Análisis y síntesis en la resolución de Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)_III. Del enunciado a la expresión algebraica solución del problema.

En un post que escribí hace ya más de dos años (En busca del significado. Operaciones combinadas en Primaria. ¿Por qué? ¿Para qué?) ilustraba con numerosos ejemplos que la práctica totalidad de las aplicaciones_TIC que tratan las operaciones combinadas lo hacen de una manera descontextualizada ( al margen de la resolución de problemas) y con un enfoque convergente, meramente instructivo (la expresión algebraica es algo dado al alumno, ajena a él; se busca la interpretación correcta única, la correcta decodificación basada en el uso de convenios relacionados con la jerarquía de las operaciones…).

 

Las operaciones combinadas se presentan, efectivamente, como algo dado a los alumnos para que éstos las interpreten pero no como producción o construcción de los propios alumnos haciendo uso del lenguaje matemático en el contexto de resolución de problemas. Si bien la correcta interpretación (decodificación) es necesaria, no es suficiente para desarrollar niveles superiores de competencia matemática relacionada con el dominio progresivo y contextualizado del lenguaje simbólico..

Si además tenemos en cuenta que las soluciones numéricas, en nuestra sociedad tecnológicamente avanzada, son casi exclusivamente dadas como expresiones alfanuméricas (operaciones combinadas) que los procesadores matemáticos de calculadoras, computadoras y otros muchos dispositivos electrónicos resuelven numéricamente, se hace más patente la necesidad de un nuevo enfoque en la didáctica de las operaciones combinadas (que no parecen sostenerse como un tópico matemático aislado e independiente de otros…)

 

Por otra parte, he comentado en diferentes artículos de mi blog que desarrollar aplicaciones TIC sobre resolución de problemas consistentes en baterías de problemas con comprobación de la solución (entendida como un número) no supone un gran avance con respecto a una batería de problemas propuestos en material impreso (o en algún formato digital equivalente). Las aplicaciones TIC sobre resolución de problemas deben ir más allá, buscando incidir interactivamente en el meollo del proceso de resolución…

(Ver aplicación a tamaño completo)

El modelo de resolución de PAEV que propone esta nueva aplicación pone el énfasis en la producción, por parte de los alumnos y alumnas, de expresiones algebraicas (operaciones indicadas) que pueden considerarse ya soluciones del problema. No obstante, la aplicación, para cada problema diferente, evalúa tanto la expresión algebraica producida como el número dado como solución... Evidentemente la aplicación implementa un nivel deseable para alumnos del tercer ciclo de la Etapa Primaria. Además, aunque no se expliciten las relaciones entre magnitudes (análisis y síntesis) éstas han de realizarse ineludiblemente para poder resolver correctamente el problema propuesto. Es por ello que se recomienda que antes se hayan trabajado otras aplicaciones que pongan de manifiesto el análisis síntesis en la resolución de PAEV, como las que se tratan en post anteriores a éste en este mismo blog.

 

Basta experimentar con la aplicación para darse cuenta de que el paso o traducción de las relaciones implícitas en el enunciado del problema a su expresión algebraica no es precisamente un proceso convergente. Muy al contrario, se trata por lo general de un proceso divergente y, por tanto, creativo… Para ilustrar esta afirmación podemos analizar un ejemplo:

Las siguientes expresiones algebraicas, entre otras, serían respuestas válidas atendiendo a las restricciones que impone la aplicación (la expresión algebraica sólo puede utilizar datos presentes en el enunciado, es decir, no puede contener números que sean resultado de un cálculo previo con datos; un determinado dato, por lo general, aparece una sola vez en la expresión,… ):

1.-  ((49 x 10) : 280) : 7

2.-  ((10 x 49) : 280) : 7

3.-  ((49 x 10) : 7) : 280

4.-  ((10 x 49) : 7) : 280

5.-  (49 x 10) : 280 : 7

6.-  49 x 10 : 280 : 7

7.-  49 x 10 : 7: 280

8.-  (49 x 10 : 280) : 7

9.-  (49 x 10 : 7): 280

10.- 49 x (( 10 : 7): 280)

11.- 49 x (( 10 : 280): 7)

Lo primero que salta a la vista es que podemos hacer uso exclusivamente de paréntesis estrictamente necesarios o bien utilizar también paréntesis “personales” que sirven para reforzar la consideración de una determinada cantidad de una magnitud creada durante la fase de análisis/síntesis que no aparece de forma explícita en el enunciado del problema o bien para dar cuenta de la estrategia seguida para llegar a la solución…

Mientras que en 1, por ejemplo, se ha calculado primero el arroz total que corresponde a cada persona durante una semana, en 3 se ha calculado primero el arroz total que corresponde a todo el campamento en un día… Personalmente, encuentro que las expresiones 1 y 3 son más significativas que sus correspondientes 6 y 7, respectivamente. Y esto es, precisamente, porque hacen uso de paréntesis que aún no siendo estrictamente necesarios sí que aportan significado.

Es precisamente la economía de paréntesis la que puede dar problemas y la que da origen a convenios en la realización de determinadas secuencias de cálculo, como se ilustra en la imagen. La aplicación da por válida la expresión 49 x 10 : 280 : 7. Sin embargo puede que el alumno no realice correctamente la secuencia de cálculos. Es por ello que la aplicación también comprueba el valor numérico de la expresión algebraica.

Desde un punto de vista técnico, contemplar la divergencia en las respuestas correctas dificulta considerablemente el código y diseño de la aplicación… Pero merece la pena una aplicación así ya que favorece especialmente que el problema sea captado de manera global haciendo más patente la estructura del problema.

Los problemas que se proponen en esta aplicación manejan datos numéricos realistas y coherentes con las situaciones problemáticas presentadas. Se pretende, además, que los alumnos realicen los cálculos en línea, no en columnas, sobre la propia expresión algebraica. Para ello, se ha habilitado una zona de escritura “a mano”, que puede utilizarse tanto para ensayar la expresión algebraica solución como para realizar los cálculos.

Cuando se utiliza en clase, con la PDI, es necesario que los niños y niñas realicen el análisis/síntesis del problema y justifiquen oralmente el proceso de resolución seguido. 

Una aplicación que complementa perfectamente a ésta es "ASOCIA":

(Ver aplicación a tamaño completo)

Andalucía Educativa. Desde las TIC hasta las TAC.

La revista digital Andalucía Educativa, en su sección "En portada", ha publicado un monográfico especial sobre las TIC bajo el título Desde las TIC hacia las TAC.

Dentro del apartado LA COMUNIDAD EDUCATIVA CUENTA SU EXPERIENCIA, podemos leer artículos de opinión correspondientes a centros, profesorado, alumnado y familias; entre ellos mi colaboración titulada "Más de dos décadas caminando con TIC. Juan García Moreno".

Otros artículos de opinión publicados en este mismo apartado:

• CENTROS

Los proyectos de incorporación de la tecnología en el IES Gran Capitán

10 años de TIC en el CEIP Menéndez y Pelayo

La plataforma Moodle en el IES Ciudad de Dalías, Dalias (Almería)

PASEN: Un vehículo de comunicación en el IES Arjé. IES Arjé, Chauchina (Granada)

Proyecto de Centro TIC: la Formación en Centros. CEIP San Juan de Dios, Granada

Las TIC en el IES Pablo de Olavide : el camino hacia la integración y la visibilidad

TIC, TAC, Ítaca. IES Ítaca, Tomares (Sevilla)

Diez años en un día...IES Averroes, Córdoba

• PROFESORADO

Más de dos décadas caminando con TIC. Juan García Moreno

10 años @en_clase con TIC. Mar Serón Burgos

¿Cómo hacer digitalmente competente a nuestro alumnado? Del blog de aula al blog personal. María José Asencio Sánchez

De la tiza a la PDI. Joaquín Robles Fernández

Las TIC, una realidad en el aula. Ana María Porcel Carreño

La wiki como herramienta de trabajo colaborativo: Wikipepa. Inmaculada lópez Mena

El fin de las TIC. Joaquín José Martínez Sánchez

TIC, ¿para qué os quiero? Aitor Lázpita Abasolo

Sigamos usando las TIC en Educación. Juan Manuel Díaz

• ALUMNADO

En los siguientes muros podemos ver recogidas las opiniones del alumnado sobre como la incorporación de las TIC ha influido en su vida como estudiante.

Muro Comentarios 2006

Muro comentarios 2014

• FAMILIAS

Las TIC con el AMPA El Castillo. AMPA El Castillo

Análisis y síntesis en la resolución de Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)_II

Voy a comenzar este post  presentando un fragmento literal de un valioso documento (una tesis doctoral) titulado “Sobre habilidades en la resolución de problemas aritméticos verbales, mediante el uso de dos sistemas de representación yuxtapuestos”, de JOSEFA HERNÁNDEZ DOMÍNGUEZ (Curso 1996/97. CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS (Páginas 18 y 19). Servicio de publicaciones de la universidad de la Laguna)

El problema, en el que centramos nuestra investigación, tiene que ver con el conocimiento de las dificultades, que experimentan los alumnos en la resolución de los problemas aritméticos verbales, y la influencia que el uso de sistemas de representación gráfica tiene en la mejor comprensión de los mismos. La falta de habilidad de los estudiantes en la resolución puede estar relacionada con múltiples factores, como la no comprensión del enunciado del problema, debido a no haber adquirido un grado suficiente de capacidad de lectura, un dominio insuficiente del significado de las operaciones, una falta de capacidad para razonar en un problema concreto, la incorrecta ejecución de las operaciones o no saber el orden en que éstas (si son varias) ha de seguirse.

Al mismo tiempo, los profesores expresan sus propias dificultades al tratar de desarrollar el aprendizaje sobre la resolución de problemas.

Unos se inclinan por enseñarles a buscar palabras clave, otros enfatizan la lectura comprensiva del texto, otros llegan incluso a utilizar la plástica o la dramatización como elementos que faciliten la comprensión, pero el sentimiento general que expresan sigue siendo el de no tener claro el camino a seguir….

Desde principios de siglo, psicólogos y educadores matemáticos han tratado de investigar las causas de estas dificultades; unos las han atribuido a déficits lingüísticos, otros a dificultades aritméticas específicas. La forma de la enseñanza es otro factor clave. Nuestras escuelas inciden fuertemente en los algoritmos y menos en el desarrollo de estrategias y en la maduración de procesos cognitivos superiores, tales como el nivel de razonamiento y la comprensión conceptual. La típica pregunta que hacen muchos alumnos en el aula cuando se enfrentan a resolver un problema aritmético verbal, “¿tengo que sumar o restar?”, refleja el objetivo de los problemas aritméticos escolares: la elección de una operación y su ejecución como fin fundamental de los mismos. Y, finalmente, aunque menos investigadas, las variables afectivas, que ahora han emergido con mucha fuerza, tienen también algo que aportar sobre las dificultades en la resolución de problemas…

Creo que una gran mayoría de maestros /as estará de acuerdo con este diagnóstico sobre la situación en torno a la resolución de PAEV.

Puesto que en los PAEV el enunciado verbal en que se presenta el problema no separa a éste en sus partes constituyentes, el trabajo con el problema comienza con la lectura comprensiva de su enunciado (texto-problema) que debe llevar a una primera descomposición del texto y al aislamiento de datos e incógnita salvando las dificultades derivadas de los aspectos sintácticos del enunciado:

• El tamaño del problema, que se puede medir por el número de caracteres, palabras o frases. 
• La complejidad gramatical, entendida como el número de sustantivos, adjetivos, pronombres, etc, o al tipo de oraciones y proposiciones que constituyen el enunciado del problema. 
• La presentación de los datos mediante números, símbolos o palabras. 
• La situación de la pregunta en texto del problema, que podrá dar lugar a situaciones diferentes: situaciones en que están bien explicitados los tres elementos del enunciado:
          1. Canónicas: son del tipo [ a + b = ? ] 
          2. No canónicas: del tipo [ a + ? = c ] o [ ? + b = c ] 
O bien, situaciones que no están correctamente explicitadas, como por ejemplo que el texto completo sea una interrogación en la que se entremezclen tanto la información como la pregunta del problema. (Diferentes estudios vienen a demostrar que problemas así formulados son más difíciles de resolver)
• La explicitación de la relación semántica entre los datos y la incógnita, la presencia de datos o no en la pregunta del problema, la existencia de datos irrelevantes,...
• El orden de presentación de los datos en el texto del problema, que se puede corresponder, o no,  con el orden en que éstos han de ser considerados a la hora de efectuar la operación. 

Pero, ¿cómo se puede controlar mediante una aplicación TIC - que favorezca el trabajo autónomo o semidirigido- que el alumno ha llevado a cabo satisfactoriamente esta lectura analítica? En esta aplicación, para cada problema, se proponen cinco afirmaciones relativas al enunciado del mismo en las que el alumno/a debe decidir si son verdaderas o falsas…Esta fase previa a la realización del problema obliga al alumnado al análisis del mismo.  La elección realizada por el alumno nos dará una medida de la comprensión del problema. Es evidente que hoy por hoy no podemos desarrollar una aplicación que valore cualitativamente una respuesta libre y abierta a preguntas determinadas. Lo que ocurre, a mi juicio, es que para PAEV de nivel 1, a no ser que adrede dificultemos el texto, puede resultar una tarea un tanto repetitiva. Además una pregunta bien formulada puede tener casi tanta complejidad sintáctica como el propio enunciado del problema…

De cualquier forma, resulta imprescindible provocar que un alumno traduzca el problema con sus propias palabras obligándole a mencionar, al hacerlo, los datos y la incógnita del problema.

La aplicación permite tachar datos innecesarios del enunciado del problema, subrayar datos e incógnita con diferentes colores, rodear palabras clave…

En “La instrucción en PAEV: Marcos, ideas y sugerencias ” Luis Puig y Fernando Cerdán nos advierten, ilustrándolo con ejemplos concretos, de ciertos peligros en relación con el uso de palabras-clave (más que, menos que, tantos como, más joven, más grande, caro, barato) y exponen diferentes criterios y puntos de vista interesantes en relación con la traducción entre diferentes representaciones del problema...

De suma importancia es considerar la traducción entre diferentes representaciones. El enunciado de cada problema se acompaña en esta aplicación de una imagen ilustrativa que lo contextualiza presentando objetos individuales que se mencionan en el problema, pero sin llegar a ser objetos analíticos en el sentido de que no dan cuenta de las relaciones numéricas entre los datos… Por otra parte, sí se posibilita y propone la utilización de un diagrama o esquema abstracto interactivo (representación evidentemente más provechosa que la mera ilustración) que permite reflejar fielmente las relaciones entre los datos y la incógnita y supone una nueva posibilidad de traducción entre diferentes representaciones del problema. Se trata de esquema todo-partes que se adecua a las diferentes tipologías de problemas de una sola operación de estructura aditiva (combinación, cambio y comparación) con la condición de que se asigne el significado correcto a cada parte en el contexto del problema, que se establezca la correcta dependencia semántica entre las proposiciones del texto.

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(En breve pienso publicar en este blog otra aplicación como esta para problemas de estructura multiplicativa de una sola operación))

Una vez superada esta fase del problema,  el análisis continúa  con la correcta colocación de las etiquetas de texto y la correcta selección de la operación a realizar. Todo ello previo a la realización de cálculos.

Cuando el análisis del contenido se realiza con problemas de varias operaciones hay que ir más allá de separar datos e  incógnita y de repetir por trozos el contenido del problema. Será necesario descomponer en partes, investigar cada parte, comparar unas partes con otras y determinar sus relaciones mutuas.

La aplicación que sigue es una variante de las presentadas en Análisis y síntesis en la resolución de Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)_I, para problemas de dos o más operaciones,  que refuerza de manera especial la distinción entre la expresión de la estrategia fundamental de resolución del problema y el desarrollo de ésta. A la par, apunta de manera más directa a la relación isomórfica entre estructura prealgebraica y expresión algebraica_solución del problema. (No obstante estoy trabajando actualmente en otra aplicación, en esta línea, que tenga mayor generalidad y se adecue a mayor número de PAEV de dos o más operaciones).

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Referencias a didactmaticprimaria en el CIBEM 2013

La Sociedad de Educación Matemática Uruguaya organizó en Montevideo, 16 al 20 de septiembre de 2013, el VII Congreso Iberomericano de Educación Matemática.

Cecilia Calvo y David Barba. PuntMat

De alguna manera este blog estuvo presente en el CIBEM gracias a las referencias a sus contenidos realizadas en algún que otro taller (SIMULACIÓN FÍSICA Y COMPUTACIONAL: ESTRATEGIA METODOLÓGICA PARA RESOLVER PROBLEMAS ESTOCÁSTICOS ) y las realizadas por Cecilia Calvo. Fue David Barba quien me lo comentó mientras Cecilia participaba en el Congreso. A Ambos les agradezco sinceramente dichas referencias así como que encuentren en mi blog elementos de inspiración.

Desde aquí os recomiendo su blog: PuntMat.

Me ha gustado mucho, y la comparto en gran medida, la selección de sitios de Matemáticas mencionados en el CIBEM_2013 que ha hecho Cecilia. Algunos de ellos no los conocía y son francamente buenos. Así que los comparto con los lectores de este blog:

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Análisis y síntesis en la resolución de Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)_I

Los profesores, mayoritariamente, manifestamos que no existe una relación satisfactoria entre el mucho tiempo que se dedica en las aulas a plantear problemas aritméticos a los alumnos y el escaso progreso que éstos consiguen en las habilidades para su resolución. 

Con frecuencia nos quejamos de que libros de texto y cuadernillos de trabajo proponen, de manera reiterativa, un número elevado de problemas, frecuentemente repetitivos, que no da tiempo a realizar... El problema se agrava si el tratamiento de la Resolución de Problemas (RP, en adelante) se realiza fundamentalmente de manera individual y en forma de deberes escritos para casa – porque consumen mucho tiempo de clase -, copiando el enunciado, volviendo a copiar datos, pregunta,…(que, para la mayoría de los alumnos, supone un procesamiento insuficiente o poco productivo de la información), volviendo a repetir los pasos para su corrección en la pizarra...

Teniendo en cuenta la ingente cantidad  de libros y documentos digitales en los que se recogen ideas y conclusiones útiles sobre la resolución de problemas, en la página Biblioteca_Viva_Didáctica_Matemáticas, de este blog, ofrezco un listado que puede ser considerado como suficiente para maestros/as que deseen estar puestos en el tema.

Un buen número de las ideas y propuestas que se recogen en los documentos anteriores – y otros análogos- han sido aprovechadas, interpretadas y llevadas a formatos impresos por profesores que han sentido la necesidad de abordar la RP en sus aulas de manera más científica, más fundamentada.  En mucha menor medida estas ideas y propuestas se han llevado al formato digital. (Ver Metamodelos y modelos TIC (I) (II) y (III) en la resolución de problemas) Hay, además, muy poca investigación específica sobre el aporte que pueden hacer las TIC en la resolución de PAEV.

Las TIC, aunque aún en casos muy contados, nos están permitiendo disponer de formas atractivas, rápidas y eficaces de abordar la RP que nos liberan de la excesiva dependencia de la tradición escrita escolar. No todo se aborda en la escuela de forma óptima escribiendo…

Creo que es cierto y justo afirmar que  didactmaticprimaria  es un sitio pionero en la investigación y desarrollo de modelos_TIC que ayudan (tanto al alumnado como al profesorado) a abordar la RP en Primaria de manera atractiva y con una sólida fundamentación didáctica y pedagógica. Basta con echar un vistazo a los modelos relacionados en la página  Biblioteca_Manipulables_Virtuales_Matemáticas_IV para convencerse de ello.

Como ya he mencionado anteriormente, diferentes investigaciones han puesto de manifiesto categorías y tipos fundamentales de problemas, modelos y metamodelos de RP así como los mecanismos que intervienen y se activan cuando se intenta resolver un problema. Ello implica saber (y por lo tanto enseñar) las estrategias que mejor ayudan a su resolución.

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Salta a la vista que esta nueva aplicación digital no propone la RP de manera rutinaria, que va más allá de ofrecer una batería de problemas de una determinada categoría o tipo (las hay a miles) y que no se conforma, tampoco, con hacer una propuesta de problemas que puedan corregirse o comprobarse con la inmediatez que permiten las TIC, pero ocultando o eludiendo el tratamiento de las dificultades inherentes a la resolución de problemas aritméticos.

Por el contrario, esta aplicación forma parte de un conjunto de formatos interactivos que implementan y desarrollan un innovador modelo-TIC (de generación y estructuración) de resolución de Problemas Aritméticos Escolares de Enunciado Verbal (PAEV), de dos o más operaciones en este caso, que pone el énfasis en el desarrollo conjunto de competencias lingüísticas y matemáticas haciendo explícita la estructura del problema a dos niveles: el del PROCESAMIENTO LINGÜÍSTICO (que lleva a la expresión prealgebraica de la igualdad directriz del problema – estructura lógica-) y el del PROCESAMIENTO MATEMÁTICO (que traduce la anterior en forma de expresión algebraica que puede considerarse ya la solución del problema). Su especial adaptación a la PDI (Pizarra digital interactiva) y el trabajo colectivo con la misma permitirá hacer patentes en el contexto de RP las interrelaciones entre competencias lingüísticas y matemáticas (Leer, Pensar y Razonar, Hablar, Argumentar y Justificar, Escuchar, Comunicar, Construir modelos, Plantear y resolver problemas, Representar, Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico,...)

(La fundamentación de este método puedes encontrarla en Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)).

Este modelo_TIC de resolución de PAEV recoge e implementa lo esencial del método ANÁLISIS-SÍNTESIS en la resolución de problemas (muy bien presentado en los documentos Problemas aritméticos escolares  y La estructura de los problemas aritméticos de varias operaciones combinadas (ambos de Luis Puig y Fernando Cerdán), pero quizá vaya más aún más allá:

El resolutor, guiado por el análisis de la incógnita y de los datos, planea el método de resolver el problema en su cabeza y comienza a llevarlo a cabo. Si falla, analiza los errores, clarifica por qué el método elegido no le permite alcanzar la solución, intenta corregirlo, o toma una vía diferente. Algunas veces, por un momento, reconstruye el problema, descarta algunos datos, simplificando la determinación de las relaciones entre los datos y la incógnita. El trabajo creativo del pensamiento se da en estas construcciones y en la elección de las posibles vías de solución. (Kalmykova, 1975, pgs. 118-119)

De una manera deliberada, se difiere el manejo de números y la realización de cálculos hasta que no se haya encontrado la correcta estructura lógica del problema, formada por las magnitudes implicadas en la solución y las operaciones entre ellas (que establecen las relaciones semánticas entre las magnitudes). 

Se pone así de manifiesto que resolver un problema aritmético es, ante todo y sobre todo, una cuestión de significados – y no de cálculos -. De hecho, no dudaríamos en absoluto en afirmar que el enunciado de un  PAEV ha sido entendido por un alumno si sabe exponerlo con sus palabras sin hacer uso de números. El diferir la realización de los cálculos en un PAEV no es algo caprichoso. No tiene sentido comenzar a calcular si no se ha encontrado la forma de llegar a la solución. Además, esto evita varias de las mayores dificultades que históricamente ha señalado y constatado el profesorado en relación con el proceso de resolución:

• Insuficiente comprensión del enunciado del problema derivada de una insuficiente representación mental del mismo.
• Excesiva prisa por realizar cálculos numéricos y, por tanto, tendencia a usar estrategias superficiales (casi exclusivamente de identificación – datos, incógnita,…-) que, con frecuencia, les lleva a derivar los esfuerzos en lo secundario, en una parte, impidiéndoles captar o representar la totalidad primaria o fundamental.
• Insuficiente interiorización de las propiedades de las operaciones, las relaciones entre ellas y sus significados (muchas veces derivadas de la práctica de cálculos descontextualizados, y al margen de la RP, en las que sólo se manejan números y no cantidades determinadas de magnitudes)
• Dificultad en la organización de los elementos utilizados en la resolución (textos, cálculos- sobre todo cuando realizan “cuentas”verticales unas al lado de otras-, gráficos, etc).

Esta aplicación brinda una importante ayuda al alumnado en el proceso de resolución ya que le facilita los elementos del problema que él tiene que relacionar adecuadamente para encontrar la solución.

Invito a los/as  maestros/as que aún crean que lo esencial de la resolución de PAEV reside en los números o en los cálculos algorítmicos - de la naturaleza que sean-,  a practicar con esta otra aplicación que no es sino una variante de la anterior. ¡En ella se proponen 80 problemas sin números en torno a 20 situaciones problemáticas! (con 148 soluciones diferentes)

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Invito desde aquí al profesorado a probar estas aplicaciones en las aulas. Agradecería cualquier comentario en relación con su puesta en práctica.

Cálculo mental contextualizado de porcentajes sencillos

Las siguientes aplicaciones están incluidas en la macroaplicación "kit internivelar para la enseñanza-aprendizaje de fracciones, decimales y porcentajes". No obstante creo que es conveniente que las relacione aquí con el fin de que pasen menos desapercibidas.

"Rebajas 10%, 15%, 20%, 25% y 50%" implementa el mismo modelo TIC que "Compro, pago, me devuelven" y es un complemento de la misma, pues también utiliza el contexto de situaciones de compra para favorecer el desarrollo del cálculo mental manejando significativamente porcentajes sencillos de gran aplicación en la vida real.

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Las dos aplicaciones que se integran aquí bajo el título "Resolución asistida de problemas con fracciones" son una mejora de las que aparecen incluidas en "ProblemáTICas Primaria".

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Estas aplicaciones están relacionadas, a su vez,  en la colección "Biblioteca_Manipulables_Virtuales_Matemáticas_IV" ( dedicada a modelos y metamodelos_TIC de resolución de problemas)

Potencias y raíces.

Os ofrezco esta nueva aplicación sobre un contenido que aún no había desarrollado convenientemente.

Está dirigida a alumnos y alumnas del tercer ciclo de la Educación Primaria. También puede venir bien para la atención a la diversidad en ESO.

Fiel a mi estilo, he procurado integrar en ella actividades curriculares relevantes y no rutinarias, que son justamente las que yo realizo con mis alumnos.

Este contenido suele tratarse tradicionalmente con una aridez que causa tedio. En parte, ello se debe a la escasez de situaciones problemáticas propias de Primaria que requieren el  uso de potencias (y mucho menos, el uso de raíces).

Al margen de interesantes situaciones constructivo-experimentales que sirven para entender y visualizar conceptos como 'elevar al cuadrado' (serie de los CUADRADOS PERFECTOS) y 'elevar al cubo' (serie de los CUBOS PERFECTOS), o para percibir la 'potencia' de las potencias - como en la leyenda del tablero de ajedrez y los granos de trigo- no existen problemas propiamente de potencias y raíces. Todos los que se proponen en los libros de texto de Primaria son reducibles a hallar el lado de un cuadrado conocida su área, o viceversa.

Es importante tener en cuenta que la didáctica actual de las matemáticas se opone a la enseñanza/aprendizaje del algoritmo tradicional de la raíz cuadrada, por razones obvias. En su lugar, como se hace en esta aplicación, se propone utilizar los significados gráfico y numérico del concepto 'raíz cuadrada' para realizar procedimientos más comprensivos que permitan determinar el valor aproximado de la raíz de un número...

El procedimiento numérico que aquí se propone se apoya en el uso de la calculadora. Requiere saber multiplicar un número (natural o decimal) por sí mismo y comparar el resultado obtenido con otro número (N) cuya raíz se quiere calcular. Es un proceso basado en la estimación en el que se va obteniendo una sucesión de números que se aproximan - por exceso o por defecto- a N, es decir, una sucesión que converge en N (límite de la sucesión). Por este procedimiento el alumnado interioriza que puede aproximarse a N con tanta precisión como desee...

El procedimiento gráfico-numérico de aproximación a la raíz cuadrada de un número que aquí se ilustra es un proceso eminentemente constructivo. Para hallar la raíz cuadrada de un número natural N, tratamos de construir un cuadrado con N unidades cuadradas de área. Se apoya en la serie de los cuadrados perfectos y requiere, como conocimientos previos, el dominio de la equivalencia decimal de las fracciones básicas. Cuando se comprende, permite acotar superior e inferiormente el valor de la raíz cuadrada de N de manera sencilla y en pocos pasos.

Son precisamente estos procedimientos aproximativos los que involucran actividad matemática relevante, y no el hecho de obtener un valor muy preciso de la raíz de un número. Esto último está al alcance de una calculadora, una máquina que no piensa ni razona...

Se aprovechan las potencias de 10 para favorecer la comprensión del número en relación con nuestro sistema de numeración decimal (a través de su descomposición polinómica usando potencias de 10). Más novedosa e interesante es la conexión que aquí se propone entre las potencias y la composición/descomposición multiplicativa de números a partir de factores primos. Se trata de una situación lúdica que conecta con contenidos de 'divisibilidad', que permite desarrollar un dominio efectivo del cálculo con potencias y que favorece el descubrimiento de las propiedades fundamentales de las mismas (que serán estudiadas formalmente en ESO)

Seminario de Matemáticas Activas

Ramón Galán G. y Ángel Alsina P.

Durante la celebración de las XXXII Jornadas de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas organizada por la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas "Isaac Newton", he tenido la ocasión de conocer, charlar y compartir puntos de vista profesionales, entre otros, con Ángel Alsina y un gran maestro: Ramón Galán (Coordinador de Islas dentro de la Sociedad)

Ramón es un maestro apasionado por la Didáctica de las Matemáticas. Activo, entusiasta, incansable en su labor divulgativa y en su empeño por dotar a la matemática escolar de significados...

Es muy conocido en las Islas Canarias y lleva ya muchos años poniendo todo su saber y entusiasmo al servicio de la formación del profesorado... Le encanta diseñar material didáctico para el franelograma ( y aún más explicar su interés didáctico) y realizar vídeos divulgativos...

Fue Ramón quien clausuró las Jornadas con una originalísima presentación en la que relacionaba sencillos patrones matemáticos y creatividad musical...

Gran parte de su trabajo la presenta en su blog SEMINARIO DE MATEMÁTICAS ACTIVAS, que os facilito a continuación:

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Fue también muy enriquecedor para mí cambiar puntos de vistas con Ángel Alsina (Universidad de Girona) que realizó la conferencia inaugural "¿Cómo desarrollar la competencia matemática desde las primeras edades? Contribuciones de la Educación Matemática Realista (EMR)." y desarrolló el taller Vivir y tocar las matemáticas en educación infantil y primaria.

Como muestra del trabajo de Ángel Alsina, os dejo este documento, en formato .pdf, titulado Educación matemática en las primeras edades desde un enfoque sociocultural, publicado en la revista Aula de Infantil. 

(En el post titulado Evaluación de Contenidos Educativos Digitales Multimedia _ Matemáticas (CEDMMat)  ofrezco la presentación interactiva que utilicé para el desarrollo de un taller del mismo nombre durante las jornadas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas aludidas)

Cálculo mental contextualizado para todos los niveles de Primaria (Situaciones de compra)

Siguiendo las sugerencias de maestros/as de mi colegio, he modificado la aplicación "COMPRO_PAGO_ME DEVUELVEN" para hacerla más versátil, de modo que pueda proponer retos asequibles a los/as alumnos/as en cada uno de los niveles y ciclos de Educación Primaria. La versión original contemplaba sólo 2 ó 3 sumandos (artículos o productos comprados) y no se podía elegir que los precios fuesen exclusivamente números naturales. 

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El título de esta aplicación ya da una idea bastante aproximada tanto de su contenido como del objetivo que persigue.

Tengo que decir que ésta es una de las aplicaciones favoritas de los/as alumnos/as de 4º y 5º de mi colegio. Les encanta practicarla, sobre todo con la pizarra digital interactiva.

Todos/as manejamos dinero de manera cotidiana. Todos/as realizamos compras de algún tipo y realizamos, en mayor o menor medida, cálculos en relación con el precio total, con la cantidad que nos tienen que devolver si pagamos con..., o incluso determinar cuánto nos ha podido costar un determinado producto si sabemos el precio total y el de los restante productos comprados...

El atractivo añadido de esta aplicación es el apoyo visual que confiere al cálculo mental, que facilita tanto la retención de las cantidades parciales manejadas como la descomposición de las mismas para ajustar los cálculos necesarios. Por otra parte, como se puede comprobar, favorece la realización de múltiples cálculos sin tener que escribir ni un sólo número en las opciones <pago exacto> y <devolución exacta>. 

Como es habitual en las aplicaciones de didactmaticprimaria, no sólo se ofrecen opciones en relación con la tipología de actividad a realizar, también se permite configurar una determinada tipología en varios niveles de dificultad. Aquí, para las dos primeras opciones, se puede trabajar con 1, 2 ó 3 sumandos (aparecen una, dos o tres imágenes o productos, respectivamente, con cada nuevo problema).

Además, se ha añadido la posibilidad de trabajar exclusivamente con números naturales o bien con naturales y decimales conjuntamente. Por otra parte, la aplicación permite trabajar con EUROS, LIBRAS ESTERLINAS, PESOS MEXICANOS Y DÓLARES U.S.A. De esta manera, la aplicación presenta un buen número de configuraciones posibles de la tarea a realizar. Ello aumenta considerablemente la versatilidad, funcionalidad e interés didáctico de la misma, proponiendo retos asequibles para alumnos de cualquier nivel de Primaria y de países diferentes...

(Habría sido interesante que la moneda única sudamericana - moneda propuesta para ser la moneda de curso legal en los doce países miembros de la Unión Sudamericana de Naciones y reemplazar a las siguientes doce monedas: Peso argentino, Boliviano, Real brasileño, Peso chileno, Peso colombiano, Dólar estadounidense (en Ecuador), Dólar guyanés, Nuevo sol peruano, Guaraní paraguayo, Dólar surinamés, Peso uruguayo y Bolívar venezolano- se hubiera ya creado y entrado en vigor...)
No obstante, en la medida que disponga de tiempo - y pensando en los/as alumnos/as sudamericanos- mejoraré las aplicaciones en las que utilizo euros para que puedan manejar, también, algún tipo de moneda genérica...

¿Cuántos problemas distintos propone esta aplicación en cada tipología o para cada configuración concreta? Un número indefinido de ellos, tantos como se desee, ya que el ordenador los genera de manera aleatoria. Por otra parte, cambiar de problema es tan fácil como pulsar la tecla <espacio>..