22 noviembre, 2011

Matemáticas con Flash (I). Proyecto Agrega

 
Entre las aplicaciones multimedia para las Matemáticas en Primaria realizadas con la tecnología Flash, hay que destacar las incluídas en el Proyecto Agrega:




Aquí tenemos un ejemplo concreto de aplicación ( Producto y división con números naturales) que refleja bastante bien las características de la mayoría de materiales de Agrega:
Como se puede comprobar, tienen un diseño gráfico y una calidad de sonidos excelentes. Estos factores son importantísimos para despertar el interés y la motivación del alumnado. Presentan una buena gama de situaciones del mundo real en cada tema u objeto de aprendizaje concreto. Además, se las ha dotado de una buena interactividad que se pone al servicio de la ilustración de conceptos y procedimientos de las matemáticas básicas. Esta interactividad, no obstante, suele estar en las aplicaciones de Agrega más del lado del profesor (en el sentido de que se prioriza la ilustración de conceptos y procedimientos a nivel introductorio - labor más específica de profesores- que la profundización en los mismos mediante la práctica - labor más propia del alumnado-) que del alumnado. Dicho de otra manera, esta aplicación sobre la multiplicación y la división puede ser utilizada por los/as maestros/as como un excelente recurso para introducir estas operaciones, dotándolas de significado y relacionándolas con situaciones de la vida diaria. No va a permitir, en cambio, la profundización, por parte de los/as alumnos/as en el cálculo de multiplicaciones y divisiones, a pesar de que una de las opciones del menú lleve por título "Automatización del producto y la división"...

Es importante, pues, que el profesorado sepa evaluar los contenidos multimedia atendiendo a variables tales como: su grado de incidencia sobre aspectos curriculares, el momento idóneo para su aplicación, la orientación didáctica y metodológica implícita, etc...

Es habitual en muchos blogs de aula que el profesorado, de manera indudablemente inteligente, cuente con un listado suficientemente amplio de enlaces a contenidos educativos digitales diferentes para asegurarse el correcto y completo tratamiento de un determinado tema.

Este hecho, a su vez, pone de manifiesto que ninguna plataforma o repositorio de contenidos educativos digitales - a pesar de que faciliten mucho la tarea de búsqueda y disponibilidad de recursos educativos- es autosuficiente; que ninguna de ella cuenta con todos o los más adecuados contenidos educativos digitales; que es necesario estar permanentemente buscando y al día...
 

16 noviembre, 2011

Metamodelos y modelos TIC (III) en la resolución de problemas.

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En Metamodelos y modelos TIC (II) en la resolución de problemas pudimos comprobar que en "ProblemáTICas Primaria" se ofrecía una amplia gama de metamodelos y modelos TIC para la resolución de problemas.

En este artículo voy a analizar con más detalle un metamodelo de RP que las TICs hacen posible, LA SIMULACIÓN (entendida como representación dinámica de la situación problemática propuesta, de manera que permita su tratamiento en el ordenador).


Obviamente en este metamodelo se pueden incluir múltiples modelos. Cada uno de ellos puede ser considerado una variante de otro en función de que incida más o menos sobre una determinada variable didáctica de la tarea.
No pretendo hacer aquí un listado exhaustivo de modelos concretos de simulación, ni de ponerles nombre...Pretendo sencillamente utilizar la teoría de los metamodelos y modelos para poner de manifiesto la importancia de la NATURALEZA PROCEDIMENTAL DE LAS TAREAS_TIC propuestas a nuestros/as alumnos/as...
Se puede realizar la simulación de situaciones problemáticas sin utilizar las TIC, pero el ordenador añade posibilidades nuevas de importancia fundamental para la enseñanza-aprendizaje: la evaluación de las hipótesis o comprobación de los resultados - que hace posible el aprendizaje autónomo y semidirigido- como mecanismo esencial para la retroalimentación del aprendizaje; la representación más o menos esquematizada de la situación integrando diferentes formas y tipos de información (gráfica, numérica,...); la inclusión de ayudas contextualizada que suponen un "andamiaje" para la realización de la tarea, el establecimiento de diferentes niveles de dificultad para adecuarse a la diversidad del alumnado; estadística sobre el grado de eficacia en la realización de la actividad,...

En este caso, la aplicación no valora lo correcto o incorrecto de los números introducidos como respuesta o solución en un problema. No se pide una respuesta numérica... La aplicación "sabe", en cada momento, cómo están situadas las frutas sobre los platos, tanto cuantitativa como cualitativamente, de manera que detecta cualquier error, permitiendo una comprobación precisa de lo realizado y favoreciendo, así, la solución de la situación problemática propuesta...

En este otro caso los problemas que se proponen, de naturaleza geométrica, se resuelven determinando las características de la construcción pedida y llevándola a cabo. El ordenador, al margen de las múltiples manipulaciones -no previstas de antemano- que pueda realizar el ususario, debe "saber" si la construcción_solución propuesta por el usuario es, o no, la correcta. Para posibilitar tal grado de interactividad al servicio del aprendizaje autónomo, la aplicación debe contar con complejas funciones de comprobación que requieren un buen dominio de la programación...

Lo anterior conecta con un tema extraordinariamente relevante en relación con el diseño de contenidos educativos digitales: La naturaleza procedimental de las tareas_TIC propuestas a los/as alumnos, la diversidad de las mismas, son variables fundamentales para la valoración de la calidad de las mismas. Al mismo tiempo, la riqueza procedimental de las tareas vendrá determinada por dos factores fundamentales: las posibilidades al respecto del programa de autor utilizado para el diseño de la tarea y el grado de dominio o aprovechamiento, por parte del autor, de las posibilidades funcionales de la herramienta de autor utilizada.


Dado que los programas de autor se definen como "Tipo de aplicaciones que permiten a sus usuarios crear sus propios proyectos multimedia con poca o nada de programación", ¿permitirán estos programas que los profesores diseñen aplicaciones que propongan tareas suficientemente interactivas, variadas y ricas desde el punto de vista de su naturaleza procedimental?

Un buen número de herramientas de autor permiten actualmente, de una manera relativamente sencilla, la realización de puzzles, relacionar, completar, elección múltiple, sopa de letras, etc...¿Se podrá lograr con herramientas de autor tales como JClic, Edilim, Cuadernia, Ardora, Hot Potatoes, eXelearning, Lams, Myscapbook, PHPWebQuest, Squeak, Quandary, etc...aplicaciones educativas con una interactividad suficiente como para proponer tareas de simulación en matemáticas?

Sobre este tema, profundizaré en artículos posteriores.



Este otro modelo de simulación no contempla la evaluación de la tarea realizada por el usuario.
Cuando en la simulación de una situación problemática la aplicación TIC integra correctamente la representación y configuración de todos los elementos y variables que son fundamentales en la misma (puede integrar también otros elementos auxiliares) la aplicación adquiere la categoría de laboratorio virtual. Se favorece no ya la resolución de un problema particular sino dar el salto hacia la generalización a partir de la experimentación, la investigación y el descubrimiento...

Una tipología de situaciones problemáticas en las que la simulación con TICs muestra su potencial es en aquellas en las que un determinado experimento debe repetirse un número elevado de veces en las mismas o parecidas condiciones. Es el caso de la simulación de experimentos aleatorios. La simulación, aquí, adquiere la categoría de experimentación y la aplicación que permite llevarla a cabo, la categoría de laboratorio virtual.
Obsérvese que el problema propuesto (y otros muchos más)  puede ser resuelto de manera experimental, sin necesidad de conocimientos teóricos sobre probabilidad, con sólo ajustar determinados parámetros de configuración de la aplicación, pulsar sobre "extracciones automáticas", esperar a que se haya realizado un número de extracciones que muestre una tendencia clara e interpretar los datos obtenidos...(En la historia de la Probabilidad no fue primero la teoría sino la realización de experimentos aleatorios. Esto se ilustra muy bien en el submenú "Situaciones Problemáticas" del recurso "Laboratorio básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria").


Directamente relacionado con la simulación como metamodelo_TIC, es el diseño de materiales didácticos virtuales que tienen su correspondiente analógico en el mercado (balanzas numéricas, relojes didácticos, bloques multibase, geoplanos, ábacos, juegos de poliedros, etc...) así como otros manipuladores virtuales. Pero, ¿qué nos deparará el futuro en este sentido? Actualmente ya se están utilizando Entornos de Simulación para La Formación Profesional.

13 noviembre, 2011

Metamodelos y modelos TIC (II) en la resolución de problemas.

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Del análisis de la muestra de 10 "sitios" que integran de alguna manera las TICs en la Resolución de Problemas (RP) en la Etapa Primaria, teniendo en cuenta la distinción entre ejercicio y problema, se deduce:

1.- Que el principal aporte de las TICs en la RP, hasta la fecha,  se sitúa en la comprobación (correcto/incorrecto) de la respuesta dada por el alumno (que casi siempre es un número o una palabra - lo más fácil a nivel de diseño-).

2.- Que las propuestas TICs no integran la imagen en mayor medida  que las propuestas de RP en formato impreso. Esto resulta un tanto sorprendente, dada la facilidad de la integración de imágenes estáticas. Además, se hace muy poco uso de modelos gráficos dinámicos o interactivos para presentar, contextualizar o ayudar a resolver el problema.

3.- Que la mayoría de las propuestas TICs para la RP o bien no  están bien fundamentadas didáctica y metodológicamente o bien no están organizadas con un criterio relevante. A veces, cuando la fundamentación es buena ( caso de WinMates, por ejemplo, el resultado es poco atractivo). Resulta prácticamente imposible encontrar una propuesta TICs_RP que profundice en los metamodelos (según el enfoque de José Antonio Fernández Bravo), o que organicen los problemas según un criterio diferente al de la operación aritmética con que se resuelven. Resulta, por tanto, casi imposible encontrar propuestas de problemas no exclusivamente aritméticos, tales como geométricos, de búsqueda exhaustiva, de razonamiento lógico,...

4.- Es posible encontrar propuestas de RP en formato impreso más fundamentadas didácticamente que las analizadas (las series de El Quinzet, por ejemplo), incluso más extensas y mejor organizadas :

5.- Que la mayoría de las propuestas TICs para la RP no son especialmente atractivas desde el punto de vista estético y muy pocas veces están pensadas para que puedan ser presentadas y realizadas haciendo uso de la PDI.

Pero...las TICs pueden integrarse de manera más eficaz y creativa en los procesos de RP:

Como muestra, invito al lector a analizar la propuesta "ProblemáTICas Primaria". Se trata de una propuesta que parte de la consideración de que no todos los problemas relevantes en la Etapa Primaria son aritméticos. Aún siendo una propuesta extensa y variada es incompleta, pero ilustra un buen número de direcciones creativas, de posibilidades de integración eficaz de las TICs en la RP. (En otras entradas se analizarán con más detalle algunos de los metamodelos y modelos utilizados)


"Resolución de Problemas. Metamodelos TIC" ofrece una interfaz amigable. Permite visualizar fácilmente cada una de las aplicaciones que lo conforman así como los problemas propuestos en cada una de ellas. No es necesario haber resuelto el problema número 3, por ejemplo, para poder visualizar el número 4. De esta manera, el profesorado puede conocer con exactitud las caracterísiticas y dificultad de cada una de las tareas propuestas. Aunque se trata de una propuesta "prêt à porter" para los/as alumnos/as, se informa al profesorado de manera más que suficiente, y en el contexto de cada aplicación, de los objetivos que se persiguen, del interés didáctico de la aplicación, etc.

Como se ha dicho anteriormente, Se trata de una propuesta que parte de la consideración de que no todos los problemas relevantes en la Etapa Primaria son aritméticos. También considera problemas geométricos, de razonamiento lógico y de búsqueda exhaustiva o tanteo sistemático. Además, indaga y profundiza en las posibilidades de presentación y modos de resolución no rutinarios de problemas (Metamodelos_TIC):

Así, por ejemplo, Los problemas aritméticos escolares de nivel 1 (una sola operación) de estructura multiplicativa se tratan de manera no rutinaria en tres aplicaciones diferentes (Escenas_2A, Escenas_2B y Escenas_2C) desde ópticas diferentes y utilizando diferentes metamodelos_TIC que favorezcan un buen dominio de la estructura multiplicativa (multiplicación y división pertenecen al mismo campo conceptual).




En "Escenas_2A", el metamodelo o tipología de actividad (de resolución de los problemas) que se propone a los/as alumnos/as se centra en la expresión correcta de la operación indicada con que se resuelve el problema. Pasa a un segundo plano el cálculo correcto de la solución (se puede obtener incluso con la calculadora presente en pantalla) así como la utilización de números grandes.

Se pretende favorecer que los/as alumnos/as se centren en determinar la estructura semántica de la situación y en expresar la solución del problema mediante una igualdad alfanumérica en la que intervenga el signo, (x), o el signo <:>, eligiendo de manera adecuada los datos numéricos. En este sentido algunos problemas presentan datos supérfluos.

Los problemas se presentan contextualizados con escenas gráficas en las que intervienen niños y niñas en situaciones más o menos cotidianas. El texto del problema se presenta aquí de manera tradicional, aunque distinguiendo con un color diferente la pregunta del problema...

En esta aplicación se proponen 20 problemas diferentes que inciden de manera más o menos equitativa en las diferentes CATEGORÍAS SEMÁNTICAS de estructura MULTIPLICATIVA: MULTIPLICACIÓN, PARTICIÓN, CUOTICIÓN, AUMENTO(n veces más..) Y DISMINUCIÓN( n veces menos).

La categoría PRODUCTO CARTESIANO también pertenece a la estructura multiplicativa. No obstante no se proponen aquí problemas de este tipo, por motivos de formato de la aplicación principalmente, y dado que se proponen algunos problemas manipulativos de este tipo dentro de los de TANTEO SISTEMÁTICO o BÚSQUEDA EXHAUSTIVA de soluciones posibles. Se prioriza, así, lo cualitativo de esta categorías sobre lo cuantitativo.




En "Escenas_2B", el metamodelo o tipología de actividad (de resolución de los problemas) que se propone a los/as alumnos/as tiene las siguientes características: Por una parte, obliga a los/as alunos/as a construir la estructura semántica del problema mediante la reelaboración del enunciado del mismo a partir de los fragmentos de diálogo (que no son un texto con estructura lineal). Por otra parte, los alumnos y alumnas deben buscar un conjunto de números (datos + solución), de muchos posibles, que sean una solución coherente. Esto favorece la aparición de diferentes estrategias personales así como el razonamiento lógico inductivo, pues una vez encontrado un conjunto de números que forman una solución coherente del problema es más fácil encontrar soluciones nuevas diferentes. También obliga a establecer relaciones entre parte (un dato numérico) y todo (el conjunto de datos numéricos que presumiblemente es una solución del problema).

Siguiendo la teoría expuesta por José A. Fernández Bravo  sobre metamodelos procedimentales en problemas verbalizados con enunciado y pregunta, el metamodelo_TIC que aquí se propone gozaría de algunas de las características de los modelos GENERATIVOS; se presentan problemas no rutinarios donde no hay una separación entre enunciado y pregunta y, además, no aparecen al inicio datos numéricos; el problema se presenta inicialmente como una situación cualitativa, como una información desestructurada que hay que estructurar para poder deducir algo; se trata de problemas abiertos o divergentes con varias o muchas soluciones posibles; etc... Pero el metamodelo aquí implementado también goza de las características de los metamodelos de ESTRUCTURACIÓN (ayudan a estructurar mentalmente las partes que componen el problema, a percibir la importancia de cada una de ellas, la relación que tienen y la no-arbitrariedad entre ellas).Los metamodelos de ESTRUCTURACIÓN implican al alumno en la construcción del problema y ello le obliga a interpretar mentalmente la situación problemática...



En "Escenas_2C", el metamodelo procedimental o tipología de actividad (de resolución de los problemas) que se propone a los/as alumnos/as tiene las siguientes características: Por una parte, obliga a los/as alunos/as a construir la estructura semántica del problema mediante la reelaboración del enunciado del mismo a partir de los fragmentos incompletos de diálogo que, además, no conforman un texto con estructura lineal...

A diferencia de Escenas 2_B, en la que el/la alumno/a podía encontrar múltiples soluciones coherentes con la estructura semántica de la situación, aqui cada problema propuesto es una situación convergente con una solución única (a lo sumo dos soluciones, debido a la conmutatividad del producto). La solución se alcanza cuando se colocan las etiquetas con texto adecuadamente.

Por otra parte, el metamodelo procedimental aquí implementado obliga a establecer relaciones entre las partes (datos de las etiquetas) y un todo (estructura semántica implícita en el texto incompleto inicial) que va siendo más significativo a medida que se van colocando etiquetas. Cada etiqueta colocada supone una hipótesis que hay que comprobar viendo la coherencia del nuevo texto formado...
 
Siguiendo la teoría de José A. Fernández Bravo sobre metamodelos procedimentales en problemas verbalizados con enunciado y pregunta, el metamodelo_TIC que aquí se propone gozaría de algunas de las características de los modelos GENERATIVOS así como de otras características de los modelos de ESTRUCTURACIÓN...

Pero, además, la mayor parte de las aplicaciones de "Resolución de Problemas. Metamodelos TIC" son adecuadas para su presentación y resolución en una PDI. Como se puede comprobar, las aplicaciones presentan una rica variedad de procedimientos de resolución: introducir números, completar texto lineal y texto organizado en tablas (con completado asistido y corrección instantánea), pulsar/seleccionar elementos de la pantalla, desplazar elementos gráficos a zonas determinadas, desplazar elementos textuales (etiquetas alfanuméricas) a zonas determinadas, desplazar unos elementos gráficos sobre otros ( pastelillos en platos), realizar pesadas en una balanza virtual con funcionamiento realista, argumentar sobre imágenes y modelos dinámicos que expresan relaciones cuantitativas, trazar líneas y caminos, construir, dibujar, componer y descomponer (cortar) figuras, etc...

Es fácil vislumbrar, ahora, que efectivamente las TICs posibilitan otras formas más atractivas, más variadas, creativas y eficaces de presentación y resolución de problemas escolares.













09 noviembre, 2011

Metamodelos y modelos TIC (I) en la resolución de problemas.

Son numerosos los documentos teóricos y teórico/prácticos que abordan la resolución de Problemas Aritméticos Escolares Verbalizados (PAEV) - los que tienen mayor tradición en la escuela -. Son muchas, también, las propuestas que podemos encontar en la red ( en formatos .doc y .pdf, sobre todo) que ofrecen baterías de problemas escritos organizadas por edades o niveles, tipologías de problemas (según operación/es, según su semántica,...), etc...

Son escasísimas, en cambio, las propuestas que permiten abordar la resolución de PAEV desde el punto de vista de los "metamodelos o modelos". Presentamos aquí la definición dada por José Antonio Fernández Bravo (JAFB) en su documento "Metamodelos y modelos de situaciones problemáticas", muy explicativo y de enorme proyección práctica para el diseño de situaciones problemáticas:


Entendemos por "Metamodelos" cada una de las distintas clases de "modelos de situaciones problemáticas", presentadas a la actividad del alumno, capaces de generar ideas válidas para la invención, reconstrucción y resolución de problemas matemáticos.

A mi juicio, este enfoque favorece una visión amplia y rica de los aspectos más relevantes  a la hora de diseñar problemas. En el documento aludido, JAFB contempla 49 modelos diferentes de situaciones problemáticas agrupados en torno a seis clases o "metamodelos": Generativos, Estructuración, Enlaces, Transformación, Composición e Interconexión.

Si bien esta relación de modelos, bastante exhaustiva, parece estar pensada fundamentalmente para los PAEV y no para modelos de situaciones problemáticas_TIC -con muchísima menos tradición en la escuela y poco estudiadas por la Didáctica de la Matemática- y por tanto no contempla toda la presunta riqueza posible de situaciones_problemáticas_TIC,  sí permite en buena medida establecer un isomorfismo entre situaciones_problemáticas_verbalizadas y situaciones_problemáticas_TIC. Considero, por tanto, que es un buen documento de referencia para el diseño de situaciones problemáticas (sea cual fuere el modo de presentación) y, a la par, que la Didáctica de las Matemáticas tiene pendiente establecer un catálogo de "Metamodelos y modelos_TIC"...

Pero, ¿qué están aportando actualmente las TICs en la resolución de problemas (RP) en la escuela ?

En la respuesta a esta pregunta no será relevante, lógicamente, el hecho de que las TICs permiten, favorecen y potencian la divulgación y presentación de baterías de problemas escritos, ya que esto, en mayor o menor medida, ha sido posible sin las TICs.

Pretendemos profundizar en los aportes específicos de las TICs a la RP, partiendo de la hipótesis de que las TICs pueden ofrecer nuevos escenarios con nuevas posibilidades: corrección - autorregulación del proceso-, interactividad, mayor riqueza en los lenguajes de presentación, mayor variedad y control en las fases intermedias de resolución, mayor variedad en la forma de resolver un problema, etc...

Analicemos, por tanto, algunas propuestas que integran las TICs en la RP ( y que suponen una muestra bastante representativa de lo que se está haciendo al respecto):
Propone situaciones problemáticas de razonamiento ( sin números, con números, continuar series, criptogramas,...) así como colecciones de problemas verbalizados (PAEV) con diferentes grados de dificultad - aunque no hay un criterio claro de clasificación de los mismos-. Cada problema presenta un campo de texto para la introducción de la solución (una palabra o un número). Permite evaluar la exactitud de la respuesta y ofrece información textual para reconducir la actividad de los/as alumnos/as en caso de error.

Una pequeña propuesta de 32 PAEV, de sumar/restar y multiplicar, que apunta buenas maneras. Para cada problema aporta cierta interactividad puesta al servicio del proceso de resolución: asiste o guía la resolución del problema ayudando a distinguir e introducir los datos del problema y dando alguna pista sobre la estrategia a seguir...
  • RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS por J. Hita y V. JaénLos problemas aritméticos a los que se ciñen, son los que pueden resolverse con las cuatro operaciones básicas y sus distintas combinaciones. El objetivo es resolver situaciones concretas por medio del razonamiento y del cálculo. Podríamos considerarlos como una propuesta de cálculo global (problemas que manejan números sencillos y deben resolverse mentalmente). Advierten que la propuesta que ofrecen en la red requiere haber trabajado previamente, de manera adecuada, las fases manipulativa y gráfica. Presentan una propuesta con 12 niveles (tengo que reconocer que no logro comprender el criterio de clasificación, y que no aprecio diferencias significativas entre los problemas de cada nivel). Para cada nivel la propuesta consta de una tanda de 10 PAEV.
Propone problemas de respuesta múltiple y de introducción del número_solución. Presenta un botón de comprobación de respuestas para cada tanda de 10 problemas propuestos. En el caso de que la respuesta sea incorrecta, muestra la respuesta correcta. Esta es la máxima interactividad que permite el diseño de esta sencilla propuesta con Web Question 2.



Selección de problemas elementales para la Educación Primaria basados en el cálculo numérico en torno a las 4 reglas (sumar, restar, multiplicar y dividir). Son una adaptación de los clásicos "problemas Rubio" con la opción de realizarse (pulsando sobre una de las tres opciones de respuesta propuestas) y corregirse en línea. Se dirigen a niños y niñas de 7 a 11 años principalmente.
  • Problemas elementales Mario Ramos. Mario Ramos-El Tanque. Aunque ofrece en su web un menú de fichas de problemas sencillos para la Etapa Primaria ( que se pueden descargar en formato comprimido .zip), clasificados según la operación/es que abordan, no se considera aquí una propuesta de integración de las TICs en la RP. No obstante, en los múltiples y diferentes materiales de matemáticas elaborados por Mario Ramos (proporcionalidad, porcentajes, etc...) analiza teórica y prácticamente procedimientos de cálculo y resolución utilizando tablas para completar datos que pueden considerarse ejercicios_problema con evaluación de la entrada o respuesta.
  • Winmates. Esta página pretende ser un referente en el aprendizaje y refuerzo de los contenidos básicos de la Enseñanza Obligatoria: Primaria-ESO (6-16 años). "El núcleo de Winmates es la Resolución de Problemas" (ofrece fundamentación teórica al respecto). Presenta los problemas agrupados por Categorías (Comprensión, Operatoria Básica, Varias Operaciones, Geomeria, Ecuaciones, Proporciones, Medidas y SMD, Múltiplos y Divisores, Varios) y Dificultad (Fácil, Medio, Difícil). La presentación no es nada atractiva. La navegación no es cómoda. El espacio reservado en pantalla a la presentación del problema es reducida. La respuesta es siempre un número (entero o decimal). En ocasiones hay que justificar la respuesta con números y operaciones (operaciones indicadas).

  • Problemas de El Quinzet. (resolución de problemas mentales o “problemas de cálculo global”). Aquí tienes una serie. No se consideran estas series una propuesta de integración de las TICs en la RP. También proponen en su web un enigma diario on line con acceso a la solución que sí puede considerarse como una propuesta de integración de las TIcs en la RP)
  • Thatquiz. Principalmente concebida como área de práctica de matemáticas, esta web, totalmente gratuita, permite hacer fáciles ejercicios de esta materia. Como usuarios podemos acceder a las pruebas sobre cualquiera de las categorías, seleccionar el  número o nivel de las preguntas o marcar un límite de tiempo para la conclusión de la prueba si lo deseamos.
    Además, registrándonos como profesores, accedemos a una zona desde la que podremos utilizar esta aplicación para la elaboración de pruebas o exámenes. No se considera aquí una propuesta de integración de las TICs en la RP, ya que lo que se realizan son ejercicios. No obstante, con frecuencia utiliza imágenes y, a veces, cierta interactividad del lado del alumnado ( el alumno puede mover una regla para averiguar la longitud de un pez, por ejemplo).

  • IXL. Con una presentación en la que se pueden leer frases como "Matemáticas para el cerebro izquierdo y derecho", "No te pierdas ni un momento de matemáticas", "Matemática práctica", "Matemática en su forma más fascinante", ... este sitio web, aparentemente prometedor, nos ofrece  los ejercicios típicos y tópicos, los de siempre, los que podemos encontrar en cualquier libro de texto...sólo que online y bien organizados por grados y contenidos. Es por ello que no se puede considerar aquí como una propuesta de integración de las TICs en la RP.



  • GenMagic nos ofrece algunas aplicaciones en las que los problemas no responden ya a los típicos PAEV (La información necesaria para resolver el problema está distribuida en varias partes de la pantalla, de manera gráfica y textual, obligando al alumno a estructurar la información...)





El análisis sobre TICs y RP realizado en esta entrada continúa en Metamodelos y modelos TIC (II) en la resolución de problemas.

08 noviembre, 2011

El lenguaje matemático de la belleza.

Ahora más que nunca el mundo en que vivimos se levanta sobre los números, algunos de los cuales tienen incluso nombre propio: el número pi (p), el número e... De todo el conjunto de números notables hay uno especialmente interesante: 1,6180339887...Resulta curioso saber que esta modesta cifra ha fascinado a lo largo de la historia a muchas más mentes brillantes que pi y e. Durante siglos ha recibido denominaciones de lo más llamativas: número de oro, proporción trascendental, número divino, divina proporción, etc. El número de oro, que se representa con la letra griega F (phi), habita un territorio de relaciones y propiedades numéricas increíbles, pero también de conexiones insospechadas entre la naturaleza y las creaciones humanas.

¿Qué tienen en común fenómenos naturales tan dispares como la disposicion de las semillas de una flor de girasol, la elegante espiral dibujada por las conchas de algunos moluscos y los brazos de la galaxia que nos acoge, la Vía Láctea? ¿Qué pauta geométrica de insuperable armonía se esconde en la obra de grandes artistas y arquitectos, desde Vitruvio a Le Corbusier pasando por Leonardo y Salvador Dalí? Aunque pareza increíble, la respuesta a estos dos interrogantes es un simple número; una cifra de apariencia humilde, conocidad desde la Antigüedad, cuya continua aparición en toda clase de manifestaciones naturales y artísticas le ha merecido apelativos tales como "divina proporción", "número de oro" o "proporción áurea".

La historia de las matemáticas es a veces sorprendente, y desde luego, siempre inesperada. El viejo numero áureo, tan geométrico, emparentó siglos después con unas fracciones que surgieron de una sucesión puramente aritmética. El artífice del matrimonio fue el más destacado matemático de la Edad Media, Leonardo Pisano (Pisa, 1170), más conocido como Fibonacci.
(La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza. Fernando Corbalán_2010.)



Fibonacci escribió obras de teoría de números, geometría y álgebra. Su obra más conocida, "Liber abaci" (Libro del ábaco), trata sobre el cálculo. A pesar se su título ambiguo, en ella trata de demostrar las ventajas de la utilización de la numeración decimal basada en las cifras arábigas sobre el modo de cálculo imperante en la Italia de su tiempo, basado en el ábaco y los números romanos. En "Liber abaci" , Fibonacci propone el famos problema de los conejos, cuya solución es la famosa sucesión aritmética ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) que hoy se conoce como sucesión de Fibonacci.
Problema de los conejos: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada vez otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?

Como se puede observar, un término de la serie de Fibonnaci se obtiene como suma de los dos términos precedentes. Una aproximación al número de oro se obtiene como relación o cociente entre un término de la sucesión y su predecesor en la misma. 21/13 será una aproximación mejor que 8/5...

Este magnífico vídeo de Cristóbal Vila toma como referencia la famosa sucesión de Fibonacci y, a partir de ella, nos adentra de manera magistral en una recreación de aspectos de la naturaleza que nos produce "esa extraña sensación llamada belleza" ligada, en este caso, al lenguaje matemático. No necesita ser comentado. En él se demuestra que una imagen vale más que mil palabras.

 


En este otro "regalo para nuestro ojos y nuestro espíritu", de Cristóbal Vila, nos sobrecoge la sensación de misterio, armonía, belleza y perfección que provoca la simetría dinámica de las formas geométricas.

La belleza geométrica en caleidoscopios.



Aspectos estéticos y místicos de la geometría.



Las matemáticas son la ciencia de las pautas y las relaciones. Como disciplina teórica, exploran las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si éstas tienen homólogos en el mundo real. Las abstracciones pueden ser cualquier cosa, desde secuencias de números ( como la de Fibonacci) hasta figuras geométricas ( rectángulo çaureo, espiral áurea, etc...)... Parte del sentido de belleza que muchas personas han percibido en esta ciencia no radica en hallar la más grande perfección o complejidad, sino al contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representación y la comprobación. A medida que las matemáticas avanzan, se han encontrado más y más relaciones entre partes que se habían desarrollado por separado, por ejemplo, entre las representaciones simbólicas del álgebra y las representaciones espaciales de la geometría. Estas interconexiones hacen posible que surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diversas partes de la disciplina; juntas, fortalecen la creencia en la exactitud y unidad esencial de toda la estructura.
 La naturaleza de las matemáticas. Pautas y relaciones. American Association for the Advancement of Science

Aunque los/as alumnos/as de Primaria no entiendan bien las relaciones numéricas o geométricas que se ocultan en determinadas estructuras naturales o artificiales, conviene ponerlos en contacto (el vídeo y los modelos dinámicos son recursos muy adecuados para ello) con este aspecto de las matemáticas como "campo de estética" favoreciendo que asocien que una misma realidad se puede traducir o expresar de diferentes maneras haciendo uso de diferentes lenguajes ( numérico, geométrico,...), o que determinadas pautas o relaciones numéricas están presentes en fenómenos aparentemente muy diferentes...

Artículo relacionado con esta entrada: Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas.

02 noviembre, 2011

Sobre ALOHA Mental Arithmetic y el cálculo deseable en la escuela


Agunos datos...
El ábaco se hizo para llevar a cabo las operaciones fundamentales de la aritmética. El ábaco es el precursor de los modernos computadores. El ábaco más pequeño se construyó en IBM Suiza, 13-nov-1996, del tamaño de una molécula de una millonésima parte de un milímetro. (http://abaxmuseum.blogspot.com/)
La computadora más rápida del mundo hasta la fecha (20 de junio de 2011) es el Ordenador K japonés. Se encuentra en el Instituto RIKEN, en el Centro Avanzado para las Ciencias de la Computación (AICS), en Kobe (Japón), y combina 68.544 CPU tipo SPARC64 VIIIfx cada una con ocho núcleos, lo que arroja un total de 548.352 núcleos. Es capaz de realizar más de ocho mil billones de cálculos por segundo (8 petaflop/s). (Wikipedia)

La "Perla Filosófica", de Gregor Reisch (1503)
Grabado en madera. Este grabado, también conocido como "Margarita Philosophica", nos muestra una alegoría de la aritmética arbitrando la rivalidad entre un partidario de las cifras (algorista) y un adepto al cálculo mediante fichas (abaquista). A uno y otro personaje están asociados por oposición los nombres de Boecio (muerto hacia el 525 y referencia obligada en el Medioevo Occidental) y Pitágoras (asociado a una representación geométrica de los números). El aire triunfal del primero, el aspecto confuso del segundo, así como la ropa llena de cifras de un árbitro parcial, ponen de manifiesto que al comenzar el Renacimiento acaba de producirse una victoria del primer bando, el de los algoristas.



A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos.

Vivimos en una sociedad tecnológicamente avanzada. Las múltiples y diferentes actividades humanas conllevan, cada vez más, la necesidad de realizar ingentes cantidades de cálculos y parece que el avance tecnológico puede medirse en cierta manera por la velocidad de cálculo de las computadoras...

¿Cómo es el cálculo en nuestra sociedad? La mayor parte del mismo es instrumental ( cajas registradoras, calculadoras, computadoras,...).

¿Se corresponde el cálculo que se enseña en la escuela con las características de la sociedad en que vivimos? Poco, ya que predomina un cálculo mecanizado, apoyado en los algoritmos renacentistas - de lápiz y papel-  de las operaciones básicas,  basados en cifras que no aportan significado y que no aprovechan suficientemente el potencial de las propiedades fundamentales de las operaciones. Se trata de un cálculo frecuentemente descontextualizado y que no ha sabido potenciar suficientemente la importancia del cálculo mental.
El cálculo así concebido es una habilidad cognitiva de orden inferior.

La escuela del siglo XXI debe apostar por un cálculo pensado, flexible, basado en números...Por un cálculo razonado (los cálculos más complejos se infieren siempre de otros hechos numéricos más sencillos haciendo uso de las propiedades de las operaciones, del reconocimiento de regularidades o patrones numéricos y del desarrollo progresivo del razonamiento proporcional...) y razonable (no se trata de convertir a nuestros/as alumnos/as en máquinas de calcular...).

Y sin embargo...

Podemos encontrar en Youtube numerosos vídeos que muestran a niños calculando de manera sorprendemtemente rápida, prodigiosa,... Es el caso de los vídeos correspondientes a ALOHA Mental Arithmetic  o a  Flash Anzan  ("el juego para las calculadoras humanas ultrarrápidas"...).

Creada en Malasia en el año 1993, ALOHA Mental Arithmetic cuenta en la actualidad con presencia en 19 países de los 5 continentes. El programa se ofrece de manera idéntica en todo el mundo para garantizar los estándares de calidad consolidados tras 18 años de experiencia. Se publicita como un divertido programa de desarrollo mental para niñ@s de 4 a 13 años, con beneficios para toda la vida:

Operaciones aritméticas con velocidad y precisión.
Capacidad de concentración y atención.
Creatividad y capacidad de visualización.
Capacidad de escucha y habilidad para la observación.
Memoria fotográfica y orientación espacial.
Mayor autoconfianza.
Habilidades analíticas.


ALOHA Mental Arithmetic se basa en el aprendizaje del ábaco :

Los estudiantes de ALOHA Mental Arithmetic descubren el funcionamiento básico del ábaco.
Después, empiezan a realizar operaciones aritméticas con este instrumento de cálculo.
Poco a poco, los alumnos aprenden a visualizar el ábaco en su cabeza y a utilizar esta imagen mental para calcular.
Con la práctica, los niños son capaces de prescindir totalmente del ábaco para realizar operaciones mentalmente a gran velocidad.
Al final del programa, los niños pueden realizar operaciones de hasta 17 dígitos, para lo que deben visualizar 85 cuentas del ábaco.














Sólo podría justificarse una propuesta de adiestramiento en cálculo mental descontextualizado, como la que nos muestran los vídeos anteriores, justificándola como desarrolladora de habilidades cognitivas de orden superior. Y eso es precisamente lo que está cuidando mucho Aloha Mental Arithmetic en su eficaz campaña de marketing. Sus responsables de expansión es España saben pasar con enorme soltura de las razones estrictamente comerciales a justificar sus beneficios para una educación de calidad como si fuesen auténticos expertos en psicología cognitiva.

Ya nadie bien informado duda de la existencia de dos hemisferios cerebrales que, además de controlar partes diferentes del cuerpo, cumplen funciones diferentes en los procesos mentales de reflexión, comprensión y memoria; de que el hemisferio cerebral derecho está subutilizado; de que es necesario revalorizar la importancia de la creatividad y la imaginación en el desarrollo de la inteligencia...Supongo que esto podrá llevarse a cabo de múltiples maneras...

No soy un experto en psicología cognitiva y no pongo en duda las bondades de este programa ALOHA, ni las de tantos otros programas de desarrollo cognitivo que proliferaron a partir de los años sesenta del siglo XX; pero no me extrañaría nada que, por razones estrictamente comerciales - que son las que imperan actualmente en nuestro mundo- se maximizaran en exceso sus beneficios educativos...

Resulta curioso que Kiran Motwani sea directora de Aloha Spain y madre de los niños Ronit y Samir Motwani, de 9 y 10 años de edad, campeones del mundo de cálculo mental. Samir Motwani tiene claro que quiere trabajar en la NASA (imagino que está convencido de que su buena capacidad de cálculo lo hace un buen candidato para ello...). Pero la NASA tiene computadoras que hacen billones de cálculos por segundo....


Creo que a medida que se vayan extendiendo por el territorio nacional las franquicias de ALOHA Mental Arithmetic tomará mayor importancia el debate sobre la necesidad de reorientar adecuadamente la enseñanza-aprendizaje del cálculo en la escuela. Esto me parece positivo. Pero, por otro lado, el poderoso marketing asociado, la oratoria - tipo predicador evangelista o adventista - de los jóvenes presentadores de campeonatos de ALOHA, me infunden sospechas... El asunto me plantea interrogantes tales como:

Soy consciente de que el cálculo con el ábaco es un cálculo estratégico, pensado, pero ...¿No se pone de manifiesto en estos vídeos un adiestramiento excesivamente mecánico y conductista?
¿Responde a las necesidades y características de un cálculo para todos/as?
¿Se trata realmente de un divertido programa para estimular la inteligencia de niños de 4 a 13 años?
Si se fomenta el cálculo mental como actividad extraescolar, ¿qué tipo de cálculo será el estrictamente escolar?
¿Necesita nuestro mundo calculadoras humanas?
¿Por qué se asocia con tanta facilidad buen nivel de cálculo con buen nivel de competencias matemáticas?



En el siguiente vídeo, Naomi W., una niña de 9 años, realiza cálculos mentales que si bien están por encima de la media de los/as niños y niñas de su edad, suponen un grado de competencia en el cálculo que perfectamente puede conseguir un determinado porcentaje de alumnos/as de nuestros centros, de 9 años, con los tiempos normales de enseñanza previstos para el área de Matemáticas. Eso sí, siempre que se enfoque y se practique el cálculo mental adecuadamente. Los cálculos propuesto en el vídeo pueden ser realizados haciendo uso de la propiedad distributiva - la fundamental en el cálculo mental - de la multiplicación con respecto a la suma y de la propiedad distributiva - por la izquierda- de la división con respecto a la suma. Requieren previamente cierto dominio de la descomposición aditiva de números y la memorización de hechos numéricos básicos (tablas de multiplicar pitagóricas)



Los vídeos anteriores muestran el cálculo como producto o resultado final, sin analizar su proceso. Te recomiendo que visualices vídeos sobre cálculo realizados en España con otro enfoque:

¿Y tú qué piensas al respecto?
¿Crees que la aplicación interactiva que se ofrece a continuación es adecuada para contextualizar la propiedad distributiva y adquirir un buen dominio de la misma para la realización de cálculo mental de productos?


(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)

¿Has sumado o restado alguna vez con el ábaco?

(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)





25 octubre, 2011

Material didáctico analógico vs material didáctico digital

Un aspecto importante de las TICs es que hacen posible la compensación de carencias, de desigualdades educativas...permitiendo que centros pobres, con pocos recursos, puedan acceder a materiales educativos digitales cuyos correspondientes analógicos no podrían adquirir, al menos en la cantidad necesaria para que la manipulación de los mismos no fuese meramente testimonial. Las TICs permiten conjugar la calidad con el bajo costo.

Así, por ejemplo, adquirir un ábaco-contador analógico de 100 bolas  para cada alumno/a de un determinado nivel, además de ocupar un espacio considerable a la hora de guardarlos, supondría un importante desembolso económico que no todas las administraciones educativas, ni todos los centros escolares, podrían permitirse. Sobre todo si se lleva a la práctica una educación constructivista, que demanda especialmente la abundancia de materiales didácticos diversos (ábacos, regletas, bloques multibase, balanzas, relojes didácticos, geoplanos, juegos de billetes y monedas, juegos de polígonos y poliedros, etc, etc...)



¿Tienen claras ventajas los materiales didácticos  analógicos sobre sus correspondientes digitales? La respuesta a esta pregunta dependerá en gran medida del diseño dado al material digital y del grado de interactividad, del lado del usuario, con que cuente.

A.-) Ábaco contador analógico de 100 bolas:




B.-) Ábaco contador digital de 100 bolas:


(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)

He aquí una nueva versión que incluye a la anterior


Para este material didáctico, podemos comprobar que todos los usos y manipulaciones didácticas (libres o dirigidas) que se pueden realizar en A también se pueden llevar a cabo en B ( en la opción "manipulación libre") con la misma facilidad ( sólo la "puesta a cero", en este caso concreto, es más lenta en B - al no poder volcar el ábaco hacia un lado, aunque esto es fácil de solventar si se considerara especialmente relevante-, pero con más precisión en la separación de las bolas en B que en A). Podemos ver además que en B las bolas están diferenciadas, de 5 en 5, por el color ( hay también ábacos contadores con 100 bolas diferenciadas de esta manera). Este detalle es de gran relevancia didáctica, pues permite utilizar el cinco como intermediario para la lograr una percepción más rápida de números menores que 10 (descomposición aditiva-sustractiva de números en la que el 5 juega un papel esencial): 7= 5 + 2; 8 = 10 - 2; 4 = 5 - 1; etc...


En B, además, se asocia cada pulsación con el nombre ( oído y escrito) del número formado, con los símbolos gráficos que lo representan ( número y cifras del mismo) y con otra representación gráfica alternativa, lo cual permite el aprendizaje autónomo de manera sensiblemente más eficaz que en A. Pero, además, en la opción "escribe el número" se realiza una propuesta que permite la comprobación de un determinado aprendizaje posibilitado por el material, lo cual es un mecanismo de retroalimentación para el/la alumno/a usuario/a, un mecanismo de regulación de su propio aprendizaje. Esta ventaja didáctica es esencial para un modelo de enseñanza centrado en el alumno, que contemple tiempos de trabajo autónomo o semidirigido, que posibilite el descubrimiento...


Si a las ventajas didácticas de B con respecto a A le añadimos el bajo coste, incluso ecológico, y las ventajas en relación con su puesta en práctica en el aula (rapidez en la disponibilidad y en el cambio de actividad, mayor orden en la clase, facilidad de guardado o almacenamiento, menor deterioro, mayor duración,...), no cabe duda de que B material didáctico digital) ha superado en funcionalidad a A (material didáctico analógico).



(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)

De manera análoga podríamos razonar para otros materiales didácticos tales como balanzas (es difícil lograr el equilibrio con una analógica); relojes didácticos (en los analógicos las agujas se mueven a intervalos continuos difíciles de cuantificar. En cambio, con un reloj digital podemos configurar el movimiento de sus agujas de manera que avancen, por ejemplo, de 5 en 5 (segundos, minutos), de 1 en 1 (horas), etc...); geoplanos; etc...