Propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas. Ciclo Medio. Educación Primaria

Desde el centro de recursos para enseñar y aprender matemáticas del Departamento de Enseñanza de la Generalitat de Catalunya (cesire/creamat), se nos ofrece este documento que  recoge algunas propuestas para ayudar a desarrollar los contenidos clave de matemáticas en el ciclo medio de la Educación Primaria.

(Ver a pantalla completa)

Este documento, en lo referente a las operaciones básicas, se podría completar y matizar, con este otro de David Barba y Cecilia Calvo:

(Ver a pantalla completa)

También es interesante contar con esta otra visión de las operaciones centrada en algoritmos Abiertos y Basados en Números (aunque no comparto algunas afirmaciones que se hacen en el documento tales como " ...algoritmos ABN = la senda para alcanzar competencia matemática" -porque excluye otras sendas más relevantes -; "Las viejas cuentas son la causa fundamental que impide que los alumnos sepan resolver problemas"- cuando todos sabemos el papel determinante , entre otros, del pensamiento,  la afectividad, la metacognición y las habilidades lingüísticas-  y, sobre todo, "El cálculo basado en algoritmos ABN aumenta notablemente la capacidad de resolución de problemas" - porque la realización de cálculos, incluso en los problemas típicamente aritméticos, es una de las fases finales del proceso y no precisamente la más relevante, a no ser que se considere como "problema" realizar un determinado cálculo .  Ver artículo anterior a éste en este mismo blog-) :

(Ver a pantalla completa)

Comparto, en lo esencial, los enfoques y propuestas recogidos en estos documentos en lo relativo al tratamiento del bloque aritmético (a mi juicio los otros bloques no están suficientemente bien tratados en el primer documento) Pero, dado que no aluden a recursos educativos (impresos, manipulables físicos o virtuales, ...) que pudieran utilizarse  para este fin coherentemente con estos enfoques, me voy a permitir enriquecerlos  sugiriendo aplicaciones (contenidos educativos multimedia) que se ofrecen en este blog, para cada una de las propuestas realizadas. Me voy a limitar al apartado OPERACIONES con el fin de que este post no sea demasiado extenso.

Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)

En Imágenes y modelos dinámicos para estimular explicaciones, razonamientos y argumentaciones en Matemáticas  ya traté el desarrollo de competencias lingüísticas en el contexto de interpretación de situaciones cuantitativas no verbalizadas. 

El documento que ofrezco en este artículo se centra en el análisis de un método de resolución de PAEV  que pone el énfasis en hacer explícita la estructura del problema a dos niveles: el del procesamiento lingüístico (que lleva a la expresión prealgebraica de la igualdad directriz del problema) y el del procesamiento matemático (que traduce la anterior en forma de expresión algebraica que es la solución del problema).

De esta manera se hacen especialmente patentes en el contexto de RP las interrelaciones entre competencias lingüísticas y matemáticas (Leer, Pensar y Razonar, Hablar, Argumentar, Escuchar, Escribir, Comunicar, Construir modelos, Plantear y resolver problemas, Representar, Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico,...)

La presentación que sigue pretende ser eminentemente práctica.  Además de enlazar con documentos teóricos, presenta un buen número de enlaces a aplicaciones TIC que pueden ser integradas en nuestras programaciones para trabajar de manera diferente cada uno de las fases del método. Presenta, además, enlaces a baterías de problemas no rutinarios ( en formato .pdf) atendiendo a diferentes estructuras, niveles y modelos de resolución de este tipo de problemas.

Espero que os sirva para vuestra práctica en el aula.

"Si España fuese un pueblo de 100 habitantes.." Estadística en Primaria.

De manera análoga al vídeo de Adrián Paenza " CIFRAS IMPORTANTES DEL MUNDO", ofrecido en un post anterior, el objetivo del vídeo que sigue es transmitir de forma sencilla la utilidad de las estadísticas oficiales para reflejar la sociedad en que vivimos. En este caso, los datos no se refieren al mundo entero sino que se circunscriben a España.

No cabe duda de la utilidad del vídeo como recurso didáctico, sobre todo si se ha realizado con tal fin. Si contamos con una PDI en el aula, mejor que mejor.

En este caso, el vídeo comunica numerosos datos relativos (se trata de porcentajes, obviamente, ya que, como indica el título, hacen referencia a 100 habitantes) y simplificados (se utilizan sólo números naturales en la presentación) sobre diferentes aspectos sociales que están al alcance y dentro de la zona de interés de alumnos y alumnas del tercer ciclo de Educación Primaria. Tanto para poder presentar los datos de esta manera tan sencilla como para su correcta interpretación, se requiere un correcto dominio del RAZONAMIENTO NUMÉRICO PROPORCIONAL (que conecta contenidos de matemáticas fundamentales del tercer ciclo: multiplicación/división, fracción, fracciones equivalentes, fracción de un número, tabla de proporcionalidad, interpretación de gráficas,...)

En varios post de este blog (Razonamiento proporcional y multiplicación, Métodos especiales de resolución de problemas aritméticos. Problemas de móviles en Primaria,...) he opinado sobre la importancia del desarrollo de este tipo de razonamiento (que todos los/as alumnos/as tienen en mayor o menor grado) para el logro de competencias matemáticas y he sugerido un enfoque natural y nada artificioso en su enseñanza aprendizaje que se basa en la construcción  e interpretación de TABLAS DE PROPORCIONALIDAD (las tablas de multiplicar pitagóricas, o tablas tiempo/espacio -para un móvil con velocidad constante- son casos particulares de las mismas) como paso previo a posteriores formalizaciones y, sobre todo, para poner de manifiesto con mayor rotundidad las propiedades esenciales que entran en juego en el razonamiento numérico proporcional.

Evidentemente nos estamos refiriendo a la proporcionalidad directa, que es inherente a la multiplicación.

Dado que multiplicación/división conforman un mismo campo conceptual, el  más importante, sin duda,  en las matemáticas de 3º ciclo de Primaria y puesto que con frecuencia un buen número de maestros/as no suele percatarse o asumir que temas como la DIVISIBILIDAD  o la PROPORCIONALIDAD no son sino el tratamiento de ese mismo campo conceptual desde miradas o  perspectivas ligeramente diferentes, voy a volver a insistir, aquí, en ciertos aspectos didácticos del mismo aprovechando que el vídeo que encabeza este post trata sobre "proporcionalidad directa", es decir, sobre multiplicación/división.

Como se muestra en la imagen anterior, la proporcionalidad directa es inherente a la multiplicación, es decir, consecuencia directa de la misma. Por tanto, la proporcionalidad directa "hereda" las propiedades de la multiplicación. No obstante, sería un tanto "artificioso" calcular el valor de la incógnita (¿?) estableciendo una proporción y haciendo uso de la regla de tres. Mucho más natural es recurrir a resultados previos (hechos numéricos)  más sencillos haciendo uso de la importantísima propiedad distributiva (que equivale a poder multiplicar "por partes"): 12 x 7 = (10 + 2) x 7 = 70 + 14; 12 x 7 = (3 + 3 + 3 + 3) x 7 = 21 + 21 + 21 + 21 ; 12 x 7 = (6 + 6) x 7 = 42 + 42; etc...

Esta es la estrategia fundamental que asegura más comprensión y competencia en el cálculo multiplicativo y proporcional.

¿Es novedoso el llamado "Método Singapur" de matemáticas?

Hace unas semanas un docente chileno me felicitaba por los contenidos educativos de este blog y me preguntaba si en la concepción didáctica de los mismos subyacía  el “nuevo Método Singapur”, método que desde 2011, y de manera voluntaria, se está experimentando en Chile y otros países latinoamericanos movidos por el éxito que el pequeño país asiático (Singapur, con algo menos de 5,5 millones de habitantes) viene alcanzando en pruebas evaluativas internacionales de Matemáticas tales como Timss y PISA.

Este comentario_pregunta me movió a interesarme de manera especial por el método aludido, que no conocía...

• ¿Cómo se presenta el método? ¿Cómo se concreta por parte de algunas editoriales?

...La fórmula, que tiene a Singapur como líder de las mediciones Timms a nivel mundial, se está perfeccionando en las aulas de casi 300 colegios y liceos de Chile, tanto del sistema público como privado y su eficacia está basada tanto en factores técnicos como valóricos:

• Las matemáticas no se enseñan a partir de números ni tampoco desde una pizarra.

• La introducción de los conceptos se inicia con una vivencia del propio alumno, luego se refuerza con una representación pictórica (figuras de plástico) y finalmente se suma la abstracción.

• Los alumnos son los que hablan de sus experiencias, no los profesores. La idea es que los niños relacionen las matemáticas con su propia vida.

Fuente: Biblioteca del Congreso Nacional de Chile.

“Lo más interesante es que el método usado en Singapur contrasta con lo que pasa en los países angloamericanos y su influencia en otros como en Chile. Acá se usa el llamado currículo en espiral que aísla pocas ideas, pocas nociones matemáticas y las  trabaja con plenitud y en profundidad. Si uno abre un libro de matemática estadounidense o nuestro verá grandes teorías, fórmulas, ejercicios, mucho contexto y variedad, pero en Singapur usted verá menos cosas, demasiado humilde quizás, pero ahí hay una profundidad pedagógica tremenda. Es decir tenemos menos contenido pero profundo y luego eso ayuda a seguir adelante”, explica la Dra. Lorena Espinoza.

El enfoque metodológico CPA alude a la progresión desde lo concreto a lo pictórico (imágenes),para finalizar con lo abstracto (símbolos).

He aquí una presentación sobre los "Fundamentos del Método Singapur"

Vídeo. Fuente: Youtube //Biblioteca del Congreso Nacional de Chile.

.Presentación del método from Analía Genauer

He aquí algunos materiales de la editorial Santillana, en formato .pdf, que concretan el Método gráfico Singapur de resolución de problemas en el curso inicial:   Libro alumno   ///   Libro maestro.

En el blog Matemáticas Maravillosas se encuentra mucha más información, imágenes y enlaces para conocer a fondo el "Método Singapur".

• ¿Es un método novedoso?

Después de investigar un poco sobre el llamado “Método Singapur” y "Método gráfico Singapur", sin pretender entrar a analizar las claves o variables de las que pueda depender su éxito, adelanto ya que me parece un buen enfoque para la enseñanza-aprendizaje de la matemática, que se puede llevar perfectamente a cabo al margen de las propuestas concretas de determinadas editoriales (si bien éstas pueden ser una ayuda valiosa para muchos/as maestros/as, también pueden limitar y condicionar a otros/as) y con gran diversidad de materiales manipulativos  (analógicos y digitales) y que no me parece que aporte innovación o novedad relevante (como argumentaré más adelante) sino que hace hincapié en aspectos  didáctico-metodológicos relevantes que vienen siendo asumidos en las mejores prácticas y forman parte de los estándares internacionales para la enseñanza-aprendizaje de la matemática: progresión de lo concreto a lo abstracto pasando por lo gráfico-pictórico; aprendizaje progresivo de conceptos - retomar los mismos contenidos pero con diferente grado de avance-; variaciones graduales en la dificultad de las tareas o retos propuestos; una matemática no enfocada en los cálculos, ni en la memorización, ni en procedimientos o fórmulas sino en la comprensión y los significados, en el uso de estrategias flexibles de razonamiento y de resolución de problemas, etc...

Entiendo el interés especial (comercial) de las editoriales por presentar como muy novedoso lo que no lo es tanto (“el auténtico Método Singapur”, es la ortodoxia que se propone y se anima a seguir fielmente la secuencia de actividades propuesta). Con frecuencia, los métodos, así concebidos, son ante todo eficaces denominaciones para conseguir objetivos eminentemente comerciales. Muy a menudo la etiqueta, la denominación, precede a la totalidad del contenido, con la intención de sugerir y delimitar algo muy novedoso, cuando no revolucionario, que sólo está dentro del método, que a su vez se concreta, de manera ortodoxa, con unos determinados materiales de unas determinadas editoriales... No en pocos casos el “método” se confunde con la propuesta concreta del mismo hecha por una determinada editorial, que no niego que suponga una buena ayuda orientativa, pero que no debe convertirse en una restricción más o menos dogmática de enfoques más abiertos. Puede ocurrir, incluso, que los métodos sirvan para crear, de manera maniquea, clases de profesores (los que llevan un determinado método a cabo de manera “ortodoxa”, claro está, y los que no), lo que puede conllevar, desde determinadas instancias educativas, a valoraciones poco precisas, incluso injustas, del desempeño profesional de estos docentes…

Más que formarse en un determinado método, el profesorado debe formarse, a mi juicio, en epistemología y didáctica de la matemática, en el conocimiento comparado y análisis de los recursos más adecuados para apoyar su trabajo; y estar perfeccionándose continuamente como profesionales. 

Me reafirmo en  mi convicción personal: no soy partidario de métodos concretos concebidos como “modos ordenados y sistemáticos de proceder, en general, en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas” cuando éstos son inflexibles. Sí creo, en cambio, en determinados enfoques metodológicos, flexibles, contrastados por la Didáctica de la Matemática, en las claves que conducen a unas mejores prácticas y en principios que se recogen muy bien en los Nuevos Estándares para la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática.

Según se muestra en algunos vídeos, lo que el profesorado más valora es la disponibilidad de material didáctico en cantidad y calidad suficiente como condición previa para una educación matemática atractiva y de calidad. Si los centros educativos que experimentan con este método reciben una dotación especial de material didáctico, el método es acogido, lógicamente, como  una bendición... En este aspecto me llama la atención que en el método la tecnología no sea un componente esencial del entorno de enseñanza-aprendizaje. No tiene en cuenta la integración de las TICs a las que alude el gobierno de Chile, ni las posibilidades que éstas ofrecen  para el desarrollo de nuevas habilidades, también desde los niveles básicos; ni al aprovechamiento de la ingente cantidad de contenidos educativos digitales abiertos y gratuitos disponibles en la red, ni a su potencial para compensar carencias y desigualdades... ni al uso pedagógico de materiales y recursos TIC". Las matemáticas no se enseñan a partir de números ni tampoco desde una pizarra", se decía en la presentación del método. Sin embargo una  pizarra digital nos puede permitir que los/as alumnos comiencen a experimentar materiales más versátiles que los típicos materiales analógicos, modelos interactivos adecuadoa a su edad, etc...

Esta reflexión me lleva de nuevo al comentario-pregunta inicial de mi colega chileno para responder indirectamente a la pregunta que me hacía. Muchos de los contenidos educativos de este blog surgieron, al margen claro está del método Singapur, con una intención claramente compensadora de desigualdades- de hecho, mi centro de trabajo durante muchos años fue centro de actuación educativa preferente, o de compensatoria, si se desea-. Dado que el material didáctico analógico es caro y muchos centros no  lo pueden conseguir en cantidad suficiente, comencé a diseñar versiones digitales de los correspondientes analógicos (bloques multibase, ábacos, reloj didáctico, balanzas numéricas, juegos de polígonos para composición de figuras, juegos de poliedros, pizarras geométricas y otros muchos materiales para "construir la geometría", juego de fracciones, formatos interactivos para el cálculo pensado, cartulinas multiproblemas,  una gran variedad de modelos dinámicos interactivos, etc...). Me di cuenta, pronto, que el diseño - con Flash, en mi caso- me permitía concebir y realizar materiales digitales novedosos cuya implementación analógica no es posible... Así, cuando llevaba a mis alumnos/as al aula de ordenadores, todos podían "manipular" un buen número de materiales digitales con enorme facilidad. Internet me ha permitido, luego, compartir estos materiales para que puedan ser aprovechados por alumnos/as de cualquier lugar del planeta, en especial los de habla hispana.

 

Pero, me estoy extendiendo demasiado y, como indiqué anteriormente, quisiera argumentar a continuación cada una de las razones por las que, aunque correcto y bien enfocado, no me parece novedoso el método Singapur. Todo ello porque me servirá, a su vez, de pretexto para tratar sobre interesantes cuestiones didácticas:

Simulaciones de móviles con velocidad constante y razonamiento matemático en Primaria.

Desde didactmaticprimaria.com, se ofrece  un nuevo recurso educativo digital.

Como complemento a la lección interactiva ofrecida en la entrada anterior de este blog (Métodos especiales de resolución de problemas aritméticos. Problemas de móviles en Primaria.), y siguiendo las consideraciones didáctico metodológicas que en la misma se hacen, he desarrollado esta nueva aplicación que va dirigida, como nivel/es de referencia, a alumnos/as de 10 años (5º de Primaria) en adelante.

En la concepción teórica e implementación técnica de esta aplicación subyace el enfoque de "educación matemática realista", basada en la resolución de problemas (o retos). Toma como base teórica los trabajos de Vigostky, quien sostiene que el aprendizaje no está supeditado al desarrollo, sino que éste puede ser potenciado por las prácticas de enseñanza (tradicionalmente no se tratan en Primaria problemas de móviles sino que se postponen para Secundaria y, además, se resuelven de manera algebraica, haciendo uso de las ecuaciones. Aquí, en cambio, se utiliza fundamentalmente la experimentación -simulación-, el razonamiento numérico proporcional que todo alumno tiene en mayor o menor grado, las operaciones básicas y métodos aritméticos y gráfico-geométricos). Teniendo en cuenta las conceptualizaciones de Vigostky en torno a la zona de desarrollo próximo, las simulaciones (o modelizaciones)  constituyen un inmejorable andamiaje intuitivo sobre el que apoyar el razonamiento matemático que permite resolver los numerosos retos propuestos...

Los modelos interactivos pueden ser utilizados para que los alumnos/as hagan sus hipótesis, expresen sus argumentos, adelanten soluciones aproximadas o exactas y verifiquen lo acertado o no de sus conjeturas.

Requiere, como único conocimiento previo, el concepto intuitivo de velocidad que los/as alumnos/as de estas edades tienen (derivado de la frecuencia de su uso social en competiciones, carreras, automóvil familiar, etc...). Puesto que se trata de una magnitud que expresa, a su vez, la relación entre dos más sencillas (espacio recorrido y tiempo empleado), conviene profundizar en el significado de esta relación, sobre todo en orden a desarrollar el razonamiento numérico proporcional que los alumnos de estas edades poseen em mayor o menor grado. Mientras velocidad y espacio son magnitudes directamente proporcionales, velocidad y tiempo son magnitudes inversamente proporcionales...
No se propone aquí el tratamiento formalizado de los contenidos del bloque de PROPORCIONALIDAD (propio de Educación Secundaria) pero sí se persigue favorecer, como ya se ha dicho, el razonamiento numérico proporcional utilizando diferentes métodos de resolución de problemas aritméticos: reducción a la unidad, uso de tablas de proporcionalidad, métodos gráfico-geométricos...
Comienza enseñándoles a utilizar el cronómetro para medir tiempos con precisión. Además, los botones del cronómetro sirven para controlar el movimiento (iniciarlo, detenerlo, reiniciarlo) de los diferentes móviles (coches, corredora, insectos,..) que se utilizan en las simulaciones. Se invita a los/as alumnos/as a que realicen tantas simulaciones como deseen - manipulación de modelos gráficos interactivos-, calculen las velocidades a las que se mueven diferentes coches que recorren un mismo circuito a diferentes velocidades, o las diferentes velocidades  de varios insectos, etc...; se profundiza, desde varias ópticas, en la simulación y análisis de diferentes problemas de móviles ( cuando marchan en sentidos opuestos para encontrarse; cuando parten en el mismo instante, desde el mismo punto y con velocidades diferentes; cuando parten desde el mismo punto, en la misma dirección pero uno aventaja al otro); etc...

Los retos propuestos (aproximadamente setenta) son realistas, poco rutinarios (no se busca la aplicación mecánica de una fórmula sino el uso del razonamiento numérico proporcional) y variados. 

La aplicación está perfectamente adaptada para su utilización con PDI, pudiendo completarse campos numéricos y de texto haciendo uso de los botones de teclado que aparecen en las diferentes pantallas que lo necesitan. De análoga manera, otras pantallas permiten hacer visible, o invisible, una calculadora. Se informa al instante de lo correcto o incorrecto de los datos introducidos por el usuario.

(Ver a pantalla completa)

Métodos especiales de resolución de problemas aritméticos. Problemas de móviles en Primaria.

(Ver a pantalla completa)

Freudenthal y la Educación Matemática Realista (EMR)

Voy a comenzar este post presentando un magnífico applet de Java (tanto desde el punto de vista técnico como el didáctico) que podemos encontrar entre los que ofrece, para la educación matemática primaria,  el Freudenthal Institute (Utrecht University).

Aunque este applet no está en castellano su funcionamiento es bastante intuitivo. Presenta diferentes apartados que permiten desarrollar y consolidar habilidades de visualización, representación e interpretación espacial a partir de modelos geométricos tridimensionales que se pueden girar en el espacio 3D.

Así, por ejemplo,  en la opción "Vrij bouwen" se pueden diseñar libremente construcciones poilicúbicas y estudiar sus diferentes vistas espaciales. En la opción “Draaispel”, el reto propuesto con cada nuevo problema consiste en rotar el modelo policúbico tridimensional hasta que su vista frontal coincida con la silueta ( en negro) dada. En otras opciones hay que construir el modelo cuyas vistas se dan, etc...

(Ver a pantalla completa)

Las diferentes opciones que se brindan en este excelente applet permiten ilustrar y  adentrarnos en " el uso didáctico de modelos en la Educación Matemática Realista", en  la correcta interpretación de las situaciones_problema y de los contextos "realistas" en la educación matemática, en la modelización matemática en contextos tecnológicos...Pero, ¿qué es "Educación Matemática Realista"?

Grados de innovación, interactividad y generalidad de los contenidos educativos digitales para Matemáticas.

No todo lo parecido es igual. Esto parece obvio, casi una perogrullada. Aplicando esta afirmación al caso concreto de los contenidos educativos digitales para el área de Matemáticas que se difunden por la red, nos encontramos con múltiples contenidos que tratan una misma temática, a veces una temática muy concreta, y que, sin embargo, pueden presentar diferencias notables en relación con el grado de innovación que implementan, el grado de interactividad - del lado del usuario - que permiten, el grado de generalidad con que se abarca el contenido, el enfoque didáctico subyacente, la estética, etc...

Todos los contenidos educativos, al igual que todos los libros, tienen algo aprovechable y bueno. Pero es tal la cantidad de contenidos educativos a los que podemos acceder, tan elevado el número de personas que realiza sus listados propios - de acuerdo con sus saberes, preferencias, intereses,...-, tan dispar el grado de publicidad y marketing que reciben unos con respecto a otros, etc... que parecemos estar inexorablemente abocados a  la infoxicación.

Cierta ausencia o bloqueo de la capacidad de análisis y procesamiento, o intereses muy particulares, se manifiestan en numerosos listados de contenidos en blogs personales y de aula, en repositorios, etc... En muchos de ellos parece que el único criterio de ordenamiento es la libre yuxtaposición de contenidos en relación con una temática. Consecuencia de lo anterior es que, con mucha frecuencia, aparecen listadas microaplicaciones elementales al mismo nivel que macroaplicaciones complejas, se relacionan, al mismo nivel, aplicaciones que suponen una amalgama de enfoques metodológicos diferentes, etc... En no pocos casos se publicitan con mayor énfasis las aplicaciones más mediocres a sabiendas que puede más el marketing que los análisis personales sobre la calidad y conveniencia de un determinado contenido educativo - o de un conjunto más o menos homogéneo de contenidos-. Con demasiada frecuencia, y con toda naturalidad, sumamos caos al caos...

 (Tengo pensado dedicar algunos post sobre esta temática concreta).

Al margen de la libertad y legítima defensa de los intereses particulares que cada uno tenga, considero que es fundamental que el profesorado desarrolle, como parte de su conocimiento profesional docente, hábitos y habilidades de análisis sobre el interés didáctico de los contenidos educativos que maneja.

Como ese, precisamente, es uno de  los objetivos  de este blog, y aunque las comparaciones resultan odiosas, me voy a servir de dos aplicaciones que tratan, ambas, de una curiosa manera (Método de Montecarlo) de calcular, de manera aproximada, el área de una figura. Puede resultar muy interesante y enriquecedor para los maestros/as que no lo conozcan. Hay alumnos del tercer ciclo de Primaria que lo comprenden, pues sólo requiere, como conocimiento previo, entender perfectamente el concepto de relación o cociente entre dos cantidades. 

Creo que ambas aplicaciones merecen, como mínimo, el calificativo de buenas. Sin tener en cuenta que una está realizada con Java (la segunda) y otra con Flash (la primera), se pueden descubrir diferencias notables entre ellas:

Primera aplicación (incluída en "Laboratorio Básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria")

 

(Ver a pantalla completa)

Segunda aplicación (incluida en materiales educativos para Primaria del Proyecto Gauss)

(Ver a pantalla completa)

¿Cuáles son esas diferencias? ¿Son diferencias relevantes? ¿Se aprecian con facilidad o, por el contrario, requieren detenimiento y saberes específicos?

Los cometas, unos cuadriláteros muy especiales.

He aquí la clásica y habitual clasificación de los cuadriláteros:

No tengo nada que objetar a la corrección e idoneidad de esta clasificación - basada en la relación de paralelismo de los lados- si bien, evidentemente, no es la única posible. Así, por ejemplo, podríamos establecer en el conjunto de los cuadriláteros, una primera relación: "tener dos diagonales perpendiculares". Con ella la clase de los cuadriláteros quedaría partida en dos clases disjuntas: los que tienen dos diagonales perpendiculares (todos los cuadrados, todos los rombos, determinados trapecios de cada una de las tres clases y determinados trapezoides) y los que no tienen dos diagonales perpendiculares (rectángulos, romboides, determinados tipos de trapecios y trapezoides). Esto nos llevaría a una clasificación evidentemente más compleja que la usual, con más clases. Haría falta utilizar más nombres de clases...(Es un ejercicio muy interesante)

Pero aún admitiendo que ésta (la de la imagen de arriba) es la mejor clasificación de los cuadriláteros, llama poderosamente  la atención la poca ramificación que presenta la clase de los trapezoides ( lo cual, por otra parte, no es de extrañar teniendo en cuenta la visión estática y estereotipada de los polígonos y lo relegado que ha quedado siempre el bloque de Geometría en relación con el currículo de matemáticas...). 

Parece, la de los trapezoides, una clase de cuadriláteros sin mayor interés, cuyos elementos tienen poco que ofrecer. Y, sin embargo, hay trapezoides de especial belleza y con regularidades visibles, como es el caso de los cometas. Presentan éstos un eje de simetría bilateral y dos vértices opuestos en los que, en cada uno de ellos, concurren dos lados de igual longitud. Los hay convexos ( cometas propiamente dichos)  y cóncavos ( dardos o puntas de flecha). Los trapezoides cometas, a su vez, pertenecen a una clase más general, la de los cuadriláteros con diagonales perpendiculares...

(Ver a pantalla completa)

Un poco de historia de las Matemáticas en cómic.

(Ver a pantalla completa)

 

Interesantísima presentación de Flash que hace un recorrido a través de las historia de las matemáticas.

Recurso educativo elaborado a través del Convenio Internet en el Aula, entre el MEC y las comunidades autónomas.

Puedes acceder a él en  http://ares.cnice.mec.es/matematicasep/index.html.