/as ya veníamos
defendiendo y practicando un cálculo flexible alternativo al tradicional, sobre todo
desde que a finales de los 90 se multiplicaran las publicaciones que abordaban
el tratamiento de algoritmos no tradicionales, de las operaciones básicas, en
la escuela.
Por mi parte, vengo desarrollando con mis alumnos un cálculo pensado, flexible y basado en números y he desarrollado múltiples formatos digitales interactivos para divulgar y favorecer la práctica del cálculo (tanto descontextualizada como contextualizada) bajo este enfoque ("Así calculamos en mi cole") aunque no bajo la etiqueta "abn".
Este
enfoque flexible apuesta por el desarrollo de algoritmos no tradicionales de las
operaciones aritméticas para evitar las rigideces que presentan los tradicionales. Confiere al cálculo un carácter subjetivo y creativo (frente a "Esta división se hace así", "Yo hago esta división así"). Hace del cálculo una tarea pensada, matemáticamente relevante (algo
que no se puede asegurar, sin más, en enfoques más tradicionales) dándole el rango de habilidad cognitiva de orden superior; y se adapta
mejor a la diversidad del alumnado presente en las aulas. Y, sobre todo, es más coherente e integrador que el cálculo
tradicional ya que aprovecha la natural descomposición/composición numérica de los números y las mismas estrategias y propiedades fundamentales de las
operaciones se utilizan tanto para el cálculo que se apoya en lápiz y papel como para
el que se realiza “de cabeza” (que ha
pasado a ser, sin duda, el verdaderamente importante)
"Hay otra razón que aboga por la inclusión del cálculo pensado en las clases, y es que la mayoría de las personas que son consideradas hábiles para calcular rara vez hacen uso de los algoritmos usuales, sino que suelen recurrir a manipular los números para facilitarse la tarea."
Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 67.
"La tragedia del algoritmo estándar en la escuela, ha llegado de la mano de las calculadoras de bolsillo y de las cajas registradoras.
Lo que para todo el mundo era un elemento crucial de cualquier currículo escolar hace veinte años, ha empezado a ser considerado como algo que va perdiendo importancia al mismo ritmo que aumenta el interés por el cálculo mental y estimativo."
Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 113.
El
cálculo que realizan la mayoría de las personas en nuestra sociedad actual es
un cálculo instrumental (calculadoras, cajas registradoras, computadoras,…).
¿Quién hace cálculos fuera de la escuela con ayuda de lápiz y papel? ¿Significa
esto que no tiene ya sentido desarrollar razonables competencias de cálculo en
nuestros/as alumnos/as?
No, evidentemente no, puesto que toda capacidad humana
debe ser desarrollada. Significa plantearse la naturaleza y tipología del cálculo que tiene sentido desarrollar en la escuela, la magnitud de los números con los que se debe operar y las formas más
razonables de abordarlos. Significa un esfuerzo por contextualizar el cálculo
así como por el desarrollo de estrategias personales para calcular…Significa priorizar el cálculo aproximado y la estimación. Significa
entender bien, de manera integrada y proporcionada, el currículo dematemáticas.
Tradicionalmente el peso curricular recaía de manera aplastante
sobre la numeración, más en concreto sobre los algoritmos de las operaciones
básicas. Se trataba de un currículo de
matemáticas ciertamente empobrecido. Este es uno de los aspectos fundamentales
que hay que superar. Actualmente tiene menos sentido que nunca que el cálculo
(del tipo que sea) acapare la mayor parte del tiempo destinado al desarrollo
del currículo de matemáticas en la escuela, sobre todo si se trata de un cálculo predominantemente descontextualizado. No faltan los que abogan por destronar el cálculo de la cima del quehacer matemático en el que se encuentra. Hay que asumir que el
currículo de matemáticas de Primaria aborda las cantidades, el
espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Y
que el eje vertebrador de estos bloques es la resolución de problemas.
"Jaime Martínez, inspector de educación, explorador de algoritmos, ha soñado un mundo sin cuentas. Ha ido más allá. Lo está poniendo en práctica. 225 niños de Primaria de la provincia, entre Primero y Quinto, aprenden matemáticas sin hacer cuentas..."
Cuando
uno visita el blog “Algoritmos ABN” (que persigue entre sus objetivos explícitos
erradicar las viejas cuentas y favorecer una matemática más divertida), observa
que casi la totalidad de la ingente cantidad de imágenes y vídeos que en él se
incluyen se centran en cálculos
numéricos. Aparentemente se trata de "nuevas cuentas" que se articulan en forma de tablas de números. Sin embargo hay una diferencia notable con las cuentas tradicionales. Desde que se inicia el proceso de resolución, cada fila que se va escribiendo es una igualdad equivalente a la anterior, de manera que no hay que esperar a que el proceso haya acabado para haber transformado de manera coherente el cálculo inicial propuesto: 236 - 189 = 136 - 89 = 106 - 59 = 100 - 53 = 50 - 3 = 47 (para una resta "por comparación"), o 236 - 189 = 11 + 36 ( para una resta "por escalera ascendente"),...
Evidentemente el hecho de
que se recurra continuamente a la pizarra o al papel de una ficha o cuaderno no
significa que no se trate de un cálculo “pensado”. Otro aspecto a tener en
cuenta es que se utilizan algoritmos extendidos, más extensos, que van dando cuenta de cada
uno de los pasos realizados. Esto no debe identificarse con una mayor
dificultad que los tradicionales (que son “más económicos”) dado que a medida
que un alumno progresa en el desarrollo de competencia en cálculo se reduce
notablemente el número de pasos que utiliza para resolver un cálculo
determinado. No me cabe duda del buen enfoque que se hace en ese sentido,
priorizando claramente la comprensión sobre la mecanización y favoreciendo el afloramiento de modos personales de realizar los cálculos.
Pero, con sinceridad, siento que los/as maestros/as debemos ser muy torpes cuando parece ser que necesitamos que se nos ilustre hasta la saciedad el mismo método de cálculo para cada uno de los diferentes cálculos posibles (que son, evidentemente, infinitos). En realidad, casi todo se reduce a que tanto la suma, resta, multiplicación y división se pueden realizar “por partes”, de manera flexible o personalizada ( no necesariamente todos/as los/as alumnos/as en los mismos pasos ni con los mismos números) y basándose en la descomposición numérica y las propiedades fundamentales de las operaciones básicas. Es por ello que el blog aludido transmite visualmente la idea de que el quehacer fundamental en matemáticas de Primaria es el cálculo. No vemos en el blog ninguna referencia al mundo del espacio y las formas ( a excepción del método para resolver raíces cuadradas), ni al de la incertidumbre …
Podríamos extendernos tanto como quisiéramos en poner de manifiesto (como se hizo desde el origen de las matemáticas) las relaciones entre números y formas, cómo se apoyan y refuerzan mutuamente y cómo fruto de esa simbiosis se ponen de manifiesto con mayor fuerza patrones o regularidades numérico-geométricas… No tendría nada que objetar si se identifica el “método ABN” con un método de cálculo, como así se presenta habitualmente. Pero es que desde el blog aludido y desde otros, así como desde diferentes medios de comunicación y documentos se hacen afirmaciones (a mi juicio poco rigurosas) más generales que apuntan hacia una inconveniente metamorfosis ( CÁLCULO = ALGORITMOS ABN = "LA SENDA PARA ALCANZAR COMPETENCIA MATEMÁTICA"). ¿Debe interpretarse como la única senda? ¿Debe interpretarse que la competencia en cálculo es la única o más importante de las competencias matemáticas? Espero que no, porque ello supondría reducir el currículo de matemáticas a simple cálculo, volviendo a incurrir en errores parecidos a los que se pretendía superar… Esto me parece especialmente peligroso en estos tiempos tan tecnológicos en los que curiosamente se exalta más que nunca el desarrollo de la capacidad de cálculo (a veces de manera poco razonable, como si se pretendiera crear "calculadoras humanas") identificándolo con la excelencia en matemáticas.
Pero, con sinceridad, siento que los/as maestros/as debemos ser muy torpes cuando parece ser que necesitamos que se nos ilustre hasta la saciedad el mismo método de cálculo para cada uno de los diferentes cálculos posibles (que son, evidentemente, infinitos). En realidad, casi todo se reduce a que tanto la suma, resta, multiplicación y división se pueden realizar “por partes”, de manera flexible o personalizada ( no necesariamente todos/as los/as alumnos/as en los mismos pasos ni con los mismos números) y basándose en la descomposición numérica y las propiedades fundamentales de las operaciones básicas. Es por ello que el blog aludido transmite visualmente la idea de que el quehacer fundamental en matemáticas de Primaria es el cálculo. No vemos en el blog ninguna referencia al mundo del espacio y las formas ( a excepción del método para resolver raíces cuadradas), ni al de la incertidumbre …
Podríamos extendernos tanto como quisiéramos en poner de manifiesto (como se hizo desde el origen de las matemáticas) las relaciones entre números y formas, cómo se apoyan y refuerzan mutuamente y cómo fruto de esa simbiosis se ponen de manifiesto con mayor fuerza patrones o regularidades numérico-geométricas… No tendría nada que objetar si se identifica el “método ABN” con un método de cálculo, como así se presenta habitualmente. Pero es que desde el blog aludido y desde otros, así como desde diferentes medios de comunicación y documentos se hacen afirmaciones (a mi juicio poco rigurosas) más generales que apuntan hacia una inconveniente metamorfosis ( CÁLCULO = ALGORITMOS ABN = "LA SENDA PARA ALCANZAR COMPETENCIA MATEMÁTICA"). ¿Debe interpretarse como la única senda? ¿Debe interpretarse que la competencia en cálculo es la única o más importante de las competencias matemáticas? Espero que no, porque ello supondría reducir el currículo de matemáticas a simple cálculo, volviendo a incurrir en errores parecidos a los que se pretendía superar… Esto me parece especialmente peligroso en estos tiempos tan tecnológicos en los que curiosamente se exalta más que nunca el desarrollo de la capacidad de cálculo (a veces de manera poco razonable, como si se pretendiera crear "calculadoras humanas") identificándolo con la excelencia en matemáticas.
Me voy a limitar aquí al análisis de algunas afirmaciones relacionadas con la resolución de problemas y con la descripción de las características del "cálculo abn":
Con la nueva didáctica de las matemáticas que propugna Jaime Martínez se llega a los resultados correspondientes por desagregación o descomposición de las cantidades a operar... (Jaime.M.M)
¿Nueva didáctica de las matemáticas o no tan nueva didáctica del cálculo?
"Las viejas cuentas son la causa fundamental que impide que los alumnos sepan resolver problemas"(Jaime.M.M)
Uno de los grandes "fallos" en la enseñanza tradicional de la aritmética es que se identifica operación con el algoritmo (cuenta) que la resuelve:
"Nuestro aprendizaje de cada una de las operaciones está tan ligado a su algoritmo que se suele confundir operación con el algoritmo usual que la resuelve" Bernardo Gómez Alfonso ("Numeración y Cálculo. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.1989. Página 67.No volvamos a cometer el mismo error (operación ¹ algoritmo de la operación)
Además, desde hace mucho tiempo los maestros nos venimos quejando de que los alumnos no sepan con qué operación (u operaciones) se resuelve un determinado problema ("¿Es de sumar o de restar?"), en mucha mayor medida que sobre la propia realización de los cálculos.
"Los algoritmos ABN aumentan notablemente la capacidad de resolución de problemas" (Jaime.M.M)
¿Cómo? ¿De qué manera? ¿De qué problemas? Porque la realización de cálculos, incluso en los problemas típicamente aritméticos - que no son los únicos-, es una de las fases finales del proceso de resolución, y no precisamente la más relevante. A no ser que se considere como "problema" realizar un determinado cálculo. Esto sólo podría aproximarse a la verdad en los problemas aritméticos más elementales, los de una sola operación, en caso de que se presenten a los alumnos de forma que el "espacio de búsqueda" sea prácticamente inexistente. (Ver "Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)")
"Un grupo de investigadores europeos ha visitado recientemente el Colegio San Rafael (Cádiz) para conocer el funcionamiento de este método de cálculo ideado como sabemos por Jaime Martínez, inspector de educación de la Delegación de Cádiz.
Procedentes de distintos países como Austria, Holanda, Alemania, etc. dichos investigadores pudieron comprobar de primera mano los resultados de este revolucionario método que demuestra que los alumnos de primaria mejoran no sólo su nivel de cálculo y su capacidad de resolución de problemas sino también su motivación en el aprendizaje de las matemáticas." [...]
[Fuente: "Las matemáticas de Cádiz". Diario de Cádiz (versión impresa). Fecha: 21/09/2012]
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| Fuente: "algoritmo abn" |
En el blog “Algoritmos ABN”, se hace bastante alusión teórica a la
relación entre las operaciones y las tipologías de problemas aritméticos de
enunciado verbal (PAEV) que resuelven. Sin embargo este "revolucionario método ABN” no
explicita ningún método concreto de resolución de estos problemas. Encontramos casi exclusivamente un modelo de resolución de PAEV, el modelo más tradicional. Con frecuencia vemos
imágenes en las que el/la maestro/a ha escrito el enunciado de un PAEV en la
pizarra y, a continuación, sin más, el algoritmo extendido con el que se
resuelve. Es cierto que se asocia con mucha frecuencia un cálculo concreto con un determinado problema como forma de contextualizar el cálculo, y que incluso se hace una análisis comprensivo del enunciado. Lo peligroso es asociar el algoritmo
con la resolución de un PAEV ( incluso para los problemas más elementales), como se recoge en este texto del propio Jaime M. M. (hablando de la "doble resta" y de la "sumirresta"):
"[...] Aparte del nuevo campo de posibilidades de cálculo que abre, la importancia fundamental de estas operaciones radica en que simplifica enormemente el mundo de los problemas porque convierte, de golpe y sin transición, muchos de ellos de dos operaciones que son difíciles para los niños (todos los de dos restas y todos los de una suma y una resta) en problemas de una operación, simplificando enormemente la complejidad de su comprensión y su realización. Hay siete problemas distintos de sumar y, como vimos hace poco, trece diferentes de restar. Quiere decir que, combinándolos simplemente, nos salen 91 problemas distintos de sumar y restar (13 x 7), y 169 de dos restas (13 x 13). Es decir, que con la doble resta y la sumirresta cambiamos 260 problemas diferentes de dos operaciones en problemas de una operación. ¡Casi nada!
Los problemas de dos operaciones son especialmente difíciles para los niños. No es complicado averiguar por qué y hay una amplia literatura científica que da cuenta de ello. Para nuestro propósito, baste pensar que en un problema de una operación aparecen los datos y la pregunta. En uno de dos operaciones aparecen los datos de la primera operación, pero no la pregunta, mientras que en la segunda operación sí aparece la pregunta, pero solo uno de los datos. Véase el caso siguiente: “Un bosque con 2145 árboles se incendia y arden 368. Después plantan 325 árboles más. ¿Cuántos árboles hay ahora?” Es evidente que la primera operación (2145-368) no tiene pregunta, y que la segunda (1777+325) no tiene el dato de los 1777 árboles.
Por lo anterior, la sumirresta facilita mucho todo el proceso. Es fácil pasar directamente del texto al formato del algoritmo, y luego permite múltiples posibilidades de desarrollar los cálculos de uno u otra manera. La resolución clásica obliga a realizar primero una operación y luego otra, mientras que aquí se pueden abordar los cálculos sucesiva o simultáneamente."
Aquí se hacen afirmaciones explícitas e implícitas a mi juicio poco rigurosas:
- Hay operaciones que simplifican enormemente la complejidad de la comprensión de un determinado problema, cuando comprender un problema implica previamente descubrir las relaciones entre las magnitudes y las operaciones que transforman unas en otras...Ahí radica precisamente la esencia del acto creativo que supone la resolución de un problema y ahí radica, por tanto, su dificultad. De nuevo se identifica operación con algoritmo de la operación, que es un útil para efectuar ésta, y parece identificarse la realización del algoritmo con la esencia de la resolución de un problema. No comparto tal idea.
- Parece que la tipificación de problemas es pura aritmética combinatoria. Aunque estoy seguro de que esa no es la visión de Jaime M.M. al respecto.
- Parece que el proceso de resolución de problemas aritméticos se limita al paso del enunciado al formato del algoritmo, es decir, del texto al cálculo. Esta peligrosa asociación más que superada en la amplia literatura científica a la que el propio Jaime M. M. alude, supone un reduccionismo del aspecto más troncal y vertebrador del currículo de matemáticas: la resolución de problemas (RP). Si bien esto se puede hacer fácilmente, aunque no sea lo más conveniente en la R.P, para PAEV de nivel 1(una sola operación), me llama poderosamente la atención lo artificioso que resulta justificar la doble resta y la sumirresta en relación con la resolución de PAEV de nivel 2. Sinceramente, parece un invento para encajar, con calzador, la resolución de estos problemas con un único algoritmo... No creo que sea éste el camino más conveniente en la búsqueda de comprensión. Me parece una senda poco conveniente en la didáctica de RP, máxime viniendo de una persona que apuesta por algoritmos extendidos, aunque sean menos económicos que los tradicionales, para favorecer una mayor comprensión de los cálculos realizados y el desarrollo de estrategias de cálculo...
Desde una perspectiva holística de las matemáticas, cualquier parte (bloque de contenidos) debe gozar en buena medida de los atributos de la totalidad (currículo de matemáticas) pero no sería riguroso identificar la parte con el todo ni el todo con la parte.
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