10 octubre, 2019

Tabla de doble entrada. Infantil




Una simple tabla de doble entrada. Interactiva, con generación aleatoria y configuración de grados de dificultad.

21 septiembre, 2019

El teorema de Pick para alumnos/as de Primaria.



El Teorema de Pick (yo prefiero en Primaria hablar de fórmula de Pick) no suele incluirse en el currículo de Matemáticas de Educación Primaria, a pesar de ser enormemente visual y fácil de comprobar, incluso utilizando sólo papel cuadriculado. Los conceptos topológico-geométricos (interior, frontera, área, puntos alineados o sobre una misma recta,...) y operaciones (+,-,x,:) implicados en su comprobación son muy sencillos. Todo ello lo hace apropiado para los últimos niveles de Primaria en los que pocos teoremas se adecuan al nivel de los/as alumnos/as.

Dado que en MATE.TIC.TAC se utilizan mucho las tramas de puntos interactivas para el desarrollo de subcompetencias geométricas, sería un fallo no ofrecer a los/as alumnos/as de 3º ciclo de Primaria la oportunidad de comprobarlo en el cálculo de áreas de figuras con vértices en diferentes tramas, o al menos en la trama ortométrica (en la que suele presentarse casi siempre). Pero, obviamente, no es necesario contar con tramas interactivas para su correcto tratamiento didáctico. Basta con tramas impresas sobre papel y lápices de varios colores.

(La versión que aquí presento es una actualización de esta otra ya disponible en mi blog, desde 2011)

Contribuye a la formación en valores de los/as alumnos/as, como una oportunidad más de constatar que la matemática es patrimonio de la humanidad, que no es algo acabado, y que a ella han contribuido, y contribuyen, muchas mentes, como es el caso de Georg Alexander Pick. Se puede aprovechar el hecho de que Pick fue un matemático de origen judío, nacido en Austria, que murió en el Campo de concentración de Theresienstadt para considerar la realidad humana que subyace detrás de determinadas aportaciones.

Además de conocer un interesantísimo patrón en relación con el cálculo de áreas en situaciones discretas, invita a razonar y justificar el área ya conocida del polígono trazado por procedimientos más generales: dividiendo la figura en polígonos más sencillos y calculando el área total como suma de áreas parciales. Esto último tiene un gran valor didáctico. 

La comprobación interactiva de la fórmula de Pick resulta fácil para alumnos/as de 5º y 6º de Primaria. Didácticamente,como se ha comentado anteriormente, conviene proponer figuras de área conocida, calculada con la fórmula de Pick, por ejemplo, para justificar argumentadamente su área utilizando también otras estrategias.

Se presenta primero la fórmula de Pick en una cuadrícula (o trama ortométrica de puntos). En otra escena, los puntos de una misma trama isométrica pueden ser considerados tanto los vértices de una malla triangular como de una malla rómbica. Elegir uno u otro de estos polígonos unitarios de la malla como unidad de superficie, conlleva multiplicar o dividir la fórmula de Pick por 2. 

Para el caso de la malla rómbica y el rombo como unidad de superficie, las fórmula de Pick coincide con la fórmula para una malla cuadrada o rectangular (A = nI + nF/2 - 1)*. Sin borrar la figura realizada, pero eligiendo la malla triangular y el triángulo equilátero como unidad de superficie, se comprueba como el área viene ahora dada por la misma fórmula, solo que multiplicada por 2: (A = 2nI  + F - 2).

(*) 
nI = número de puntos de la trama en el interior del polígono.
nF= número de puntos de la trama en la frontera del polígono (lados).



02 septiembre, 2019

SI NADIE LO REMEDIA (I)



(Tengo pensado tratar este serio e importante asunto en varios post)

Cada vez son más los docentes que tienen enlazadas aplicaciones de este blog y me plantean qué va a pasar cuando los principales y más usuales navegadores no permitan la ejecución del plugin de Flash Player, es decir, cuando rechacen la visualización online de los contenidos interactivos realizados con Flash (algo que lleva anunciándose desde hace varios años y que parece que va a ser definitivo, si nadie lo remedia, a finales de 2020).

De hecho, desde hace unas semanas, mi navegador predeterminado, Google Chrome, me advierte insistentemente que dejará de ser compatible con Flash y me invita a leer el artículo "Saying goodbye to Flash inChrome".

Durante los últimos 12-15 años, la gran mayoría de los mejores materiales educativos se han realizado con la tecnología Flash. También la totalidad de las aplicaciones interactivas que se ofrecen en este blog se han creado con Flash Professional (actual Flash Professional CS6). Como el/la lector/a ya sabrá, los archivos interactivos de Flash tienen la extensión “.swf” y, aunque se ejecuten offline, necesitan abrir un navegador y que éste permita instalar, o tenga instalado, el plugin “Flash Player”. 

Por diferentes motivos ( vulnerabilidad, inseguridad ) e intereses tecnológicos, que no es cuestión de analizar aquí, (no todos resultan tan fáciles de esclarecer o creer) esta situación está cambiando y va  a cambiar más drásticamente. De hecho se lleva años anunciándolo. Adobe ya lo ha confirmado: Flash “morirá” (dejarán de distribuir y actualizar Flash Player) en 2020, y, si nadie lo remedia, no será permitido por los navegadores Chrome, Firefox, Edge y Safari.  Esto significa que muchos recursos educativos digitales, entre ellos algunos trabajos míos premiados por el INTEF, alojados en Agrega, Procomún, blogs de enlaces educativos, blogs de autor, como el mío, etc… dejarán de poder mostrarse online. En muchos casos, además, si los autores no han tomado sus precauciones, y no conservan los archivos de edición originales, no podrán ser aprovechados offline de ningún modo. Ello supondrá una gran pérdida de recursos educativos…Y de hecho, ya se puede detectar una disminución en la utilización, por parte del profesorado, de recursos digitales en abierto.  Eso es un paso atrás y no deja de ser una advertencia de  la "tiranía de la tecnología", de lo que puede ocurrir con HTML5 dentro de unos años…

Así comenzaba Ángel Puente (profesor), en su blog "El balcón abierto" un post (abril-2017) en el que analizaba perfectamente, a la par que lamentaba, los problemas existentes con los archivos swf: (Como docente y desarrollador de materiales educativos con Flash, me sumo al análisis y lamento de Ángel)
"La visualización de los archivos flash en Internet se está convirtiendo en un serio problema. Nunca lamentaremos lo suficiente el capricho de aquel personaje (Steve Jobs) que tanto ha influido en el mundo de la informática y de los equipos y dispositivos móviles. En sus equipos y sistemas operativos los archivos flash estaban vetados. Porque sí. Porque lo decidió así. Porque para eso era el jefe de la empresa."Muchos de nosotros, profesores que queríamos introducir elementos interactivos en nuestras páginas web y blogs, optamos por Flash y estábamos encantados.Para ampliar las posibilidades de la herramienta nos lanzamos a aprender el lenguaje de programación ActionScript que estaba asociado a esa tecnología Flash.Los archivos generados, los swf, permitían animaciones e interacción con el usuario. Algo que ha contribuido enormemente a las posibilidades didácticas de la Web 2.0." 

Me temo que si no consigue su objetivo el grupo de desarrolladores que ha puesto en marcha la petición para que Adobe libere el código de Adobe Flash, y se convierta en un estándar de código abierto, para que no “muera” lo que hizo historia en Internet, el asunto puede resultar realmente trágico. Una cosa es que el navegador no permita visualizar Flash Player mientras no se lo solicitemos y otra muy distinta que lo impida. (Enlace a un post de Juan Antonio Pascual (30/07/2017 ) que analiza este tema ).
(No obstante, creo que siempre habrá navegadores que admitan Flash sin problemas, incluso para Android, como es el caso de Puffin Web Browser, Now Browser, FlashFox,... )

Personalmente yo me he resistido (hay todavía muchas webs importantes que se resisten) a reciclarme y a pasarme a HTML5 (cuando no creo haber podido explorar, como autodidacta, ni un 10% de las posibilidades de Flash). Es perfectamente lógico que algunos docentes y visitantes de mi blog se sorprendan de que aún siga añadiendo elaboradas aplicaciones interactivas realizadas con Flash. Noticias y post  donde aparece la palabra "muerte" asociada a Flash no significan que algo realizado en Flash sea de menor calidad que algo realizado en HTML5 (el nuevo estándar), ni mucho menos ( el/la lector/a puede comprobarlo con las aplicaciones que aquí se ofrecen)...

He sido consciente de todo lo anterior durante los últimos años, y he ido elaborando mi propia alternativa,  un excepcional proyecto,  MATE.TIC.TAC, que soluciona el problema mediante la creación de un ejecutable, un archivo “index.exe” que gestiona maravillosamente todo el proyecto, desde un único menú y con un funcionamiento óptimo, al margen de los navegadores. Ya no se necesitará ningún navegador como intermediario para ejecutar las aplicaciones del mismo. Como contrapartida, MATE.TIC.TAC está pensado para ejecutarse offline (aunque pueda ser distribuido o comercializado online) ya que los archivos “.exe”, como el/la lector/a sabrá, sólo se pueden ejecutar en los ordenadores de los usuarios. Dicho de otra manera, sólo podrá ejecutarse en el ordenador, o tablet, que contenga la carpeta “matetictac” en la que se incluye “index.exe”.

El archivo “index.exe” es válido tanto para el sistema operativo Windows como para Linux, Android  y MAC-OS. La diferencia es que en Linux y MAC-OS hay que abrirlo con la aplicación “Wine” (una aplicación libre y de código abierto, que no es un emulador de Windows pero sí es capaz de ejecutar con éxito una gran variedad de aplicaciones diseñadas para Windows).

Para más información...



Portada (menú principal) del proyecto MATE.TIC.TAC.

(Por ahora, y mientras decido cómo hacerlo llegar a los usuarios, sólo facilito el acceso al archivo (.pdf) que presenta el proyecto)

(Se atenderán los comentarios y preguntas de los/as lectores/as)


31 agosto, 2019

Cruce de ranitas



“…Por esto no es de extrañar en absoluto que muchos de los grandes matemáticos de todos los tiempos hayan sido agudos observadores de los juegos, participando muy activamente en ellos, y que muchas de sus elucubraciones, precisamente por ese entreveramiento peculiar de juego y matemática, que a veces los hace indiscernibles, hayan dado lugar a nuevos campos y modos de pensar en lo que hoy consideramos matemática profundamente seria.”
JUEGOS MATEMÁTICOS EN LA ENSEÑANZA. Miguel de Guzmán
Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas
Santa Cruz de Tenerife, 10-14 Septiembre 1984
Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas Isaac Newton


Cruce de ranitas” y “Torres de Hanoi” son dos interesantísmos juegos que presentan similitudes. En ambos, el proceso de solución se puede reducir a un procedimiento algorítmico que presenta cierta simetría y recurrencia (un caso más complejo contiene a un caso más simple) y, como diría el gran Miguel de Guzmán, suponen un interesante “entreveramiento de juego y matemática” que se puede trasladar, con el andamiaje conveniente, a alumnos/as de Primaria.

Como se puede comprobar,  no se trata de hacer “jugar” a niños y niñas de modo improvisado, sino de manera intencionada y planificada para lograr resultados (una matematización del juego adecuada al nivel de los/as niños/as). Para ello se facilitan y analizan codificaciones de movimientos que facilitan descubrir los patrones o regularidades que determinan la correcta solución.

En la generalización algebraica del número de movimientos necesarios a partir del número de elementos colocados, en ambos casos, se toma como base el estudio de los códigos, su análisis en elementos más simples, el recuento, la formación de series… Las series numéricas que aparecen son adecuadas para alumnos/as de 3º ciclo de Primaria: 2n (las potencias de 2), 2n-1 (las potencias de 2 disminuidas en 1), 2n (la serie de los números pares o múltiplos de 2) y n2 (la serie de los números cuadrados perfectos).

Ambos juegos son situaciones ideales para aplicar un razonamiento lógico-matemático de tipo inductivo (entiéndase una inducción informal) en tanto en cuanto a partir de la resolución de casos  sencillos se intuye el procedimiento general para la resolución de casos más complejos.

Existen muchas versiones de estos juegos en internet. Las mejores de ellas están realizadas con Flash. Las principales innovaciones tecnológicas que yo aporto son la posibilidad de estudiar las soluciones “paso a paso, permitiendo que los/as niños/as se tomen el tiempo necesario para descubrir patrones, y la codificación instantánea de los movimientos realizados. En otro orden está el personal enfoque pedagógico-didáctico que facilita la matematización de estos juegos en Primaria.

06 agosto, 2019

Suma cubos

Suma con cubos encajables. Infantil.


Dada la extraordinaria acogida que está teniendo la aplicación Cuenta_cubos, y como complemento de la misma, aquí os ofrezco Suma_cubos. Espero que guste tanto como la anterior.

Obsérvese que en esta aplicación, al igual que en esta otra

Modelos de barras PARTES-TODO en la resolución de PAEV

se refuerza visualmente el modelo gráfico partes-todo. ¿Por qué este modelo es tan importante?

La investigación sobre problemas verbales aritméticos aditivos, desde diferentes enfoques, ha sido muy profusa y enriquecedora desde finales de la década de los setenta del siglo pasado. Actualmente son muchos documentos los que divulgan las conclusiones de Vergnaud y Durand (1976) o de Heller y Greeno (1979), entre otros …

Fruto de estas investigaciones, el profesorado cuenta con clasificaciones y secuenciación de categorías y tipos de problemas aritméticos verbales, en función de su estructura semántica, que muchos centros han ido incorporando al currículo de Matemáticas:

He aquí algunos buenos ejemplos de lo anterior:

Resolución de prolemas aritméticos. Eoep de Ponferrada.

Si bien es importante tener en cuenta estas clasificaciones cuando elaboramos propuestas de resolución de PAEV, para no eludir ni olvidar categorías importantes y para tener en cuenta las que resultan más fáciles y más difíciles, no es menos cierto que debe ser esencial analizar el esquema mental que utiliza el resolutor cuando resuelve problemas de este tipo. Ni usted, ni yo, ni los/as alumnos/as tienen en cuenta para nada la clasificación anterior cuando resuelven un problema aritmético de estructura aditiva. Es obvio que, para resolverlo, no necesitan ni tienen que saber  si es de cambio, comparación, igualación… Es muy difícil saber cómo el/la niño/a procesa, transforma y traduce para sí la información en su cabeza…, Y es aquí, y desde la práctica en el aula, donde encuentro fundamental el esquema partes-todo, por su eficacia y sencillez y porque permite  integrar en torno al mismo todos los PAEV de nivel 1 y estructura aditiva.

31 mayo, 2019

Patrones numéricos, geométricos,...y álgebra básica.

Patrones numéricos, geométricos,...y álgebra básica.



Los patrones o regularidades, de todo tipo, son, sin duda alguna, la esencia de las matemáticas. Obviamente están presentes en todos los tópicos matemáticos y en todos los niveles, desde la matemática más básica a la más avanzada.

La enseñanza-aprendizaje de la matemática debe apoyarse continuamente en ellos, favoreciendo su descubrimiento, poniéndolos de manifiesto y utilizándolos… pues permiten adivinar, predecir, generalizar,...

En las aplicaciones de Didactmatic siempre se ha cuidado mucho este aspecto. ¿Por qué, entonces, desarrollo una aplicación específica, como ésta, sobre patrones?

Al tratarse de una aplicación (macroaplicación, mejor dicho) dirigida a alumnos/as del 3º ciclo de Pimaria, se busca y se facilita un grado de generalización adecuado de los mismos que se hará, siempre adecuándose al nivel de los/as alumnos/as, a través del lenguaje algebraico, el lenguaje de las matemáticas, sobre todo a través de la expresión de los términos generales de las series aritméticas que se tratan.

Por otra parte, se incluyen patrones o regularidades, íntimamente relacionados, que no es frecuente incluir en el currículo de matemáticas, y que son bastante estudiados por la matemática recreativa: patrones o regularidades en el calendario; patrones que aparecen cuando colocamos los números ordenados de una serie aritmética en tablas o matrices (filas y columnas); patrones en cuadrados mágicos; patrones en números figurados (representados por puntos o circulitos con una especial distribución en el plano- y que favorecen actividades de visualización, comparación y argumentación de diferentes procedimiento de recuento-); patrones geométricos (en construcciones planas y poliedros) ligados a series aritméticas; disecciones específicas de polígonos (para obtener a partir de 4 polígonos unitarios idénticos un polígono semejante a doble escala lineal); regularidades presentes en diagramas de factorización (que son un tipo específico de números figurados);  patrones para generalizar la solución de un problema, etc…

En definitiva, matemática relevante a la vez que recreativa, visual, interactiva, creativa, manipulativa, innovadora, …

Hace unos días, una colega docente de Lima (Perú) me comentaba que con las aplicaciones de DidactMatic ella aprendía a la par que sus alumnos/as. Y así debe ser, al menos para la gran mayoría de maestras y maestros, y no debe ser motivo de pudor ni de considerarse un docente mediocre, ni mucho menos. 
(Desde aquí un especial saludo a todos los docentes peruanos. Ese encantador y enigmático país es, después de España, el que más aprovecha las aplicaciones que ofrezco online)
Soy consciente de que muchos de los docentes que imparten el área de matemáticas, por razones diversas, no han tenido la oportunidad de vivenciarlas, ni de recrearlas, ni de  explorarlas y descubrir sus conexiones y la diversidad de sus procedimientos y métodos en cada uno de los bloques de contenidos… Si no se ha ”vivido” la Geometría, por ejemplo, se tendrán pocas expectativas en relación con este bloque… y se acabará haciendo, lo de siempre, algunas actividades de simple reconocimiento… 





13 mayo, 2019

Cuerpos geométricos. 2º ciclo de Primaria.

Cuerpos geométricos. 2º ciclo de Primaria.


Una versión reducida y adaptada de la macroaplicación "CUERPOS GEOMÉTRICOS. 3º ciclo".

Mantiene la mayor profusión de manipulativos e interactividad que podemos encontrar en la red, así como numerosas e interesantes innovaciones. Persigue un doble objetivo: Apoyar la realización de un TALLER DE CUERPOS GEOMÉTRICOS (con la realización en cartulina de modelos geométricos aquí presentados) y la EDUCACIÓN GEOMÉTRICA VISUAL (es por ello que las aplicaciones que incluye son de una gran riqueza en modelos gráficos, tanto estáticos como dinámicos...).

VISUALIZACIÓN/MANIPULACIÓN, VERBALIZACIÓN y ABSTRACCIÓN son tres etapas esenciales en el aprendizaje de las matemáticas. El lector podrá comprobar que se propone la interpretación (verbalización) de numerosos modelos. Se debe tener en cuenta el papel primordial del profesorado en asegurar que estas intepretaciones (individuales, grupales y/o colectivas ) se lleven a cabo ya que la aplicación no puede tener control sobre las mismas, no puede valorar una producción oral de un/a alumno/a...

12 mayo, 2019

Recuentos aproximados y estadística básica.

Recuentos aproximados y estadística básica.



Son muchas las situaciones reales de la vida en las que es prácticamente imposible, o excesivamente engorroso, o lento y poco práctico, realizar un recuento exacto de elementos: recuentos de microbios en un cultivo, recuentos de células sanguíneas en un análisis, recuentos de personas en un evento, recuento de árboles en una zona, etc...(se podrían poner muchos ejemplos diferentes en los ámbitos de las Ciencias naturales y las Ciencias sociales). En estos casos, se utilizan procedimientos para realizar un recuento aproximado más rápido, más cómodo, y con garantías de una buena aproximación al valor real de los elementos que quieren contarse.

El recuento aproximado, sus procedimientos y los múltiples contextos en que se lleva a cabo, incide directamente en el desarrollo de la Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. Podemos abordar básicamente estos procedimientos en el 3º ciclo de Primaria diseñando un contexto simple de recuento de cantidades diferentes de puntos (que pueden representar elementos reales de muy diversa naturaleza) que se distribuyen al azar en una determinada zona.

Si esa zona está dotada de una cuadrícula o rejilla auxiliar, cuyo número de celdillas se puede variar con facilidad, la cuadrícula, sin duda, sugerirá un primer procedimiento para analizar: contar el número de puntos de una determinada celdilla y multiplicarla por el número de celdillas. Pero, obviamente, este procedimiento ofrece un elevado rango de variabilidad en los resultados al tratarse de puntos distribuidos aleatoriamente en la zona considerada: diferentes celdillas tendrán diferentes números de puntos...¿Qué celdilla elegir? ¿En cuántas celdillas conviene dividir la zona? ¿Cómo elegir una muestra adecuada?

Esta aplicación permite variar el número de puntos objeto de recuento, variar la configuración de la cuadrícula o rejilla auxiliar, realizar tantas tandas de recuentos como se desee, introducir los valores estimados y/o calculados... Genera y registra de manera automática los porcentajes de error cometidos en cada recuento (aspecto clave en la verificación de hipótesis y en la regulación de los procedimientos utilizados) y los guarda para, al final, mostrarlos en un gráfico de puntos que permita al alumno/a valorar la evolución de su competencia en el recuento a partir de la evolución en sus porcentajes de error.

Se permite la investigación, la autorregulación del proceso y, a lo largo de las pantallas, se va facilitando la ayuda o andamiaje necesario para la mejora del mismo. Además de la subitización (en los casos en que hay pocos puntos en una determinada celdilla), el conteo directo y la comparación de cantidades,  el recuento aproximado implica otras capacidades numéricas menos elementales…Implica, esencialmente, la estimación de cantidades percibidas visualmente y su comparación. Es la capacidad para estimar cantidades la responsable del "buen ojo" que se tenga. Y este "buen ojo" es un aspecto determinante del grado de exactitud del recuento, independientemente del procedimiento realizado. Evidentemente no se considera nunca aquí como procedimiento válido aquel que conlleve la suma o conteo directo de todos los puntos.

A medida que se avanza en la aplicación se facilita el número de puntos de hasta 5 casillas seleccionadas (de un total de 25 en este caso), así como la serie de datos correspondientes a esta “muestra” y el cálculo interactivo de la media aritmética, la mediana y la/s moda/s (en caso de que exista/n). Se invita a los/as alumnos/as a aprovechar, como ellos consideren, estos parámetros estadísticos en su objetivo de reducir el porcentaje de error...

Además,  se utiliza la situación problemática (en forma de investigación abierta) para contextualizar aprendizajes conceptuales y procedimentales. Se ayuda al aprendizaje, mediante preguntas de verdadero/falso, analizando el procedimiento de obtención del porcentaje de error y su diferencia con el error cometido en un recuento; favoreciendo la comprensión de los conceptos de media aritmética, mediana y moda; favoreciendo la explicación argumentada de procedimientos seguidos y su mejora…

La aplicación no brinda "el procedimiento más adecuado". Este aspecto lo deja abierto a la discusión grupal y colectiva...