Feliz año bisiesto 2012

Aquí reproduzco, de manera aproximada, una de las últimas clases de matemáticas (diciembre de 2011) con mis alumnos/as de 6º de Primaria.

(La mayéutica socrática no está reñida con el uso e integración de las TICs en clase de Matemáticas)

Yo: -¿Sabéis qué tiene de especial el nuevo año que se avecina, el 2012?

C.B. (al instante): - Que es bisiesto.

Yo: -¿Y qué significa el adjetivo bisiesto?

C.B. (de nuevo, al instante. Se esperaba la pregunta): - Que tiene un día más que un año normal.

Yo: -¿Cuántos días tiene un año, A.C?

A.C. (pensándoselo un poco): - 365.

Yo ( dirigiéndome de nuevo a A.C., que se distrae con facilidad): -¿Y un año bisiesto?

A.C. :- Pues un día más, 366.

Yo: -¿Y en qué mes se coloca este día más?

Casi toda la clase: - ¡En febrero!

Yo: -¡Vale!¿Alguien sabe decirme una definición de año?

R.Y:- Pues 365 días, o doce meses...

Yo: -¿Entonces un año bisiesto no es exactamente un año? Me refiero a una definición científica de año...

J.J. ( después de un momento de silencio de la case):- El tiempo que tarda el Sol en dar una vuelta alrededor de la Tierra.

F.J. (corrogiéndolo al instante): - ¡La Tierra alrededor del Sol!

J.J. (dándose una palmada en la cabeza, por su fallo):- ¡Ah, sí! Pero, en realidad, la Tierra tarda en dar una vuelta al Sol 365 días y cuarto. Si ponemos 365 días para un año cometemos un error de 6 horas, que es un cuarto de día. En dos años cometemos un error de 12 horas y en cuatro años un error justo de un día. Por eso cada cuatro años se añade un día al mes de febrero - que es el que menos tiene-, para compensar.

Yo: - Muy bien explicado, J.J. De esa manera se evita que las fechas astronómicas y cronológicas dejen de coincidir. Si no, podría ocurrir que el mes de enero - que sólo tiene que ver con el calendario, con la medida humana del tiempo, coincidiese, por ejemplo, con el verano (que es una estación provocada por la situación de nuestro planeta con respecto al Sol).

C.G.:¡Qué guay!¡Iría a la playa en enero!

Yo (viendo que algunos extienden sus manos con los puños cerrados): - ¿Alguien sabe un procedimiento para recordar los días de cada uno de los meses del año?

P.P: - Sí, con los nudillos de las manos. (Y explica correctamente el procedimiento).

P.D.: - Maestro, los dos meses de vacaciones, julio y Agosto, son de los que más días tienen.

Yo : - Sí, es cierto. ¿Alguien sabría decir lo que es un año marciano?

I.R.: - El tiempo que tarda el planeta Marte en dar una vuelta alrededor del Sol.

Yo : - ¡Correcto!

C.G: - ¿Y cuántos días son?

Yo : - No lo recuerdo. Lo podemos averiguar en Internet. Pero sí os puedo decir que cuanto más alejado está un planeta del Sol, más tarda en dar una vuelta alrededor de él y, por lo tanto, su año durará más días de los nuestros, días terrestres. De la misma manera, los planetas como Mercurio y Venus, que están más cerca del Sol que la Tierra, tendrán años de menos de 365 días terrestres, tambien llamados soles. Se me ocurre que luego lo averigüemos en Internet y hagamos una tabla que recoja la duración del año de cada planeta de nuestro Sistema Solar. Pero, lo que yo quiero ahora es que nos fijemos en el número 2012, sólo en el número. ¿Qué podemos afirmar de él?

P.P.:- Que es par, que es de la table del 2, ...

F.J.:- Que es de la tabla del 4, porque hemos dicho que era bisiesto.

Yo : A ver, F.J., explica eso con más precisión.

F.J.:- Que si contamos de 4 en 4 llegaríamos a 2012 porque 2012 es de la serie del 4 o de la tabla de multiplicar del 4.

Yo :- ¿Quién sabe expresarlo de otra manera?

C.B: -Que 2012 es un múltiplo de 4.

Yo : - Bien. ¿Y utilizando la palabra "divisible"?

I.R.: -Que 2012 es divisible entre 4.

Yo : - Bien. ¿Y cómo podemos estar seguros?

S.V: - Pues dividiendo entre 4.

Yo : - ¿Y ya está?

P.P.:- Dividiendo entre 4. Si da división exacta sí es múltiplo de 4. Si no, no.

Yo : - Muy bien. ¿Cómo harías tú mentalmente la división, P.C?

P.C.: - 2000 entre 4 y 12 entre 4 y luego lo sumo.

Yo : - Vale, pero escríbelo en la pizarra indicando las operaciones que vas a realizar y utilizando correctamente el signo igual.

P.C. ( escrito en la pizarra): 2012 : 4 = (2000 + 12) : 4 = 2000 : 4 + 12 : 4 = 500 + 3 = 503.

Yo : - ¿Estáis de acuerdo?

Casi toda la clase: - ¡Sí!

Yo : - P.C. ha descompuesto el dividendo de la división, el número 2012, en dos múltiplos de 4. ¿Podría haberlo descompuesto en tres o más múltiplos de 4?

Varios alumnos: - ¡Sí!

P.P.:- ¡Yo, yo, maestro!¡Yo sé varias manera diferentes!.

Yo : -Pues sal a la pizarra y exprésalas correctamente.

P.P y otros (escrito en la pizarra):

• 2012 : 4 =(1000 + 1000 + 12) : 4 = 1000 : 4 + 1000 : 4 + 12 : 4 = 250 + 250 + 3 = 503.
• 2012 : 4 =(1600 + 400 + 12) : 4 = 1600 : 4 + 400 : 4 + 12 : 4 = 400 + 100 + 3 = 503.
• 2012 : 4 =(2000 + 20 - 8) : 4 = 2000 : 4 + 20 : 4 - 8 : 4 = 500 + 5 - 2 = 503.
• 2012 : 4 =(1000 + 1000 + 20 - 8) : 4 = 1000 : 4 + 1000 : 4 + 20 : 4 - 8 : 4 = 250 + 250 + 5 - 2 = 503.
• etc.

Yo : - A ver quién me sorprende con alguna forma más sencilla de realizar la división...

F.J(escrito en la pizarra):

• 2012 : 4 = 1006 : 2 = 503 : 1 = 503.

Yo : - Bien, veo que se entiende. Os planteo otra cuestión. Hay múltiplos de 4 que también son múltiplos de 8 como el 8, el 16, el 24, ...¿Es 2012 un múltiplo de 8?

M.V. (rápidamente): - No, porque no podemos hacerlo dos trozos que sean múltiplos de ocho.

C.B. - Ni dos, ni tres, ni cuatro porque  no da exacto.

Yo : - Exprésalo mejor, M.V., utilizando el verbo descomponer.

M.V. (rápidamente): - Porque no lo podemos descomponer en dos múltiplos de 8...

Yo : - ¿Cuál es el resultado, M.V., de dividir 2012 entre 8?

P.P y otros :-¡Ay, está "chupao"!

M.V. (rápidamente): - La mitad de 503 ...

P.P :- 251.5.

Yo : - Expresa, M.V., un procedimiento indicado para dividir 2012 entre 8.

M.V. (se dirige a la pizarra lentamente):

• 2012 : 8 = (1600 + 400 + 8 + 4) : 8 = 1600 : 8 + 400 : 8 + 8 : 8 + 4 : 8 = 200 + 50 + 1 + 0.5 = 251.5

Yo : - ¿Sabes tú alguna otra manera, C.G?

C.G. (se dirige a la pizarra lentamente):

• 2012 : 8 = 1006 : 4 = 503 : 2 = (500 + 3) : 2 = 500 : 2 + 3 : 2 = 250 + 1.5 = 251.5.

Yo : - Bien, volviendo al resultado de la división 2012 entre 4. ¿Que significado tiene 503?

I.R (rápidamente): - Que 2012 es 503 veces 4.

Yo : - Vale, pero ¿qué es 503?

C.B. (un poco dubitativa): - ¿Que desde que comenzó el mundo, bueno no, el tiempo, ha habido 503 años bisiestos?

Yo : - ¿Desde que comenzó el mundo? ¿Desde que comenzó el tiempo?

P.P. (exaltada): - ¡Desde Jesucristo, maestro!

Yo : - Bien, este es ya un asunto algo complicado y lleno de historia. Sería conveniente que lo investigáramos en Internet. Podemos buscar "calendario juliano" o "calendario gregoriano" en Wikipedia. Por ahora vamos a suponer que el comienzo del año uno coincide con el año de nacimiento de Jesucristo. Como bien ha dicho C.B., ha habido 503 años bisiestos desde entonces. ¿De acuerdo? ¿Qué hubiera ocurrido si no se hubieran contado estos 503 años bisiestos?

P.R. (después de un ratito de silencio): - Habría que restar 503 días...

Yo : - Sí, pero ¿al tiempo astronómico, el de los astros, o al tiempo cronológico, el de los calendarios?

P.R.: - ¡Al de los calendarios!

Yo : - ¡Atentos, que esto es alogo lioso! El tiempo astronómico no se puede cambiar. No podemos adelantar ni retrasar la posición de nuestro planeta dando vueltas alrededor del Sol sin parar... Si no hubiésemos contado esos 503 años como bisiestos, el calendario iría 503 días por delante de la fecha actual, es decir, 503 días por delante del tiempo astronómico. Seguiríamos estando en un día fresco de finales de otoño pero habría que sumar 503 días, más de un año, al calendario, bueno, a la fecha actual, para saber la fecha que correspondería al día de hoy...

P.R.: - ¡Ya lo he entendido!
J.J.: De 365 a 400 van 35 y de 400 a 503 van 103. Por lo tanto, habría que añadir un año completo y 138 días más a la fecha actual.

Yo : - ¡Perfecto, J.J!¿Sabrías continuar tu razonamiento?

J.J.: - Añadimos un año completo y estaríamos en el mismo día de hoy, 20 de diciembre, pero de 2012...

Yo  (interrumpiendo): - Seguiría siendo finales de otoño. Sólo faltarían dos días para que comenzara el invierno. ¡Sigue!

J.J.: - Ahora habría que añadir 138 días, que son 120 + 18, cuatro meses y medio más o menos.

Yo  (interrumpiendo): - Totalmente de acuerdo. Por tanto...¡Sigue, D.H!

D.H.(estaba distraído): - Que hay que añadir cuatro meses y medio....

Yo (adivinando que sólo repite un eco) : - No estás atendiendo lo suficiente, D. Si añadimos cuatro meses y medio a la fecha actual, ¿en que fecha del calendario nos quedaríamos, D.?

C.B. y otros/as (exaltados y con las manos en alto): - ¡Yo, yo, maestro!

D.H. (moviendo los labios, tras un tiempo y después de haber oído algo): - ¿A principios de Mayo?

Yo : - Correcto, veo que tienes buen oído, aunque no estoy seguro de que hayas entendido el razonamiento que estamos haciendo. Bueno, resumiendo... Si  hubiéramos contado como años corrientes, de 365 días, desde el año 1 al 2012, hoy el calendario no marcaría el día 20 de diciembre sino un día de la primera quincena de Mayo. Por último, imaginaros que en vez de 20 de diciembre de 2012 el calendario marcara ya el día 20 de diciembre de 4024, justo el doble... ¿qué estación del año sería si se hubieran contado como años corrientes los 4024 años?

C.B. - La misma, maestro, porque el tiempo astronómico no varía. Estaríamos a finales de otoño.

Yo : -No, C., date cuenta que he dicho que el calendario marca 20 de diciembre de 4024. Si se han contado todos los años de 365 días estaríamos adelantados al tiempo astronómico, en el que un año es 365,25 días, ¿no crees?.

C.B. - Sí, ya lo entiendo. Ahora en vez de restar a la fecha actual 503 días habría que quitar el doble, 1006 días...

Yo : -Muy bien, C. ¿Por qué?
P.P (adelantándose a la respuesta de C.B): - Porque si en 2012 años hay 503 bisiestos, en el doble de años habrá el doble de años bisiestos.
C.G.(interrumpiendo):- ¡Eso es ya el futuro, maestro!

Yo : -Correcto. ¿Quién sabe hacer el cálculo mental de una manera aproximada?

P.R.: Ahora en vez de restar 1 año y 138 días habría que restar 2 años y 276 días.

J.J.: Maestro, yo sé otra manera. Es mejor quitar 3 años completos y sumar.

Yo : -¿Y sumar qué?

J.J.: Los días que van desde 276 a 365.

Yo : - Que son...

J.J.: De 276 hasta 300 van 24, más 65 son 89 días, tres meses más o menos..

Yo : - Muy bien, por lo tanto, aunque seguiríamos estando a 20 de diciembre, astronómicamente hablando estaríamos en...

F.J. ( y otros): Si quitamos tres años completos, seguimos estando a finales de diciembre. Si luego sumamos tres meses estaríamos a finales de marzo y sería primavera...

Yo (yendo hacia la pizarra): - O estaríamos muy próximos a entrar en ella... Bueno, ahora voy a anotar en la pizarra algunas actividades de investigación que váis a hacer con la ayuda de vuestros ordenadores portátiles y de Internet, para luego comentarlas en clase:

• 1.-  Busca en Internet la duración de cada uno de los años de los planetas de nuestro sistema solar, expresados en días terrrestres. Haz una tabla, en tu cuaderno, para presentar la información.
• 2.- Busca en Wikipedia "calendario gregoriano". Lee la información detenidamente y anota en tu cuaderno sólo las ideas que entiendas y sepas explicar, preferentemente las ideas que más tengan que ver con las matemáticas.

Matemáticas y Creatividad

¡Qué gran vídeo de RSAnimate!

En RSAnimate proponen un nuevo y creativo formato para la presentación de ideas innovadoras. Lejos de utilizar sólo alguna forma concreta de transmitir la información (digamos escrita), combinan de manera interesante muchas de ellas: el lenguaje escrito, hablado y visual. El resultado es una experiencia envolvente para los sentidos, permitiendo el aprendizaje fácil de ideas complejas...

Contenido: trata sobre la obsolescencia del sistema educativo actual, nacido de la revolución industrial. El autor no podía ser otro que el gran Sir Ken Robinson ; Ken Robinson es un experto internacional en el desarrollo de la creatividad, innovación y recursos humanos. Según él las escuelas matan la creatividad. También es uno de los oradores principales del mundo con un profundo impacto en el público de todos los países. Sus vídeoconferencias en TED  han sido vistos por unos 200 millones de personas en más de 150 países.





¿Por qué un vídeo como éste en un blog que trata sobre DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS CON TIC?
Porque el "para qué" de la Educación precede al "para qué" de las Matemáticas, obviamente. Porque creo en una matemática humanista. Porque si hablo de competencias en educación no le doy el sentido y el significado que tiene la palabra competencias en el mundo de las grandes corporaciones y empresas de donde viene y hacia donde parece dirigirse, sino que aludo al grado de desarrollo de ciertas potencialidades del ser humano... También porque, mediante mis trabajos, quiero aportar mi grano de arena para ilustrar que la matemática permite desarrollar la creatividad en la escuela...

Ken Robinson dice que las escuelas matan la creatividad
Febrero de 2006


Sir Ken Robinson: ¡A iniciar la revolución del aprendizaje!

Febrero de 2010.

En la escuela es tradicional incluir acciones y tareas de creatividad en áreas vinculadas con la educación artística y con la literaria. Pocas veces se piensa que la Matemática brinda un espacio fundamental para ello...Vigotski considera que la creatividad existe potencialmente en los seres humanos, y es susceptible de ser desarrollada; es decir, que no es privativa de los genios, sino que está presente en cualquier ser humano que imagine, transforme y cree algo: "Es precisamente la actividad creadora del ser humano la que hace de él un ser proyectado hacia el futuro, un ser que crea y transforma el presente".

Si, como afirma Vigotsky, la creatividad es una capacidad innata,  parece lógico pensar que se pueda aplicar a todos los ámbitos de la actividad humana. La creatividad no es imitación porque involucra una nueva interpretación. Está en estrecha relación con el contexto y el aprendizaje. Se caracteriza por la novedad, la originalidad, el no conformismo, la creación de un orden nuevo, la formación de una nueva síntesis, la pertinencia del resultado, la eficacia de la solución o de las soluciones. La creatividad abarca los sistemas afectivos, sensorial y cognitivo.

¿Es posible hablar de tareas o procesos de enseñanza y aprendizaje creativos de las matemáticas? ¿Requiere ciertas dosis de creatividad la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas? 

He aquí algunos documentos y sitios web que tratan el tema de la enseñanza creativa de las matemáticas:

Las musas matemáticas: hacia una enseñanza creativa. Claudi Alsina Catalá. Universidad Politécnica de Catalunya.

"Enseñar creativamente significa enseñar con variaciones e innovaciones. Una lección creativa debe ser interesante, provocadora, no convencional, productiva y motivadora. Hay variaciones en técnicas de enseñar, en materiales, en actividades y en evaluacion. Hay innovaciones en los diseños de los recursos, en selecciones de actividades y en instrumentos de evaluación" 

Matemática creativa. 10 axiomas para aprender matemáticas con imaginación, disfrutándolas. David del Prado Díez. Instituto Avanzado de Creatividad Aplicada Total. Santiago de Compostela.

• Matemática gratificante y placentera.
• Aprendizaje vivencial.
• Matemática como expresión múltiple de las inteligencias, no sólo la simbólica sino la gráfica, la muscular, la musical.
• Matemática aplicada y útil.
• Matemática diversificadora y flexible.
• Matemáticas de genio y por genio para genios.
• Matemática combinatoria.
• Problemas vitales, reales o inventados.
• Aprendizaje analógico comparativo e inventivo de la matemática.

Más cerca de la creatividad que de los números. Por Raquel San Martín.De la Redacción de LA NACION.


EL DESARROLLO DE LA CREATIVIDAD PARA EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA DESDE EL AULA Y/O ESCUELA . blog. Ensayo.
Calidad y creatividad en  Educación Matemática. C. Eloy Arteaga Valdés. Xixím: Revista electrónica de didáctica de las matemáticas, Nº. 2, 2002

“Toda educación actual, que se precie de tal, tiene que tener en cuenta la creatividad”, y es que la creatividad es uno de los más grandes y nobles principios indispensables en todo proceso o enseñanza-aprendizaje, para contribuir al desarrollo del ser humano como una unidad Bio-Psico-Social-Trascendente. Un ingrediente importante en la creatividad es el razonamiento divergente que se caracteriza por la producción de una gran variedad de soluciones alternativas, totalmente factibles.

Cultiva en el alumno el razonamiento divergente, es habituarlo a tener un pensamiento, reflexivo, crítico, analítico, que no límite por expectativas sino que se distinga por su originalidad.

"Hacer matemáticas va más allá de las cuentas. Es imaginar, hacer conjeturas, discutir, poner a prueba lo que uno supone y validarlo, construir entre todos un conocimiento"

"La matemática enseña a incorporar formas de pensar, más allá de contenidos puntuales. Es básica para el pensamiento, está muy conectada con la creación artística y en ella la creatividad es un elemento dominante".

"Lo que se enseña se parece más a un conjunto de técnicas para resolver ejercicios, reglas y procedimientos que se apoyan en la autoridad del docente"... "...la postura recomendable es que el proceso de aprendizaje se desencadene a partir de un problema, matemático o no, con muchas soluciones posibles, que suponga inventar. Hay que aprender técnicas y procedimientos, pero se adquieren con un sentido".

Expertos: Occidente fomenta creatividad en Matemáticas y Asia los resultados. Noticia de la Agencia EFE. (23/10/2009)



"Estados Unidos y Europa destacan y fomentan la creatividad en la educación de las matemática, mientras que Asia destaca por lo disciplinado de su método y el énfasis que pone en los resultados, según han puesto de manifiesto expertos sobre educación matemática en Valencia."

" Es imposible mejorar la calidad de la Educación Matemática, desarrollar el pensamiento matemático de los alumnos en la resolución de problemas y otras actividades al margen de la creatividad..."

Nuevas Tecnologías: mitos, promesas y realidades

Cada uno/a de nosotros/as construimos o atribuimos, diariamente, de manera consciente o inconsciente una serie de cualidades, propiedades, desventajas o beneficios que nos posicionan de determinada manera frente a las nuevas tecnologías. (Roberto Aparici)

Jesus .A. Beltrán Llera

• Catedrático de Psicología Evolutiva y de la Educación de la Universidad Complutense de Madrid
• Director del Departamento de Psicología Evolutiva y de la Educación de la Facultad de Educación de la Universidad Complutense de Madrid.
• Miembro del comité de redacción de numerosas revistas y editoriales como Revista Española de Pedagogía, Revista Española de Psicología General y Aplicada, Revista de Educación del Ministerio de Educación y Ciencia, Revista Bordón, Consultor de la Editorial Erlbaum. Hillsdale ( U.S.A.).
• Miembro del Comité de evaluación del Ministerio para la evaluación del profesorado.
• Miembro de la Agencia Nacional de Evaluación del Ministerio de Educación y Ciencia.
• Presidente de los dos primeros Congresos Internacionales de Psicología y Educación que se han celebrado en España.
• Presidente de la Asociación Española de Psicología, Educación y Psicopedagogía.
• Ha publicado más de 40 libros y 150 artículos relacionados con la Psicología de la Educación y el Aprendizaje.

(Nota biográfica extraída de reddigital.cnice.mec.es)

Me parece excelente el análisis que realiza Jesús A. Beltrán sobre los mitos, promesas y realidades asociados con las Nevas Tecnologías en este documento:

La nueva pedagogía a través de Internet

Roberto Aparici analiza 13 mitos sobre Tecnologías las Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación.

Razonamiento proporcional y multiplicación

Observemos la siguiente imagen:

¿De cuántas maneras diferentes podríamos averiguar el número de pelotas correspondiente a 9 cajas iguales?

Se nos ocurre que podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 8 cajas (96) y 1 caja (12), y sumarlos. También podríamos aprovechar los resultados correspondientes a 6 cajas (72) y 3 cajas (36), y sumarlos. Otra forma de llegar al resultado correcto sería aprovechar los resultados correspondientes a 7 cajas (84 pelotas) y 2 cajas (24 pelotas) y sumar 84 más 24. Y muchas otras formas más...

¿Cómo habrían resuelto los antiguos egipcios esta situación?

Dado que los antiguos egipcios sólo sabían duplicar o doblar (multiplicar por 2), habrían realizado una tabla análoga a la de la izquierda y  aprovechado los resultados correspondientes a 8 cajas (96 pelotas) y 1 caja (12 pelotas) que, sumados, dan 108 pelotas.

De manera análoga, para calcular el número de pelotas correspondientes a 11 cajas iguales, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 2 y 1 cajas, sumando 96 + 24 + 12.

Para calcular el número de pelotas correspondientes a 14 cajas, podrían haber utilizado los resultados correspondientes a 8, 4 y 2 cajas, sumando 96 + 48 + 24...

Como se puede apreciar, el método de multiplicación egipcio es muy productivo, en el sentido de que a partir de unos cuantos resultados sencillos, por combinación, se obtienen muchos otros resultados... Por otra parte, este método no es nada mecánico, se apoya en una estrategia fundamental del cálculo, la duplicación, en el razonamiento proporcional (a doble número de cajas corresponde doble número de pelotas) y podemos darle una interpretación perfectamente formal haciendo uso de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

Así, 14 x 12 = (8 + 4 + 2) x 12 = 8 x 12 + 4 x 12 + 2 x 12 = 96 + 48 + 24 = 132.

En definitiva, el método egipcio propone una multiplicación "por partes" haciendo uso de números - no cifras- y basada en la propiedad distributiva (una estrategia fundamental en la resolución de problemas consiste en dividir el problema dado en  partes más manejables).

¿Y si consideramos una adaptación del método egipcio al siglo XXI, haciendo una mejora de sus potencialidades?

Imaginemos que un/a niño/a domina los hechos numéricos que se reogen en la tabla de la izquierda. Es obvio que, a partir de ellos, podría obtener un buen número de nuevos resultados. Así, por ejemplo, podría calcular el número de pelotas que hay en 39 cajas iguales aprovechando los resultados correspondientes a 40 cajas y 1 caja realizando la resta 480 - 12 = 470 - 2 = 468.

Podría calcular el número de pelotas correspondientes a 78 cajas así: 480 + 360 + 120 - 24 = 500 + 340 + 100 - 4 = 940 - 4 = 936. Quizá resulte más fácil de esta otra manera: 480 + 480 - 24 = (500 - 20) + (500 - 20) - 24 = (1000 - 40) - 24 = 1000 - 64 = 936.

Estos últimos ejemplos ilustran una variación del método egipcio que pone mayor énfasis en los aspectos de proporcionalidad numérica inherentes al conocimiento y dominio del sistema numeración decimal (Si 10 x 62 = 620 ---> 20 x 62 = 1240...) y en el aprovechamiento de los "números redondos" (acabados en ceros). Nótese, además, que este método de multiplicación se basa en el cálculo pensado con números - no en un cálculo mecánico con cifras como el algoritmo tradicional de la multiplicación -; es flexible - permite llegar al mismo resultado utilizando estrategias y/o secuencias de cálculo diferentes-, más o menos largos según el grado de competencia en cálculo pensado con que cuente cada alumno/a (atención a la diversidad). Además, hace el cálculo más atractivo.

Podría argumentarse que la multiplicación 12 x 47, mediante el algoritmo tradicional, es más fácil puesto que sólo requiere conocer las tablas de multiplicar ( las del 1 y las del 2 para este caso concreto) y la mecánica del algoritmo... ¡Totalmente de acuerdo con este argumento! Pero...

...es que se trata de enseñar y aprender Matemáticas plenas de significados, de desarrollar competencias matemáticas...Si algo hay ineludible en esta área curricular es el razonamiento. Todo/a niño/a tiene cierto grado de razonamiento proporcional que hay que fomentar. Tanto la construcción de tablas de multiplicar -que son tablas de proporcionalidad- como el método utilizado para realizar multiplicaciones se deben basar en el desarrollo de este tipo de razonamiento, fundamental en la adquisición de competencias matemáticas en Primaria ya que prepara el camino a nociones matemáticas valiosas. Sería deseable que un/a alumno/a de tercer ciclo de Primaria supiera calcular mentalmente, por ejemplo, el 15% de 840 € utilizando el razonamiento proporcional más o menos así : El 15% de 840 = 10% de 840 + 5% de 840 = la décima parte de 840 + la mitad de la décima parte de 840 = 84 + 42 = 126.

La imagen de arriba muestra una división propuesta por mí, al azar, y realizada por una alumna de 5º de Primaria. Obsérvese el uso que hizo esta niña del razonamiento proporcional en la realización de la misma: Si 2 x 57 = 114 entonces 0,20 x 57 = 11, 4. Si 0,20 x 57 = 11, 4 entonces 0,02 x 57 = 1,14.

Se podría argumentar que el desarrollo de competencias matemáticas también contempla rutinas, tareas a nivel de la simple alfabetización, como podrían ser los algoritmos tradicionales de las operaciones básicas. Pero es que si estos algoritmos tradicionales cumplían perfectamente su papel alfabetizador en el siglo XIX y en buena parte del siglo XX, actualmente ya no la cumplen. Estamos inmersos en una sociedad tecnológica en la que la mayor parte de los cálculos son instrumentales (cajas registradoras, calculadoras, computadoras,...). Esto implica repensar el papel del cálculo y la numeración que se imparten en la escuela. De acuerdo con unos principios claros para la mejora de la educación matemática, deben servir para el desarrollo de competencias matemáticas.

Las siguientes aplicaciones, incluídas en ¡ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE!, permiten construir tablas de proporcionalidad sencillas - que incluyen como caso particular las tablas de multiplicar- así como la utilización de formatos interactivos que tutorizan la práctica de la multiplicación basada en el cálculo pensado con números, de manera flexible y haciendo uso del razonamiento proporcional:

(Ver a pantalla completa)

(Ver a pantalla completa)

Dado que el método para multiplicar por el que se apuesta aquí en cierta forma rescata y mejora el método de multiplicación egipcia, parece conveniente ilustrar éste último mediante un vídeo:

Didáctica de las operaciones básicas según la UNIR

La Universidad Internacional de La Rioja (UNIR) es una universidad virtual de nueva creación (2008), que nace con una visión global de la educación unida a la empresa.

La UNIR propone un modelo universitario virtual, con visión Global, construido a partir de las nuevas tecnologías. 

Su proyecto pedagógico se basa en la educación personalizada y participativa, así como en el trabajo colaborativo de los alumnos.

La Universidad Internacional de La Rioja (UNIR) es una universidad de iniciativa privada fundada el 12 de septiembre de 2008 y a la que se le otorgó su reconocimiento oficial mediante la Ley 3/2008, de 13 de octubre de 2008, del Parlamento de La Rioja. Su estructura, organización y funcionamiento han sido diseñados conforme a los parámetros y exigencias del Espacio Europeo de Educación Superior (EEES). Sus futuros graduados, obtendrán títulos oficiales de grado con validez en todos los estados europeos del EEES.
La modalidad didáctica de la UNIR es la de una universidad on line, lo que le permite tener una proyección realmente global: sus alumnos y profesores, recibirán e impartirán, respectivamente, sus enseñanzas en español o en inglés y podrán localizarse en cualquier parte del mundo. Las anteriores características hacen que, fundadamente, pueda referirse a esta nueva universidad como: UNIR, La Universidad en Internet.

Fuente: Wikipedia.

La Universidad Internacional de la Rioja (UNIR) ofertará 23 carreras en 2011.

¿Así?



¿O así?

El vídeo sólo se centra en las propiedades formales y descontextualizadas de la multiplicación y la división y no en las estrategias de cálculo que se derivan de esas propiedades básicas ( que son lo verdaderamente importante para "aprender y enseñar a multiplicar y dividir")

Al contrario de lo que se afirma en este vídeo, la conmutatividad de la multiplicación no presenta problemas a los/as alumnos/as, ni tan siquiera en los cálculos más formales y descontextualizados - mucho menos en los cálculos contextualizados relativos a la resolución de problemas.

La propiedad distributiva de la multiplicación - con respecto a la suma y resta-, junto con la descomposición aditiva de números, se traduce en la estrategia didáctica fundamental para el cálculo de productos. Se puede realizar un producto complejo como suma de productos simples: 6 x 234 = 6 x (200 + 30 + 4) = 1200 + 180 + 24 = 1380 + 20 + 4 = 1400 + 4 = 1404.

Se afirma en en el vídeo anterior de la UNIR que la división no tiene la propiedad distributiva con respecto a la suma o la resta. Ello es, desde un punto de vista formal, estrictamente cierto - porque siendo distributiva por la derecha no lo es por la izquierda-. Sin embargo esta distributividad de la división -con respecto a la suma y resta- por la derecha se traduce en la estrategia más potente para el cálculo de divisiones. Nos permite realizar divisiones por partes (descomponiendo aditivamente el dividendo), como ilustra de manera inequívoca la siguiente aplicación:

Después de la visualización crítica de estos vídeos correspondientes a más de una decena de temas sobre Didáctica de las Matemáticas en la E. Primaria, tengo que afirmar que a mí, personalmente, me parece una didáctica muy light la que propone la UNIR en estos vídeos, pobre en contenido científico.

Podemos encontrar numerosísimos vídeos y otros recursos educativos multimedia realizados por maestros/as, didactas, etc... que profundizan más, de manera más científica y con objetivos explícitos más claros y relevantes, en "el arte de enseñar" los aspectos de las matemáticas en la E. Primaria sobre los que inciden los vídeos.

Se pone de manifiesto, nuevamente, la desconexión entre escuela y universidad - en su relación recíproca-. ¿Es la Universidad un centro privilegiado de producción y difusión del Conocimiento? Parece que la misión de las universidades en el siglo XXI es otra, casi puramente mercantil.

Matemáticas con Flash (II).

En Matemáticas con Flash (I) analicé algunas da las características más importantes de las aplicaciones educativas para el área de Matemáticas (Primaria), y realizadas con Flash, incluídas en el proyecto Agrega.

Voy a dedicar este post a analizar otros sitios que ofrecen aplicaciones Flash gratuitas para el desarrollo del currículo del área de Matemáticas en la Etapa Primaria.

• C.E.R.  El Tanque es un sitio web creado por Mario Ramos Rodríguez (Los Silos-Tenerife). Mario Ramos, con la tecnología Flash, ha creado numerosas aplicaciones para el área de Matemáticas , sobre todo para el 3º ciclo de la Etapa Primaria que pone, altruistamente, al servicio de los docentes de Primaria  bajo el título genérico Matemáticas 5º y 6º EP. Los que nos movemos en el mundillo del desarrollo de contenidos educativos digitales sabemos que estas aplicaciones son el fruto de miles de horas de aprendizaje, investigación y creación cuyos frutos se ponen a disposición de todos, de manera gratuita, con solo hacer clic en el enlace correspondiente. ¡Esto es impagable!

No tengo el gusto de conocer a Mario Ramos (MR2), pero somos colegas. Ambos hemos sentido la necesidad de crear múltiples aplicaciones interactivas, con Flash, para abordar la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas. Desde aquí reconozco y agradezco su extraordinaria labor.

Quiero dejar claro que cualquier comentario o crítica en relación con el análisis del extraordinario trabajo de Mario Ramos es exclusivamente personal, desde mi reconocimiento personal y exento de cualquier intento de comparación con el mío. Sólo me guía ser fiel al objetivo de este blog y, para ello, debo ser lo más objetivo posible.

Fichas de cálculo  ///  Multiplicación por la unidad seguida de ceros  ///  División por la unidad seguida de ceros  ///  Multiplicación de decimales por la unidad seguida de ceros  ///  División de decimales por la unidad seguida de ceros  ///  Fracciones  ///  Fracción de un número  ///  Números decimales  /// Operaciones con decimales  ///  Aprende a leer la hora  ///  Transformación de medidas  ///  ¿Te pregunto las tablas?  ///  Múltiplos y divisores   /// Números enteros  ///  Fracciones - ejercicios  ///  Descomposición de un número decimal  ///  Cómo se lee un número decimal  ///  Comparación de números decimales  ///  Longitud, capacidad y masa. Relaciones  ///  Sistema de numeración. Actividades 5º  ///  Prueba de la resta  ///  Algortitmo de la raíz cuadrada  ///  Resuelve raíces cuadradas  /// La división  ///  Décimas, centésimas y milésimas ///  Suma y resta con decimales  /// Las potencias  /// Prueba del nueve  /// La proporcionalidad   ///  La división con decimales  /// Los ángulos y su medida  ///  Criterios de divisibilidad  /// Cálculo mental ver.1.0  ///  Trabajamos con los números  ///  Tranvía de Tenerife. Nueve tareas  ///  Otra forma de restar  ///  La multiplicación. Otra forma  ///  Suma de dobles  ///  Aproximación a las decenas  ///  Juegos para pensar I, II, III, IV, V, VI  /// Divisibilidad por 11  ///  El tanto por ciento y las fracciones  ///  División. Método "la araña peluda"  ///  Algoritmos ABN. Suma o adición  ///  Algoritmos ABN. Resta o sustracción  ///  Algoritmos ABN. Multiplicación o producto  ///  Algoritmos ABN. La división I  ///  Algoritmos ABN. La división II  ///  Algoritmos ABN. La división por dos cifras  ///  Algoritmo de Isaías para la resta  ///  Algoritmo de Yaritza para la resta  /// Algoritmo de la multiplicación  ///  Halla el complemento. C. mental  ///  Encadenados  ///  Jugamos con los dados I  ///  Jugamos con los dados II  ///  Jugamos con el dominó  ///  Descomposiciones I  /// Descomposiciones II  ///  Rondas de sumas  ///  Mayor y menor  ///  De quién está más cerca  ///  Estimación de cálculo y medida  ///  Estrategias matemáticas I y II.

Las aplicaciones realizadas por Mario Ramos, a mi juicio, parten de una concepción tradicional del currículo de Matemáticas. Es por ello que  inciden, casi exclusivamente, en el bloque de Números y Operaciones y aspectos cuantitativos de la Medida. No obstante, y dentro de este estilo didáctico (que prioriza la transmisión-reproducción),  aseguran un muy buen tratamiento de los contenidos, estrategias y procedimientos sobre los que inciden, destacando la profusión de explicaciones paso a paso, la cantidad de ejercicios propuestos, la evaluación de las respuestas ... Al igual que nos ha pasado a otros que llevamos un tiempo considerable desarrollando recursos educativos multimedia, encontramos aplicaciones que están adaptadas a la PDI junto con otras, más antiguas, que no lo están.

Atendiendo a variables estéticas, personalmente encuentro demasiadas pantallas y aplicaciones  de MR2 faltas de un "escenario gráfico figurativo e interactivo" en el que se desarrollen las acciones/manipulaciones de los/as alumnos/as. En su lugar se utilizan con exceso, a mi juicio, filas y columnas de campos de texto para introducir números que hacen que la estética de muchas pantallas se resienta, siendo muy "densa en rectángulos". Ello puede afectar negativamente a factores como la motivación y el interés... Hecho en falta, pues, una mayor utilización de gráficos o modelos interactivos que, además de hacer más estéticas y variadas - desde el punto de vista de su naturaleza procedimental- las aplicaciones, se apoyen más en lo intuitivo - los sentidos- y puedan ser manipulados por el alumnado con el objetivo de provocar el descubrimiento de relaciones matemáticas...

Atendiendo exclusivamente a la didáctica de las operaciones básicas hay una evolución positiva desde el tratamiento tradicional de las operaciones a partir de los algoritmos basados en cifras al tratamiento de los algoritmos abiertos y basados en números. 

He aquí un par de aplicaciones realizadas por Mario Ramos:

• "GenMàgic es un entorno de investigación y creación de aplicaciones multimedia dinámicas para su integración en entornos virtuales de aprendizaje.

Nace en el año 2004 del trabajo y entusiasmo de dos profesores en activo del Departamento de Enseñanza de la Generalidad de Catalunya: Roger Rey y Fernando Romero. En el año 2006 Alfonso García se incorpora y participa también como autor formando equipo.
Actualmente colabora como grupo de trabajo en el DiM http://dewey.uab.se/pmarques/dim/ (grupo de trabajo de Didática y Multimedia) del Departamento de Pedagogía Aplicada, en el marco institucional de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universitat Autònoma de Barcelona."

En Genmagic encontramos, también, bastantes aplicaciones realizadas con la tecnología Flash para Infantil y Primaria.  De manera altruista se ofrecen gratuitamente a los docentes, lo cual merece toda mi consideración y respeto a Roger Rey, Fernando Romero y Alfonso García.

PRE-OPERACIONES. NUMERACIÓN, CANTIDADES...   

Del 0 al 9. Escribir con números y letras.  

Escribir el nombre de los números.

Series numéricas básicas. Dibujos escondidos.

Contar de 0 a 9.
Contar. Contando peces desde un submarino.
Contar los dibujos iguales.
Descubrir el número de imágenes.
Cuenta y Suma. 
Representación gráfica de unidad, decena y centena.
Menor que... Ordenar cantidades. 
Ordenar unidades, decenas y centenas. 
Escribir en nombre de los números.
LA SUMA Y LA RESTA
Mecánica de la suma. Juguemos sumando 10.
Juega con las sumas.Iniciación a la resta I.  Iniciación a la resta II.  Mecánica de la resta.
TABLAS DE MULTIPLICAR 
Práctica de las tablas. 
Multiplicar 4 en línea .
LA MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN y RAIZ CUADRADA
Mecánica de la multiplicación.
Multiplicar por la unidad seguida de ceros.
Mecánica de la división.
Múltiplos y Divisores. Descomposición factores primos
Raíz cuadrada. Cálculo.
Propiedad distributiva.
FRACCIONES 
Representación gráfica de fracciones.
Fracción decimal/Número decimal
Interpretación gráfica de fracciones. Simplificación.
UNIDADES Y MEDIDAS
La regla. Medimos objetos.
El reloj. Las horas. 
GEOMETRÍA-ÁREAS Y MEDIDAS
Construye Figuras
Perímetros de un polígono regular. 
Prismas Rectos. Áreas. 
Rectas y Ángulos.
Áreas: paralelogramos, triángulos y trapecios. 
Longitud de la circunferencia. 
INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS Y EJES DE COORDENADAS
Localizar dibujos en ejes de coordenadas.
Interpretación de gráficas espacio/tiempo 
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Problemas sencillos (suma/multiplicación)
Inicio a la resolución de problemas básicos.
De compras al mercado archivo 
SIMETRÍAS
Dibujos simétricos. 
NUMEROS ROMANOS
Practica conversión de los números romanos.
PORCENTAJES
Cálculo de porcentajes.
POTENCIAS
Iniciación a las potencias.
CÁLCULO MENTAL
Juego de cálculo mental de sumas.
Adivina el que falta.
Máquinas de calcular.

Genmagic ha apostado por aplicaciones muy sencillas desde el punto de vista técnico(programación, funciones,...) y más aún desde el punto de vista de su diseño gráfico. Creo que si la sencillez es acierto en algunas aplicaciones, en otras se echa de menos mayor complejidad. Suelen contar con pocas opciones de menú (muchas de ellas se reducen a una pantalla  y propoponen un único tipo de ejercicio, o problema, que se puede repetir tantas veces como se desee con otros números). Esta es, también, la "filosofía" de diseño de sus generadores de fichas para PDI y para imprimir ( pero estas últimas aplicaciones, al contrario que las anteriormente relacionadas, sí están adaptadas a la Pizarra Digital Interactiva y se nota una ligera mejoría en el diseño gráfico y la interactividad.)

A mi juicio, la simple variación de números no supone necesariamente generación de una nueva actividad, ejercicio o reto. Así, por ejemplo, considero que en la siguiente aplicación sólo se proponen  dos  problemas (de estructura aditiva y de COMBINACIÓN - atendiendo a su semántica- y de estructura multiplicativa y de FACTOR MULTIPLICATIVO - atendiendo a su semántica-; ):

Personalmente no comparto el enfoque didáctico que se hace explícito en las aplicaciones que tratan los algoritmos de las operaciones básicas, ya que se trata de los algoritmos tradicionales, sin sentido ya para muchísimos docentes, basados en el cálculo mecánico - que no pensado - con cifras:

Tampoco comparto la filosofía del  excesivo fraccionamiento de los contenidos. Desde esta óptica necesitaríamos miles de microaplicaciones para abordar el currículo de matemáticas de Infantil y Primaria, colaborando con ello no a la integración de saberes sino a lo contrario.

He aquí un ejemplo de generador de fichas para PDI y de fichas para imprimir. Obsérvese que la aplicación se reduce a un único problema ( si atendemos a su estructura, o a su semántica, o a su complejidad)