De manera análoga al vídeo de Adrián Paenza " CIFRAS IMPORTANTES DEL MUNDO", ofrecido en un post anterior, el objetivo del vídeo que sigue es transmitir de forma sencilla la utilidad de las estadísticas oficiales para reflejar la sociedad en que vivimos. En este caso, los datos no se refieren al mundo entero sino que se circunscriben a España.
No cabe duda de la utilidad del vídeo como recurso didáctico, sobre todo si se ha realizado con tal fin. Si contamos con una PDI en el aula, mejor que mejor.
En este caso, el vídeo comunica numerosos datos relativos (se trata de porcentajes, obviamente, ya que, como indica el título, hacen referencia a 100 habitantes) y simplificados (se utilizan sólo números naturales en la presentación) sobre diferentes aspectos sociales que están al alcance y dentro de la zona de interés de alumnos y alumnas del tercer ciclo de Educación Primaria. Tanto para poder presentar los datos de esta manera tan sencilla como para su correcta interpretación, se requiere un correcto dominio del RAZONAMIENTO NUMÉRICO PROPORCIONAL (que conecta contenidos de matemáticas fundamentales del tercer ciclo: multiplicación/división, fracción, fracciones equivalentes, fracción de un número, tabla de proporcionalidad, interpretación de gráficas,...)
En varios post de este blog (Razonamiento proporcional y multiplicación, Métodos especiales de resolución de problemas aritméticos. Problemas de móviles en Primaria,...) he opinado sobre la importancia del desarrollo de este tipo de razonamiento (que todos los/as alumnos/as tienen en mayor o menor grado) para el logro de competencias matemáticas y he sugerido un enfoque natural y nada artificioso en su enseñanza aprendizaje que se basa en la construcción e interpretación de TABLAS DE PROPORCIONALIDAD (las tablas de multiplicar pitagóricas, o tablas tiempo/espacio -para un móvil con velocidad constante- son casos particulares de las mismas) como paso previo a posteriores formalizaciones y, sobre todo, para poner de manifiesto con mayor rotundidad las propiedades esenciales que entran en juego en el razonamiento numérico proporcional.
Evidentemente nos estamos refiriendo a la proporcionalidad directa, que es inherente a la multiplicación.
Dado que multiplicación/división conforman un mismo campo conceptual, el más importante, sin duda, en las matemáticas de 3º ciclo de Primaria y puesto que con frecuencia un buen número de maestros/as no suele percatarse o asumir que temas como la DIVISIBILIDAD o la PROPORCIONALIDAD no son sino el tratamiento de ese mismo campo conceptual desde miradas o perspectivas ligeramente diferentes, voy a volver a insistir, aquí, en ciertos aspectos didácticos del mismo aprovechando que el vídeo que encabeza este post trata sobre "proporcionalidad directa", es decir, sobre multiplicación/división.
Como se muestra en la imagen anterior, la proporcionalidad directa es inherente a la multiplicación, es decir, consecuencia directa de la misma. Por tanto, la proporcionalidad directa "hereda" las propiedades de la multiplicación. No obstante, sería un tanto "artificioso" calcular el valor de la incógnita (¿?) estableciendo una proporción y haciendo uso de la regla de tres. Mucho más natural es recurrir a resultados previos (hechos numéricos) más sencillos haciendo uso de la importantísima propiedad distributiva (que equivale a poder multiplicar "por partes"): 12 x 7 = (10 + 2) x 7 = 70 + 14; 12 x 7 = (3 + 3 + 3 + 3) x 7 = 21 + 21 + 21 + 21 ; 12 x 7 = (6 + 6) x 7 = 42 + 42; etc...
Esta es la estrategia fundamental que asegura más comprensión y competencia en el cálculo multiplicativo y proporcional.
Imaginemos el tratamiento del dato, ofrecido en el vídeo anterior, de que 112 turistas (por cada 100 habitantes españoles) vienen a visitarnos cada año. Implícitamente tenemos la fracción 112/100 con un significado de proporción. La comprensión de este significado junto con un adecuado dominio del razonamiento proporcional llevaría a los/as alumnos a inferir que si consideramos como 1000 los habitantes de España ("diez veces más") entonces vendrían 1.120 turistas a visitarnos (también 10 veces más), es decir, que 112/100 = 1.120/1000 (representan la misma proporción, argumentando sin artificios). De la misma manera se podría llegar a una serie de inferencias que podrían recogerse en forma de tabla (tabla de proporcionalidad) de modo que cada inferencia anterior pueda ser aprovechada para otras posteriores:
La tabla que sigue podría representar una serie de inferencias encaminada a acercarse al dato absoluto del número de turistas que visitan España en un año (redondeando en 47.000.000 la población española):
De la misma manera que podemos calcular 6 x 7 como (3 + 2 + 1) x 7 = 21 + 14 + 7 haciendo uso de la intuitiva propiedad distributiva del producto con respecto a la suma/resta, en la tabla anterior se calcula el número de turistas correspondiente a 47.000.000 de españoles como suma de los correspondientes a 40.000.000, 4.000.000, 2.000.000 y 1.000.000 de españoles, respectivamente...
Un número más afinado de la población española es 47.200.000 habitantes. Haciendo uso de la tabla y del razonamiento proporcional, se llega a la conclusión de que al número de turistas calculado ( en rojo) habría que sumarle 224.000, la décima parte del número de turistas correspondiente correspondiente a 2.000.000 de españoles...
Podríamos pensar que hay otros modos "más eficaces" o "más económicos" de realizar el cálculo anterior. Evidentemente, de haber tenido yo que hacer el cálculo habría recurrido a [47.200.000 x 1,12], como simplificación de la regla de tres simple y directa 100 es a 112 como 47.200.000 es a X. Pero ocurre que, en mi caso, este último procedimiento, más formal, ya es un hecho numérico asumido por mí sin apenas reflexión, correspondiente a un determinado grado de significado numérico que los/as alumnos/as de tecer ciclo, en su gran mayoría, aún no poseen.
Así, pues, apuesto por el anterior procedimiento de cálculo, más extendido, más comprensivo, más integrador de saberes, que pone de manifiesto con mayor rotundidad las propiedades de las operaciones en las que deben, ineludiblemente, basarse todas nuestras estrategias de cálculo (tanto las algorítmicas no mentales como las mentales).
En este caso, el vídeo comunica numerosos datos relativos (se trata de porcentajes, obviamente, ya que, como indica el título, hacen referencia a 100 habitantes) y simplificados (se utilizan sólo números naturales en la presentación) sobre diferentes aspectos sociales que están al alcance y dentro de la zona de interés de alumnos y alumnas del tercer ciclo de Educación Primaria. Tanto para poder presentar los datos de esta manera tan sencilla como para su correcta interpretación, se requiere un correcto dominio del RAZONAMIENTO NUMÉRICO PROPORCIONAL (que conecta contenidos de matemáticas fundamentales del tercer ciclo: multiplicación/división, fracción, fracciones equivalentes, fracción de un número, tabla de proporcionalidad, interpretación de gráficas,...)
En varios post de este blog (Razonamiento proporcional y multiplicación, Métodos especiales de resolución de problemas aritméticos. Problemas de móviles en Primaria,...) he opinado sobre la importancia del desarrollo de este tipo de razonamiento (que todos los/as alumnos/as tienen en mayor o menor grado) para el logro de competencias matemáticas y he sugerido un enfoque natural y nada artificioso en su enseñanza aprendizaje que se basa en la construcción e interpretación de TABLAS DE PROPORCIONALIDAD (las tablas de multiplicar pitagóricas, o tablas tiempo/espacio -para un móvil con velocidad constante- son casos particulares de las mismas) como paso previo a posteriores formalizaciones y, sobre todo, para poner de manifiesto con mayor rotundidad las propiedades esenciales que entran en juego en el razonamiento numérico proporcional.
Evidentemente nos estamos refiriendo a la proporcionalidad directa, que es inherente a la multiplicación.
Dado que multiplicación/división conforman un mismo campo conceptual, el más importante, sin duda, en las matemáticas de 3º ciclo de Primaria y puesto que con frecuencia un buen número de maestros/as no suele percatarse o asumir que temas como la DIVISIBILIDAD o la PROPORCIONALIDAD no son sino el tratamiento de ese mismo campo conceptual desde miradas o perspectivas ligeramente diferentes, voy a volver a insistir, aquí, en ciertos aspectos didácticos del mismo aprovechando que el vídeo que encabeza este post trata sobre "proporcionalidad directa", es decir, sobre multiplicación/división.
Como se muestra en la imagen anterior, la proporcionalidad directa es inherente a la multiplicación, es decir, consecuencia directa de la misma. Por tanto, la proporcionalidad directa "hereda" las propiedades de la multiplicación. No obstante, sería un tanto "artificioso" calcular el valor de la incógnita (¿?) estableciendo una proporción y haciendo uso de la regla de tres. Mucho más natural es recurrir a resultados previos (hechos numéricos) más sencillos haciendo uso de la importantísima propiedad distributiva (que equivale a poder multiplicar "por partes"): 12 x 7 = (10 + 2) x 7 = 70 + 14; 12 x 7 = (3 + 3 + 3 + 3) x 7 = 21 + 21 + 21 + 21 ; 12 x 7 = (6 + 6) x 7 = 42 + 42; etc...
Esta es la estrategia fundamental que asegura más comprensión y competencia en el cálculo multiplicativo y proporcional.
Imaginemos el tratamiento del dato, ofrecido en el vídeo anterior, de que 112 turistas (por cada 100 habitantes españoles) vienen a visitarnos cada año. Implícitamente tenemos la fracción 112/100 con un significado de proporción. La comprensión de este significado junto con un adecuado dominio del razonamiento proporcional llevaría a los/as alumnos a inferir que si consideramos como 1000 los habitantes de España ("diez veces más") entonces vendrían 1.120 turistas a visitarnos (también 10 veces más), es decir, que 112/100 = 1.120/1000 (representan la misma proporción, argumentando sin artificios). De la misma manera se podría llegar a una serie de inferencias que podrían recogerse en forma de tabla (tabla de proporcionalidad) de modo que cada inferencia anterior pueda ser aprovechada para otras posteriores:
La tabla que sigue podría representar una serie de inferencias encaminada a acercarse al dato absoluto del número de turistas que visitan España en un año (redondeando en 47.000.000 la población española):
Un número más afinado de la población española es 47.200.000 habitantes. Haciendo uso de la tabla y del razonamiento proporcional, se llega a la conclusión de que al número de turistas calculado ( en rojo) habría que sumarle 224.000, la décima parte del número de turistas correspondiente correspondiente a 2.000.000 de españoles...
Podríamos pensar que hay otros modos "más eficaces" o "más económicos" de realizar el cálculo anterior. Evidentemente, de haber tenido yo que hacer el cálculo habría recurrido a [47.200.000 x 1,12], como simplificación de la regla de tres simple y directa 100 es a 112 como 47.200.000 es a X. Pero ocurre que, en mi caso, este último procedimiento, más formal, ya es un hecho numérico asumido por mí sin apenas reflexión, correspondiente a un determinado grado de significado numérico que los/as alumnos/as de tecer ciclo, en su gran mayoría, aún no poseen.
Así, pues, apuesto por el anterior procedimiento de cálculo, más extendido, más comprensivo, más integrador de saberes, que pone de manifiesto con mayor rotundidad las propiedades de las operaciones en las que deben, ineludiblemente, basarse todas nuestras estrategias de cálculo (tanto las algorítmicas no mentales como las mentales).
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