09 febrero, 2014

Análisis y síntesis en la resolución de Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)_II

Voy a comenzar este post  presentando un fragmento literal de un valioso documento (una tesis doctoral) titulado “Sobre habilidades en la resolución de problemas aritméticos verbales, mediante el uso de dos sistemas de representación yuxtapuestos”, de JOSEFA HERNÁNDEZ DOMÍNGUEZ (Curso 1996/97. CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS (Páginas 18 y 19). Servicio de publicaciones de la universidad de la Laguna)

El problema, en el que centramos nuestra investigación, tiene que ver con el conocimiento de las dificultades, que experimentan los alumnos en la resolución de los problemas aritméticos verbales, y la influencia que el uso de sistemas de representación gráfica tiene en la mejor comprensión de los mismos. La falta de habilidad de los estudiantes en la resolución puede estar relacionada con múltiples factores, como la no comprensión del enunciado del problema, debido a no haber adquirido un grado suficiente de capacidad de lectura, un dominio insuficiente del significado de las operaciones, una falta de capacidad para razonar en un problema concreto, la incorrecta ejecución de las operaciones o no saber el orden en que éstas (si son varias) ha de seguirse.


Al mismo tiempo, los profesores expresan sus propias dificultades al tratar de desarrollar el aprendizaje sobre la resolución de problemas.

Unos se inclinan por enseñarles a buscar palabras clave, otros enfatizan la lectura comprensiva del texto, otros llegan incluso a utilizar la plástica o la dramatización como elementos que faciliten la comprensión, pero el sentimiento general que expresan sigue siendo el de no tener claro el camino a seguir….


Desde principios de siglo, psicólogos y educadores matemáticos han tratado de investigar las causas de estas dificultades; unos las han atribuido a déficits lingüísticos, otros a dificultades aritméticas específicas. La forma de la enseñanza es otro factor clave. Nuestras escuelas inciden fuertemente en los algoritmos y menos en el desarrollo de estrategias y en la maduración de procesos cognitivos superiores, tales como el nivel de razonamiento y la comprensión conceptual. La típica pregunta que hacen muchos alumnos en el aula cuando se enfrentan a resolver un problema aritmético verbal, “¿tengo que sumar o restar?”, refleja el objetivo de los problemas aritméticos escolares: la elección de una operación y su ejecución como fin fundamental de los mismos. Y, finalmente, aunque menos investigadas, las variables afectivas, que ahora han emergido con mucha fuerza, tienen también algo que aportar sobre las dificultades en la resolución de problemas…
Creo que una gran mayoría de maestros /as estará de acuerdo con este diagnóstico sobre la situación en torno a la resolución de PAEV.

Puesto que en los PAEV el enunciado verbal en que se presenta el problema no separa a éste en sus partes constituyentes, el trabajo con el problema comienza con la lectura comprensiva de su enunciado (texto-problema) que debe llevar a una primera descomposición del texto y al aislamiento de datos e incógnita salvando las dificultades derivadas de los aspectos sintácticos del enunciado:

El tamaño del problema, que se puede medir por el número de caracteres, palabras o frases. 
La complejidad gramatical, entendida como el número de sustantivos, adjetivos, pronombres, etc, o al tipo de oraciones y proposiciones que constituyen el enunciado del problema. 
La presentación de los datos mediante números, símbolos o palabras. 
La situación de la pregunta en texto del problema, que podrá dar lugar a situaciones diferentes: situaciones en que están bien explicitados los tres elementos del enunciado:
          1. Canónicas: son del tipo [ a + b = ? ] 
          2. No canónicas: del tipo [ a + ? = c ] o [ ? + b = c ] 
O bien, situaciones que no están correctamente explicitadas, como por ejemplo que el texto completo sea una interrogación en la que se entremezclen tanto la información como la pregunta del problema. (Diferentes estudios vienen a demostrar que problemas así formulados son más difíciles de resolver)
La explicitación de la relación semántica entre los datos y la incógnita, la presencia de datos o no en la pregunta del problema, la existencia de datos irrelevantes,...
El orden de presentación de los datos en el texto del problema, que se puede corresponder, o no,  con el orden en que éstos han de ser considerados a la hora de efectuar la operación. 

Pero, ¿cómo se puede controlar mediante una aplicación TIC - que favorezca el trabajo autónomo o semidirigido- que el alumno ha llevado a cabo satisfactoriamente esta lectura analítica? En esta aplicación, para cada problema, se proponen cinco afirmaciones relativas al enunciado del mismo en las que el alumno/a debe decidir si son verdaderas o falsas…Esta fase previa a la realización del problema obliga al alumnado al análisis del mismo.  La elección realizada por el alumno nos dará una medida de la comprensión del problema. Es evidente que hoy por hoy no podemos desarrollar una aplicación que valore cualitativamente una respuesta libre y abierta a preguntas determinadas. Lo que ocurre, a mi juicio, es que para PAEV de nivel 1, a no ser que adrede dificultemos el texto, puede resultar una tarea un tanto repetitiva. Además una pregunta bien formulada puede tener casi tanta complejidad sintáctica como el propio enunciado del problema…
De cualquier forma, resulta imprescindible provocar que un alumno traduzca el problema con sus propias palabras obligándole a mencionar, al hacerlo, los datos y la incógnita del problema.
La aplicación permite tachar datos innecesarios del enunciado del problema, subrayar datos e incógnita con diferentes colores, rodear palabras clave…

En “La instrucción en PAEV: Marcos, ideas y sugerencias ” Luis Puig y Fernando Cerdán nos advierten, ilustrándolo con ejemplos concretos, de ciertos peligros en relación con el uso de palabras-clave (más que, menos que, tantos como, más joven, más grande, caro, barato) y exponen diferentes criterios y puntos de vista interesantes en relación con la traducción entre diferentes representaciones del problema...

De suma importancia es considerar la traducción entre diferentes representaciones. El enunciado de cada problema se acompaña en esta aplicación de una imagen ilustrativa que lo contextualiza presentando objetos individuales que se mencionan en el problema, pero sin llegar a ser objetos analíticos en el sentido de que no dan cuenta de las relaciones numéricas entre los datos… Por otra parte, sí se posibilita y propone la utilización de un diagrama o esquema abstracto interactivo (representación evidentemente más provechosa que la mera ilustración) que permite reflejar fielmente las relaciones entre los datos y la incógnita y supone una nueva posibilidad de traducción entre diferentes representaciones del problema. Se trata de esquema todo-partes que se adecua a las diferentes tipologías de problemas de una sola operación de estructura aditiva (combinación, cambio y comparación) con la condición de que se asigne el significado correcto a cada parte en el contexto del problema, que se establezca la correcta dependencia semántica entre las proposiciones del texto.





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(En breve pienso publicar en este blog otra aplicación como esta para problemas de estructura multiplicativa de una sola operación))

Una vez superada esta fase del problema,  el análisis continúa  con la correcta colocación de las etiquetas de texto y la correcta selección de la operación a realizar. Todo ello previo a la realización de cálculos.

Cuando el análisis del contenido se realiza con problemas de varias operaciones hay que ir más allá de separar datos e  incógnita y de repetir por trozos el contenido del problema. Será necesario descomponer en partes, investigar cada parte, comparar unas partes con otras y determinar sus relaciones mutuas.

La aplicación que sigue es una variante de las presentadas en Análisis y síntesis en la resolución de Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)_I, para problemas de dos o más operaciones,  que refuerza de manera especial la distinción entre la expresión de la estrategia fundamental de resolución del problema y el desarrollo de ésta. A la par, apunta de manera más directa a la relación isomórfica entre estructura prealgebraica y expresión algebraica_solución del problema. (No obstante estoy trabajando actualmente en otra aplicación, en esta línea, que tenga mayor generalidad y se adecue a mayor número de PAEV de dos o más operaciones).

14 enero, 2014

Referencias a didactmaticprimaria en el CIBEM 2013

La Sociedad de Educación Matemática Uruguaya organizó en Montevideo, 16 al 20 de septiembre de 2013, el VII Congreso Iberomericano de Educación Matemática.

Cecilia Calvo y David Barba. PuntMat
De alguna manera este blog estuvo presente en el CIBEM gracias a las referencias a sus contenidos realizadas en algún que otro taller (SIMULACIÓN FÍSICA Y COMPUTACIONAL: ESTRATEGIA METODOLÓGICA PARA RESOLVER PROBLEMAS ESTOCÁSTICOS ) y las realizadas por Cecilia Calvo. Fue David Barba quien me lo comentó mientras Cecilia participaba en el Congreso. A Ambos les agradezco sinceramente dichas referencias así como que encuentren en mi blog elementos de inspiración.
Desde aquí os recomiendo su blog: PuntMat.

Me ha gustado mucho, y la comparto en gran medida, la selección de sitios de Matemáticas mencionados en el CIBEM_2013 que ha hecho Cecilia. Algunos de ellos no los conocía y son francamente buenos. Así que los comparto con los lectores de este blog:

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12 enero, 2014

Análisis y síntesis en la resolución de Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)_I



Ilustración método resolución de PAEV haciendo explícita la estructura del problema a dos niveles: el del procesamiento lingúístico y el del procesamiento matemático.

Los profesores, mayoritariamente, manifestamos que no existe una relación satisfactoria entre el mucho tiempo que se dedica en las aulas a plantear problemas aritméticos a los alumnos y el escaso progreso que éstos consiguen en las habilidades para su resolución

Con frecuencia nos quejamos de que libros de texto y cuadernillos de trabajo proponen, de manera reiterativa, un número elevado de problemas, frecuentemente repetitivos, que no da tiempo a realizar... El problema se agrava si el tratamiento de la Resolución de Problemas (RP, en adelante) se realiza fundamentalmente de manera individual y en forma de deberes escritos para casa – porque consumen mucho tiempo de clase -, copiando el enunciado, volviendo a copiar datos, pregunta,…(que, para la mayoría de los alumnos, supone un procesamiento insuficiente o poco productivo de la información), volviendo a repetir los pasos para su corrección en la pizarra...

Teniendo en cuenta la ingente cantidad  de libros y documentos digitales en los que se recogen ideas y conclusiones útiles sobre la resolución de problemas, en la página Biblioteca_Viva_Didáctica_Matemáticas, de este blog, ofrezco un listado que puede ser considerado como suficiente para maestros/as que deseen estar puestos en el tema.

Un buen número de las ideas y propuestas que se recogen en los documentos anteriores – y otros análogos- han sido aprovechadas, interpretadas y llevadas a formatos impresos por profesores que han sentido la necesidad de abordar la RP en sus aulas de manera más científica, más fundamentada.  En mucha menor medida estas ideas y propuestas se han llevado al formato digital. (Ver Metamodelos y modelos TIC (I) (II) y (III) en la resolución de problemas) Hay, además, muy poca investigación específica sobre el aporte que pueden hacer las TIC en la resolución de PAEV.


Las TIC, aunque aún en casos muy contados, nos están permitiendo disponer de formas atractivas, rápidas y eficaces de abordar la RP que nos liberan de la excesiva dependencia de la tradición escrita escolar. No todo se aborda en la escuela de forma óptima escribiendo…

Creo que es cierto y justo afirmar que  didactmaticprimaria  es un sitio pionero en la investigación y desarrollo de modelos_TIC que ayudan (tanto al alumnado como al profesorado) a abordar la RP en Primaria de manera atractiva y con una sólida fundamentación didáctica y pedagógica. Basta con echar un vistazo a los modelos relacionados en la página  Biblioteca_Manipulables_Virtuales_Matemáticas_IV para convencerse de ello.

Como ya he mencionado anteriormente, diferentes investigaciones han puesto de manifiesto categorías y tipos fundamentales de problemas, modelos y metamodelos de RP así como los mecanismos que intervienen y se activan cuando se intenta resolver un problema. Ello implica saber (y por lo tanto enseñar) las estrategias que mejor ayudan a su resolución.


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Salta a la vista que esta nueva aplicación digital no propone la RP de manera rutinaria, que va más allá de ofrecer una batería de problemas de una determinada categoría o tipo (las hay a miles) y que no se conforma, tampoco, con hacer una propuesta de problemas que puedan corregirse o comprobarse con la inmediatez que permiten las TIC, pero ocultando o eludiendo el tratamiento de las dificultades inherentes a la resolución de problemas aritméticos.

Por el contrario, esta aplicación forma parte de un conjunto de formatos interactivos que implementan y desarrollan un innovador modelo-TIC (de generación y estructuración) de resolución de Problemas Aritméticos Escolares de Enunciado Verbal (PAEV), de dos o más operaciones en este caso, que pone el énfasis en el desarrollo conjunto de competencias lingüísticas y matemáticas haciendo explícita la estructura del problema a dos niveles: el del PROCESAMIENTO LINGÜÍSTICO (que lleva a la expresión prealgebraica de la igualdad directriz del problema – estructura lógica-) y el del PROCESAMIENTO MATEMÁTICO (que traduce la anterior en forma de expresión algebraica que puede considerarse ya la solución del problema). Su especial adaptación a la PDI (Pizarra digital interactiva) y el trabajo colectivo con la misma permitirá hacer patentes en el contexto de RP las interrelaciones entre competencias lingüísticas y matemáticas (Leer, Pensar y Razonar, Hablar, Argumentar y Justificar, Escuchar, Comunicar, Construir modelos, Plantear y resolver problemas, Representar, Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico,...)

(La fundamentación de este método puedes encontrarla en Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)).


Ilustración método resolución de PAEV haciendo explícita la estructura del problema a dos niveles: el del procesamiento lingúístico y el del procesamiento matemático.


Ilustración método resolución de PAEV haciendo explícita la estructura del problema a dos niveles: el del procesamiento lingúístico y el del procesamiento matemático.















Este modelo_TIC de resolución de PAEV recoge e implementa lo esencial del método ANÁLISIS-SÍNTESIS en la resolución de problemas (muy bien presentado en los documentos Problemas aritméticos escolares  y La estructura de los problemas aritméticos de varias operaciones combinadas (ambos de Luis Puig y Fernando Cerdán), pero quizá vaya más aún más allá:
El resolutor, guiado por el análisis de la incógnita y de los datos, planea el método de resolver el problema en su cabeza y comienza a llevarlo a cabo. Si falla, analiza los errores, clarifica por qué el método elegido no le permite alcanzar la solución, intenta corregirlo, o toma una vía diferente. Algunas veces, por un momento, reconstruye el problema, descarta algunos datos, simplificando la determinación de las relaciones entre los datos y la incógnita. El trabajo creativo del pensamiento se da en estas construcciones y en la elección de las posibles vías de solución. (Kalmykova, 1975, pgs. 118-119)

De una manera deliberada, se difiere el manejo de números y la realización de cálculos hasta que no se haya encontrado la correcta estructura lógica del problema, formada por las magnitudes implicadas en la solución y las operaciones entre ellas (que establecen las relaciones semánticas entre las magnitudes)

Se pone así de manifiesto que resolver un problema aritmético es, ante todo y sobre todo, una cuestión de significados – y no de cálculos -. De hecho, no dudaríamos en absoluto en afirmar que el enunciado de un  PAEV ha sido entendido por un alumno si sabe exponerlo con sus palabras sin hacer uso de números. El diferir la realización de los cálculos en un PAEV no es algo caprichoso. No tiene sentido comenzar a calcular si no se ha encontrado la forma de llegar a la solución. Además, esto evita varias de las mayores dificultades que históricamente ha señalado y constatado el profesorado en relación con el proceso de resolución:

  • Insuficiente comprensión del enunciado del problema derivada de una insuficiente representación mental del mismo.
  • Excesiva prisa por realizar cálculos numéricos y, por tanto, tendencia a usar estrategias superficiales (casi exclusivamente de identificación – datos, incógnita,…-) que, con frecuencia, les lleva a derivar los esfuerzos en lo secundario, en una parte, impidiéndoles captar o representar la totalidad primaria o fundamental.
  • Insuficiente interiorización de las propiedades de las operaciones, las relaciones entre ellas y sus significados (muchas veces derivadas de la práctica de cálculos descontextualizados, y al margen de la RP, en las que sólo se manejan números y no cantidades determinadas de magnitudes)
  • Dificultad en la organización de los elementos utilizados en la resolución (textos, cálculos- sobre todo cuando realizan “cuentas”verticales unas al lado de otras-, gráficos, etc).

Esta aplicación brinda una importante ayuda al alumnado en el proceso de resolución ya que le facilita los elementos del problema que él tiene que relacionar adecuadamente para encontrar la solución.

Invito a los/as  maestros/as que aún crean que lo esencial de la resolución de PAEV reside en los números o en los cálculos algorítmicos - de la naturaleza que sean-,  a practicar con esta otra aplicación que no es sino una variante de la anterior. ¡En ella se proponen 80 problemas sin números en torno a 20 situaciones problemáticas! (con 148 soluciones diferentes)


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Invito desde aquí al profesorado a probar estas aplicaciones en las aulas. Agradecería cualquier comentario en relación con su puesta en práctica.

11 enero, 2014

Cálculo mental contextualizado de porcentajes sencillos

Las siguientes aplicaciones están incluidas en la macroaplicación "kit internivelar para la enseñanza-aprendizaje de fracciones, decimales y porcentajes". No obstante creo que es conveniente que las relacione aquí con el fin de que pasen menos desapercibidas.

"Rebajas 10%, 15%, 20%, 25% y 50%" implementa el mismo modelo TIC que "Compro, pago, me devuelven" y es un complemento de la misma, pues también utiliza el contexto de situaciones de compra para favorecer el desarrollo del cálculo mental manejando significativamente porcentajes sencillos de gran aplicación en la vida real.



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Las dos aplicaciones que se integran aquí bajo el título "Resolución asistida de problemas con fracciones" son una mejora de las que aparecen incluidas en "ProblemáTICas Primaria".



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Estas aplicaciones están relacionadas, a su vez,  en la colección "Biblioteca_Manipulables_Virtuales_Matemáticas_IV" ( dedicada a modelos y metamodelos_TIC de resolución de problemas)

07 diciembre, 2013

Potencias y raíces.



Os ofrezco esta nueva aplicación sobre un contenido que aún no había desarrollado convenientemente.


Está dirigida a alumnos y alumnas del tercer ciclo de la Educación Primaria. También puede venir bien para la atención a la diversidad en ESO.

Fiel a mi estilo, he procurado integrar en ella actividades curriculares relevantes y no rutinarias, que son justamente las que yo realizo con mis alumnos.

Este contenido suele tratarse tradicionalmente con una aridez que causa tedio. En parte, ello se debe a la escasez de situaciones problemáticas propias de Primaria que requieren el  uso de potencias (y mucho menos, el uso de raíces).

Al margen de interesantes situaciones constructivo-experimentales que sirven para entender y visualizar conceptos como 'elevar al cuadrado' (serie de los CUADRADOS PERFECTOS) y 'elevar al cubo' (serie de los CUBOS PERFECTOS), o para percibir la 'potencia' de las potencias - como en la leyenda del tablero de ajedrez y los granos de trigo- no existen problemas propiamente de potencias y raíces. Todos los que se proponen en los libros de texto de Primaria son reducibles a hallar el lado de un cuadrado conocida su área, o viceversa.

Es importante tener en cuenta que la didáctica actual de las matemáticas se opone a la enseñanza/aprendizaje del algoritmo tradicional de la raíz cuadrada, por razones obvias. En su lugar, como se hace en esta aplicación, se propone utilizar los significados gráfico y numérico del concepto 'raíz cuadrada' para realizar procedimientos más comprensivos que permitan determinar el valor aproximado de la raíz de un número...

El procedimiento numérico que aquí se propone se apoya en el uso de la calculadora. Requiere saber multiplicar un número (natural o decimal) por sí mismo y comparar el resultado obtenido con otro número (N) cuya raíz se quiere calcular. Es un proceso basado en la estimación en el que se va obteniendo una sucesión de números que se aproximan - por exceso o por defecto- a N, es decir, una sucesión que converge en N (límite de la sucesión). Por este procedimiento el alumnado interioriza que puede aproximarse a N con tanta precisión como desee...

El procedimiento gráfico-numérico de aproximación a la raíz cuadrada de un número que aquí se ilustra es un proceso eminentemente constructivo. Para hallar la raíz cuadrada de un número natural N, tratamos de construir un cuadrado con N unidades cuadradas de área. Se apoya en la serie de los cuadrados perfectos y requiere, como conocimientos previos, el dominio de la equivalencia decimal de las fracciones básicas. Cuando se comprende, permite acotar superior e inferiormente el valor de la raíz cuadrada de N de manera sencilla y en pocos pasos.

Son precisamente estos procedimientos aproximativos los que involucran actividad matemática relevante, y no el hecho de obtener un valor muy preciso de la raíz de un número. Esto último está al alcance de una calculadora, una máquina que no piensa ni razona...

Se aprovechan las potencias de 10 para favorecer la comprensión del número en relación con nuestro sistema de numeración decimal (a través de su descomposición polinómica usando potencias de 10). Más novedosa e interesante es la conexión que aquí se propone entre las potencias y la composición/descomposición multiplicativa de números a partir de factores primos. Se trata de una situación lúdica que conecta con contenidos de 'divisibilidad', que permite desarrollar un dominio efectivo del cálculo con potencias y que favorece el descubrimiento de las propiedades fundamentales de las mismas (que serán estudiadas formalmente en ESO)

08 noviembre, 2013

Seminario de Matemáticas Activas

Ramón Galán G. y Ángel Alsina P.
Durante la celebración de las XXXII Jornadas de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas organizada por la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas "Isaac Newton", he tenido la ocasión de conocer, charlar y compartir puntos de vista profesionales, entre otros, con Ángel Alsina y un gran maestro: Ramón Galán (Coordinador de Islas dentro de la Sociedad)

Ramón es un maestro apasionado por la Didáctica de las Matemáticas. Activo, entusiasta, incansable en su labor divulgativa y en su empeño por dotar a la matemática escolar de significados...

Es muy conocido en las Islas Canarias y lleva ya muchos años poniendo todo su saber y entusiasmo al servicio de la formación del profesorado... Le encanta diseñar material didáctico para el franelograma ( y aún más explicar su interés didáctico) y realizar vídeos divulgativos...

Fue Ramón quien clausuró las Jornadas con una originalísima presentación en la que relacionaba sencillos patrones matemáticos y creatividad musical...

Gran parte de su trabajo la presenta en su blog SEMINARIO DE MATEMÁTICAS ACTIVAS, que os facilito a continuación:



(Ver a pantalla completa)


Fue también muy enriquecedor para mí cambiar puntos de vistas con Ángel Alsina (Universidad de Girona) que realizó la conferencia inaugural "¿Cómo desarrollar la competencia matemática desde las primeras edades? Contribuciones de la Educación Matemática Realista (EMR)." y desarrolló el taller Vivir y tocar las matemáticas en educación infantil y primaria.

Como muestra del trabajo de Ángel Alsina, os dejo este documento, en formato .pdf, titulado Educación matemática en las primeras edades desde un enfoque sociocultural, publicado en la revista Aula de Infantil

(En el post titulado Evaluación de Contenidos Educativos Digitales Multimedia _ Matemáticas (CEDMMat)  ofrezco la presentación interactiva que utilicé para el desarrollo de un taller del mismo nombre durante las jornadas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas aludidas)

03 noviembre, 2013

Cálculo mental contextualizado para todos los niveles de Primaria (Situaciones de compra)

Siguiendo las sugerencias de maestros/as de mi colegio, he modificado la aplicación "COMPRO_PAGO_ME DEVUELVEN" para hacerla más versátil, de modo que pueda proponer retos asequibles a los/as alumnos/as en cada uno de los niveles y ciclos de Educación Primaria. La versión original contemplaba sólo 2 ó 3 sumandos (artículos o productos comprados) y no se podía elegir que los precios fuesen exclusivamente números naturales. 




El título de esta aplicación ya da una idea bastante aproximada tanto de su contenido como del objetivo que persigue.

Tengo que decir que ésta es una de las aplicaciones favoritas de los/as alumnos/as de 4º y 5º de mi colegio. Les encanta practicarla, sobre todo con la pizarra digital interactiva.

Todos/as manejamos dinero de manera cotidiana. Todos/as realizamos compras de algún tipo y realizamos, en mayor o menor medida, cálculos en relación con el precio total, con la cantidad que nos tienen que devolver si pagamos con..., o incluso determinar cuánto nos ha podido costar un determinado producto si sabemos el precio total y el de los restante productos comprados...

El atractivo añadido de esta aplicación es el apoyo visual que confiere al cálculo mental, que facilita tanto la retención de las cantidades parciales manejadas como la descomposición de las mismas para ajustar los cálculos necesarios. Por otra parte, como se puede comprobar, favorece la realización de múltiples cálculos sin tener que escribir ni un sólo número en las opciones <pago exacto> y <devolución exacta>. 

Como es habitual en las aplicaciones de didactmaticprimaria, no sólo se ofrecen opciones en relación con la tipología de actividad a realizar, también se permite configurar una determinada tipología en varios niveles de dificultad. Aquí, para las dos primeras opciones, se puede trabajar con 1, 2 ó 3 sumandos (aparecen una, dos o tres imágenes o productos, respectivamente, con cada nuevo problema).

Además, se ha añadido la posibilidad de trabajar exclusivamente con números naturales o bien con naturales y decimales conjuntamente. Por otra parte, la aplicación permite trabajar con EUROS, LIBRAS ESTERLINAS, PESOS MEXICANOS Y DÓLARES U.S.A. De esta manera, la aplicación presenta un buen número de configuraciones posibles de la tarea a realizar. Ello aumenta considerablemente la versatilidad, funcionalidad e interés didáctico de la misma, proponiendo retos asequibles para alumnos de cualquier nivel de Primaria y de países diferentes...

(Habría sido interesante que la moneda única sudamericana - moneda propuesta para ser la moneda de curso legal en los doce países miembros de la Unión Sudamericana de Naciones y reemplazar a las siguientes doce monedas: Peso argentino, Boliviano, Real brasileño, Peso chileno, Peso colombiano, Dólar estadounidense (en Ecuador), Dólar guyanés, Nuevo sol peruano, Guaraní paraguayo, Dólar surinamés, Peso uruguayo y Bolívar venezolano- se hubiera ya creado y entrado en vigor...)
No obstante, en la medida que disponga de tiempo - y pensando en los/as alumnos/as sudamericanos- mejoraré las aplicaciones en las que utilizo euros para que puedan manejar, también, algún tipo de moneda genérica...

¿Cuántos problemas distintos propone esta aplicación en cada tipología o para cada configuración concreta? Un número indefinido de ellos, tantos como se desee, ya que el ordenador los genera de manera aleatoria. Por otra parte, cambiar de problema es tan fácil como pulsar la tecla <espacio>..

28 octubre, 2013

Evaluación de Contenidos Educativos Digitales Multimedia _ Matemáticas (CEDMMat)

Saber Evaluar de manera fundamentada y coherente Contenidos Educativos Digitales Multimedia para el área de Matemáticas (CEDMMat) es una competencia_TIC cada vez más necesaria para el profesorado dada la abundancia y diversidad de estos materiales didácticos en la nube y el cada vez más creciente uso de los mismos para el desarrollo del currículo de Matemáticas (o para la adquisición de competencias matemáticas, si se prefiere...). Sobre todo porque ningún CEDMMat es neutro. Por el contrario, refleja un posicionamiento concreto en relación con la enseñanza-aprendizaje y conlleva, de manera más o menos explícita, una determinada cultura del aprendizaje.

Ello requiere, a mi juicio, contextualizar adecuadamente dicha evaluación: 
  • El conocimiento de los mitos, promesas y realidades de las TIC en la Sociedad nos ayuda a posicionarnos con realismo frente a estas tecnologías, a alejarnos de posturas extremas como la tecnofilia y la tecnofobia.
  • Identificar y diferenciar los usos (instructivos/constructivos) de las TIC nos ayudará, como docentes usuarios,  a elegir CEDMMat que sean más coherentes con el proyecto educativo de nuestro centro y nos ayuden a desarrollarlo. Para los desarrolladores de CEDMMat el uso constructivo de las TIC supone una meta que debe orientar nuestro trabajo creativo exigiéndonos, a la par, superación, innovación,...
  • El modelo TPACK (Technological Pedagogical Content Knowledge) es ideal para valorar el grado de Integración de los conocimientos tecnológico-pedagógicos sobre el currículo de Matemáticas. Ni que decir tiene que hablamos de un currículo de Matemáticas bien entendido y fundamentado; amplio, rico, relevante y acorde con los principios y estándares para la educación matemática consensuados internacionalmente; que tenga en cuenta las competencias matemáticas y sus niveles de desarrollo...
  • Resulta interesante analizar el papel que juegan los CEDMMat (materiales virtuales o digitales) en la historia de los materiales didácticos, sus analogías y diferencias con los materiales analógicos...


Brindo aquí la presentación interactiva que he utilizado para la impartición de un taller homónimo en las XXXII Jornadas de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas "Isaac Newton". Creo que refleja la dificultad de la tarea a la par que ilustra vías y procedimientos para realizarla de manera profesional...

22 septiembre, 2013

Usos constructivos e instructivos de las TIC en el aula, según Jordi Adell

Creo que merece la pena reproducir en este blog  la videoconferencia "Usos constructivos e instructivos de las TIC en el aula" impartida por Jordi Adell el 14 de agosto de 2013, en IBERTIC - OEI - Buenos Aires.

La crítica fundamentada que hace del uso mayoritario de las TIC para presentar los contenidos y evaluar de manera simplona su "adquisición" , debería hacernos reflexionar, sobre todo a profesores usuarios de las mismas y a profesores desarrolladores de contenidos,  sobre los objetivos que perseguimos con el uso de las TIC en el aula.




Resumen de la conferencia:
"El mercado de las TIC en educación está comenzando a ofrecer productos y servicios, y una manera de entender su integración y uso, acorde con las prácticas de la mayor parte del profesorado. Eso significa que estamos asistiendo a propuestas muy poco innovadoras desde el punto de vista didáctico, que reproducen estrategias y prácticas tradicionales y conservadoras, centradas en el docente y el currículum y que desaprovechan completamente todo el potencial transformador de las TIC. Dichas prácticas, además, incrementan el grado de vigilancia y control de la "performance"  de los estudiantes y se alinean con la corriente más neoliberal y conservadora de la evaluación sumativa constante y supuestamente objetiva de los estudiantes. Nuevos desarrollos, como las plataformas de aprendizaje "adaptativo", que se vislumbran en un futuro a medio plazo, no solo reforzarán, en nombre de una supuesta "personalización", el aprendizaje entendido como reproducción de contenidos, sino también desprofesionalizarán a los docentes más si cabe que las tecnologías tradicionales como los libros de texto. Las TIC se usan para presentar contenidos y evaluar la retención de los y las estudiantes.


Depende de las autoridades educativas y, sobre todo, de los docentes, que dichas tendencias se impongan en las aulas o que usemos las TIC de una manera más creativa, centrada en los estudiantes, como herramientas no solo para presentar los contenidos y evaluar de manera simplona su "adquisición" o para empoderar a nuestros estudiantes ayudándoles a desarrollar las competencias necesarias para ser profesionales innovadores y ciudadanos críticos y solidarios en una sociedad de la información que es compleja y cambiante, pero cada día más desigual e injusta".
Jordi Adell
http://www.ibertic.org/jordiadell.php 

Por otra parte siempre me complace encontrar a alguien (más si es un referente internacional, como Jordi Adell) que al igual que yo sospeche de los principios pedagógicos que aparentemente sustentan las plataformas de aprendizaje adaptativo, más aún cuando se trata de empresas startup que buscan obtener grandes beneficios en poco tiempo, casi siempre con recursos de terceros. En la videoconferencia se menciona la famosa plataforma Knewton.

Algunas opiniones sobre las tecnologías de aprendizaje adaptativo:
"Las tecnologías de aprendizaje adaptativo permiten adaptar la presentación de materiales educativos de acuerdo con las necesidades de aprendizaje de los estudiantes, según los datos e información que van aportando sus respuestas a preguntas y tareas. En cierto sentido, recuerdan a la instrucción programada y las máquinas de enseñar de Skinner, pero no es lo mismo; el objetivo no es tanto automatizar como personalizar las actividades de aprendizaje y convertir al estudiante en participante activo que pueda tomar decisiones con los datos que aporta la analítica de sus hábitos y ritmos de aprendizaje, conocimientos y dificultades, con el fin de poder mejorar su rendimiento o incluso prevenir el posible fracaso y remediarlo antes de que ocurra. La diferencia está en la cantidad de datos que se procesan y los algoritmos utilizados para analizar información y actividad con fines de asistencia individualizada. " (Contínua...se habla, también con cierta profundidad de la plataforma Knewton)
intefblog.Aprendizaje adaptativo mediante algoritmos

En España tenemos algunas plataformas de aprendizaje adaptativo (Adaptive learning), como Infantium o Smartick. Ésta última me merece especial atención por ser una plataforma de Matemáticas para Primaria. Se sabe que Telefónica distribuirá la plataforma de matemáticas online SMARTICK, en colegios de España y Latinoamérica.

La imagen muestra una clasificación de los recursos didácticos con los que cuenta la plataforma (vídeos y ejercicios interactivos que, en mi opinión personal, no destacan precisamente ni por su innovación ni por proponer retos relevantes a los/as alumnos/as). 
¿Les suena una visión empobrecida del currículo de Matemáticas centrado casi exclusivamente en el bloque de Números y Operaciones? 



La imagen siguiente corresponde a un vídeo explicando cómo multiplicar un número por otro de un sólo dígito (algoritmo tradicional de la multiplicación, tal y como lo hacían los bisabuelos de nuestros abuelos).  Los ejercicios interactivos que se proponen (que Smartick siempre denomina problemas) se caracterizan por la escasa interactividad y poca divergencia ...No se atisba el desarrollo de la creatividad ni la innovación curricular...


Así, por ejemplo, buscando una tarea donde se propone un modelo con cierta interactividad, podemos observar en la imagen anterior, que no se trata de un modelo dinámico, que los gatitos no pueden desplazarse para agruparlos de otra manera que haga más patente la relación 3/5; que se da, además, la estrategia de resolución del problema propuesto, la acción que el/la alumno/a ha de realizar (<<Tienes  que seleccionar "3 de cada 5">>); que la tarea propuesta predispone a dar el resultado mediante un simple recuento. Por lo tanto, ni se puede reforzar visualmente la relación 3/5 ni se puede abordar haciendo 5 partes iguales y considerando 3... (Seguro que el/la lector/a sabría encontrar fácilmente aplicaciones gratuitas con un mejor tratamiento didáctico de la fracción de un número). 


Me resulta difícil creer y comprender que detrás de estos recursos, bastante "enlatados" a mi juicio, haya algoritmos inteligentes basados en Big data que  recolecten información sobre los hábitos de aprendizaje, conocimientos, debilidades y fortalezas de cada usuario para crear un plan de estudios a la medida  que ponga énfasis en las áreas donde los alumnos tengan más dificultades para  adaptarse a la forma y ritmo de aprendizaje de cada uno...
¿Significaría esto que la tecnología podría implementar la atención a la diversidad igual o mejor que el profesorado?

Jordi Adell alerta, con cierta ironía, sobre el peligro de que los/as maestros/as podamos un día ser desbancados por plataformas de este tipo...Pienso que una plataforma así más bien libera a un sector de padres/madres de la tarea de ayudar a sus hijos/as con los deberes, convirtiéndose en un "profesor particular". ¿Se imaginan un mundo en que los docentes fuesen sustituidos por algo tan frío como plataformas de aprendizaje adaptativo y además hubiese que pagar por tener acceso a un aprendizaje fundamentalmente instructivo?

Me resulta sorprendente que este tipo de plataformas acaparen tantos millones de usuarios cuando, sin ir más lejos, son muchísimos los blogs que ofrecen de manera gratuita contenidos con enfoque análogo; o con más y mejores recursos con mayor fundamentación pedagógico-didáctica; muchos los que proponen tareas de matemáticas más relevantes... Forzosamente, imagino, deben confluir intereses mercantiles de diferentes empresas que saben que un agresivo marketing hará el resto...¿O será que en realidad esto nos parece más que suficiente a la mayoría de los padres, madres y docentes? ¿O será que refleja fielmente la cultura del aprendizaje de la gran mayoría de la población? ¿O será, incluso, que  la cultura del aprendizaje asociada a estas plataformas es la que impera en la gran mayoría de los centros docentes?


¿Y qué podríamos decir, por ejemplo, de la plataforma adaptativa de matemática PAM?


21 agosto, 2013

¿Retos topológicos en Educación Primaria?



Son escasísimos los contenidos educativos digitales multimedia que tratan aspectos topológicos básicos.
Muchos recordamos, aunque de manera vaga e indefinida, que una vez en la escuela se nos propuso resolver el reto de la “casita” (o “sobre de carta” si se prefiere). Se trataba de realizar el dibujo de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel y sin dibujar un mismo segmento dos veces…
Probablemente una gran mayoría de personas, incluso una mayoría de docentes, no hayamos sido conscientes de los momentos de acercamiento a cuestiones que tienen relación con esta rama de la geometría denominada topología, sobre todo de los aspectos lúdicos de la misma.

Figuras que pueden dibujarse de un solo trazo
"Casita" o "sobre de carta"
El sencillo reto de la “casita” enlaza directamente con el famoso e histórico problema de los puentes de Königsberg, con el matemático Euler, con el nacimiento de la topología y de la potente teoría de grafos.

La aplicación que aquí ofrezco, organizada en torno a cuatro secciones o apartados, hace posible de manera experimental, creativa y lúdica, que comprender y argumentar razonadamente sobre el problema de los puentes de Königsberg (y variantes del mismo) así como crear y dar respuesta a otros problemas análogos más complejos sea una tarea de matemáticas relevante al alcance de niños de Primaria, a la par que los familiariza con aspectos básicos de la topología.

Un coche recorriendo un circuito sin pasar dos veces por el mismo arco.


En el apartado RETOS se ilustra de manera dinámica lo que se entiende por “recorrido de un solo trazo” y se propone, a modo de retos, una veintena de figuras que pueden ser recorridas de un solo trazo, cada una de ellas de múltiples maneras (aquí soluciones). Se trata, pues, de una actividad de naturaleza divergente, creativa… El ordenador permite comprobar lo correcto o no del trazado realizado por el usuario en cada caso, es decir, de la solución concreta dada por él. Los retos propuestos permitirán intuir y descubrir la existencia de ciertos patrones o regularidades. Así, por ejemplo, la aplicación redibuja el trazado realizado por el usuario en el mismo sentido que éste lo hizo y en sentido contrario evidenciando de manera visual y dinámica que toda solución es doble. Pronto el usuario descubre que unas figuras tienen solución comenzando en uno cualquiera de sus vértices (y terminando en el mismo) y otras, en cambio, exigen comenzar y terminar en vértices concretos. ¿Por qué?

Figuras que pueden realizarse de un solo trazo
Las veinte figuras propuestas (de diferente dificultad)

Redibujando el trazado correcto de la figura número 9
Comprobación de un trazado solución correspondiente a la figura propuesta número 9

Mostrando una solución de una figura determinada
Trazado de una solución (1-7-2-8-3-4-9-5-6-10-7-6-1-5-4-1-3-2-1) 
En  el apartado SOLUCIONES el usuario puede descubrir la naturaleza combinatoria de las múltiples soluciones de cada una de las figuras (y de las que son equivalentes topológicamente a ella); se analizan todas las soluciones posibles de las figuras más sencillas propuestas; se muestran de manera interactiva y argumentada varias soluciones de cada una de las figuras propuestas (como adelanto de la TEORÍA) y se utilizan los números para codificar soluciones.



El apartado TEORÍA se aprovecha para introducir e ilustrar dinámicamente conceptos topológicos básicos relacionados con los retos propuestos y sus soluciones, tales como: figuras topológicamente equivalentes, grafo,  grafos topológicamente equivalentes, vértices o nodos, segmentos o arcos, regiones, orden de un nodo, nodo par, nodo impar,…

También se utiliza el apartado TEORÍA para llevar al alumno al descubrimiento o comprobación de unos cuantos resultados teóricos sencillos que son expresión de las regularidades que han podido ser experimentadas y que permiten determinar si un grafo va a tener o no solución. Se muestra de manera dinámica una familia de grafos generados “de un solo trazo” con un espirógrafo configurable, se pregunta sobre las características comunes de estas figuras así generadas; se muestran colecciones de figuras para que el usuario determine si tienen o no solución, etc... Esta teoría está perfectamente al alcance de niños/as de 9-10 años en adelante y es la que permitirá comprobar que el originario problema de los puentes de Königsberg no tiene solución.

Para completar aspectos no tocados en esta aplicación o bien para verlos desde otro punto de vista, se enlaza con algunas aplicaciones para Educación Primaria correspondientes al  Proyecto Canals (de Hernán Darío Alzate: "Redes I", "Redes II" y "Topología" ; de Diego Luis Feria Gómez: "Posiciones relativas entre líneas" ) a vídeos de YouTube sobre esta temática y a diferentes documentos digitales online.


Grafo correspondiente al problema de los puentes de Königsberg
"Los siete puentes de Königsberg"

En el apartado TALLER el usuario puede crear sus propios grafos colocando nodos y arcos en la zona de diseño tal y como desee. El ordenador evalúa si el grafo realizado tiene o no solución y por qué… Además sugiere y permite la simulación o modelado del problema de los puentes de Königsberg y variantes del mismo…



Grafo solución a un problema con 14 puentes.

Por último, y esto puede que sólo interese a desarrolladores de contenidos educativos digitales, la aplicación muestra un amplio abanico de maneras diferentes de abordar el trazado interactivo de líneas rectas y curvas...


(Se agradecen los comentarios)

11 julio, 2013

Instrumentos Interactivos para el Desarrollo de Habilidades Cognitivas

Acabo de incluir estas ocho aplicaciones mías inéditas, diseñadas en 2005 y 2006, en el apartado Manipulables_Virtuales_Matemáticas_V de este blog. Ha sido una suerte encontrar los archivos de diseño de las mismas, que ya daba por perdidos. Todas ellas formaban parte de un proyecto de Enriquecimiento Cognitivo que no llegué a acabar. A partir de los archivos de edición, les he realizado algunas mejoras y actualizaciones para que estén en consonancia con la estética y calidad general de las aplicaciones que se ofrecen en DIDACTMATICPRIMARIA.

No todas las aplicaciones (manipulables virtuales) que se ofrecen en Manipulables_Virtuales_Matemáticas_V  tendrían cabida, de manera estricta, dentro de los bloques de contenidos tradicionales de la Matemática de Primaria. No obstante, son Instrumentos Interactivos para el Enriquecimiento Intelectual, Instrumentos para el Desarrollo de Habilidades Cognitivas, ... e inciden en aspectos esenciales de la naturaleza de la actividad matemática y del desarrollo de la inteligencia lógico-matemática.

¡Espero que las disfrutéis!


¿Cuál es la última figura colocada?

¿La última figura colocada?
Interesantísmo juego para favorecer la aplicación de estrategias personales para mejorar la memoria inmediata o retentiva así como la imaginación creativa. Presenta cinco niveles o grados de dificultad de manera que sea un reto para personas de cualquier edad sin necesidad de conocimientos previos. Para cada nivel, se puede optar por trabajar con cartulinas-animal, cartulinas-palabra o cartulinas-grupo de palabras, lo que aporta interesantes matices y diversidad a estas aplicación. PDI: sí.

Escondite en el bosque

Una atractivo juego que va más allá de los tradicionales y rutinarios test-memo (búsqueda de parejas) permitiendo el desarrollo de estrategias personales para mejorar la memoria inmediata así como la graduación de la dificultad de la prueba. De interés para cualquier edad y nivel. Lleva registro del porcentaje de eficacia con que se ha realizado. PDI: sí.


Criaturas. Prueba de hipótesis

Aplicación inspirada en la lección 6ª (" La prueba de hipótesis ") de la serie I (FUNDAMENTOS DEL RAZONAMIENTO ) de la publicación del Grupo de Investigación-trabajo sobre el PROYECTO DE INTELIGENCIA "HARVARD" (PIH) en el Centro de Profesores de Leganés (Madrid), coordinado por  Miguel Megía Fernández.
Manual del Profesor. Educación Secundaria Obligatoria. Editorial CEPE (Ciencias de la Educación Preescolar  y  Especial).
No se utiliza ningún nombre ni imagen citados en la documentación anterior. La lección mencionada ha sugerido la presente adaptación / interpretación interactiva para la Etapa Primaria (reconocimiento de atributos, clasificación, búsqueda de intruso, etc...)Imágenes diseñadas por el autor a partir de la fuente de símbolos vectoriales "creatures". PDI: sí.

Patrones con animales. Razonamiento inductivo.

Razonamiento inductivo con animales. Dos niveles o grados de dificultad propuestos.  PDI: sí.


Razonamiento analógico con figuras

Aplicación diseñadas para los primeros cursos de Primaria para favorecer el descubrimiento de relaciones mediante 50 analogías con figuras de diversa índole. Se entiende por analogía una proporción de igualdad de cuatro términos - cuatro figuras en este caso- en los cuales el segundo se relaciona con el primero como el cuarto lo hace con el tercero (dobles flechas horizontales o bien dobles flechas verticales en la imagen anterior). Se considera que la analogía está aún mejor definida cuando los términos primero y tercero se relacionan de la misma manera que lo hacen el segundo y el cuarto.
Las relaciones implícitas en las figuras propuestas se basan en variables muy diversas: forma, color, tamaño, orientación, relaciones parte/todo, relaciones de composición /fraccionamiento, cantidad, etc...pudiendo estar las figuras relacionadas de manera análoga en base a una, dos o más variables...  PDI: sí.

Matriz_Memo
Matriz_Memo.
Otra forma no rutinaria de abordar el desarrollo de estrategias personales para mejorar la memoria inmediata así como la graduación de la dificultad de la prueba. De interés para cualquier edad y nivel. Lleva registro del porcentaje de eficacia con que se ha realizado. PDI: sí.

Puzles-silueta

Para Educación Infantil y Primer Ciclo de Educación Primaria. 12 puzles-silueta de dificultad creciente. Se puede mostrar u ocultar la silueta de cada figura a completar. Lleva registro del porcentaje de eficacia con que se ha realizado. PDI: sí.


Puzles-16

Puzles_16.
Colección de 10 imágenes artísticas sobre el mundo de los animales. Cada imagen está dividida en 16 cuadrados de idéntico tamaño (16 piezas del puzle) que pueden ser barajadas y luego recolocadas para resolver el puzle. PDI: sí.