Metamodelos y modelos TIC (I) en la resolución de problemas.

Son numerosos los documentos teóricos y teórico/prácticos que abordan la resolución de Problemas Aritméticos Escolares Verbalizados (PAEV) - los que tienen mayor tradición en la escuela -. Son muchas, también, las propuestas que podemos encontar en la red ( en formatos .doc y .pdf, sobre todo) que ofrecen baterías de problemas escritos organizadas por edades o niveles, tipologías de problemas (según operación/es, según su semántica,...), etc...

Son escasísimas, en cambio, las propuestas que permiten abordar la resolución de PAEV desde el punto de vista de los "metamodelos o modelos". Presentamos aquí la definición dada por José Antonio Fernández Bravo (JAFB) en su documento "Metamodelos y modelos de situaciones problemáticas", muy explicativo y de enorme proyección práctica para el diseño de situaciones problemáticas:

Entendemos por "Metamodelos" cada una de las distintas clases de "modelos de situaciones problemáticas", presentadas a la actividad del alumno, capaces de generar ideas válidas para la invención, reconstrucción y resolución de problemas matemáticos.

A mi juicio, este enfoque favorece una visión amplia y rica de los aspectos más relevantes  a la hora de diseñar problemas. En el documento aludido, JAFB contempla 49 modelos diferentes de situaciones problemáticas agrupados en torno a seis clases o "metamodelos": Generativos, Estructuración, Enlaces, Transformación, Composición e Interconexión.

Si bien esta relación de modelos, bastante exhaustiva, parece estar pensada fundamentalmente para los PAEV y no para modelos de situaciones problemáticas_TIC -con muchísima menos tradición en la escuela y poco estudiadas por la Didáctica de la Matemática- y por tanto no contempla toda la presunta riqueza posible de situaciones_problemáticas_TIC,  sí permite en buena medida establecer un isomorfismo entre situaciones_problemáticas_verbalizadas y situaciones_problemáticas_TIC. Considero, por tanto, que es un buen documento de referencia para el diseño de situaciones problemáticas (sea cual fuere el modo de presentación) y, a la par, que la Didáctica de las Matemáticas tiene pendiente establecer un catálogo de "Metamodelos y modelos_TIC"...

Pero, ¿qué están aportando actualmente las TICs en la resolución de problemas (RP) en la escuela ?

En la respuesta a esta pregunta no será relevante, lógicamente, el hecho de que las TICs permiten, favorecen y potencian la divulgación y presentación de baterías de problemas escritos, ya que esto, en mayor o menor medida, ha sido posible sin las TICs.

Pretendemos profundizar en los aportes específicos de las TICs a la RP, partiendo de la hipótesis de que las TICs pueden ofrecer nuevos escenarios con nuevas posibilidades: corrección - autorregulación del proceso-, interactividad, mayor riqueza en los lenguajes de presentación, mayor variedad y control en las fases intermedias de resolución, mayor variedad en la forma de resolver un problema, etc...

Analicemos, por tanto, algunas propuestas que integran las TICs en la RP ( y que suponen una muestra bastante representativa de lo que se está haciendo al respecto):

• Usa el coco.

Propone situaciones problemáticas de razonamiento ( sin números, con números, continuar series, criptogramas,...) así como colecciones de problemas verbalizados (PAEV) con diferentes grados de dificultad - aunque no hay un criterio claro de clasificación de los mismos-. Cada problema presenta un campo de texto para la introducción de la solución (una palabra o un número). Permite evaluar la exactitud de la respuesta y ofrece información textual para reconducir la actividad de los/as alumnos/as en caso de error.

• Son muy interesantes desde el punto de vista didáctico las tareas propuesta para el desarrollo de Competencias Básicas elaborada por BGP. CEPR Pablo de Olavide. Prado del Rey. (Cádiz). Sin embargo se utilizan las TICs simplemente para proponer las tareas o acceder a informaciones complementarias para poder realizarlas. No presentan campos de texto para introducir respuestas ni corrección de las tareas, por lo que no proporcionan evaluación ni regulación de las actividades propuestas. No puede considerarse aquí, como una propuesta de integración de las TICs en la RP.

• Bertín, el gusanito de seda

Una pequeña propuesta de 32 PAEV, de sumar/restar y multiplicar, que apunta buenas maneras. Para cada problema aporta cierta interactividad puesta al servicio del proceso de resolución: asiste o guía la resolución del problema ayudando a distinguir e introducir los datos del problema y dando alguna pista sobre la estrategia a seguir...

• RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS por J. Hita y V. Jaén. Los problemas aritméticos a los que se ciñen, son los que pueden resolverse con las cuatro operaciones básicas y sus distintas combinaciones. El objetivo es resolver situaciones concretas por medio del razonamiento y del cálculo. Podríamos considerarlos como una propuesta de cálculo global (problemas que manejan números sencillos y deben resolverse mentalmente). Advierten que la propuesta que ofrecen en la red requiere haber trabajado previamente, de manera adecuada, las fases manipulativa y gráfica. Presentan una propuesta con 12 niveles (tengo que reconocer que no logro comprender el criterio de clasificación, y que no aprecio diferencias significativas entre los problemas de cada nivel). Para cada nivel la propuesta consta de una tanda de 10 PAEV.

Propone problemas de respuesta múltiple y de introducción del número_solución. Presenta un botón de comprobación de respuestas para cada tanda de 10 problemas propuestos. En el caso de que la respuesta sea incorrecta, muestra la respuesta correcta. Esta es la máxima interactividad que permite el diseño de esta sencilla propuesta con Web Question 2.

• Problemas elementales Tinglado I. Selección Rubio-Javier Escajedo.
• Problemas elementales Tinglado II. Enlaces.

Selección de problemas elementales para la Educación Primaria basados en el cálculo numérico en torno a las 4 reglas (sumar, restar, multiplicar y dividir). Son una adaptación de los clásicos "problemas Rubio" con la opción de realizarse (pulsando sobre una de las tres opciones de respuesta propuestas) y corregirse en línea. Se dirigen a niños y niñas de 7 a 11 años principalmente.

• Problemas elementales Mario Ramos. Mario Ramos-El Tanque. Aunque ofrece en su web un menú de fichas de problemas sencillos para la Etapa Primaria ( que se pueden descargar en formato comprimido .zip), clasificados según la operación/es que abordan, no se considera aquí una propuesta de integración de las TICs en la RP. No obstante, en los múltiples y diferentes materiales de matemáticas elaborados por Mario Ramos (proporcionalidad, porcentajes, etc...) analiza teórica y prácticamente procedimientos de cálculo y resolución utilizando tablas para completar datos que pueden considerarse ejercicios_problema con evaluación de la entrada o respuesta.

• Winmates. Esta página pretende ser un referente en el aprendizaje y refuerzo de los contenidos básicos de la Enseñanza Obligatoria: Primaria-ESO (6-16 años). "El núcleo de Winmates es la Resolución de Problemas" (ofrece fundamentación teórica al respecto). Presenta los problemas agrupados por Categorías (Comprensión, Operatoria Básica, Varias Operaciones, Geomeria, Ecuaciones, Proporciones, Medidas y SMD, Múltiplos y Divisores, Varios) y Dificultad (Fácil, Medio, Difícil). La presentación no es nada atractiva. La navegación no es cómoda. El espacio reservado en pantalla a la presentación del problema es reducida. La respuesta es siempre un número (entero o decimal). En ocasiones hay que justificar la respuesta con números y operaciones (operaciones indicadas).

• Problemas de El Quinzet. (resolución de problemas mentales o “problemas de cálculo global”). Aquí tienes una serie. No se consideran estas series una propuesta de integración de las TICs en la RP. También proponen en su web un enigma diario on line con acceso a la solución que sí puede considerarse como una propuesta de integración de las TIcs en la RP)
• Thatquiz. Principalmente concebida como área de práctica de matemáticas, esta web, totalmente gratuita, permite hacer fáciles ejercicios de esta materia. Como usuarios podemos acceder a las pruebas sobre cualquiera de las categorías, seleccionar el  número o nivel de las preguntas o marcar un límite de tiempo para la conclusión de la prueba si lo deseamos.

  Además, registrándonos como profesores, accedemos a una zona desde la que podremos utilizar esta aplicación para la elaboración de pruebas o exámenes. No se considera aquí una propuesta de integración de las TICs en la RP, ya que lo que se realizan son ejercicios. No obstante, con frecuencia utiliza imágenes y, a veces, cierta interactividad del lado del alumnado ( el alumno puede mover una regla para averiguar la longitud de un pez, por ejemplo).

  
  
• IXL. Con una presentación en la que se pueden leer frases como "Matemáticas para el cerebro izquierdo y derecho", "No te pierdas ni un momento de matemáticas", "Matemática práctica", "Matemática en su forma más fascinante", ... este sitio web, aparentemente prometedor, nos ofrece  los ejercicios típicos y tópicos, los de siempre, los que podemos encontrar en cualquier libro de texto...sólo que online y bien organizados por grados y contenidos. Es por ello que no se puede considerar aquí como una propuesta de integración de las TICs en la RP.
  
  

• GenMagic nos ofrece algunas aplicaciones en las que los problemas no responden ya a los típicos PAEV (La información necesaria para resolver el problema está distribuida en varias partes de la pantalla, de manera gráfica y textual, obligando al alumno a estructurar la información...)

El análisis sobre TICs y RP realizado en esta entrada continúa en Metamodelos y modelos TIC (II) en la resolución de problemas.

El lenguaje matemático de la belleza.

Ahora más que nunca el mundo en que vivimos se levanta sobre los números, algunos de los cuales tienen incluso nombre propio: el número pi (p), el número e... De todo el conjunto de números notables hay uno especialmente interesante: 1,6180339887...Resulta curioso saber que esta modesta cifra ha fascinado a lo largo de la historia a muchas más mentes brillantes que pi y e. Durante siglos ha recibido denominaciones de lo más llamativas: número de oro, proporción trascendental, número divino, divina proporción, etc. El número de oro, que se representa con la letra griega F (phi), habita un territorio de relaciones y propiedades numéricas increíbles, pero también de conexiones insospechadas entre la naturaleza y las creaciones humanas.

¿Qué tienen en común fenómenos naturales tan dispares como la disposicion de las semillas de una flor de girasol, la elegante espiral dibujada por las conchas de algunos moluscos y los brazos de la galaxia que nos acoge, la Vía Láctea? ¿Qué pauta geométrica de insuperable armonía se esconde en la obra de grandes artistas y arquitectos, desde Vitruvio a Le Corbusier pasando por Leonardo y Salvador Dalí? Aunque pareza increíble, la respuesta a estos dos interrogantes es un simple número; una cifra de apariencia humilde, conocidad desde la Antigüedad, cuya continua aparición en toda clase de manifestaciones naturales y artísticas le ha merecido apelativos tales como "divina proporción", "número de oro" o "proporción áurea".

La historia de las matemáticas es a veces sorprendente, y desde luego, siempre inesperada. El viejo numero áureo, tan geométrico, emparentó siglos después con unas fracciones que surgieron de una sucesión puramente aritmética. El artífice del matrimonio fue el más destacado matemático de la Edad Media, Leonardo Pisano (Pisa, 1170), más conocido como Fibonacci.

(La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza. Fernando Corbalán_2010.)

Fibonacci escribió obras de teoría de números, geometría y álgebra. Su obra más conocida, "Liber abaci" (Libro del ábaco), trata sobre el cálculo. A pesar se su título ambiguo, en ella trata de demostrar las ventajas de la utilización de la numeración decimal basada en las cifras arábigas sobre el modo de cálculo imperante en la Italia de su tiempo, basado en el ábaco y los números romanos. En "Liber abaci" , Fibonacci propone el famos problema de los conejos, cuya solución es la famosa sucesión aritmética ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) que hoy se conoce como sucesión de Fibonacci.

Problema de los conejos: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada vez otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?

Como se puede observar, un término de la serie de Fibonnaci se obtiene como suma de los dos términos precedentes. Una aproximación al número de oro se obtiene como relación o cociente entre un término de la sucesión y su predecesor en la misma. 21/13 será una aproximación mejor que 8/5...

Este magnífico vídeo de Cristóbal Vila toma como referencia la famosa sucesión de Fibonacci y, a partir de ella, nos adentra de manera magistral en una recreación de aspectos de la naturaleza que nos produce "esa extraña sensación llamada belleza" ligada, en este caso, al lenguaje matemático. No necesita ser comentado. En él se demuestra que una imagen vale más que mil palabras.

 

En este otro "regalo para nuestro ojos y nuestro espíritu", de Cristóbal Vila, nos sobrecoge la sensación de misterio, armonía, belleza y perfección que provoca la simetría dinámica de las formas geométricas.

La belleza geométrica en caleidoscopios.

Aspectos estéticos y místicos de la geometría.

Las matemáticas son la ciencia de las pautas y las relaciones. Como disciplina teórica, exploran las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si éstas tienen homólogos en el mundo real. Las abstracciones pueden ser cualquier cosa, desde secuencias de números ( como la de Fibonacci) hasta figuras geométricas ( rectángulo çaureo, espiral áurea, etc...)... Parte del sentido de belleza que muchas personas han percibido en esta ciencia no radica en hallar la más grande perfección o complejidad, sino al contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representación y la comprobación. A medida que las matemáticas avanzan, se han encontrado más y más relaciones entre partes que se habían desarrollado por separado, por ejemplo, entre las representaciones simbólicas del álgebra y las representaciones espaciales de la geometría. Estas interconexiones hacen posible que surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diversas partes de la disciplina; juntas, fortalecen la creencia en la exactitud y unidad esencial de toda la estructura.

 La naturaleza de las matemáticas. Pautas y relaciones. American Association for the Advancement of Science

Aunque los/as alumnos/as de Primaria no entiendan bien las relaciones numéricas o geométricas que se ocultan en determinadas estructuras naturales o artificiales, conviene ponerlos en contacto (el vídeo y los modelos dinámicos son recursos muy adecuados para ello) con este aspecto de las matemáticas como "campo de estética" favoreciendo que asocien que una misma realidad se puede traducir o expresar de diferentes maneras haciendo uso de diferentes lenguajes ( numérico, geométrico,...), o que determinadas pautas o relaciones numéricas están presentes en fenómenos aparentemente muy diferentes...

Artículo relacionado con esta entrada: Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas.

Sobre ALOHA Mental Arithmetic y el cálculo deseable en la escuela

Agunos datos...

El ábaco se hizo para llevar a cabo las operaciones fundamentales de la aritmética. El ábaco es el precursor de los modernos computadores. El ábaco más pequeño se construyó en IBM Suiza, 13-nov-1996, del tamaño de una molécula de una millonésima parte de un milímetro. (http://abaxmuseum.blogspot.com/)

La computadora más rápida del mundo hasta la fecha (20 de junio de 2011) es el Ordenador K japonés. Se encuentra en el Instituto RIKEN, en el Centro Avanzado para las Ciencias de la Computación (AICS), en Kobe (Japón), y combina 68.544 CPU tipo SPARC64 VIIIfx cada una con ocho núcleos, lo que arroja un total de 548.352 núcleos. Es capaz de realizar más de ocho mil billones de cálculos por segundo (8 petaflop/s). (Wikipedia)

La "Perla Filosófica", de Gregor Reisch (1503)
Grabado en madera. Este grabado, también conocido como "Margarita Philosophica", nos muestra una alegoría de la aritmética arbitrando la rivalidad entre un partidario de las cifras (algorista) y un adepto al cálculo mediante fichas (abaquista). A uno y otro personaje están asociados por oposición los nombres de Boecio (muerto hacia el 525 y referencia obligada en el Medioevo Occidental) y Pitágoras (asociado a una representación geométrica de los números). El aire triunfal del primero, el aspecto confuso del segundo, así como la ropa llena de cifras de un árbitro parcial, ponen de manifiesto que al comenzar el Renacimiento acaba de producirse una victoria del primer bando, el de los algoristas.

A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos.

Vivimos en una sociedad tecnológicamente avanzada. Las múltiples y diferentes actividades humanas conllevan, cada vez más, la necesidad de realizar ingentes cantidades de cálculos y parece que el avance tecnológico puede medirse en cierta manera por la velocidad de cálculo de las computadoras...

¿Cómo es el cálculo en nuestra sociedad? La mayor parte del mismo es instrumental ( cajas registradoras, calculadoras, computadoras,...).

¿Se corresponde el cálculo que se enseña en la escuela con las características de la sociedad en que vivimos? Poco, ya que predomina un cálculo mecanizado, apoyado en los algoritmos renacentistas - de lápiz y papel-  de las operaciones básicas,  basados en cifras que no aportan significado y que no aprovechan suficientemente el potencial de las propiedades fundamentales de las operaciones. Se trata de un cálculo frecuentemente descontextualizado y que no ha sabido potenciar suficientemente la importancia del cálculo mental.

El cálculo así concebido es una habilidad cognitiva de orden inferior.

La escuela del siglo XXI debe apostar por un cálculo pensado, flexible, basado en números...Por un cálculo razonado (los cálculos más complejos se infieren siempre de otros hechos numéricos más sencillos haciendo uso de las propiedades de las operaciones, del reconocimiento de regularidades o patrones numéricos y del desarrollo progresivo del razonamiento proporcional...) y razonable (no se trata de convertir a nuestros/as alumnos/as en máquinas de calcular...).

Y sin embargo...

Podemos encontrar en Youtube numerosos vídeos que muestran a niños calculando de manera sorprendemtemente rápida, prodigiosa,... Es el caso de los vídeos correspondientes a ALOHA Mental Arithmetic  o a  Flash Anzan  ("el juego para las calculadoras humanas ultrarrápidas"...).

Creada en Malasia en el año 1993, ALOHA Mental Arithmetic cuenta en la actualidad con presencia en 19 países de los 5 continentes. El programa se ofrece de manera idéntica en todo el mundo para garantizar los estándares de calidad consolidados tras 18 años de experiencia. Se publicita como un divertido programa de desarrollo mental para niñ@s de 4 a 13 años, con beneficios para toda la vida:

Operaciones aritméticas con velocidad y precisión.
Capacidad de concentración y atención.
Creatividad y capacidad de visualización.
Capacidad de escucha y habilidad para la observación.
Memoria fotográfica y orientación espacial.
Mayor autoconfianza.
Habilidades analíticas.

ALOHA Mental Arithmetic se basa en el aprendizaje del ábaco :

Los estudiantes de ALOHA Mental Arithmetic descubren el funcionamiento básico del ábaco.
Después, empiezan a realizar operaciones aritméticas con este instrumento de cálculo.
Poco a poco, los alumnos aprenden a visualizar el ábaco en su cabeza y a utilizar esta imagen mental para calcular.
Con la práctica, los niños son capaces de prescindir totalmente del ábaco para realizar operaciones mentalmente a gran velocidad.
Al final del programa, los niños pueden realizar operaciones de hasta 17 dígitos, para lo que deben visualizar 85 cuentas del ábaco.

Sólo podría justificarse una propuesta de adiestramiento en cálculo mental descontextualizado, como la que nos muestran los vídeos anteriores, justificándola como desarrolladora de habilidades cognitivas de orden superior. Y eso es precisamente lo que está cuidando mucho Aloha Mental Arithmetic en su eficaz campaña de marketing. Sus responsables de expansión es España saben pasar con enorme soltura de las razones estrictamente comerciales a justificar sus beneficios para una educación de calidad como si fuesen auténticos expertos en psicología cognitiva.

Ya nadie bien informado duda de la existencia de dos hemisferios cerebrales que, además de controlar partes diferentes del cuerpo, cumplen funciones diferentes en los procesos mentales de reflexión, comprensión y memoria; de que el hemisferio cerebral derecho está subutilizado; de que es necesario revalorizar la importancia de la creatividad y la imaginación en el desarrollo de la inteligencia...Supongo que esto podrá llevarse a cabo de múltiples maneras...

No soy un experto en psicología cognitiva y no pongo en duda las bondades de este programa ALOHA, ni las de tantos otros programas de desarrollo cognitivo que proliferaron a partir de los años sesenta del siglo XX; pero no me extrañaría nada que, por razones estrictamente comerciales - que son las que imperan actualmente en nuestro mundo- se maximizaran en exceso sus beneficios educativos...

Resulta curioso que Kiran Motwani sea directora de Aloha Spain y madre de los niños Ronit y Samir Motwani, de 9 y 10 años de edad, campeones del mundo de cálculo mental. Samir Motwani tiene claro que quiere trabajar en la NASA (imagino que está convencido de que su buena capacidad de cálculo lo hace un buen candidato para ello...). Pero la NASA tiene computadoras que hacen billones de cálculos por segundo....


Creo que a medida que se vayan extendiendo por el territorio nacional las franquicias de ALOHA Mental Arithmetic tomará mayor importancia el debate sobre la necesidad de reorientar adecuadamente la enseñanza-aprendizaje del cálculo en la escuela. Esto me parece positivo. Pero, por otro lado, el poderoso marketing asociado, la oratoria - tipo predicador evangelista o adventista - de los jóvenes presentadores de campeonatos de ALOHA, me infunden sospechas... El asunto me plantea interrogantes tales como:

Soy consciente de que el cálculo con el ábaco es un cálculo estratégico, pensado, pero ...¿No se pone de manifiesto en estos vídeos un adiestramiento excesivamente mecánico y conductista?
¿Responde a las necesidades y características de un cálculo para todos/as?
¿Se trata realmente de un divertido programa para estimular la inteligencia de niños de 4 a 13 años?
Si se fomenta el cálculo mental como actividad extraescolar, ¿qué tipo de cálculo será el estrictamente escolar?
¿Necesita nuestro mundo calculadoras humanas?
¿Por qué se asocia con tanta facilidad buen nivel de cálculo con buen nivel de competencias matemáticas?

En el siguiente vídeo, Naomi W., una niña de 9 años, realiza cálculos mentales que si bien están por encima de la media de los/as niños y niñas de su edad, suponen un grado de competencia en el cálculo que perfectamente puede conseguir un determinado porcentaje de alumnos/as de nuestros centros, de 9 años, con los tiempos normales de enseñanza previstos para el área de Matemáticas. Eso sí, siempre que se enfoque y se practique el cálculo mental adecuadamente. Los cálculos propuesto en el vídeo pueden ser realizados haciendo uso de la propiedad distributiva - la fundamental en el cálculo mental - de la multiplicación con respecto a la suma y de la propiedad distributiva - por la izquierda- de la división con respecto a la suma. Requieren previamente cierto dominio de la descomposición aditiva de números y la memorización de hechos numéricos básicos (tablas de multiplicar pitagóricas)

Los vídeos anteriores muestran el cálculo como producto o resultado final, sin analizar su proceso. Te recomiendo que visualices vídeos sobre cálculo realizados en España con otro enfoque:

Algoritmos Aguamansa.

Algoritmos ABN.

¿Y tú qué piensas al respecto?
¿Crees que la aplicación interactiva que se ofrece a continuación es adecuada para contextualizar la propiedad distributiva y adquirir un buen dominio de la misma para la realización de cálculo mental de productos?

(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)

¿Has sumado o restado alguna vez con el ábaco?

(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)

Material didáctico analógico vs material didáctico digital

Un aspecto importante de las TICs es que hacen posible la compensación de carencias, de desigualdades educativas...permitiendo que centros pobres, con pocos recursos, puedan acceder a materiales educativos digitales cuyos correspondientes analógicos no podrían adquirir, al menos en la cantidad necesaria para que la manipulación de los mismos no fuese meramente testimonial. Las TICs permiten conjugar la calidad con el bajo costo.

Así, por ejemplo, adquirir un ábaco-contador analógico de 100 bolas  para cada alumno/a de un determinado nivel, además de ocupar un espacio considerable a la hora de guardarlos, supondría un importante desembolso económico que no todas las administraciones educativas, ni todos los centros escolares, podrían permitirse. Sobre todo si se lleva a la práctica una educación constructivista, que demanda especialmente la abundancia de materiales didácticos diversos (ábacos, regletas, bloques multibase, balanzas, relojes didácticos, geoplanos, juegos de billetes y monedas, juegos de polígonos y poliedros, etc, etc...)

¿Tienen claras ventajas los materiales didácticos  analógicos sobre sus correspondientes digitales? La respuesta a esta pregunta dependerá en gran medida del diseño dado al material digital y del grado de interactividad, del lado del usuario, con que cuente.

A.-) Ábaco contador analógico de 100 bolas:

B.-) Ábaco contador digital de 100 bolas:

(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)

He aquí una nueva versión que incluye a la anterior

Para este material didáctico, podemos comprobar que todos los usos y manipulaciones didácticas (libres o dirigidas) que se pueden realizar en A también se pueden llevar a cabo en B ( en la opción "manipulación libre") con la misma facilidad ( sólo la "puesta a cero", en este caso concreto, es más lenta en B - al no poder volcar el ábaco hacia un lado, aunque esto es fácil de solventar si se considerara especialmente relevante-, pero con más precisión en la separación de las bolas en B que en A). Podemos ver además que en B las bolas están diferenciadas, de 5 en 5, por el color ( hay también ábacos contadores con 100 bolas diferenciadas de esta manera). Este detalle es de gran relevancia didáctica, pues permite utilizar el cinco como intermediario para la lograr una percepción más rápida de números menores que 10 (descomposición aditiva-sustractiva de números en la que el 5 juega un papel esencial): 7= 5 + 2; 8 = 10 - 2; 4 = 5 - 1; etc...

En B, además, se asocia cada pulsación con el nombre ( oído y escrito) del número formado, con los símbolos gráficos que lo representan ( número y cifras del mismo) y con otra representación gráfica alternativa, lo cual permite el aprendizaje autónomo de manera sensiblemente más eficaz que en A. Pero, además, en la opción "escribe el número" se realiza una propuesta que permite la comprobación de un determinado aprendizaje posibilitado por el material, lo cual es un mecanismo de retroalimentación para el/la alumno/a usuario/a, un mecanismo de regulación de su propio aprendizaje. Esta ventaja didáctica es esencial para un modelo de enseñanza centrado en el alumno, que contemple tiempos de trabajo autónomo o semidirigido, que posibilite el descubrimiento...

Si a las ventajas didácticas de B con respecto a A le añadimos el bajo coste, incluso ecológico, y las ventajas en relación con su puesta en práctica en el aula (rapidez en la disponibilidad y en el cambio de actividad, mayor orden en la clase, facilidad de guardado o almacenamiento, menor deterioro, mayor duración,...), no cabe duda de que B material didáctico digital) ha superado en funcionalidad a A (material didáctico analógico).

(Esta aplicación en Flash, en su versión antigua, tal y como se muestra aquí, no se encuentra perfectamente adaptada para ser mostrada mediante Ruffle ( sobre todo los textos), pero se puede encontrar mejorada en el proyecto MATE.TIC.TAC.)

De manera análoga podríamos razonar para otros materiales didácticos tales como balanzas (es difícil lograr el equilibrio con una analógica); relojes didácticos (en los analógicos las agujas se mueven a intervalos continuos difíciles de cuantificar. En cambio, con un reloj digital podemos configurar el movimiento de sus agujas de manera que avancen, por ejemplo, de 5 en 5 (segundos, minutos), de 1 en 1 (horas), etc...); geoplanos; etc...

El "espacio de búsqueda" en la resolución de problemas.

En esta entrada voy a ilustrar el concepto de "espacio de búsqueda" en un problema, de acuerdo con la concepción de "problema" que se maneja en la Teoría del Procesamiento de la Información que se resume en este documento.

Para ello les invito a entrar en la aplicación "Pesa pensando_1", incluida en el el recurso educativo digital "ProblemáTICas Primaria", a experimentar y reflexionar sobre la diferencia de dificultad existente entre las opciones "varias balanzas fijas" y "una balanza móvil".

Cuando a los/as alumnos/as se les presentan varias balanzas estáticas -dibujos de balanzas- ya equilibradas con diferentes configuraciones de objetos, cuyas masas hay que averiguar, la naturaleza de la actividad, aún persiguiendo el mismo objetivo, no es la misma que cuando los/as alumnos/as tienen que encontrar el equilibrio de la balanza...

Aquí, con la opción  balanza móvil, la igualdad (equilibrio de la balanza) y la desigualdad (desequilibrio en uno u otro sentido) juegan papeles de igual importancia semántica. No se trata de un ejercicio, ni de un problema rutinario. Entre la SITUACIÓN INICIAL, con información desestructurada, y la SITUACIÓN FINAL nos encontramos con el ESPACIO DE BÚSQUEDA del problema, constituido fundamentalmente por el conjunto de todas las combinaciones o pesadas diferentes que se pueden realizar...

Se ofrece a los/as alumnos/as la oportunidad de ser metódicos, sistemáticos,... para encontrar las posibles ( o al menos suficientes) igualdades (equilibrios) a partir de las cuales se podrá resolver el problema. En la medida en que las posibilidades combinatorias entre objeto/s y pesas aumenta, el ESPACIO DE BÚSQUEDA se hace mayor y la tarea se hace más difícil. Luego, obviamente, tendrán que realizar - al igual que en la opción varias balanzas fijas- un razonamiento lógico deductivo correcto, de naturaleza argumentativa con números, para llegar a la SITUACIÓN FINAL.

Como el lector comprenderá, con los modelos estáticos de balanzas en equilibrio, el ESPACIO DE BÚSQUEDA del problema se reduce considerablemente y con ello la dificultad del problema. Así, pues, se recomienda que los/as alumnos/as comiencen ejercitando su razonamiento con la opción de las balanzas estáticas ya equilibradas. Con un modelo dinámico de balanza, como el que aquí se propone, la motivación de los/as alumnos/as se ve favorecida por la simulación del efecto físico de gravedad, por la naturaleza experimental del procedimiento así como por la fácil visualización y rápida obtención de igualdades y desigualdades.

Se podría decir que el MODELO_TIC propuesto aquí, con la opción de balanza móvil, es que los/as alumnos/as <construyan el enunciado del problema> mediante el análisis experimental de relaciones entre las masas de pesas de valor conocido y objetos de masa desconocida y luego resuelvan el problema.

Formatos interactivos para el cálculo pensado, flexible y basado en números

Hace aproximadamente una década que Antonio Ramón Martín Adrián (Tony) del CEIP Aguamansa (La Orotava ), y otros integrantes de grupos Capicúa – siguiendo la las ideas de Anthony Ralston en “Let’s Abolis Péncil-and-Paper Arithmethic”- vienen debatiendo y manifestándose activamente en contra de los algoritmos tradicionales de las operaciones aritméticas y la raíz cuadrada; y elaborando y difundiendo excelentes vídeos en los que nos muestran a sus alumnos/as, frente a la pizarra, realizando cálculos pensados con apoyo escrito; cálculos que utilizan algoritmos flexibles diversos, todos ellos basados en números – y no en cifras como ocurre con los algoritmos de lápiz y papel de toda la vida-  para realizar cada una de las operaciones básicas.

Desde hace algo más de un año, Jaime Martínez Montero (Inspector de Educación desde 1977. Ha sido Profesor Asociado de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Cádiz. Es maestro y doctor en Filosofía y Ciencias de la Educación. Ha publicado numerosos artículos y libros...), a través de su blog “Algoritmos ABN” y de Youtube, está divulgando, también, excelentes vídeos que muestran a alumnos/as de varios centros de la provincia de Cádiz, y de diferentes niveles, realizando cálculos algorítmicos abiertos y basados en números. Se trata, también, de cálculo pensado con apoyo escrito.

Tanto Tony como Jaime Martínez impulsan y defienden un cálculo flexible, abierto, argumentado y basado en números. Pero mientras para el primero, según sus propias palabras, no se trata de "nada nuevo, ni revolucionario, sino de una filosofía de hace cincuenta o sesenta años”, para el segundo, según se desprende de algunas entrevistas publicadas en la prensa, sí que se trata – hablando en particular de los “Algoritmos Abiertos Basados en Números”- de un invento novedoso, de un nuevo método cuya autoría se atribuye.

A algunos/as nos resulta un tanto chocante constatar que algo que se “publicita” no ya como “descubrimiento” sino como “invento”, como método revolucionario dentro de la matemática escolar – que parece destinado poco menos que a acabar con el fracaso escolar en Matemáticas- no tenga tanto de novedoso, pues está plagado de precedentes. Sin embargo, algunos sitios web (Actiludis, elTanque,…) ponen mucho celo en recordar que los “Algoritmos ABN” son propiedad intelectual de Jaime Martínez Montero. No sé si esa propiedad se refiere a la denominación y al logotipo (nada que objetar a esta idea tan eficaz para el marketing), al formato de los algoritmos (ya habría más que objetar) o a la propiedad intelectual de las propiedades de las operaciones (no creo, sería un atentado a la Matemática como patrimonio de la Humanidad)…

En el blog “Algoritmos ABN” se recoge esta muy loable intención: “Con el presente blog quiero colaborar en la erradicación de las viejas cuentas escolares. Me sumo así a docentes e investigadores que se han puesto manos a la obra”. Sin embargo, y a juzgar por lo recogido en algunos artículos de prensa, algunos/as maestros/as percibimos  que  se maximiza en exceso su relevancia y que se presenta como si antes de él no hubiese habido antes… (minimizando y/o "excluyendo" los precedentes); cuando todos y cada uno de nosotros influimos y recibimos influencias de los demás...

Algunos/as maestros/as, influenciados por personas como Tony y otros, llevamos años tratando de que se generalice en nuestros centros un cálculo fundamentalmente pensado y estratégico que no excluye el cálculo algorítmico (siempre que sea flexible, abierto, basado en números…). Sin embargo, y a pesar de que somos los máximos defensores de algoritmos tipo algoritmos ABN, no nos gustan las connotaciones “de mercado”, de “ marketing”, “de apropiación intelectual”, etc... que percibimos en algoritmos ABN. Además, no identificamos algoritmos con cálculo. Mucho menos reducimos la matemática al cálculo – como pensamos que implícitamente se refleja en el blog “Algoritmos ABN”. Pensamos, además, que unas matemáticas naturales y divertidas no deben tener tanto regusto a pizarra y tiza y que, obviamente, deben ser divertidas…

Sin embargo, hay que dar la bienvenida en la red a aplicaciones TICs del tipo “tutor ABN” (otros preferimos llamarlos “formatos interactivos para la práctica tutorizada de algoritmos flexibles”) que también tienen sus precedentes...

Así, por ejemplo, los formatos interactivos para la práctica de cálculos flexibles que yo vengo diseñando han seguido su propia evolución en el tiempo, desde los algoritmos extendidos interactivos y basados en números incluidos en "Estrategias para la Numeración"-2005-, pasando por los incluidos en "MatemáTICas Primaria"-2008- hasta llegar a las aplicaciones incluidas en "Así calculamos en mi cole"-2010_2011- que van más allá de las expectativas cubiertas por los "tutores ABN"-.

En mi trabajo “MatemáTICas Primaria” (1º premio a materiales educativos multimedia_2008, del ITE), ya aparecen precursores de estos formatos y aplicaciones que van aún  más allá- puesto que contextualizan la generación interactiva del algoritmo-, como es el caso de "reparto monedas y billetes" del cual se ofrece a continuación una versión mejorada, aunque reducida respecto a la incluida en "Así calculamos en mi cole" , (Cada acción sobre el dinero tiene su repercusión numérica en el algoritmo interactivo que se va generando...):

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Algunos de los formatos TICs interactivos para los algoritmos abn se han puesto en la red, a mi juicio, con excesiva precipitación. No se ha depurado suficientemente el código ActionScript de las mismas, o bien no se las ha dotado de las suficientes funciones de comprobación de las entradas numéricas realizadas por los usuarios. Estoy convencido de que Mario Ramos Rodríguez sabrá subsanar los errores que se reflejan en estas imágenes, donde la aplicación da por válidas  multiplicaciones y divisiones con resultados intermedios incorrectos... (Hubiera preferido comunicárselo de una manera más personal y discreta, pero no he encontrado ningún email de referencia en su página web ni ningún espacio para comentarios)

Tramas de puntos, geoplanos y pizarras geométricas

Un recurso barato y de enorme interés didáctico para trabajar aspectos geométricos a lo largo de toda la Etapa Primaria lo constituyen las tramas (o mallas) de puntos ( la trama ortométrica y la isométrica, fundamentalmente). A efectos prácticos pueden ser considerados geoplanos dibujados. Podemos fotocopiarlas y obtener tantas copias como se desee de las mismas. Permiten abordar numerosas cuestiones de geometría dibujada (el dibujo es el procedimiento específico de la geometría).

El interés didáctico de los geoplanos ( sean dibujados, analógicos o digitales) reside en que son modelos finitos del plano, con una geometría finita: un número finito de puntos (puntos de la trama o vértices de la malla), de longitudes de segmentos, de valores angulares y polígonos...

Permiten la obtención de colecciones de polígonos que pueden clasificarse atendiendo a diferentes variables o atributos geométricos (número de lados, simetría, paralelismo de los lados, concavidad/convexidad, área, perímetros, fraccionamiento en partes congruentes, etc...); el diseño de mosaicos; la obtención de familias de figuras (poliminós, polideltas,...) a partir de un número fijado de elementos unitarios; la realización de tangramas diversos; la utilización de polígonos generados como modelos para la obtención de otros polígonos más complejos; descubrimiento de patrones y regularidades geométricas - y numéricas-, etc...

Las posibilidades son enormes...

Las correspondientes aplicaciones digitales se pueden dotar de interactividad y de otras características que le dan un atractivo y valor añadidos: posibilidad de borrado (que invita al método de ensayo-error), de elección de color (goce visual y estético), de correccción de retos propuestos ( retroalimentación, regulación del aprendizaje...), etc..

Si aún no has experimentado con materiales de este tipo puedes hacerlo con las siguientes aplicaciones.

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Imágenes y modelos dinámicos para estimular explicaciones, razonamientos y argumentaciones en Matemáticas...

En el curso 2009-2010 coordiné en mi centro un grupo de trabajo cuyo principal objetivo era abordar la resolución de problemas, desde Infantil a Primaria, para unificar, al respecto, materiales didácticos y criterios metodológicos.

Aquí les dejo una presentación que resume el enfoque que le dimos a esta temática y que muestra el tipo de imágenes y modelos dinámicos que utilizamos para ello.

Estas otras imágenes han sido utilizadas en la aplicación "Pesa pensando 1", integrada en el recurso multimedia "ProblemáTICas Primaria" :
(Puedes utilizar las teclas de flecha "derecha" e "izquierda" para avanzar o retroceder, respectivamente).

Modelos dinámicos como el que se muestra a continuación, incluido en "Laboratorio básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria", se utilizaron, con pizarra digital, en el tercer ciclo de Primaria.

(Los recursos que se muestran aquí no están ya ni totalmente adaptados a su uso online 

ni debidamente actualizados. Muchas de sus aplicaciones se han mejorado y actualizado 

para formar parte del proyecto MATE.TIC.TAC )(Noviembre de 2021)

Cálculo mental contextualizado. Situaciones de compra.

El Aprendizaje por competencias y los contextos escolares se implican mutuamente.

(...) las competencias no puden definirrse sino en función de situaciones, están situadas como los conocimientos en un contexto social y físico. El concepto de situación se vuelve el elemento central del aprendizaje: dentro de cada situación el estudiante construye, modifica o refuta los conocimientos contextualizados y desarrolla competencias a la vez situadas. Se trata de un proceso determinante para el aprendizaje escolar, (…). Ya no se trata de enseñar contenidos disciplinares descontextualizados (área del trapecio, suma de fracciones, procedimiento de cálculo mental, reglas de sintaxis, etc.) sino de definir situaciones en las cuales los alumnos pueden construir, modificar o refutar conocimientos y competencias utilizando contenidos disciplinares.

(Jonnaert, 2002. Citado por Ángel Pérez Gómez y Encarnación Soto Gómez)

A juzgar por las características de las aplicaciones multimedia que circulan por la red para el desarrollo de competencias de cálculo, a los diseñadores de contenidos educativos digitales nos cuesta mucho trabajo contextualizar adecuadamente la aritmética escolar, es decir, darle un significado práctico e inmediato que permita, desde el comienzo, plantearse situaciones reales y resolver problemas que afecten e interesen directamente a nuestros/as alumnos/as. Todo ello a pesar de que:

El aprendizaje de la  Aritmética es un conocimiento socialmente útil ya que es una de las formas básicas de razonamiento; sistematiza el estudio de las cantidades, su simbolización y sus relaciones (...) El aprendizaje de la aritmética es un hecho social  determinado por el grado de evolución y desarrollo de cada sociedad. Son las necesidades colectivas de unas normas básicas y generales y del dominio cuantitativo de la realidad las que impònen el aprendizaje de la aritmética (...) (Bernardo Gómez Alfonso, 1993)

Es cierto que es mucho más fácil ser coherente en la teoría que en la práctica. Resulta sencillo argumentar que el cálculo escolar (que es lo que nos ocupa en este momento) debe ser un cálculo contextualizado, situado... y que la naturaleza de esas situaciones está directamente relacionada con el desarrollo de competencias de cálculo. Más difícil, no cabe duda, resulta implementar materiales educativos coherentes con la teoría expuesta.

Existe un amplísimo consenso en considerar la  Resolución de Problemas como contexto fundamental y vertebrador en Matemáticas. No cabe duda de que la mayoría de los problemas conllevan la realización de cálculos y la valoración de los resultados obtenidos y, por tanto, el cálculo cobra pleno sentido en la resolución de problemas. Pero, ¿todo el cálculo escolar debe estar situado en el contexto de la resolución de problemas? De ser así, nuestra quehacer en las aulas distaría mucho de lo que podría considerarse como una práctica deseable.

Al respecto, hay que considerar que en el dominio del sentido numérico y operacional intervienen convenciones y reglas (signos de las operaciones, símbolos de los números, forma de leer e interpretar los números, valor posicional en nuestro sistema de numeración, jerarquía en las operaciones combinadas,...),  hechos numéricos (dominio progresivo, a nivel de la memoria inmediata, de resultados de combinaciones numéricas básicas - tablas de sumar y multiplicar, por ejemplo -), técnicas (que se dominan a través de la necesaria repetición: contar de tantos en tantos de manera ascendente o descendente...), estrategias (descomposición aditiva de números, descomposición multiplicativa, compensación, complemento a, doblar, etc...).

Si sólo aprovechásemos los tiempos de resolución de problemas para profundizar en estos aspectos nos iríamos al extremo contrario...No "pecamos" si dedicamos tiempos específicos para el dominio de técnicas, estrategias, algoritmos,...Pero no desarrollaremos verdadera competencia en el cálculo si no ponemos el énfasis en su contextualización...

La aplicación "Compro-pago-me devuelven", incluida en el recurso "ASÍ CALCULAMOS EN MI COLE", ilustra cómo pueden diseñarse aplicaciones multimedia de gran atractivo para nuestros/as alumnos/as que, en un contexto de resolución de problemas de la vida diaria, faciliten el desarrollo de  competencias de cálculo pensado.