El teorema de Pick para alumnos/as de Primaria.

El Teorema de Pick (yo prefiero en Primaria hablar de fórmula de Pick) no suele incluirse en el currículo de Matemáticas de Educación Primaria, a pesar de ser enormemente visual y fácil de comprobar, incluso utilizando sólo papel cuadriculado. Los conceptos topológico-geométricos (interior, frontera, área, puntos alineados o sobre una misma recta,...) y operaciones (+,-,x,:) implicados en su comprobación son muy sencillos. Todo ello lo hace apropiado para los últimos niveles de Primaria en los que pocos teoremas se adecuan al nivel de los/as alumnos/as.

Dado que en MATE.TIC.TAC se utilizan mucho las tramas de puntos interactivas para el desarrollo de subcompetencias geométricas, sería un fallo no ofrecer a los/as alumnos/as de 3º ciclo de Primaria la oportunidad de comprobarlo en el cálculo de áreas de figuras con vértices en diferentes tramas, o al menos en la trama ortométrica (en la que suele presentarse casi siempre). Pero, obviamente, no es necesario contar con tramas interactivas para su correcto tratamiento didáctico. Basta con tramas impresas sobre papel y lápices de varios colores.

(La versión que aquí presento es una actualización de esta otra ya disponible en mi blog, desde 2011)

Contribuye a la formación en valores de los/as alumnos/as, como una oportunidad más de constatar que la matemática es patrimonio de la humanidad, que no es algo acabado, y que a ella han contribuido, y contribuyen, muchas mentes, como es el caso de Georg Alexander Pick. Se puede aprovechar el hecho de que Pick fue un matemático de origen judío, nacido en Austria, que murió en el Campo de concentración de Theresienstadt para considerar la realidad humana que subyace detrás de determinadas aportaciones.

Además de conocer un interesantísimo patrón en relación con el cálculo de áreas en situaciones discretas, invita a razonar y justificar el área ya conocida del polígono trazado por procedimientos más generales: dividiendo la figura en polígonos más sencillos y calculando el área total como suma de áreas parciales. Esto último tiene un gran valor didáctico. 

La comprobación interactiva de la fórmula de Pick resulta fácil para alumnos/as de 5º y 6º de Primaria. Didácticamente,como se ha comentado anteriormente, conviene proponer figuras de área conocida, calculada con la fórmula de Pick, por ejemplo, para justificar argumentadamente su área utilizando también otras estrategias.

Se presenta primero la fórmula de Pick en una cuadrícula (o trama ortométrica de puntos). En otra escena, los puntos de una misma trama isométrica pueden ser considerados tanto los vértices de una malla triangular como de una malla rómbica. Elegir uno u otro de estos polígonos unitarios de la malla como unidad de superficie, conlleva multiplicar o dividir la fórmula de Pick por 2. 

Para el caso de la malla rómbica y el rombo como unidad de superficie, las fórmula de Pick coincide con la fórmula para una malla cuadrada o rectangular (A = nI + nF/2 - 1)*. Sin borrar la figura realizada, pero eligiendo la malla triangular y el triángulo equilátero como unidad de superficie, se comprueba como el área viene ahora dada por la misma fórmula, solo que multiplicada por 2: (A = 2nI  + F - 2).

(*) 

nI = número de puntos de la trama en el interior del polígono.

nF= número de puntos de la trama en la frontera del polígono (lados).